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高一数学平面向量一、向量及向量的基本运算 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b BC a AB==,，则a +b =BC AB +=AC 。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a -+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
高中数学人教版平面向量教案一、引言平面向量是高中数学中的重要内容之一。
本教案将以人教版教材为基础，以平面向量的定义、运算和性质为主线，结合具体例题，帮助学生深入理解和掌握平面向量的基本概念和运算方法。
二、教学目标1. 理解平面向量的定义，掌握向量的表示方法。
2. 掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则。
3. 熟悉平面向量的基本性质和运算性质，能够灵活应用于实际问题的解决。
4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学抽象思维和推理能力。
三、教学内容1. 向量的定义和表示(1) 向量的定义(2) 向量的表示：坐标表示、标量表示和分量表示；(3) 向量的相等和零向量。
2. 向量的运算(1) 向量的加法：几何法和坐标法；(2) 向量的减法：几何法和坐标法；(3) 向量的数乘；(4) 向量的数量积：定义、运算法则和性质。
3. 平面向量的性质和应用(1) 零向量的性质；(2) 相反向量的性质；(3) 平行向量和共线向量的性质；(4) 向量的模长、单位向量和方向角的计算；(5) 向量运算在几何问题中的应用。
四、教学过程1. 导入部分向学生介绍平面向量的概念和重要性，引导学生思考与向量相关的实际问题，并让学生列举几个例子。
2. 向量的定义和表示(1) 在黑板上给出向量的定义：有大小和方向的量称为向量。
(2) 引导学生通过几何法和坐标法来表示向量，与学生共同讨论向量表示的不同方法和意义。
(3) 教师通过示例向学生解释向量相等和零向量的概念。
3. 向量的运算(1) 向学生介绍向量的加法，通过几何法和坐标法来解释加法的过程和规则。
(2) 类似地，向学生介绍向量的减法和数乘运算，让学生通过例题来深入理解和掌握运算法则。
(3) 提醒学生注意向量运算的几何意义和规律性。
4. 平面向量的性质和应用(1) 引导学生发现并探讨零向量的性质，了解零向量在运算中的特殊作用。
(2) 让学生通过实例了解相反向量的性质和应用。
第二十七教时教材：复习六——解斜三角形目的：巩固对正弦、余弦的掌握，并能较熟练地应用解决具体问题。
过程：一、复习：1︒两个定理 2︒两个定理能解决的问题 二、 例题：1．证明射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A证一：右边 =a aa acbc a c ab c b a b==-++-+22222222222= 左边 证二：右边 = 2Rsin B cos C + 2Rsin C cos B =2Rsin(B +C )=2Rsin A = a = 左边其余两式同 2．已知：在△ABC 中，∠A =45︒，AB =6，BC =2，解此三角形。
解一：232226sin sin sin sin sin =⨯==⇒==BC A AB C B AC A BC C AB ∴当∠C = 60︒时, ∠B = 75︒ ∴13sin sin +==A BBC AC ∴当∠C = 120︒时, ∠B = 15︒ ∴13sin sin -==ABBC AC 解二：设AC = b ，由余弦定理： 45cos 62)6(422b b -+=即：02322=+-b b 解得：13±=b再由余弦定理：21cos ±=C ∴∠C = 60︒或120︒, ∠B = 75︒或15︒3．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，判断△ABC 的形状。
解一：由正弦定理：B A BAA A AB B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即：∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B 即：A = B 或 A + B = 90︒ ∴△ABC 为等腰或直角三角形解二： 由题设：22222222222222sin cos cos sin ba Rb bc a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅-+-+⋅⇒= 化简：b 2(a 2 + c 2 - b 2) = a 2(b 2 + c 2 - a 2) ∴(a 2 -b 2)(a 2 + b 2 - c 2)=0 ∴a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形4．如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为 15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ， 求此山对于地平面的斜度θ。
第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和( a )+( a )+( a)=BC AB OA =a +a +a =3aPN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a讨论：1 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a| 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1 |λa |=|λ||a|2 λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立如果λ 0，μ 0，a 0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ 0，μ 0，a当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a0，b 