第五章向量 5 (1)

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第五章5.1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理三角形法则平行四边形法则三角形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：__________.基础自测1．给出下列命题：①向量AB 与向量BA 的长度相等，方向相反；②AB ＋BA ＝0；③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．52．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC CB +=0，则OC 等于( )．A ．2OA OB -B ．+2OA OB -C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )．A ．a ，b 方向相同B ．a 与b 中至少有一个为零向量C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝04．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，共线的三点是__________．5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝__________(用a ，b 表示)．思维拓展1．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．2．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？提示：成立．3．若|a＋b|＝|a－b|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗？提示：如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形．一、向量的概念【例1】判断下列各命题是否正确．(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD，BC＝DA；(8)a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.方法提炼涉及平面向量的有关概念命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．请做[针对训练]1二、向量的线性运算【例2－1】已知：任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF＝12(AB＋DC)．【例2－2】如图所示，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)AD－AB；(2)AB＋CF.方法提炼三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；在△ABC中，当M为BC中点时，AM＝12(AB＋AC)应作为公式记住．请做[针对训练]3三、向量的共线问题【例3－1】设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．【例3－2】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．方法提炼1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．有时利用平面几何的知识，能使问题简单明了．请做[针对训练]2考情分析从近两年的高考试题来看，向量的线性运算及共线问题是高考的热点，尤其向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关的概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理交汇命题．预测2013年高考仍将以向量的线性运算，向量的基本概念为主要考点，重点考查向量加、减的三角形法则及平行四边形法则．针对训练1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．(3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．A ．aB ．bC ．cD ．03．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA＋λCB，则λ＝__________.4．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，t b，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？参考答案基础梳理自测知识梳理1．大小 方向 模 长度 0 0 为1个单位 平行 共线 平行 相等 相同 相等 相反2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|·|a | 相同相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa基础自测1．B 解析：②中AB ＋BA ＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB 与CD 所在直线还可能平行，故②③⑤错．2．A 解析：依题意得2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0，所以OC ＝2OA －OB .3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向．B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．排除A ，B ，C ，故选D.4．A ，B ，D 解析：AB ＋BC ＋CD ＝AD ＝3a ＋6b ，∵AD ＝3AB ，∴A ，B ，D 三点共线．5．b －12a 解析：BE ＝BC ＋CE ＝AD ＋12BA ＝b －12a . 考点探究突破【例1】解：(1)不正确，零向量方向是任意的；(2)不正确，两向量模相等，方向不一定相同；(3)不正确，要看向量方向是否相同；(4)不正确；(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同．【例2－1】证明：方法一：如图所示，CF∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴EA ＋ED ＝0，FB ＋FC ＝0.又∵BF ＋FE ＋EA ＋AB ＝0，∴EF ＝AB ＋BF ＋EA .①同理EF ＝ED ＋DC ＋CF ，②由①＋②得，2EF ＝AB ＋DC ＋(EA ＋ED )＋(BF ＋CF )＝AB ＋DC ，∴EF ＝12(AB ＋DC )． 方法二；如图所示，连接EB ，EC ，则EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，∴EF ＝12(EC ＋EB ) ＝12(ED ＋DC ＋EA ＋AB ) ＝12(AB ＋DC )． 【例2－2】解：(1)AD －AB ＝BD ＝OD －OB ＝d －b .(2)AB ＋CF ＝OB －OA ＋CO ＋OF ＝b －a －c ＋f .【例3－1】解：(1)证明：由已知得 BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，且BF ＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF ＝λBD ，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12.【例3－2】(1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB .∴AB 与BD 共线．∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝(λk －1)＝0.∴k ＝±1.演练巩固提升针对训练1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线，∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .①又∵b ＋c 与a 共线，∴存在实数λ2，使得∴b ＋c ＝λ2a .②由①得，b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－1，λ2＝－1.∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.3．23解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又AD ＝2DB ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA ＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 4．解：设OA ＝a ，OB ＝t b ，OC ＝13(a ＋b )， ∴AC ＝OC －OA ＝－23a ＋13b ， AB ＝OB －OA ＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，则存在实数λ，使AC ＝λAB ，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt .∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.。

82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。