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线性代数第四章练习题答案

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线性代数第四章练习题答案

第一篇：线性代数第四章练习题答案

第四章

二

次

型

练习4、1

1、写出下列二次型的矩阵

2（1）f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x32x2x3；

（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x22x1x32x1x42x3x4。

解：（1）因为

2

f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)022所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：02011011210x1x2x3, 21。0（2）因为

0f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)1101所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为：11***11010x1x2x3x4，10。10

2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： 11（1）2121201212；

（2）21201211212112012012。12102

T解：（1）设X(x1,x2,x3)，则

1f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)21212021222x1x2x3 

=x122x32x1x2x1x34x2x3。（2）设X(x1,x2,x3,x4)T，则

01

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2101211212112012012121x1x2x3x4 

2=x2x4x1x22x1x3x2x3x2x4x3x4。 练习4、2

1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x24x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 2

A=2021202。0A的特征方程为

det(EA)=

20202=(2)(254)=0，12由此得到A的特征值12，21，34。

对于12，求其线性方程组(2EA)X0，可解得基础解系为

1(1,2,2)T。

对于21，求其线性方程组(EA)X0，可解得基础解系为：

2(2,1,2)T。

对于34，求其线性方程组(4EA)X0，可解得基础解系为：

3(2,2,1)T。

将1,2,3单位化，得

11111(,122T,)，3332123T

2212(，3323)，3令

33(,21T,)，33132

P=(1,2,3)=323231323232，3132则

PTAP=diag(-2,1,4)=0001000。4作正交替换X=PY，即

122xyyy3121333212

x2y1y2y3，333x2y2y1y3123333二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形：

222

2y1y24y3。

（2）类似题（1）方法可得：

12 P=0121212121201T，PAP=020120200，202即得标准形：2y222y3。

（3）类似题（1）的方法可得： 2

P=3231323232322T，PAP=0301305000，1222即得标准形：2y15y2y3。

2、用配方法将下列二次型化为标准形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x12x25x32x1x22x1x36x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x32x2x3。解：（1）先将含有x1的项配方。

f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2x3)+(x2x3)－(x2x3)+2x2+6x2x3+5x3

22=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3，22222再对后三项中含有x2的项配方，则有

22222

f(x1,x2,x3)=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1x2x3)+(x22x3)。

1TT设Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=002211012，0令Y=BX，则可将原二次型化为标准形y1y2。

（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方。令

x1y1y2x11

x2y1y2，即x2=1xyx0333110001y1y2。y3则原二次型化为

f(x1,x2,x3)=2(y1y2)(y1y2)+4(y1y2)y3 =2y12－2y2+4y1y3+4y2y3

=2(y1y3)2－2(y2y3)2，1TT设Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=0001011，02令Z=BY，则可将原二次型化为标准形2z122z2。

（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形： 4z14z2z3。

2223、用初等变换法将下列二次型化为标准形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x12x24x32x1x24x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x13x2x32x1x22x1x36x2x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x36x2x3。（此题与课本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 1

A=1012202。4112010024001100100012110024001100100010110000。221于是

110AE=100122010024001100100令

1

C=0011022，1作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形：f(x1,x2,x3)=y12y2。

（2）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

2f(x1,x2,x3)= y124y2y3。

（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

f(x1,x2,x3)= 2y12

4、已知二次型

22cx32x1x26x1x36x2xf(x1,x2,x3)=5x125x212y26y3。

22的秩为2。求参数c的值，并将此二次型化为标准形。

解：二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=1315333。c因为A的秩为2，令detA=0，可得c=3。

222即

f(x1,x2,x3)=5x15x23x32x1x26x1x36x2x3

也就是

5A= 1315333，322通过初等变换法，即可将其化为标准形：4y29y3。

5、设2n元二次型 f(x1,x2,,x2n)=x1x2nx2x2n1xnxn1 试用可逆线性替换法将其化为标准形。

解：令 x1y1y2n1x2y2y2n10xnynyn

1，P=xn1ynyn1xyy2n122n101xyy12n2n01011110111010，01即作正交变换X=CY，二次型f(x1,x2,,x2n)可化为标准型：