0且λ 0，λ 1时1 当λ>0且λ 1时在平面内任取一点O ，作 a b 1λa11B A λb则 OB a +b 1OB λa+λb由作法知：∥11B A 有 OAB= OA 1B 1 ||=λ|11B A | ||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1a aaaO A B Caa a aMPOABB 1A 1||1OB λ AOB= A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb ∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a (a 0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量若a 与b 共线(a 0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b同向时b =μa当a与b 反向时b = μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2B 1。
第五章平面向量§5.1 向量教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量，或作出某一向量的相等向量．教学重点：向量的概念及共线向量，相等向量的判定．教学难点：向量的有关概念．教学过程知识平台本节知识是本章的基础，学习时要注意理解向量的概念，掌握数量与向量的区别和联系．情景平台1．我们把既有又有的量叫做向量．2．向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的．向量也可用字母表示，或用表示向量的有向线段的表示（如表示AB）（点A是向量起点）．3．向量AB的大小，也就是向量AB的（或称），记作．长度为0的向量叫做，记作，长度为1个单位长度的向量叫做向量．4．向量叫做平行向量，向量a，b，c平行记作，规定0与任一向量，任一组平行向量都可平移到，因此，平行向量也叫做．5．长度相等且方向相同的向量叫做，向量a与b相等记作．【小结】1°向量具有两方面属性：方向、模长；2°向量的表示方法．能力平台6．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．（1）温度有零上、零下之分，所以温度是向量．（2）单位向量都相等．（3）任一向量与它的平行向量都不相等．．（4）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB DC7．下列各题的条件是结论的什么条件？（1）a ＝b 是a ∥b 的 ；（2）|a |＝|b |是a ∥b 的 ；（3）|a |＝|b |是a ＝b 的 ．【小结】1°向量有大小和方向双重属性；2°要注意单位向量和零向量这两个特殊的向量；3°注意向量平行与直线平行的区别．创新平台8．如图，设O 是正六边形的中心，（1）分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量； （2）是否存在与向量OA 长度相等，方向相反的向量； （3）与向量OA 共线的向量有哪些？【小结】1°数学中研究的向量是与起点无关的自由向量，即只考虑向量大小和方向； 2°学向量时，要充分利用图形．作业：教材P 98 习题5.1 T1，T2，T3后记:。
高中数学平面向量优秀教案
教学内容：平面向量
教学目标：学生能够掌握平面向量的概念，运用向量进行计算，并解决相关问题。
教学重点：向量的基本概念、向量的加减法、向量的数量积、向量的夹角等。
教学难点：向量的叉乘、向量的投影、向量的几何应用等。
教学准备：教案、幻灯片、黑板、彩色粉笔、教学实物等。
教学步骤：
1.导入：通过引入日常生活中的例子，引出向量的概念。
通过图示向学生展示平面向量的
定义和表示方法。
2.向量的表示：通过具体的例子，向学生展示向量的表示方法，包括向量的起点、终点、
模长和方向。
3.向量的加减法：通过具体的例子，向学生介绍向量的加减法，包括平行向量和共线向量
的相加、相减及其性质。
4.向量的数量积：引入向量的数量积的概念，通过具体的例子，向学生介绍数量积的定义
和性质，并进行相关计算。
5.向量的夹角：引入向量的夹角的概念，通过具体的例子，向学生介绍向量的夹角的定义、计算及其性质。
6.课堂练习：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
7.课堂总结：对本节课的内容进行总结，概括向量的基本概念、运算规律及其应用，鼓励
学生多做题多练习，加深对向量的理解。
课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
教学反思：在教学过程中，要注重引导学生探究，激发学生的学习兴趣，同时要及时调整
教学方法，帮助学生克服学习难点，提高学习效果。
以上是针对高中数学平面向量的一份优秀教案范本，希望对您有所帮助。
第十九教时教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。
过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 二、例一 证明在△ABC 中A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径 证略 见P159注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边例三 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒ 当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===B C b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ C=75︒当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒ 例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161例五 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1 求 1︒角C 的度数 2︒AB 的长度 3︒△ABC 的面积 