2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第一节函数及其表示 理

(新课标)2015高考数学二轮复习-第二章-函数的概念与基本初等函数I-函数及其表示-理(含2014试题)【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I 函数及其表示理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,12,5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)[答案] 1.D[解析] 1.∵y=g(x)关于x+y=0对称的函数为-x=g(-y),即y=-g-1(-x),∴y=f(x)=-g-1(-x),对换x,y 位置关系得:x=-y-1(-y),反解该函数得y=-g(-x),所以y=f(x)的反函数为y=-g(-x).2. (2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②[答案] 2.A[解析] 2.f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f( x),①正确.4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)[答案] 4.C[解析] 4.要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定义域为∪(2,+∞).5. (2014山西太原高三模拟考试（一），1) 已知U={y|}, P={y|}, 则CUP=( )[答案] 5. A[解析] 5. U={y|}=, P={y|}=, 所以6.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，5) 为了得到函数的图像，可将函数的图像（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移[答案] 6. C[解析] 6.因为，把其图象平移个单位长得函数图象，所以，解得，故可将函数的图像向左平移得函数的图像.7. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.[答案] 7. B[解析] 7. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.8. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.[答案] 8.A[解析] 8. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示一、函数及映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射二、函数的定义域、值域、相等函数1．定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域．2．值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．三、函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．四、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．1．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是一个函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 A2．下列函数中，与函数y＝x相同的是()A．y＝B．y＝()2C．y＝lg 10x D．y＝2log2x【答案】 C3．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.【答案】＋(x≠0)4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.【答案】5．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则?RM为()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)【答案】 B6．(2013·浙江高考)已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.【答案】10考向一[010]求函数的定义域(1)(2014·郑州模拟)函数y＝＋(x－1)0的定义域是()A．[－3,1)∪(1,2]B．(－3,2)C．(－3,1)∪(1,2) D．[－3,1)∪(1,2)(2)(2013·大纲全国卷)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为() A．(－1,1) B.C．(－1,0) D.【答案】(1)C(2)B规律方法1 1.本例?1?在求解中，常因遗忘“00无意义”而错选B；本例?2?在求解中；常因不理解f?x?与f?2x＋1?的关系而错选A或C.2.?1?求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.?2?对抽象函数：①若函数f?x?的定义域为[a，b]，则函数f?g?x??的定义域由不等式a≤g?x?≤b求出.②若已知函数f?g?x??的定义域为[a，b]，则f?x?的定义域为g?x?在x∈[a，b]时的值域.对点训练(1)函数f(x)＝的定义域为()A．(－1,2)B．(－1,0)∪(0,2)C．(－1,0) D．(0,2)(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________．【答案】(1)C(2)考向二[011]求函数的解析式(1)已知f(x＋1)＝lg x，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)．规律方法2求函数解析式常用以下解法：?1?待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；?2?换元法：已知复合函数f?g?x??的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；?3?构造法：已知关于f?x?与f或f?－x?的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f?x?.对点训练(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；(2)若函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是正比例函数，g(x)是反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，求F(x)的解析式．(3)已知2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求f(x)的解析式．考向三[012]分段函数及其应用(1)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝，则f＝________.(2)设函数f(x)＝若f(x)＞4，则x的取值范围是________．.【答案】(1)－2(2)(－∞，－2)∪(2，＋∞)．规律方法3 1.本例(2)求解用了两种不同的方法．其中方法一是常规方法，方法二采用图解，其结果更加直观，但画图时务必尽量准确．2．应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．对点训练(1)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25 D．60,16(2)已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1)【答案】(1)D(2)B思想方法之二分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：(1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．————[1个示范例]————[1个对点练]————。

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)7～8页)1. (必修1P24练习5改编)若f(x)＝x －x2，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________，f(n ＋1)－f(n)＝________． 答案：14 －2n2. (必修1P29习题8改编)若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：则f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x 值是________． 答案：3 1解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x ＝1.3. (必修1P31练习4)下列图象表示函数关系y ＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x 的值都有唯一一个y 与之对应． 4. (必修1P31练习3改编)用长为30cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S(cm2)表示为矩形一边- 2 -长x(cm)的函数，则函数解析式为____________，其函数定义域为______________. 答案：S ＝x(15－x) x ∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x>0，15－x>0.5. (必修1P32习题7改编)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－12x ，x ≥0，1x ，x<0，若f(a)＝a ，则实数a ＝________．答案：23或－1解析：若a≥0，则1－12a ＝a ，得a ＝23；若a<0，则1a ＝a ，得a ＝－1.1. 函数的定义一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ． 2. 函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数． 3. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法． 4. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集． 5. 映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射． [备课札记]题型1 函数的概念例1 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数． (1) A ＝B ＝N*，对应法则f ：x→y ＝|x －3|，x ∈A ，y ∈B ；(2) A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：x→y ，这里y2＝x ，x ∈A ，y ∈B ； (3) A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x→y ，这里y3＝x ，x ∈A ，y ∈B ；(4) A ＝{(x ，y)|x 、y ∈R}，B ＝R ，对应法则：对任意(x ，y)∈A ，(x ，y )→z ＝x ＋3y ，z ∈B.