北京市西城区2013-2014学年高二上学期期末考试数学文试题(扫描版)

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分1718 19 20 21 22分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( ) A. 1B.C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( ) A. 4B. 3C. 2D. 13．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-4．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ∀∈R ，20x < B. x ∀∈R ，20x ≤ C. x ∃∈R ，20x ≥D. x ∃∈R ，20x <5． “n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6．关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( ) A. 若//a M ，//b M ，则//a b B. 若//a M ，b a ⊥，则b M ⊥ C. 若b M ⊂，且a b ⊥，则a M ⊥D. 若a M ⊥，//a N ，则M N ⊥7．已知12,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点， 8AB =，则22AF BF +=( ) A. 2B. 10C. 12D. 148．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. 8B. 6C. 4D.839．已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN BN =⋅，则动点M 的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别 是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1DG ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.俯视图侧视图正视图F D A BC A 1B 1C 1D 1E G12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.13. 双曲线221412x y -=的离心率为_______；渐近线方程为_______. 14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是边长为1的正方形，1D B 与平面ABCD 所成的角为45， 则棱1AA 的长为_______；二面角1B DD C --的 大小为_______. 16. 已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点. 给出下列结论：① 存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ② ②不存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点,M N ，使得90OMN ∠=；④不存在点,M N ，使得90OMN ∠=. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN AB ⊥.18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.ABCDNPMDABCA 1B 1C 1D 119.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在ABE ∆内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平ABECDP·ABCA 1B 1C 1E面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由．21.（本小题满分13分）已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C于,A B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率； （Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.22.（本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 2，y =14. π:2 15.45 16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. 证明：（Ⅰ）取PD 中点Q ，连结AQ,NQ .因为 N 是PC 中点， 所以 1//2NQ DC . ………………2分 又M 是AB 中点，1//2AM DC , 所以 //AM NQ ，四边形AQNM 是平行四边形. ………4分 所以 //MN AQ . ………………5分 因为 MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ， 所以 //MN 平面PAD . ………………7分（Ⅱ）因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分又 ABCD 是矩形，所以 AB AD ^. (9)ABCDNPM Q分所以 AB ^平面PAD , ………………10分 所以 AB AQ ^. ………………11分又 //AQ MN ,所以 AB MN ^. ………………13分18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，依题意，有a =， ………………2分即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分 所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分 （Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分 另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，1=， ………………11分解得34k =-， ………………12分 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o ，即AC BC ^. ………………2分 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,， 所以 1=(222)AB ,,-uuu r ，=(110)CE ,,u u r ， 1=(202)CA ,,uuu r. ………………4分又因为 10AB CE ?uuu r uu r ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………………6分所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1A CE . ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1A CE 的法向量， ………………9分11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r 3=. ………………12分 设直线11A C与平面1A CE 所成的角为q ， 则111sin =cos C A ,AB狁uuu u r uuu rq 3=. 所以直线11AC 与平面1A CE 所成角的正弦值为3. ………………13分 20. （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结OD,OE ， ………………1分因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^. 因为 四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，AB //CD ， 所以 四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC ， 又 AB BC ^，所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ，………………3分 所以 AB DE ^. ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ，所以 OE OD ⊥. ………………5分 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系则 (100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-，(00)E .所以 =(101)AD ,,-uuu r ,=(01)DE -u u u r， ………………6分设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则1100DE ADìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n n 11110z x z ìï-=ïÛíï-+=ïî， ………………7分 令11z =，则11x =,13y =.所以1n =(11)3,. ………………8分 同理求得平面BCE 的法向量为2n =(10),-， ………………9分设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212×=n n n n 7=.所以平面ADE 与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为7. ………………10分 （Ⅲ）解：设22(0)Q x ,y ,，因为11()22P -，所以2211()22PQ x ,y =+--uu u r ，=(100)CD ,,uu u r,=(01)DE -uu u r . 依题意00PQ CD PQ DEìï?ïíï?ïïîuu u r uu u ruu u r uuu r ，，即22102102x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïïïî………………11分 解得 212x =-，2y = ………………12分符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分所以，存在点1(0)23Q ,-，使PQ ^平面CDE，此时3PQ =.…………14分 21.解：（Ⅰ）设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+，由 2(1),12,y k x y x =+⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分因为 20k ≠，且2242(212)4144480k k k ∆=--=->，所以，((0,3)k ∈. ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122122k x x k -+=，121x x =. ………………5分 因为线段AB 中点的横坐标等于2，所以2122622x x k k+-==， ………………6分解得k =符合题意. ………………7分 （Ⅱ）依题意11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， ………………8分又 21112y x =，22212y x =，所以 222112()y x x y y y =-+-， ………………9分12212112y y x y y y y =--- (10)分因为 221212144144y y x x ==， 且12,y y 同号，所以1212y y =， (11)分所以 2112(1)y x y y =--， ………………12分所以，直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分22. 解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ………………2分 所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ………………4分所以AC =………………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B ， 因为3OB OP =，P 在线段OB上，所以3P，求得AC =6分 所以OAC ∆的面积等于4=23391⨯. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ， 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+， 所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km mk k -++， ………………9分所以2263(,)2121km m B k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=. ……………10分计算AC ==…………11分=9m. ………………12分 因为点O 到AC 的距离O AC d -=. ………………13分所以，OAC ∆的面积2OACO AC S AC d ∆-1=⋅4299m 1=⨯=. 综上，OAC ∆面积为常数49. ………………14分高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：1084591801。