解：1︒cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒ 2︒由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=103︒S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab例六 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒,∠BCD=135︒ 求BC 的长 解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222DCBA即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例七 （备用）△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。
高中数学教案平面向量高中数学教案：平面向量引言：本教案旨在帮助高中学生系统地理解和应用平面向量的基本概念和运算法则。
通过教案的学习，学生将能够掌握平面向量的加法、减法、数量乘法、点乘、叉乘等运算，进而应用于解决几何和向量相关的问题。
一、平面向量的定义和基本性质（字数500）1.1 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用大写字母表示，如AB。
1.2 平面向量的坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即(x, y)。
其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
1.3 平面向量的模：平面向量AB的模表示为|AB|，用于表示向量的长度或大小。
1.4 平面向量的方向角和方向余弦：平面向量AB与x轴的夹角称为方向角，表示为α；方向余弦为向量在x轴上的投影与向量模的比值。
二、平面向量的运算（字数500）2.1 平面向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即A +B = C，其中A、B、C分别为两个平面向量的坐标和。
2.2 平面向量的减法：平面向量的减法也采用平行四边形法则，即A -B = D，其中A、B、D分别为两个平面向量的坐标和。
2.3 数量乘法：平面向量与实数的乘法，即k × A = E，其中k为实数，A和E分别为平面向量的坐标和。
2.4 平面向量的数量积（点乘）：平面向量A和B的数量积（点乘）表示为A · B，计算公式为A · B = |A| × |B| × cosθ，其中θ为A和B的夹角。
2.5 平面向量的叉乘：平面向量A和B的叉乘表示为A × B，计算公式为A × B = |A| × |B| × sinθ，其中θ为A和B的夹角。
三、平面向量的应用（字数500）3.1 平面向量在几何中的应用：通过平面向量的运算法则，可以解决几何中的向量共线、垂直、平行等性质问题。
3.2 平面向量在力学中的应用：平面向量可以表示物体受力的大小和方向，进而应用于解决平衡力、合成力等力学问题。
第十五教时教材：平面向量的数量积平移的综合练习课目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理有关长度、角度、垂直的问题。
过程：一、复习：1．平面向量数量积的定义、运算、运算律2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式 二、 例题例一、a 、b 均为非零向量，则 |a +b | = |a -b | 是 的………………（C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若|a +b | = |a -b | ⇔ |a +b |2 = |a -b |2 ⇔ |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = |a |2 - 2a ⋅b + |b|2 ⇔ a ⋅b = 0 ⇔ a ⊥b例二、向量a 与b 夹角为3π，|a | = 2，|b | = 1，求|a +b |⋅|a -b |的值。
解：|a +b |2 = |a |2 + 2a ⋅b + |b |2 = 4 + 2×2×1×cos 3π+ 1 = 7∴|a +b | =7, 同理：|a -b |2 = 3, |a -b | =3 ∴|a +b |⋅|a -b | =21 例三、 中，= a ，= b ，= c ，= d ， 且a ⋅b = b ⋅c = c ⋅d = d ⋅a ，问ABCD 是怎样的四边形？ 解：由题设：|a |⋅|b |cos B = |b |⋅|c |cos C = |c |⋅|d |cos D = |d |⋅|a |cos A ∵|a | = |c | , |b | = |d | ∴cos A = cos B = cos C = cos D = 0 ∴ 是矩形 例四、 如图△ABC 中，= c ，BC = a ，CA = b ， 则下列推导不正确的是……………（D ） A ．若a ⋅b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
第十三教时教材：平面向量的数量积的坐标表示目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
过程：一、复习：1．平面向量的坐标表示及加、减、实数与向量的乘积的坐标表示 2．平面向量数量积的运算 3．两平面向量垂直的充要条件 4．两向量共线的坐标表示： 二、 课题：平面两向量数量积的坐标表示1．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ， 则：i ⋅i = 1，j ⋅j = 1，i ⋅j = j ⋅i = 0 2．推导坐标公式：∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j∴a ⋅b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ⋅j + x 2y 1i ⋅j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2从而获得公式：a ⋅b = x 1x 2 + y 1y 2例一、设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：a ⋅b = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2 3．长度、角度、垂直的坐标表示1︒a = (x , y ) ⇒ |a|2 = x 2 + y 2 ⇒ |a | =22y x +2︒若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+-3︒ co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=4︒∵a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）4．例二、已知A (1, 2)，B (2, 3)，C (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形。
