四川省人教版2015届高三三诊数学文科试题及答案

仁寿县2015届高三数学测验题（文科）1本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M（A ）{}1 （B ） {}1,1- （C ） {}1,0 （D ）{}1,0,1- 2、复数2(1)1i i+-＝A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i -3、已知平面γβα,,，直线c b a ,,，则下列命题正确的是 （A ）若,,γβγα⊥⊥则βα//；（B ）若,,c b c a ⊥⊥则b a //； （C ）若,,αα⊥⊥b a 则b a //； （D ）若,//,//ααb a 则b a //．4、如图所示，某几何体的三视图相同，均为圆周的41，则该几何体的表面积为（A ）π43 （Ｂ）π45（Ｃ）π （Ｄ） π2 5、执行右图的程序框图，则输出的结果为 （A ）66（Ｂ）64（Ｃ）62（Ｄ）606、设y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ，则y x z -=2的最大值为（A ）3（B ）2 （C ）1 （D ）07、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为（ ）8、已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一定点，并且A 点到21,l l 的距离分别为3,2，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 （A ）2 （B ）3 （C ）6 （D ）49、已知21,F F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左，右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （A ）3 （Ｂ）3 （Ｃ）2 （Ｄ）210、已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为A ．4B ．6C ．8D ．10第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

某某省某某市石室中学2015届高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．（5分）命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，sin2x≤1B．∀x∉R，sin2x＞1C．∃x0∈R，sin2x≤1D．∃x0∉R，sin2x＞14．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③5．（5分）已知平面向量=（1，），|﹣|=1．则||的取值X围是（）A．[0，1] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，4]6．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosC+ccosB，则角B的大小为（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值X围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]10．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最小值是．12．（5分）阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为．13．（5分）2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为米．14．（5分）直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2﹣4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为．15．（5分）若函数f（x）在定义域的某子区间上满足f（x）=（λ为正实数），则称其为λ﹣局部倍缩函数．若函数f（x）在x∈[0，2]时，f（x）=sinπx，且x∈（2，+∞）时，f（x）为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有5个零点；④对任意x＞0，若不等式f（x）≤恒成立，则k的最小值是．则其中所有真命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+，，当x=α时，f（x）有最大值．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求△ABC的面积．17．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．18．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED．（1）求证：BD⊥PA；（2）当 PA=时，求三棱锥A﹣PBD的体积．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1=，a2=，2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{b n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n取得最小值，求b1的取值X围．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为4，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C标准方程；（Ⅱ）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上的两点，向量，且．设B（x0，y0），且（θ∈R），求x02+3y02的值；（Ⅲ）如图所示，直线MN经过椭圆C右焦点F．当M、N两点在椭圆C运动时，试判断×tan∠MAN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．21．（14分）已知函数f（x）=的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为5x+y+3=0．（I）某某数a，b的值及函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（Ⅱ）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，某某数c的取值X围．某某省某某市石室中学2015届高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．解答：解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是（）A．∀x∈R，sin2x≤1B．∀x∉R，sin2x＞1C．∃x0∈R，sin2x≤1D．∃x0∉R，sin2x＞1考点：特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：命题的否定，将量词与结论同时否定，按照这个规则，我们可以得出结论．解答：解：命题的否定，将量词与结论同时否定命题“∀x∈R，sin2x＞1”的否定是“∃x0∈R，sin2x0≤1”故选：C．点评：命题的否定是有规律的，一般来说要将量词与结论同时否定，全称命题变为特称性命题，特称性命题变为全称命题．4．（5分）已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：在正方体中，找出有关的直线与平面，判断选项的正误即可．解答：解：对于①，在正方体中，α∥β，m⊥α则l⊥m，①正确；对于②，在正方体中，若α⊥β，m⊥α则l∥m，显然在②图值，②不正确；对于③，在正方体中，若l⊥m，m⊥α则α⊥β，如图④，显然③正确；对于④，在正方体中，若l∥m，m⊥α，则α∥β，如图③，∴④不正确．故选：D点评：本题考查空间中直线与平面、直线与直线的位置关系，考查空间想象能力，属于简单题5．（5分）已知平面向量=（1，），|﹣|=1．则||的取值X围是（）A．[0，1] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，4]考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式和圆的知识，可把问题转化为点（x，y）与原点的距离的取值X围，由距离公式和圆的知识易得答案．解答：解：设=（x，y），则由题意可得﹣=（1﹣x，﹣y），由|﹣|=1可得（x﹣1）2+（y﹣）2=1，即点（x，y）在以（1，）为圆心1为半径的圆上，而||=表示点（x，y）与原点的距离，又圆心（1，）与原点的距离d=2，∴最小值为2﹣1=1，最大值为2+1=3故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，涉及圆的知识及数形结合思想，属中档题．6．