导数问题常见的分类讨论典型例题

导数中分类讨论的三种常见类型

高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，

而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对

研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出

结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.

几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思

想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对

于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根

据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.

类型一：导函数根的大小比较

实例1：求函数3211

32a

fxxxaxa

，xR的单调区间.

分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对

函数3211

32a

fxxxaxa

进行求导可以得到导函数

'21fxxaxa，观察可知导函数可以因式分解为

'211fxxaxaxax，由此可知方程

'0fx有两个实根

1xa，

21x，由于a的范围未知，要讨论函数

3211

32a

fxxxaxa

的

单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a，1a，1a三种情况

进行讨论：

当1a时，

fx，'fx随x的变化情况如下：x



,aa



,1a-1



1,

'fx+0_0+



fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数

fx的单调递增区间为

,a和

1,，单调递减区间为

,1a.

当1a时，'0fx在R上恒成立，所以函数

fx的单调递增区间为



,，没有单调递减区间.

当1a时，

fx，'fx随x的变化情况如下：x



,1-1



1,aa



,a

'fx+0_0+



fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增

- 1 -

答案详解 - 2 -

- 3 - ：

- 4 -

- 5 - 本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）求出比较其与的大小，得到的单调性表，于是得到的极值。

（2）将代入到中，并求得当时，此时恒成立，即在单调递增，同理可以得到在上为增函数，则原不等式可化为在上恒成立，令，对其求导得知若为减函数时其导数恒小于，便可得到的取值范围。

（3）若存在，使得假设成立，也即在上不是单调增或单调减，故，对求导得到其极小值点为，由于解得此时，此时需证明当，使得即可，此时可取，发现成立，故的取值范围为。

- 6 -

答案详解

（Ⅰ），由是的极值点得，所以。于是，定义域为，，函数在上单调递增，且。因此，当时，； 当时，。

所以，在上单调递减，在上单调递增。

（Ⅱ）当，时，，故只需要证明当时，。当时，函数在单调递增，

又，，故在有唯一实根，且。当时，；当时，；从而当时，取得最小值。由得：，，故。

综上：当时，。

解析:

本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。

（Ⅰ）先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

（Ⅱ）由分析知，只需证明当时，，此时通过分析函数单调性，求得即可得证。

- 7 -

例题5：

函数。

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时，。

答案详解

（Ⅰ）的定义域为，（）。当时，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增。又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点。

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，。故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为。由于，所以。

故当时，。

解析:

本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。

（Ⅰ）求导得出的表达式，根据其表达式，对进行分类讨论。当时，可知没有零点；当时，可知单调递增，且存在使得而，因此存在唯一零点。

a－ a2－4 2 a＋ a2－4 2

导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用.

题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．

（1） 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．

(2) 极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．

(3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．

已知函数 f(x)＝x 1 g(x)＝alnx(a∈R)． － ， x

(1) 当 a≥－2 时，求 F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；

(2) 设 h(x)＝f(x)＋g(x)，且 h(x)有两个极值点为 x ，x ，其中 x ∈ 1 ，求 h(x )－h(x

)的最

1 2 1 (0， ] 1 2 2

小值．

[审题程序]

第一步：在定义域内，依据 F′(x)＝0 根的情况对 F′(x)的符号讨论；

第二步：整合讨论结果，确定单调区间；

第三步：建立 x1、x2 及 a 间的关系及取值范围；

第四步：通过代换转化为关于 x1(或 x2)的函数，求出最小值．

[规范解答] (1)由题意得 F(x)＝x 1 alnx， － －

x

x2－ax＋1 其定义域为(0，＋∞)，则 F′(x)＝ ，

x2

令 m(x)＝x2－ax＋1，则 Δ＝a2－4.

1 / 27 高考数学复习典型题型专题讲解与练习

专题83 导数综合题型复习归类

【题型一】利用导数求极值

【例1】

已知函数321()13fxxtxx在R上不存在极值点，则实数t的取值范围是（ ）

A．,1(),)1(B．(1,1)C．(,1][1,)D．[1,1]

【答案】D

【分析】首先求导数，根据0，即可求得实数t的取值范围.

【详解】2()21fxxtx，因为函数()fx在R上不存在极值点，所以()fx在R上没有变号零点，所以2Δ440t所以11t，所以实数t的取值范围是[1,1]．故选：D．

【例2】

若函数e2sinxfxxa存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）

A．2,2B．2,2C．2,2D．22,

【答案】C

【分析】由()fx存在变号零点，结合三角函数的性质得出a的取值范围.

【详解】()e(2sin2cos)e2sin4xxfxxxaxa

令()0fx，得2sin4xa，2sin[2,2]4x 2 / 27 因为函数e2sinxfxxa存在极值点，所以(2,2)a，即(2,2)a选：C

【例3】

函数222lnfxaxxx有两个不同的极值点12,xx，若不等式12()()fxfx恒成立，则实数的取值范围是

A．4ln26,B．4ln26,

C．4ln3ln2,D．4ln3ln2,

【答案】B

【分析】由题可得Δ14010aa，再用a 表示出12xx，12xx，进而可得112ln2aa，构造函数2ln24gxxxx，利用导数求最值即得.