北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学（文）试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设集合{1,2,3,4,5},{1,3,5}==U M ，则U C M ＝（ ） A. UB. {2，4}C. {1，3，5}D. {1，2，4}2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1=+y xB. 2=-y xC. 1=y xD. 3=y x3. 已知{}n a 是等比数列，142,16==a a ，则公比q 等于（ ） A.14B.12C. 2D. 44. 命题“对任意实数x ，都有x>1”的否定是（ ） A. 对任意实数x ，都有x<1 B. 不存在实数x ，使x ≤1 C. 对任意实数x ，都有x ≤1 D. 存在实数x ，使x ≤15. “1=a ”是“函数2()(1)=-f x x 在区间[,)+∞a 上为增函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知31ln 4,log ,12===-x y z ，则（ ） A. <<x z y B. <<z x yC. <<z y xD. <<y z x7. 函数1()=-x f x a a的图象可能是（ ）ABCD8. 设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ）A. =x eB. ln 2=xC. 2=x eD. 1=x e9. 已知数列{}n a 的前n 项和21,1,2,3,=-=n n S n ，那么数列{}n a （ ）A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列也不是等比数列10. 函数32()=-+f x ax bx cx 的图象如图所示，且()f x 在0=x x 与1=x 处取得极值，给出下列判断：①0>c ；②(1)(1)0+->f f ；③函数()'=y f x 在区间(0,)+∞上是增函数。

北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 复数31i i-等于（ ）A.1122i + B.1122i -C. 1122i -+ D. 1122i -- 2. 3244A C -＝（ ）A. 6B. 12C. 18D. 203. 计算定积分2xdx ⎰＝（ ）A. 2B. 1C. 4D. －24. 已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为13，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为25。

现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ） A.215B.25C.715D.355. 从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ） A. 24个B. 20个C. 18个D. 15个6. 如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，那么应假设（ ） A. 数列{}n a 的各项均大于2B. 数列{}n a 的各项均大于或等于2C. 数列{}n a 中存在一项,2k k a a >D. 数列{}n a 中存在一项k a ，2k a ≥7. 已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（ ）A. 21398C CB. 21398A AC. 21397C CD. 21397A A8. 由直线2,,033x x y ππ===与曲线sin y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A. 1B.12C.2D.9. 若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ） A. 80种B. 40种C. 36种D. 20种10. 函数32()=-+f x ax bx cx 的图象如图所示，且()f x 在0=x x 与1=x 处取得极值，给出下列判断：①0>c ；②(1)(1)0+->f f ；③函数()'=y f x 在区间(0,)+∞上是增函数。

