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本科生毕业论文题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录1.引言 (1)2. 数学期望的定义及其性质 (2)2.1数学期望的定义 (2)2.2数学期望的基本性质 (2)2.3数学期望的计算方法 (3)3 数学期望在实际生活中的应用 (7)3.1在医学疾病普查中的应用 (7)3.2数学期望在体育比赛中应用 (8)3.3数学期望在经济问题中的应用 (10)3.3.1 免费抽奖问题 (10)3.3.2 保险公司获利问题 (11)3.3.3 决定生产批量问题 (11)3.3.4 机器故障问题 (12)3.3.5 最佳进货量问题 (13)3.3.6 求职决策问题 (14)4 结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)摘要数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。
数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。
在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。
其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。
本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。
特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。
条件期望的性质和应用摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。
本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。
关键词：条件期望；定义；性质；应用条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。
近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。
现代概率论总是从讲述条件期望开始的。
鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。
通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。
条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。
总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。
1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。
定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j jj P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x xx xF x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
关于条件数学期望主要说一下条件数学期望（Conditional Expectation）吧。
以前本科的时候学过这玩意儿，但是当时理解太肤浅。
今天看了一遍别的书，颇有心得。
理科生讲究定义明确，概念清晰，下面就从定义开始。
Definition： The conditional expectation of X given Y=y is: ①E(X|Y=y) = ∑xf(x|y) for discrete case f or discrete case ②E(X|Y=y) = ∫xf(x|y)dx for continuous case 需要注意的一个问题是，EX是一个数值，而E(X|Y=y)是一个关于y 的函数。
比较： EX是对所有ω∈Ω，X(ω)取值全体的加权平均；而E(X|Y=y)是局限在ω∈{ω:Y(ω)=y}时，X(ω)取值局部的加权平均。
按照Y的不同取值，整个样本空间Ω被划分为n个互不相容的事件（Ω=∑B(j)）。
因此E(X|Y=y)是在某一个{B(j)，j∈N}上X(ω)的局部加权平均.E(X|Y)引入 显然E(X|Y=y(1)),E(X|Y=y(2)),....(不能打下标太不方便了，小括号里面的“1”，“2”都是下标，诸君凑合着看吧)，依赖于Y=y(j),即依赖于全局样本空间的划分。
这样，从样本空间Ω及对ω∈Ω可以变化的观点看，有必要引进一个新的随机变量，记为E(X|Y)。
对于这个随机变量E(X|Y)，当Y=y时它的取值为E(X|Y=y)，称随机变量E(X|Y)为随机变量X关于随机变量Y的条件数学期望。
这里借用一本教材上的说法：Before we observe Y,we don't know the value of E(X|Y=y) so it is a random varible which we denote E(X|Y).随机变量E(X|Y)是随机变量Y的函数，事实上，它只是局部平均{E(X|Y=y(j)),j∈N}的统一表达式。
随机过程中的条件期望应用随机过程是随机事件随着时间变化的数学模型。
它是概率论与统计学中的重要概念，被广泛应用于各个领域。
在随机过程中，条件期望是一个有用的工具，用来描述在给定一些条件的情况下，某个事件的平均值或期望值。
1. 条件期望的定义在随机过程中，条件期望是指在给定一些条件时，某个事件的平均值。
设X是一个随机变量，Y是另一个随机变量。
那么给定随机变量Y=y的条件下，X的条件期望E(X|Y=y)是在Y=y的条件下，X的平均值。
2. 条件期望的性质条件期望具有以下性质：- 线性性质：设a和b是实数，X和Y是随机变量，那么E(aX+bY|Y=y) = aE(X|Y=y) + bE(Y|Y=y)。
- 独立性质：如果X和Y是相互独立的随机变量，那么E(X|Y=y) = E(X)。
- 保持性质：如果X是一个可测函数，那么E(f(X)|Y=y) =f(E(X|Y=y))。
3. 条件期望在随机过程中的应用条件期望在随机过程中有广泛的应用，以下是其中的一些例子：3.1. 马尔可夫链马尔可夫链是一种随机过程，具有马尔可夫性质，即给定了前一个状态，下一个状态只依赖于当前状态。
在马尔可夫链中，条件期望可以用来计算给定当前状态的条件下，下一个状态的期望。
3.2. 随机游走随机游走是一种随机过程，表示随机漫步的模型。
在随机游走中，条件期望可以用来计算在给定当前位置的条件下，下一步移动的期望。
3.3. 排队论排队论是研究等待行列和相互竞争的问题的数学理论。
在排队论中，条件期望可以用来计算在给定一些条件下，等待时间、系统负载等指标的期望。
3.4. 信号处理在信号处理中，条件期望可以用来计算在给定一些条件下，信号的平均能量、功率等指标的期望。
4. 实际应用举例条件期望在实际应用中有着广泛的应用，以下是一些例子：4.1. 股票市场在股票市场中，投资者可以使用条件期望来估计某只股票未来的收益。
根据给定的一些条件，比如公司的财务状况、行业发展趋势等，可以计算出某只股票未来的收益的期望值。
概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。
条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。