解：(1) 对于A 中的元素3，在f 的作用下得到0，但0不属于B ，即3在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．(2) 集合A 中的一个正数在集合B 中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3) 由y3＝x ，即y ＝3x ，因为A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x→y ，符合函数对应． (4) 由于集合A 不是数集，所以此对应法则不是函数． 备选变式（教师专享）下列说法正确的是______________．(填序号) ① 函数是其定义域到值域的映射；② 设A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y ＝x －2＋1－x ，x ∈A ，y ∈B ，满足条件的对应法则f 构成从集合A 到集合B 的函数；③ 函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点有且只有1个；④ 映射f ：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x ，则这样的映射f 共有1个． 答案：①④解析：②中满足y ＝x －2＋1－x 的x 值不存在，故对应法则f 不能构成从集合A 到集合B 的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中若不含x ＝1的值，则其图象与直线x ＝1没有交点． 题型2 函数的解析式例2 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lgx ，求f(x)； (3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x≠0，求f(x)；(4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)． 解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2， ∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t2－4， ∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4， ∴ f(x)＝x2－4(x≥2)． (2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) 由2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ，①- 4 -将x 换成1x ，则1x 换成x ，得 2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f ()x ＝2x ，②①×2－②，得3f(x)＝4x －2x ，得 f(x)＝43x －23x .(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax2＋bx ＋1)＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f(x)＝x2－x ＋1.变式训练求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x2－x ＋1，求f(x)； (2) 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x2＋1x2，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)． 解：(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ， ∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t ＋2， ∴ f(x)＝2x2－3x ＋2.(2) (配凑法)∵ f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x2＋1x2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，∴ f(x)＝x2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1， ∴ f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(4) (消去法)当x ∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x)，x ∈(－1，1)．题型3 分段函数例3 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．解：(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x ≥1.所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－32，不合，舍去； 当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－34，符合． 综上可知，a ＝－34.备选变式（教师专享）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y. (1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．解：(1)y ＝⎩⎨⎧2x ()0≤x≤4，8()4<x ≤8，－2x ＋24()8<x≤12.(2)y ＝f ()x 的图象如图．- 6 -1. (2013·扬州期末)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log2x ，x>0，则f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log21＝0. 2. (2013·南通一模)定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈(－2，0)时，f(x)＝4x ，则f(2 013)＝________． 答案：14解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(－1)＝4－1＝14.3. (2013·连云港期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x [0，1]，则使f(f(x))＝2成立的实数x 的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或x ＝2}解析：当x ∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x ，要使f(f(x))＝2成立，只需x ＝2.综上，实数x 的集合为{x|0≤x≤1或x ＝2}．4. (2013·苏南四市一模)已知函数f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f ⎝⎛⎭⎫－52－2＝________．答案：8解析：因为f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4＝4－⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4.设g(x)＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4，则g(－5－x)＝－⎝⎛⎭⎫1x ＋4＋1x ＋3＋1x ＋2＋1x ＋1，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f ⎝⎛⎭⎫－52－2＝8.1. 已知函数f(x)＝alog2x －blog3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f(2 014)的值为________．答案：0解析：∵ f ⎝⎛⎭⎫12 014＝alog212 014－blog312 014＋2＝－(alog22 014－blog32 014)＋2＝4，∴ f(2 014)＝alog22 014－blog32 014＋2＝(－2)＋2＝0.2. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，2x ，x ≤0，则满足不等式f(f(x))>1的x 的取值范围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x ∈(0，1]，f(f(x))＝log22x ＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log2x ≤0，f(f(x))＝2log2x ＝x>1，不符合；当x>1时，log2x>0，f(f(x))＝log2(log2x)>1，解得x>4.3. 集合M ＝{f(x)|存在实数t 使得函数f(x)满足f(t ＋1)＝f(t)＋f(1)}，则下列函数(a 、b 、c 、k 都是常数)：① y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)；② y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)； ③ y ＝ax(0<a<1)；④ y ＝kx (k≠0)；⑤ y ＝sinx.其中属于集合M 的函数是________．(填序号) 答案：②⑤解析：对于①，由k(t ＋1)＋b ＝kt ＋b ＋k ＋b ，得b ＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t ＋1)2＋b(t ＋1)＋c ＝at2＋bt ＋c ＋a ＋b ＋c ，得t ＝c2a ，符合题意；对于③，由at ＋1＝at ＋a1，所以at ＝a a －1，由于0<a<1，at ＝a a －1<0，无解；对于④，由k t ＋1＝k t ＋k ，无解；对于⑤，由sin(t＋1)＝sint ＋sin1，取t ＝2k π，k ∈Z ，符合题意．综上，属于集合M 的函数是②⑤. 4. 已知f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是⎝⎛⎭⎫－1，13，且对任意α、β∈R 恒有f (sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －13－2(a ＞0)，∵ 函数f(x)对任意α、β∈R 恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cos β＝－1，则f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴ f(1)＝0，∴ a ＝32，∴ f(x)＝32x2＋x －52.1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；② 根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．请使用课时训练（B ）第1课时（见活页）.[备课札记]。