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 抛物线24y x =的准线方程为_______________.12. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_____________________. 13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______.14. 圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点(2,0) 的圆的方程为____________________.15. 已知F 为双曲线22:14y C x -=的一个焦点， 则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为__________. 16. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融 化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的 深度.降水量以m m 为单位.为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所 示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的 雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为 m m .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o，F 为CE 上的点. （Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．侧（左）视图俯视图AEBCDF18.（本小题满分13分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C . （Ⅰ）求△ABC 中AC 边上的高线所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC 外接圆的方程.19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，E 为AC 中点. （Ⅰ）求证：1//AB 平面1BC E ； （Ⅱ）求证：平面1BC E ⊥平面11ACC A .20.（本小题满分13分）如图，,A B 是椭圆22:13x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为31时，求线段AC 的长；（Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率.AB CEA 1B 1C 121.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且3PD PC BC ===，CD =E 为PB 中点.（Ⅰ）求三棱锥P BCD -的体积； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设M 是线段CD 上一点，且满足2DM MC =，试在线段PB 上确定一点N ，使得//MN 平面PAD ，并求出BN 的长.22.（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴交于点P .（Ⅰ）若直线AB 经过抛物线24y x =的焦点，求,A B 两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P 的坐标为(4,0)，弦AB 的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷PABCDEM·高二数学（文科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.B3.D4. C5. D6.D7.A8. A9.C 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 1x =- 12. 2,20x x x ∀∈-≥R 13.8314. 22(2)(2)4x y -+-= 15. 2 16. 1三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC . ………………2分 又因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ， ………………4分所以//AD 平面BCE . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分 又因为90AEB ∠=o，所以AE BE ⊥. ………………9分 所以AE ⊥平面BCE . ………………11分 又BF ⊂平面BCE ， ………………12分 所以AE BF ⊥. ………………13分18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(0,0)A ，(3,1)C ，所以直线AC 的斜率为13k =， ………………2分 又AC 边上的高所在的直线经过点(4,0)B ，且与AC 垂直，所以所求直线斜率为3-， ………………4分 所求方程为03(4)y x -=--，即 3120x y +-=. ………………5分 （Ⅱ）设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=, ………………6分因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则AEBCDF2220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩………………9分解得4D =-，2E =，0F =. ………………12分所以△ABC ∆外接圆的方程为22420x y x y +-+=. ………………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1CB ，与1BC 交于点F ，连结EF . ………………1分因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以四边形11BCC B 是矩形，点F 是1B C 中点. ………………3分又E 为AC 中点，所以1//EF AB . …………5分 因为EF ⊂平面1BC E ，1AB ⊄平面1BC E ，所以1//AB 平面1BC E . ………………7分 （Ⅱ）证明：因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥. ………………9分 又因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，从而1CC BE ⊥. ………………11分 所以BE ⊥平面11ACC A . ………………12分 因为BE ⊂平面1BC E ， ………………13分 所以平面1BC E ⊥平面11ACC A . ………………14分20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知(0,1)A -，直线AC 的方程为13y x 1=-. ………………1分 由221,313y x x y 1⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2230x x -=， ………………2分 解得32x =或0x =（舍）， ………………3分所以点C 的坐标为31(,)22-， ………………4分所以AC ==………………5分ABCEA 1B 1C 1F（Ⅱ）依题意，设直线AC 的方程为1y kx =-，0k ≠.由221,13y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(31)60k x kx +-=， ………………7分 解得2631kx k =+或0x =（舍）， ………………8分 所以点C 的横坐标为2631kk +，设点D 的坐标为00(,)x y ，则02331kx k =+， ………………9分 0021131y kx k -=-=+， ………………10分因为以AB 为直径的圆恰过点D ，所以1OD =，即222231()()13131k k k -+=++. ………………11分 整理得23k 1=， ………………12分所以k =. ………………13分21. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知3PD PC ==，CD =△PCD 是等腰直角三角形，90CPD ∠=o. ………………1分 因为平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD . ………………2分 三棱锥P BCD -的体积1119()3322PCD V S BC PC PD BC ∆=⨯=⨯⨯⨯=. ………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PCD ， 所以BC ⊥PD .因为90CPD ∠=o，即PD PC ⊥，所以PD ⊥平面PBC . ………………5分 因为CE ⊂平面PBC ，所以PD CE ⊥. ………………6分 因为PC BC =，E 为PB 中点，所以CE PB ⊥， ………………7分 因为PD PB P =I ，所以CE ⊥平面PBD . ………………8分（Ⅲ）解：在面PCD 上，过M 作//MF PD 交PC 于F .在面PBC 上，过F 作//FN BC 交PB 于N ，连结MN . ………………9分PABCDE M· FN因为//MF PD ，MF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以//MF 平面PAD .因为////FN BC AD ，FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//FN 平面PAD .所以平面//MNF 平面PAD . ………………10分 从而，//MN 平面PAD . ………………11分由所作可知，△CMF 为等腰直角三角形，CM =所以1CF =，2PF =. ………………12分△PNF ,△PBC 均为等腰直角三角形，所以PN =PB =.所以N 为线段PB 上靠近点B 的三等分点，且BN =. ………………13分22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ， ………………1分依题意，设直线AB 方程为(1)y k x =-，其中0k ≠. ………………2分将24y x =代入直线方程，得2(1)4y y k =-， 整理得2440ky y k --=， ………………4分 所以4A B y y =-，即,A B 两点的纵坐标之积为4-. ………………5分 （Ⅱ）设:(0)AB y kx b k =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .由24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩ 得222(24)0k x kb x b +-+=. ………………6分 由222241616416160k b kb k b kb ∆=+--=->，得1kb <. ………………7分所以12242kb x x k -+=，2122b x x k=. ………………8分设AB 中点坐标为00(,)x y ，则120222x x kb x k +-==， 002y kx b k=+=， ………………9分 所以弦AB 的垂直平分线方程为2212()kby x k k k--=--， 令0y =，得222kbx k -=+. ………………10分由已知2224kbk-+=，即222k kb =-. ………………11分AB ====== ……………12分当2112k =，即k =AB 的最大值为6. ………………13分当k =b =；当k =b =均符合题意.所以弦AB 的长度存在最大值，其最大值为6. ………………14分。