一元二次方程的整数根问题

中考数学复习重点·一元二次方程

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一元二次方程整数根问题的十二种思维策略

班级__________ 姓名__________

1.利用判别式

例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数。

解：∵方程2440mxx有整数根，

∴⊿=16-16m≥0，得m≤1

又∵方程2244450xmxmm有整数根

∴22164(445)0mmm 得54m

综上所述，－45≤m≤1

∴x可取的整数值是-1，0，1

当m=-1时，方程为－x2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m≠0 ∴ m=1

例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210xmxm

有两个不相等的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=－(x1+x2)为负整数.

∴244mm一定是完全平方数

设2244mmk（k为正整数）

∴22(2)8mk

即：(2)(2)8mkmk

∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同

∴2422mkmk或2224mkmk 中考数学复习重点·一元二次方程

【最新整理，下载后即可编辑】 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时 ，原方程为x2-5x+6=0，两根分别为x1=2，x2=3。

2.利用求根公式

例3.（2000年全国联赛）设关于x的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)kkkkkk

由求根公式得222642(6)2(68)kkkxkk

1 一元二次方程整数根问题的几种思维策略

一、利用判别式

例1. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx

与2244450xmxmm的根都是整数。

解：∵方程2440mxx有整数根，

∴⊿=16-16m≥0，得m≤1

又∵方程2244450xmxmm有整数根

∴⊿=16m2－4(4m2－4m－5) ≥0 得54m.

综上所述，54≤m≤1

∴x可取的整数值是－1，0，1

当m=－1时，方程为－x2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m≠0 ∴ m=1

23.（东城） 已知关于x的一元二次方程2220xaxb，0,0ba.

（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；

（2）若a∶b=2∶3，且1222xx，求a，b的值；

（3）在（2）的条件下，二次函数222yxaxb的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x－y的最大值.

解：(1) ∵ 关于x的一元二次方程2220xaxb有实数根,

∴ Δ=,04)2(22ba有a2－b2≥0，（a+b）（a-b）≥0.

∵ 0,0ba,

∴ a+b＞0,a－b≥0.

∴ ba. …………………………2分

2 （2） ∵ a∶b=2∶3，

∴ 设2,3akbk(k＞0).

解关于x的一元二次方程22430xkxk，

得 -3xkk或.

当12,= -3xkxk时，由1222xx得2k.

当123,= -xkxk时，由1222xx得25k（不合题意，舍去）.

∴ 4,23ab. …………………………5分

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略

班级 __________ 姓名 ________________

1•利用判别式

例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程

2 2 2

mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。

解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，

=16-16m>0,得 mK 1

又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根

二 V 16 m2 4(4 m2 4m 5) 0 得 m 5

4

5

综上所述，— K nK 1

4

/• x可取的整数值是-1 , 0, 1

当m=-1时，方程为—x 2 -4x+4=0没有整数解，舍去。

而 0 /• m=1

例2. (1996年四川竞赛题)已知方程 x2 mx m 1 0有两个不相等

的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为 x1，x2，则m=- (x 1 +x2 )为负整数.

2

-V m 4m 4 一定是完全平方数

设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)

二(m 2) 2 k 2 8

即: (m 2 k)(m 2 k) 8

■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同

m 2 k 4 或 m2k 2

m 2 k 2 m 2 k 4

解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。

2

当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x 2 =3。 2.利用求根公式

例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程

根都是整数，那么符合条件的整数 a有 ______________

解:当a=1时,x=1

当az 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0

即得X1 1,X2 1 2

1 a

•/ X是整数 /. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3

由上可知符合条件的整数有 5个.

;

一元二次方程整数根问题

形如02cbxax的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。因此成为近年来各种自招考试的热点。下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

一、根与系数之间的关系

设一元二次方程20(0)axbxca的两根为12,xx，则1212,,bcxxxxaa反之，若两数12,xx满足1212,bcxxxxaa，则这两数是方程20axbxc的两根。

利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)axbxca而知其根的正负性质：

一元二次方程20(0)axbxca在240bac的条件下：

(1)0ca时，方程的两根必然一正一负；

(2)0ba时，方程的正根不小于负根的绝对值；

(3)0ba时，方程的正根小于负根的绝对值；

(4)0ca时，方程的两根同正或同负.

二、一元二次方程整数跟问题 ;

1、当含有某个参数k的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k的分式形式的解。然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

2、一元二次方程02cbxax在042acb时有实数根abx2，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须acb42为完全平方数，并且b为a2的整数倍。故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：

（1）先求参数范围。可由不等式0求出参数的范围，再求解。

（2）再设参数法，即设2k（k是整数）。当2k为关于原参数的一次式时，用代入法来解；当2k为关于原参数的二次式时，用分解因式法来解。

此外，对有理系数的二次方程有有理根的问题，上述解法也是适用的。