证：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴⋅=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥∴△ABC 是直角三角形三、补充例题：处理《教学与测试》P153 第73课例三、已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 。
［人教版］高一数学第五章 平面向量 第五童平面向量 敎材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
a®：一、 开场白：课本P93 （略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老一鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向借，了。
二、 提出课题：平面向量1-意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲 量等 注意：1。
数量与向量的区别：.数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较 大小：向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2。
从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优度通性的数学 体系，用以研究空间性质。
2. 向，量•的表示方法： 1。
几何表示法：点一射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长 记作（注意起讫） 2。
字母表示法：48可表示为a （印刷时用黑体字）记作：|A8| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1。
零向量一■长度（模）为0的向量，记作6。
6的方向是任意的。
注意6与0的区别2。
单位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：旨百与万冒是否同一向量？P95例 用1cm 表示5n mail （海里）3.模的概念：向量新方的大小一长度称为向量的模。
A （起点）B（终北答：不是同一向量“°例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a //b // c规定：6与任一.向量平行2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
/记作：a=b规定:6=6任两相，等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3.共线向.量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。
OA=a OB=h OC =c例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存.在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：.与向量共线的向量有哪些？（3,万3,豆）四、小结：五、作业：P96练习习题5.1第四敛时教材，向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
itS：六、复习：1。
向量的概念一：定义、表示法、模、零向量、单位.向量、平行向量、. 相等向量、共线向量2。
向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法.则、运算定律七、1.处理《教学与测试》P135-136 第64课（略）2.处理《教学与测试》P137—138 第65课例一、设a表示“向东走3km”，b表示“向北走3km”,则a + b表示向东北走3^2 km解：OB=OA +ABOB = J32+32 = 3>/2 （km）例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：AB= ~AO + OB, DC= DO + OC由已知：~AO = OC, DO = OB:.AB = DC.即48与CD平行且相等:-ABCD为平行四边形例三、在正六边形中，若OA = a t OE = b,试用.向量a、b将而、OC.而表示出来。
解：设正六边形中心为P^0B = 0P+PB = (PA + 0E) + O4=a + b + a0C = OP + PC = a + b + a + b由对称性：OD=b + b +a3.处理《教学与测试》P139—140 第66课（略）八、.有时间可处理“备用题”：例一、i^AB + DF + CD + BC + FAA B解：AB + DF + CD + BC + FA= AB + BC+ CD +DF + FA = AC + CD + DF + FA = AD + DF + FA = AF + FA = O第九教时教材：向量平行的坐标表示 目的，复习巩固平而向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并 且能用它解决向量平行(共线)的有关问题。
