导数中如何分类讨论

导数中的分类讨论问题

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答；同时，分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须遵守分类讨论的原则：

(1)不重不漏．

(2)标准要统一，层次要分明．

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

同时遵守解分类问题的步骤：

(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．

(2)对所讨论的对象进行合理的分类．

(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．

(4)归纳总结，将各类情况总结归纳

有关分类讨论的导数数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归为以下四种：1、因为未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；2、在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；3、极值点的大小关系不定而引起的分类；4、极值点与区间的关系不定而引起分类。几种类型都围绕着解方程展开，函数解析式都带有参数，能否解决问题主要是看能否准确的找到分点，对参数进行准确的分类。以下就如何准确的找到以上四种类型的分点进行分析和探讨。

题型一、 未知数的系数与零的关系不定：这一类问题的特点是，求出导函数之后导函数中自变量的系数有参数。其值可能为零，因此必须分为等于零和不等于零两种，分点为零（如果是二次方程应该更具体的分为三种：①a=0，②a>0,③a<0）

例1.已知函数2()(1)ln1fxaxax.

(1)讨论函数()fx的单调性；

(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.

题型二、 在求极值点的过程中，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定而引起的分类；

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如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想

作者：邓凤文

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第09期

分类讨论是人们常用的重要思想方法，在生产活动、科学实验、日常的生活中都常需要用到它.因此在初中数学教学中，教师要注重数学分类讨论思想方法的渗透、概括和总结， 要重视数学分类讨论思想方法在解题中的指导作用.本文从以下几点简述如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想.

一、在概念教学中渗透分类讨论意识

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何进行合理分类.这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，给予强化，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识.

在初中数学教学内容中，许多数学概念的定义，如实数和有理数的分类、绝对值的化简、一元二次方程的概念中对二次项系数的限定、平方根中对于被开方数的限定、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式、两圆的五种位置关系……都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及分类讨论思想的问题，教师在讲授时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握.

如对于一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的规定，教学时，先让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程

kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的限制条件，随后进行了概念的变式，隐去“一元二次”四字，问这是个怎样的方程，并如何求解.学生对概念中关键字词及补充条件的理解后，就能很清晰地对 a=0与a≠0两种情况作分类讨论.

在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类，更要遵循分类的同一性、相称性、互斥性、层次性原则，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了思维的条理性和目的性.

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在初中数学教学中如何渗透分类讨论思想

作者：李国帅

来源：《中学课程辅导·教学研究》2014年第23期

 摘要：在初中数学教材中，用分类讨论思想方法解析的习题屡见不鲜，更重要的是它还是中考题型中必然会涉及到的思维考点。具体指以数学本质的不同和相同点将科目中研究的对象按不同种类划分的数学思想。学会在初中数学中探究或者解题时正确运用分类讨论思想，有助于激发学生学习兴趣，使学生更快的理解问题、解决问题、提高解题技巧，一举反三。

关键词：初中数学；教学；解题；分类讨论 在初中数学中，一般逻辑性明显、综合性和探索性强的问题都是需要借助分类讨论思想去解决的。这类题可以使学生逻辑思维得到锻炼，帮助学生培养出一个条理清晰的解题思路和扎实的概括性思维能力，但是普遍存在于中学生当中的一个问题就是：一方面学生在分类讨论思想的掌握上还存在一定的问题，另一方面是学生不够重视,所以针对这种情况，教师一定要深入探究，加大对这部分知识的训练强度,认识到解决分类讨论问题的关键——增加题设条件，将整体问题部分化，抽象问题形象化，最终达到解决问题的目的。具体来说，就是根据不同研究对象把需要解决的问题分类讨论，将可能出现的结果全部列举出来，列举时必须全面思考，做到不漏掉任何可能,不重复任何可能，力求精准，列举完后再逐一解决。

一、分类讨论思想及具体解题步骤

在教学过程中，有很多教学目的是无法通过口述达到的，尤其在开放性题型、数式变形中需要的附加条件、几何图形的形状和位置关系等方面都是必须借助分类讨论思想的。那么，为什么要分呢？举个很简答的例子：一盒弹珠被不小心洒落满地，我们必须将它们如数收回，可是，这是第一次打开盒子，我们并不知道其中包含多少颗弹珠，如果漫无目的的四处寻找肯定是可以找回一些的，但这种方法并不科学，而且费时费力，更重要的是你也无法确定自己是否如数寻回了所有弹珠。这时其实正确的做法是将地板分成若干个部分，以自己一眼就能发现这块地板上是否存在弹珠为划分标准，有序的将每块地板上搜寻过，这样一来，不就避免遗漏了吗？通常在解决初中数学中几何图形类问题时，我们必须根据情况选择一种合理的分类方式，才能保证全面考虑，不遗漏不重复，使所数出图形的数量准确无误。最常见的分类讨论思想可以概括为三种：①用并列的复句表示出分类讨论后产生的结果的并列形式。②对分类讨论后的每一种可能性结果做并集后所产生并集形式。③对讨论结果求交集的交集形式。另外，教师要在学生掌握了分类讨论思想的基础上引导学生正确实践解题思路，具体从四个方面去做:①认真读题，明白考察知识点。②分类讨论对象，列举可能结果，不漏不重。③讨论列举出的所有问题的结论④归纳总结，从做过的题中总结规律和解题思路。数学研究各种属性的对象，所以研究结果也自然的产生差异，对不同的对象需要采用不同的研究思想，或者研究过程中出现了不同的状况，这时就需要采用分类研究思想，其实分类讨论思想的本质就是逻计划分思想，如果学生可以将分类讨论思想和具体解题步骤融会贯通，那么他们一定可以争取在再次遇到这类题的时候，在更短的时间里，以更快的速度求得答案。 龙源期刊网

分类讨论思想在导数中的应用

发表时间：2017-11-28T16:54:40.277Z 来源：《教育学》2017年9月总第127期 作者： 王丽霞

[导读] 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围。

甘肃省兰州市永登县第一中学 730300

摘 要：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母

的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点

和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

关键词：导数 分类讨论 应用

对含有字母参数的函数在确定其单调性时，一般要根据字母的取值范围进行分类讨论，其方法是以函数在定义域内的极值点为分界点把定义域划分为若干个区间，在不同区间上确定导数的符号，对极值的确定也要根据字母的取值进行讨论。

例1：已知函数f（x）=1nx+a（1-x）。

1.讨论分f（x）的单调性。

2.当分f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围。

分析：求解一个函数在无穷区间上的最值时，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，画出函数大致图像，然后借助图像得到函数最大值。

对f（x）=1nx+a（1-x）求导，得f`(x)= -a，讨论a的情况，判断f`(x)的正负，进而判断函数的单调性。其次，利用1的情况判断函数取得最值的情况，再利用最大值f（ ）>2a-2，进而求出实数a的取值范围。

例2：已知函数f（x）= 。

1.求函数f（x）的单调区间。

2.设g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）上存在函数极值点，求实数a的取值范围。