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第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律 性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1） 当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2） 一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布： 二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ） 条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律 变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性 定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξL2、重要公式和结论离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列ξ个有序对（x,y），则称为离散型随机量。
ξ设=（X，Y）的所有可能取值为，ξ),2,1,)(,(L=jiyxji且事件{=}的概率为p ij,,称ξ),(jiyx),2,1,()},(),{(L===jipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分ξ布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2…y j…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…M M M M Mx i p i1…ijp…M M M M M这里p ij具有下面两个性质：（1）p ij≥0（i,j=1,2,…）；（2）.1=∑∑iji jp（1）联合分布连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数),(YX=ξ，使对任意一个其邻边),)(,(+∞<<-∞+∞<<-∞yxyxf分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有⎰⎰=∈DdxdyyxfDYXP,),(}),{(则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布ξξ密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)≥0;（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=.1),(dxdyyxf（2）二维随机变量的本质)(),(yYxXyYxX=====Iξξ（3）联合分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数},{),(yYxXPyxF≤≤=称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
第一章 概率论基础知识 §1.1.1 随机试验特点:1.可在相同条件下重复进行；2.试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
§1.1.2 样本空间定义: Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.基本事件:只含有一个样本点ω的事件,记为{ω}.两个特殊事件: 必然事件、不可能事件.§1.1.3 事件的关系及运算交换律 ,A B B A A B B A ==结合律 ()(),()()A B C A B C A B C A B C == 分配律 ()()(),()()()A B C AB AC A B C A B A C ==对偶律 ,AB AB AB AB ==§1.2.1 频率及性质:().n n A k k A kA f A n定义在次重复试验中，若事件发生了次，则称为事件发生的频数，称为事件发生的频率，记为频率的性质:()()()1211(1) 01(2)1; ()0;3,,,()().n n n rrr n i n i i i f A f f A A A r f A f A φ==≤≤Ω==∑；＝若为个两两互斥的事件，则§1.2.2 概率的公理化定义1.1211,,,P()P()i i i i A A A A ∞∞===∑对于两两互不相容的事件2. A,B AB ϕ=互斥（即）()()()P A B P A P B ⇒=+3. ()()()P A B P A P AB -=-4. ()()()()P AB P A P B P AB =+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+§1.3.1 古典概型（1）试验只有有限个可能结果;（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同；在古典概型中，若Ω中有n 个样本点，事件A 中有k 个样本点，则()k nP A =.Eg.两个基本的摸球模型:口袋中有N 只球，其中m 个红球，余下是白球,他们除颜色以外没有差别，现随机从中摸球n 次并观察摸出球的颜色，计算恰好摸到k 个红球的概率。
第三章 二维随机变量及其概率分布3.1 二维随机变量与联合分布函数一、二维随机变量1.定义：若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量。
二、二维随机变量的分布函数1. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
2. 联合分布函数的性质： （1）0≤F(x,y)≤1 , 且（a ）对任意固定的y ，F(-∞,y)=0； （b ）对任意固定的x ，F(x,-∞)=0； （c ）F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .（2）F(x,y)关于x 和y 均为单调非减函数，即（a ）对任意固定的y ，当x 1>x 2时，F(x 1,y)≤F(x 1,y); （b ）对任意固定的x ，当y 2>y 1时，F(x,y 1)≤F(x,y 1).（3）F(x,y)关于x 和y 均为右连续,即F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .（4）对于任意实数a 1<a 2 , b 1<b 2,有F(a 2,b 2)- F(a 2,b 1)- F(a 1,b 2)+ F(a 1,b 1)≥0三、二维离散型随机变量及其概率分布1. 定义：若随机变量(X,Y)只能取有限个或可数个值，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。
若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为(x i ,y i ),i ,j =1,2,…,则称P{X= x i ,Y= y j }= p i j (i ,j =1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布.3. p ij 满足下列性质：(1)0≤p ij ≤1 .(2)∑∑=ijij p 1 .4. (X,Y)的联合分布函数： F(x,y)=P{X ≤ x ，Y ≤ y}∑∑≤≤x x yy ij i j p . 5. 关于X 和Y 的边缘分布：关于X 的边缘分布律P{X= x i }=∑∞=1j ijp= p i · ( i =1,2,…) ，1.1=∑∞=i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=∑∞=1i ijp= p ·j ( j =1,2,…) ，11.=∑∞=j j p .四、二维连续型随机变量及其联合概率密度 1. 定义：如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdsdt t s f ),(，则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的概率密度或X 和Y 的联合概率密度函数. 2. 概率密度函数f(x,y)的性质：（1）f (x,y)≥0 . （2）1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .（3）若f (x,y)在点(x,y)连续,则有yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 （4）若D 为xoy 平面上一个区域,点（X,Y ）落入D 内的概率为⎰⎰=∈Ddxdy y x f D y x P ),(}),{(.3. 二维连续型随机变量(X,Y)X 的边缘概率密度函数为：f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),(Y 的边缘概率密度函数为：f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),(3.2条件分布与随机变量的独立性一、离散型随机变量的条件分布与独立性1.定义：设（X ，Y ）是二维离散型随机变量，当,0}{>=j y Y P,2,1,,}{},{}{========∙j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P jij j j i j i称其为在j y Y =条件下随机变量X 的条件概率分布. 类似的，定义在i x X =条件下随机变量X 的条件概率分布为,2,1,}{},{}{========∙j p p x X P y Y x X P X X y Y P i iji j i i j2. 独立性：若对（X,Y ）的所有可能取值（x i ,y j ），有}y }P{Y {},{j =====i j i x X P y Y x X P则称X 和Y 相互独立。