本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。
一、条件期望的定义及性质条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为随机变量。
条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定条件下对随机变量进行求平均。
条件期望的计算公式如下：E(X|Y) = ∑[x P(X=x|Y)] （离散变量）E(X|Y) = ∫[x f(x|Y) dx] （连续变量）其中，P(X=x|Y)表示在给定随机变量Y的条件下，随机变量X取值为x的概率；f(x|Y)表示随机变量X在给定Y的条件下的概率密度函数。
条件期望的性质：1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望；2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) =E(X)；3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。
二、条件期望的计算举例为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过两个具体的案例来说明。
案例一：假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。
同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。
现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。
解决方法如下：根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。
假设随机变量Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。
如果我们已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的分布。
然后，根据条件概率计算条件期望即可。
案例二：现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。
我们要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。
解决方法如下：根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通期望，即E(Z|Y) = E(Z)。
条件数学期望及其应用The ways of finding the inverse matrix and it ’s applicationAbstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical.Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.0前言在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.1条件数学期望1.1条件数学期望的定义定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)(>A P ，这时为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 则称A i ii p x A X E |]|[∑=．为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）．定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)(>A P ，且X 在条件A 之下的条件分布密度函数为)|(A x f ．若⎰∞∞-∞<dx A X xf )|(称为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望．定义3 设),(Y X 是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{( =j i y x i i ， 联合分布列为,2,1,),,(====j i y Y x X P p i i ij ，在i y Y =的条件下X 的条件分布列为 ,2,1),|(|====i y Y x X P p i i j i 若 ∞<∑j i iip x|，则为随机变量X 在i y Y =条件下的条件数学期望．定义 4 设),(Y X 是连续型二维随机变量，随机变量X 在y Y =的条件下的条件密度函数为)|(|y x p Y X ，若∞<⎰∞∞-dx y x p x Y X )|(|，则称为随机变量X 在}{y Y =条件下的条件数学期望． 1.2条件数学期望的性质定理1 条件期望具有下面的性质：（1） )|()|()|(G bE G aE G b a E ηξηξ+=+， 其中R b a ∈,，且假定)|(G b a E ηξ+存在；（2） )()]|([ξξE G E E =；（3） 如果ξ为G 可测，则ξξ=)|(G E ； （4） 如果ξ与σ代数G 独立，则ξξE G E =)|(;（5） 如果1G 是σ代数G 的子σ代数，则)|(]|))|([(11G E G G E E ξξ=； （6） )(不等式Jensen 如果f 是R 上的下凸函数，则)|)(())|((G f E G E f ξξ=；定理2 条件期望的极限定理：（1）单调收敛定理：若s a n ..ξξ↑，则在})|({-∞>G E ξ上，则)|(lim )|(G E G E n n ξξ∞→=．（2）Fatou 引理：若s a Y n .,≤ξ，则在})|({-∞>G E ξ上，则)|(sup lim )|sup (lim G E G E n n ξξ=．（3） 控制收敛定理：若Y s a Y n ,.,≤ξ可积，且P s a n 或.,ξξ→，则0)|(lim =-∞→G E n n ξξ．1.3条件数学期望的求法在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论．方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解．例1设n ξξξ,,,21 时独立同分布随机变量．∞<ξE ，记∑==nk k S 1ξ，求n k S E k ,,2,1,|( =ξ．解 易证j i S E S E j i ≠=),|()|(ξξ．则 即方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的σ域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和．例 2 设有正态样本n X X ,,1 ),0(2σN ，统计量∑==ni k X T 1，求)|(2T X E k ．解 令∑==nk k X S 12，则)|(1)|(2T S E n T X E k =．