22y12ynyn1y2n。

223x32ax2x3(a>0)通过正交变换化为标准

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x123x2225y3，求a的值及所作的正交替换矩阵。型fy122y2222解：因为原二次型可化为fy12y25y3，可知原二次型的矩阵的特征值为

1，2和5。

而原二次型的矩阵为 2

A=0003a0a。3故A的特征方程为

det(EA)=

0000a3a=(2)(69a)=0。

223因此将此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。

对于11，求其线性方程组(EA)X0，可解得基础解系为

1(0,1,1)。

T对于22，求其线性方程组(2EA)X0，可解得基础解系为：

2(1,0,0)。

对于35，求其线性方程组(5EA)X0，可解得基础解系为：

T

3(0,1,1)。

T将1,2,3单位化，得

11111(0,12,12)，T

2212(1,0,0)，1212T

3故正交替换矩阵为：

33(0，)，T0P=(1,2,3)=21210001。212练习4、3

1、判别下列二次型是否为正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=5x16x24x34x1x24x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=10x12x2x38x1x224x1x328x2x3；

2222（3）f(x1,x2,x3,x4)=x1x24x37x46x1x34x1x44x2x3

2x2x44x3x4。解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=205226262002。45262由于5>0，=26>0，202=84>0, 4即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为

10

A=41242141214。1由于

1042141214=-3588<0，|A|=412故此二次型不为正定的。

（3）二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 10

A=320122324222。27由于

101232=-9<0，03故此二次型不为正定的。

2、当t为何值时，下列二次型为正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=x14x2x32tx1x210x1x36x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1x25x32tx1x22x1x34x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=2x1x2x32x1x2tx2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 1

A=t5t4353。1由于

1tt412=4t，tt4353=t230t105，15但易知不等式组

24t0

2

t30t1050无解，因此，不论t取何值，此二次型都不是正定的。

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第四章练习题

第四章练习题

1 / 10 第四章 会计核算软件的操作要求

一、单项选择题

1.在系统管理有增加操作员的权力的是（ ）。

A.账套主管 B.系统管理员admin C.普通操作员 D.账套主管和系统管理员admin

2.使用总账系统，在日常账务处理中最频繁的工作是（ ）凭证。

A.输入 B.审核 C.修改 D.记账

3.使用总账系统时，正确的处理过程是（ ）。

A.输入凭证→审核凭证→出纳签字→登记账簿→查询账簿

B.输入凭证→出纳签字→审核凭证→登记账簿→查询账簿

C.输入凭证→出纳签字→登记账簿→查询账簿→审核凭证

D.出纳签字→审核凭证→输入凭证→查询账簿→登记账簿

4.使用总账系统输入凭证时，可以输入（ ）的凭证。

A.任何月份和日期 B.巳结账月份 C.超过系统日期 D.未结账月份

5.使用总账系统输入凭证时，对凭证编号的要求是（ ）。

A.任意编号 B.按凭证类别按月进行顺序编号 C.按凭证类别顺序编号 D.按月顺序编号

6.下列报表中不在账务处理系统中编制和输出的是（ ）。

A.资金日报表 B.科目汇总表 C.试算平衡表 D.资产负债表

7.在总账系统中填制凭证，关于输入方向和金额的叙述，下列不正确的是（ ）。

A.分录的每一条记录的金额方向唯一 B.金额不能为“零”

C.红字以“-”号录入 D.不能有多借多贷的明细科目

8.在总账中填制凭证，系统有自动检查借贷方平衡关系的功能，不平衡的凭证（ ）。

A.不能保存 B.强行保存 C.不能退出 D.不能放弃

9.使用总账系统，会计科目建立的顺序是（ ）。

A.先建立下级科目，再建立上级科目 B.先设明细科目，再设一级科目

C.建立不分顺序 D.先建立上级科目，再设下级

10.根据国家统一的会计制度，会计核算软件应当具有自动进行（ ）的功能。

A.数据备份 B.操作密码修改 C.银行对账 D.凭证金额录入

(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

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第四章 线性方程组

§4-1 克拉默法则

一、选择题

1．下列说法正确的是（ C ）

A.n元齐次线性方程组必有n组解；

B.n元齐次线性方程组必有1n组解；

C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；

D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.

2．下列说法错误的是（ B ）

A。当0D时，非齐次线性方程组只有唯一解;

B。当0D时，非齐次线性方程组有无穷多解;

C。若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D;

D.若非齐次线性方程组有无解，则0D.

