含参导数问题常见的分类讨论

设ｇ（ｎ）为＿，’（　在区ｌ司ＬＯ，２　上的最小值，写出　ｇ（口）的表达式．　分析：本题中的参数哆含在解析式中，如何寻求　讨论的切入点？仿前面两例，根据用导数求最值的　一般程序将此题解下去．　解：函数的定义域为［ｏ，２］，　（　）一√　＋丢　一　—３．Ｚ：＇－ａ（．ｚ＞Ｏ），　令／（ｚ）一。，得　一号，显然号是否在定义域　［Ｏ，２］内成为我们分类讨论的标准．　１．若号≤ｏ，即ｎ≤ｏ，，（ｚ）在［ｏ，２］上单调递增，　所以ｇ（口）一ｆ（ｏ）一０．　２．若０＜３＜２，Ｂ９０＜ｎ＜６，　）在［ｏ＇号］上　单调递减，在（号，２］上单调递增，　所以ｇ（ａ）一，（号）＝一考　号．　３．若詈≥２，即ａ≥６，ｆ（ｘ）￣Ｅｏ，２］上单调递减，　所以ｇ（口）一，（２）一　（２－－ａ）．　ｒＯ＇口≤Ｏ＇　综上所　㈦一｛一　，　【　（２一　），口≥６．　反思：本题根据用导数求最值的一般程序时，将　驻点ｚ一号和定义域区间［ｏ，２］的关系作为讨论参数　的切入点．　例３　已知函数，（ｚ）一一一２ａｘ　．当　∈［Ｏ，１］　时，关于　的不等式Ｉｆ（ｚ）１＞１解集为空集，　求所有满足条件的实数ｎ的值．　解：由题设知，当　∈［ｏ，１］时，『４ｘ。一４ａｘ『≤１恒　成立，即Ｊ　４ｘ。一４ａｘ　Ｊ…≤１，所以必须求出函数Ｊ　４ｘ。　一４ａｘｌ的最大值，但此时可转化为函数４ｘ　一４ａｘ的　最值问题．　记Ｆ（ｘ）　４ｘ。一４ａｘ　傅　（ ｚ～４　Ｌ　１２（ｚ一了１Ｆ　１２ｘ　４ａ　１２　３＊２　。）冷Ｆ　由于　（　）一　～　（。一了ｎ），令　（ｚ）一０，根据方程Ｆ　（ｚ）＝０的根存在与否及方程根　与区间［ｏ，１］的关系进行分层次讨论．　１．当口≤Ｏ，Ｆ　（　）≥Ｏ，得到Ｆ（　）在区间［Ｏ，１］上　是增函数，Ｆ（ｚ）≥Ｆ（Ｏ）一０，所以ｌ　Ｆ（　）ｌ＝Ｆ（　），１　Ｆ　（　）ｌ，…一Ｆ（１）一４—４口≥４，不满足条件；　２．当口＞０，因为Ｆ　（　）一１２ｘ。一４ａ一１２　（　一√　）（计　），再根据　＇１］　的关系讨论，　＿—一　Ｉ　（１）当√号＜１即ｏ＜口＜３时，Ｆ（　）在　ｒ　ｒ一１　１ｏ，√号ｊ上递增，又Ｆ（ｏ）一０，不难想象Ｆ（ｚ　的图　像为以下两种情形：　，，　０　序ｌ　‘　：　ｉ　Ｉ　｛，：　Ｊ　』　Ｄ　一　ｉ　借助于图像的翻转变换，可得对应的ｆＦ（　）ｆ图　像为以下两种情形ｔ　Ｊ　ｙ　Ｄ　１　ｉ　ｙ　Ｄ　一　于是ｌ　Ｆ（　）ｌｍａｘ—ｍａｘ｛一Ｆ（√号），Ｆ（１））一　ｍａｘ｛号。　，　｝，　（下转第２９页）　．Ｉ・．Ｉ●　过程，而学生如果能经常的经历这种过程，就能够把　自己的思维从底层提升到高层，这种教学对教师的教　学设计及课堂教学相应的提出了较高的要求．我们在　巍　教学中，要处理好知识与能力、过程与方法、情感态度　与价值观的关系要重视基础知识、基本技能的教学，　但不能把知识技能作为唯一的目标；教学中要关注学　习的结果，更要关注学习的过程和学习的方法；要关　注学生的情感体验；要密切联系学生的生活和社会现　实，面向全体学生，因材施教．　概念韵教学应该是自然的、水到渠成的，学生自　，　己能想到的．概念教学的核心是概括，以一些典型的　事例为载体，引导学生进行分析、归纳、抽象、概括等　一系列思维活动，从而获得概念，学生必须经过概念　的形成过程．　（上接第８３页）　由ｌＦ（　）｝…≤１，　’　得　（　）一号ａ　≤　①　ｌＦ（１）≤４～４口≤１　②　解①得：。≤百３，解②得：ｎ≥丢，故ｎ一÷．　（２）当√詈≥１即口≥３时，ｚ∈［ｏ，１］，Ｆ　（ｚ）≤　０，Ｆ（ｚ）在［Ｏ，１］上递减，Ｆ（　）≤Ｆ（ｏ）一。　于是ＩＦ（－ｚ）Ｉ…一－－Ｆ（１）：４ａ一４≥８　与题意矛盾．　ｔ　’　综上所述：。一｛．　反思：１．本题根据用导数求最值的一般程序时，　将方程Ｆ　（　）一０的根存在与否及方程根与区间［Ｏ，　１］的关系分别作为讨论参数ｎ的切入点（分层次讨　论）；同时可将步骤２（１）中　Ｆ（　）与Ｆ（１）的大，Ｊ、作为讨论的切入点，　但此处用数形结合的思想避免了讨论．　２．本题也可用分离参数法，避免对参数ａ分类　讨论：　ｌ　４ｘ。一４ａｘ　Ｊ≤１，所以～１≤４ｘ　一４ａｘ≤１　，　ｚ一０时显然成立；　所以只需对任意的ｏ＜　≤１，ｚ。一忐≤ｎ≤ｚ。＋　赤…一（　）　而ｇ（　）一　一　４ｘ在（Ｏ，１］上单调递增，ｇ（－ｚ）…　一丢；　（　）一Ｘ２＋　，用求导法（或均值不等式）可求　得　（ｚ　一号，由（＊）得，｛≤ａ≤鲁ｏ￣ｏ（２一÷．　通过以上的讨论可以看到，我们要审时度势，适　时适宜地根据用导数求最大值与最小值的解题程序　在必要处来确定分类讨论的切入点．说得具体些：在　求驻点时厂（ｚ）一０，的根是否存在，是否在函数的定　义域内；在确定函数的单调性时，厂（　）的符号是否确　定；在确定函数的极值与闭区间端点处的函数值的大　小时，这些函数值的大小关系等等都是我们要考虑的　切入点，但要切忌漫无目的去讨论．正所谓“火候正当　处”才是“分类讨论时”．分类讨论是求解含参数问题　的基本数学思想，但与此同时，简化讨论甚至避免讨　论也要求我们在解题时做到警钟长呜．　．．・．．