过程：一、复习：1.向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145例三)2. 平面向量的坐标运算法则练习：1.若 M(3,-2) N(-5,-1).且 MP = ^MN,求 P 点的坐标：解：设 P(x,y) RiJ(x-3, y+2)=l(-8,1)=(-4, |)x-3 = -4[x = -\ 2山=丄・••• 財点坐标为 2 ' 22 2-若 A(0,l), B(l, 2), C(3, 4)解：V AB=(-2, 3) DC =(-4,6) /. AB // DC 且 I | = | DC I 二、1.提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数X 使得B E , 那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？ 2.推导：设a =(x b y-i) b =(x 2, y 2)其中蒔S由B - (xi,Vi) = (x 2,y 2) =[“一,2 .消去 x ： Xiy2.x 2yi=o结论：a//b (6*0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0九、 例二、 解:作业: 在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果 船从岸边出发，径直沿垂直与水.流的航线到达对岸，那么船行进 的方向应该指向何处？ 如图：船航行的方向是 与河岸垂直方向成30。
夹角， 即指向河的上游。
上述三课中的练习部分(选)则 AB-2 BC =(-3,-3) 3. 已知：四点 A(5,1), B(3, 4),形。
C(L 3), D(5,-3)求证：“四边形ABCD 是梯・.・ AB =2 DC ..•・四边形ABCD 是梯形注意：1°消去X时不能两式相除，Vyi, y2有可能为0，•..蒔6•.・X2, V2中至少有一个不为02。
充要条件不能写成改=也...xi,X2有可能为0x2—•-♦3。
从而向量共线的充要条件有两种形式：a//b (片。
6)。
a = Ab泌-旳外=0三、应用举例例一(P111例四) 例二(P111例五)例三若向量万=(-“)与片=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：•.•,=(-l,x)与段=(-x,2)共线.・.(-l).X2・x・(-*)=0.・.x=±7I ...，与片方向相同/.x=V2例四已知A(-l, -1) B(l,3) C(l,5) D(2,7)向量屛与瓦平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解:...而= (1-(-1), 3-(-1)) = (2, 4) 而=(2-1,7-5) = (1, 2)又：72X2-4-1=0:.~AB //~CD又：花= (1-(-1), 5-(-1)) = (2, 6) 屈=(2, 4)2 X 4-2 X 6*0 .・•・万与奇不平行・.・A, B, C不共线AAB与CD不重合.・.AB〃CJ)四、练习：1.已知点A(0,1) B(l,0) C(l,2) D(2, 1)求证:AB./7CD2.证明下列各组点共线：1° A(l,2) B(-3, 4) C(2,3.5)2° P(-l,2) Q(0. 5, 0) R(5, -6)3.已知向量5 = (-1,3)片= (x,T)且，〃5求x五、小结：向量平行的充要条件(坐标表示)六、作业：P112练习4 习题5.4 7、8、9《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
as：十、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，CB + BA + BA = CD解：CB + BA + BA = CB + BA + AD = CD十一、提出课题：向量的减法1.用“相反向量”定义向量的减法.1°“相反向量•”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。
记作.-o2。
规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (f) = O 如果a、b互为相反向量，则。
=-8, b = -a, a + b = O3。
向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：a-b = a + (-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a.则x叫做a与b的差，记作a-b3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量*.* (a-b) + b = a + (-b) + b = a +作法：在平面内取一点O，作OA = a, AB = bBA = a - b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意：1。
万万表示a-如强调：差向量“箭头”指向被减数2。
用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + (-b). 显然，此法作■图较繁，但最后作图可统一。
变式一：当a, b 满足什么条件时，a+b 与a-b 垂直？ （|a|=Jb|）变式二：当a, b 满足什么条件时，|a+b| = |a-b|? （a,b 互相垂直）变式三：a+b 与a-b 可能.是相当向量吗？（不可能，口 对角线方向不 同） 十三、小结：向量减法的定义、作图法| 十四、作业：P102练习P103 习题 5.2 4—8第二敬时教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则 作几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进 行向量计算。
十五、复习：向量的定义以及有关概念 十二、例题:y 七+（-b[ 。
*七0 B A B' 0 B A a-ba-b 例一、（P101 例三）已知向量a 、b 、c 、d,求作向量a-b 、c-d o解：在平面上取一点O,作OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,作函，万& 则 ~BA = a-b, DC = c-d。