二、填空题

1．已知齐次线性方程组1231231230020xxxxxxxxx有非零解,

则 1 ， 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D，

则方程组有唯一解ix iDD .

三、用克拉默法则求解下列方程组

1．832623xyxy

解：

832062D

123532D,2821263D

所以，125,62DDxyDD

2．123123123222310xxxxxxxxx (完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

解：2131121121221303550111010rrDrr

11222100511321135011011Drr,

212121505213221310101101Drr，

31212250021122115110110Drr

所以, 3121231,2,1DDDxxxDDD

3．21241832xzxyzxyz

线性代数第四章题目及答案

线性代数第四章题目及答案

一、选择+填空（64课时）

1. 向量(2,3,2)T在基1(1,1,1)T，2(0,1,1,)T，3(0,0,1)T下的坐标为:

(2,1,-1) .

2. 已知三维空间3R的两组基为：1(1,1,0)T， 2(0,1,1)T， 3(1,0,1)T和

1(1,0,3)T，2(1,1,0)T，3(1,2,1)T，则由基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵为（ 101111210 ）.

3. 设312312311212,,,,R和是的两组基，其中，，3123，则32132关于基321321,,,,和的坐标为1,-2,3 和

-1,5,-3 。

4. 向量组1(1,2,2)T，2(1,0,1)T，3(5,3,7)T单位正交化后为：（ 1/32/32/32/32/31/32/31/32/3 ）。

5. 向量(1,2,1,1)T与(3,1,0,1)T的内积为（ 2 ）.

6. 向量(1,2,2,3)与向量(3,1,5,1)的夹角为 。

7. 下列集合是向量空间的是（ CEG ）

A. 2323{(1,,,,)|,,,}TnnVxxxxxxR

B. 123123{(,,)|321}TVxxxxxx

C. 2323{(0,,,,)|,,,}TnnVxxxxxxR

D. 1231{(,,)|0}TVxxxx E. 齐次线性方程组解空间{|0}VXAX F. 非齐次线性方程组解空间{|}VXAXb G. 123123{(,,)|320}TVxxxxxx

8. 若向量524,,，则 5 ，标准化之后为 524555,, 。。

第四章练习题 2

第四章练习题 2

1.练习资金筹集业务的核算

资料：甲公司发生下列经济业务。

(1)某单位投入一批原材料，总成本200 000元。

(2)向银行借入3个月期借款100 000元存入银行。

(3)向银行借入3年期借款800 000元存入银行（该借款是到期一次还本付息方式）。

(4)从银行存款中支付本季度短期借款利息32 000元，本季度前两个月已计提短期借款利息21 000元。

(5)计提长期借款利息90 000元，其中固定资产在建期间的借款利息70 000元，固定资产完工交付使用并已办理竣工手续后的利息20 000元。

(6)以银行存款偿还短期借款50 000元，长期借款100 000元。

(7)收到某公司投入本企业商标权一项，投资双方确认的价值为200 000元。

(8)按规定将资本公积30 000元转作资本金。

(9)接受外商捐赠汽车1辆，价值120 000元。

要求：根据上述资料编制会计分录。

2.练习供应过程业务的核算

资料：某工厂某年10月份发生下列经济业务：

（1）购进1台设备，买价80 000元，运输费400元，包装费300元，所有款项均以银行存款支付，设备交付使用。

（2）向大明工厂购进甲材料1 500千克，单价30元，计45 000元，增值税7650元；乙材料2 000千克，单价15元，计30 000元，增值税5100元，全部款项以银行存款支付。

（3）用银行存款支付上述甲、乙材料的运杂费7 000元。

（4）向宏天工厂购进丙材料3 000千克，单价25元，计75 000元，增值税12750元，款项尚未支付。

（5）用现金支付丙材料的运费及装卸费3 000元。

（6）甲、乙、丙三种材料发生入库前的挑选整理费3 250元（按材料重量比例分摊），用现金支付。

（7）本期购进的甲、乙、丙材料均已验收入库，现结转实际采购成本。

要求：（1）请计算甲、乙、丙三种材料的总成本和单位成本。（运杂费和挑选整理费按材料重量分摊）。