维普资讯 专题突破　不完整．　３）区分参数讨论与变量讨论　按参数讨论是比较常见的，如下例．　一一．　例２解关于Ｘ的不等式｝　＞ｏ．　解ｎ＞１时，不等式的解集为　（一ｏｃｌ，１）Ｕ（ｎ，｝。。）；　ｃＬ一１时，不等式的解集为Ｒ；　ａ＜１时，不等式的解集为（一ｃｘ３，ｎ）Ｕ（１，＋ｃｘ３）．　彝篓茎　篙　墨　呈　意义，不是ｎ一１时无意义．　有时也需要按变量讨论，如下例．　帮　一．　毒　８例３　解关于　的不等式ｌ　一１｛＋ｌ　ｚ一２　ｌ＜３．　解　当　≥２时，不等式可化为２ｘ一３＜３，即　２≤ｚ＜３；　当１≤　＜２时，不等式可化为１＜３，即１≤　＜２；　当ｘ＜ｌ时，不等式可化为３—２ｚ＜３，即　Ｏ＜ｚ＜１：　综上不等式ｌ　ｚ一１　ｌ＋｛　一２　ｌ＜３的解集为　（０，３）．　讨论变量时要注意将各讨论的结果做并集．　４）恰当处理分类与整体运算　有时分情况讨论使得解题过程很繁琐．　例４（２００６年江西卷）若不等式　＋ｎｚ＋１≥　０对于一切Ｘ∈ｆ０，专１成立，则ａ的取值范围是一一　Ｑ　本题实质上要求函数厂（ｚ）一　。＋ｎ　＋１在　耪析Ｅｏ，　］上的最小值大于或等于ｏ．　当一号＞　１，即ｎ＜一１时，厂ｍ　一厂（　１）一　５十　ａ≥ｏ，所以一号≤ｎ＜一１　当ｏ≤～号≤号，即一１≤ｎ≤ｏ时，厂ｍ．　一　厂（一号）一１一　ｏ，２≥ｏ，所以一１≤ａ≤ｏ；　当一号＜ｏ，即ａ＞Ｏ时，ｆｍ　一厂（ｏ）一１＞ｏ，所以　综上ｎ的取值范围是卜　５，＋ｃｘ３）．　彝主　喜　毒嚣　最后　事实上，本题完全可以避免讨论．题干可以等价　转化为“不等式ｚ＋　≥一ｎ对于一切　∈（ｏ，专）成　立”，因为函数ｙ＝ｘ－ｔ－－　１－－：￣（ｏ，号］上是减函数，最小　值为厂（　１）一　５，所以导≥一ｎ，所以ｎ≥一＿量－．　变量分离有时可以避免分类讨论，化简解题　过程．‘　、ｒ　一　例５（２００６年江西卷）若ｎ＞０，ｂ＞０，则不等　式一６＜÷＜ｎ等价于（　）．　Ａ～｛＜Ｘ＜ｏ或ｏ＜ｚ＜　；　Ｂ一　＜　＜｛；　Ｃ　＜一　或　＞｛；　Ｄ　＜一｛或　＞　９　此题要用常规的解分式不等式移项通分的　析办法则很麻烦．将一６＜　＜。分成２个不　等式一６＜　＜ｏ与ｏ＜　＜。，然后用不等式的倒数　Ｘ　Ｘ　１）解含参数的不等式时，为了比较边值的大小，　需要讨论．如例２．　２）求闭区间上二次函数的最值，为了确定对称轴　与区间的位置需要讨论．如例４．　３）解二次型不等式时，考虑二次项系数的符号需　要讨论．　甲　一　譬　例６不等式ｎ　ｚ一２ａ　一１≥ｏ的解集Ａ不空，　求实数ｎ的取值范围．　解　当ａ＞０时，抛物线　—ｎ　一２ｎ　一１开口向　上，所以集合Ａ不空；　当ｎ一０时，Ａ一　；　当ａ＜０时，因Ａ≠　，所以△一４ａ　－Ｉ－４ａ≥０，得　ｎ≤一１．　‘　综上，当ｎ≤一１或ａ＞０时，不等式　ａＸ　一２ａｘ一１≥Ｏ的解集不空．　本题也可考虑先求Ａ一　时ｎ的范围，再做Ａ在　Ｒ内的补集．　４）解指对数不等式，底为参数时需要讨论．　例７解关于　的不等式ｌ。ｇｄ（１一　）＞１．　解当ｎ＞１时，原不等式等价于１一÷＞ｎ，解　得　＜　＜ｏ；　当ｏ＜ｎ＜１时，原不等式等价于ｏ＜１一÷＜口，　解得１＜ｚ＜　・　５）等比数列求和时，公比ｑ一１的情况不可遗忘．　理化　不要过分的醉・　于放任自由，一点也不加以限制的自由，它的害处与危险实在不少　