作正交变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n X X X C Y Y Y Y 2121，其中C 为正交阵，第一行为)1,,1(nn ，则有n TI CC Y X Cov EY ===),(,0，即∑=nk k Y T 22与独立，k Yn k N ,,2),,0(2=σ，从而∑∑∑===+===nk k nk knk kY n T Y X S 2221212，2T 关于)(T σ可测，所以 由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于σ代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解． 1.4全期望公式设事件n B B B ,,,21 是一完备事件组，即n B B B ,,,21 互不相交，n k B P k ≤≤>1,0)(，且Ω=⋃=k nk B 1，由全概率公式有这时若∞<X E ,则有如同全概率公式一样，上式可称为全期望公式．若n B B B ,,,21 是一个完备事件组，则也有全期望公式 （注意，X 的密度有公式))()|()(1k nk k B P B x f x f ∑==．2条件数学期望的应用2.1条件数学期望在实际问题中的应用条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用，在实际问题中也有大量应用．例如人们常说体育要从娃娃抓起．某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养，为我国篮球，排球运动准备后备力量．对一个运动员来说，他（她）的身高显然是一个非常重要的因素．于是问题产生了，在一大群各项素质（包括目前的身高）都差不多的七八岁的小朋友中，用什么办法来选拔一批将来（十年以后）身材会比较高的幼苗进行重点培养呢？科学工作者发现了小孩的足长与他（她）长大后的身高之间有密切的关系．我国的体育科研人员对16个省市的几万名青少年儿童进行了观测，建立了下述预测公式：成年身高=⨯k （少儿当年足长） （单位：cm ）其中系数k 对不同性别，不同年龄组的儿童有不同的数值，其具体数值如下表：你大概很想知道上述预测公式是如何建立的？理论依据是什么？其实这正是现在所讨论的条件数学期望，对n （n 取定）岁的少年儿童来说，成年后的身高为X ，当年足长为Y 则),(Y X 是一个二维随机变量．一般认为他们的联合分布是正态分布．如果我们已知Y 的值，可以近似地以Y 的条件下X 的条件数学期望来估计X 的值，即用]|[Y X E 作X 的预测值．这时]|[Y X E 是Y 的线性函数，这就是成年身高的预测公式．例3 一全自动流水线正常生产时，产品中的一等品率为1p ，二等品率为2p ，等外品（即次品）率为3p ，1321=++p p p ．为保证产品质量，厂方规定当生产出一件等外品时，该流水线即停工检修一次．已知首次检修之前共生产了n 件产品，求n 件产品中一等品件数的数学期望．解 设X 表示前n 件产品中一等品的件数，令}{件产品首次出现等外品第n A =．据题意是要求]|[A X E ．因为在条件A 下，前1-n 件产品中没有等外品，这时1-n 件产品中的一等品率是211p p p +，而二等品率是212p p p +，因此这是参数为),1(211p p p n +-的二项分布．即2111|)1(]|[p p p n kp A X E n k A k +-==∑-=．实际上我们认为在条件A 下，前1-n 次试验是1-n 重贝努里试验，试验成功（取到一等品）的概率是211/p p p +．从直观意义看这是明显的，这也正是直接讨论条件分布的简捷之处． 2.2全期望公式的应用例4 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p ，试验进行到出现首次成功时停止．求平均需试验多少次？解 设X 为首次成功需做试验的次数，问题是求EX ．定义 由全期望公式)0(]0|[)1(]1|[==+===Y P Y X E Y P Y X E EX ，已知p Y P p Y P -====1)0(,)1(，在1=Y ，即首次试验成功的条件下，自然有1=X ，因此1]1|[==Y X E ．在0=Y 即首次首次实验失败的条件下，从第二次实验开始可以看作重新开始，因此，EX Y X E +==1]0|[．第一项的1是已经试验了一次，以后的情况与从头开始一样．所以 )1)(1(EX p p EX +-+=， pEX 1=． 原来求数学期望需要知道分布，但在上例的做法中可以不必知道分布，充分利用了随机变量的特性，并借助全期望公式，简化了计算，这是真正有概率特点的做法．例5 设电力公司每月可以供应某电厂的电力服从]30,10[（单位：万度）上的均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从]20,10[上的均匀分布．如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每一万度电可以创造30万元利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径自行解决，每一万度电只有10万元利润．问该厂每月的平均利润为多大？解 设电力公司每月供应电厂的电力为X （万度），工厂每月实际需要的电力为Y （万度），工厂每月的利润为T （万元）．由题设条件知 于是当3020≤≤x 时，有 由式所以该工厂平均每月的利润为433万元． 2.3预测与回归对于二维随机变量),(Y X ，如果已知其中一个随机变量Y 的值，要根据这一信息对另一个随机变量X 的取值作出预测，这样的问题在人们的实践中可以说是比比皆是，常称它们为“预测问题”．前面我们提议用]|[Y X E 作为X 的预测值，这样做的依据是什么呢？一般地，我们可以选取Y 的一个函数)(Y g 作为X 的预测值．这时预测的误差是)(Y g X -，由于绝对值运算在数学上处理不方便，我们用2)]([Y g X -代替它．自然应该使误差尽可能地小，但2)]([Y g X -是一个随机变量，因此很自然的要求它的平均值2)]([Y g X E -尽可能地小．这样的准则就称为均方误差最小准则．假设),(Y X 为连续型二维随机变量，密度函数为),(y x f ，则对每个y ，当]|[)(y Y X E y g ==时，能使dx y x f y g x Y X )|()]([|2⎰∞∞--达到最小．因此取]|[)(Y X E Y g =时，2)]([Y g X E -达到最小，这就证明了，按照均方误差最小准则，]|[Y X E 是X 的最佳预测．这就是选取条件数学期望作X 的预测值的理论依据．对离散型情形也可用相同的方法论证上述结论．函数]|[)(Y X E Y g =称为X 关于Y 的回归函数．一般情况下，求)(y g 是比较困难的．因此，把预测问题简化，选取Y 的线性函数b aY +作为X 的预测值．同样采用均方误差最小准则，选取常数b a ,使得取最小值．我们早已知道，若a 固定，时，2][b aY X E --取最小值][aY X D -.我们只需求a ，使DX Y X a DY a aY X D +-=-),cov(2)(2 达到最小值，即a 应取为DYY X a ),cov(=， 我们称为X 关于Y 的回归直线．参考文献:[1] 中山大学数学系.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.2002. [2] 周概容.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.1984.[3] 茆试松.程依明.濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004. [4] 孙荣恒.应用概率论[M].科学出版社.2001.[5] 何声武.概率论与数理统计[M].经济科学出版社.1992.。