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含参数问题分类讨论中的关键词——临界值

作者：周昌建

来源：《内蒙古教育·理论研究版》2010年第03期

近年来含参数问题在高考中屡见不鲜,解法主要有参数分离和对参数分类讨论。本文主要谈谈对参数分类讨论的两类问题。一类是解含参数的不等式,另一类是定函数在动区间上的最值问题与动函数在定区间上的最值问题。笔者在平时的教学研究中发现,这两类问题都是数形结合的思想来解决,关键问题是如何找出参数的临界值。

一、解含参数的不等式。

解含参数的不等式,总是通过对参数的分类讨论来解不等式,那么如何对参数进行分类讨论,对参数的分类有什么依据?通常的解法是先对二次项系数进行讨论,再分别对进行讨论。这种解法太繁琐,是嵌套式分类,很容易造成分类不全或分类不准确,而且最后总结时容易乱。教学中发现,如果令二次项系数等于,再令得到参数的临界值,那么再分类讨论时就会有条理,解起来就很容易。

例1:解不等式。

分析:首先二次项系数含参数,肯定要讨论与的大小,是还是。这关系到不等式是一元二次不等式还是一元一次不等式?是一元二次不等式时,图像的开口方向是向上还是向下?其次对的讨论,就是图像与轴的交点情况。最后结合图像得到解集。

本题可以令二次项系数,再令,得到和两个临界值。两个临界值将数轴分为部分,即:两个点和三个区间。此时,可以将参数范围分为:

,然后再进行讨论。

解:不等式可化为:

(1)当时,,对应方程的两根为且,此时不等式的解集为;

(2)当时,不等式可化为:,此时不等式的解集为;

(3)当时,,对应方程的两根为且,此时不等式的解集为; 龙源期刊网

(4)当时,不等式可化为:,此时不等式的解集为;

(5)当时,对应方程的两根为且,此时不等式的解集为。

导数中分类讨论的三种常见类型

高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，

而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对

研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出

结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.

几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思

想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对

于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根

据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.

类型一：导函数根的大小比较

实例1：求函数3211

32a

fxxxaxa

，xR的单调区间.

分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对

函数3211

32a

fxxxaxa

进行求导可以得到导函数

'21fxxaxa，观察可知导函数可以因式分解为

'211fxxaxaxax，由此可知方程

'0fx有两个实根

1xa，

21x，由于a的范围未知，要讨论函数

3211

32a

fxxxaxa

的

单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a，1a，1a三种情况

进行讨论：

当1a时，

fx，'fx随x的变化情况如下：x



,aa



,1a-1



1,

'fx+0_0+



fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数

fx的单调递增区间为

,a和

1,，单调递减区间为

,1a.

当1a时，'0fx在R上恒成立，所以函数

fx的单调递增区间为



,，没有单调递减区间.

当1a时，

fx，'fx随x的变化情况如下：x



,1-1



1,aa



,a

'fx+0_0+



fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增