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（2x﹣）的图象；再向右平移个单位，可得函数数y=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）图象，故所得图象的对称中心的横坐标满足2x﹣=kπ，k∈z，即x=+，k∈z，故所得图象的对称中心为（x=+，0）k∈z．结合所给的选项，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosC+ccosB，则角B的大小为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式、正弦定理，求得cosB的值，可得B的值．解答：解：在△ABC中，由acosB=bcosC+ccosB利用正弦定理可得sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，即sinAcosB=sin（B+C），求得cosB=，∴B=，故选：B．点评：本题主要考查诱导公式、正弦定理的应用，属于基础题．8．（5分）设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2kπ+2π）=e2kπ+2π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极小值之和即可．解答：解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（e x）′（sinx﹣cosx）+e x（sinx﹣cosx）′=2e x sinx，∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）=e x （sinx﹣cosx）递增，故当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值，其极小值为f（2kπ+2π）=e2kπ+2π[sin（2kπ+2π）﹣cos（2kπ+2π）]=e2kπ+2π×（0﹣1）=﹣e2kπ+2π，又0≤x≤2015π，∴e2014π函数f（x）的各极小值之和S=﹣e2π﹣e4π﹣e6π﹣…﹣e2012π﹣e2014π=故选：D点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握，属于难题．9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，则实数a的取值X围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，3] D．（﹣∞，3]考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的图象，得出值域为[﹣2，6]，利用存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，得出2g（a）的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6，即可．解答：解：∵g（x）=x2﹣2x，设a为实数，∴2g（a）=2a2﹣4a，a∈R，∵y=2a2﹣4a，a∈R，∴当a=1时，y最小值=﹣2，∵函数f（x）=，f（﹣7）=6，f（e﹣2）=﹣2，∴值域为[﹣2，6]∵存在实数m，使f（m）﹣2g（a）=0，∴﹣2≤2a2﹣4a≤6，即﹣1≤a≤3，故选；C点评：本题综合考查了函数的性质，图象，对数学问题的阅读分析转化能力，数形结合的能力，属于中档题．10．（5分）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．+1 D．﹣1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．解答：解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，2），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）∴双曲线的离心率为=+1．故选C．点评：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，利用的几何意义结合两点连线的斜率得答案．解答：解：由约束条件件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）连线的斜率，则其最小值为．故答案为：1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．（5分）阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为5．考点：程序框图．专题：常规题型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值．解答：解：经过第一次循环得到s=2，n=1，经过第二次循环得到s=5，n=2，经过第三次循环得到s=10，n=3，经过第四次循环得到s=19，n=4，经过第五次循环得到s=36，n=5，经过第六次循环得到s=69，n=6，∵输出的结果不大于37∴n的最大值为4∴i的最大值为5故答案为：5点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．13．（5分）2014年足球世界杯赛上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和45°，若旗杆的高度为30米，则且座位A、B的距离为10（﹣）米．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：过B作BD∥AM交MN与D，由三角形的边角关系可得AN，进而在△ABN中由正弦定理可得．解答：解：如图过B作BD∥AM交MN与D，则由题意可得∠NAM=60°，∠NBD=45°，∠ABD=∠CAB=15°，MN=30，∴∠ABN=45°+15°=60°，∠ANB=45°﹣30°，在△AMN中可得AN==，在△ABN中=，∴AB=×sin（45°﹣30°）÷=10（﹣）故答案为：10（﹣）点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及正弦定理的应用和三角形的边角关系，属中档题．14．（5分）直线l的方程为y=x+2，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2﹣4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出椭圆方程，P的坐标，使椭圆与直线相切．由此入手能够求出具有最短长轴的椭圆方程解答：解：设椭圆方程为：（a＞b＞0）c=1，a2﹣b2=c2=1设P的坐标为：﹙m，m+2﹚P在椭圆上∴=1，∴﹙a2﹣1﹚m2+a2﹙m2+4m+4﹚=a2﹙a2﹣1﹚=﹙a2﹚2﹣a2﹙2a2﹣1﹚m2+4a2m+5a2﹣﹙a2﹚2=0△=﹙4a2﹚2﹣﹙8a2﹣4﹚﹙5a2﹣a4﹚≥0∴2a4﹣11a2+5≥0∴﹙2a2﹣1﹚﹙a2﹣5﹚≥0∴a2≤或a2≥5∵c2=1，a2＞c2∴a2≥5，长轴最短，即a2=5b2=a2﹣1=4所以：所求椭圆方程为．故答案为：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．15．（5分）若函数f（x）在定义域的某子区间上满足f（x）=（λ为正实数），则称其为λ﹣局部倍缩函数．若函数f（x）在x∈[0，2]时，f（x）=sinπx，且x∈（2，+∞）时，f（x）为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有5个零点；④对任意x＞0，若不等式f（x）≤恒成立，则k的最小值是．则其中所有真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：作出f（x）=的图象，利用图象可得结论．解答：解：f（x）=的图象如图所示：①f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，正确；②f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）≠8f（+8），故不正确；③如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；④把（，）代入，可得k＞．故答案为：①③．点评：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．属于中档题三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+，，当x=α时，f（x）有最大值．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求△ABC的面积．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=1+2sin（2x﹣），z再利用正弦函数的增区间求得f（x）的增区间．（2）由题意可得，当2α﹣=时，f（x）有最大值，求得α的值，可得A的值；在△ABC 中，由于a=2，A=α﹣=，且sinBsinC=sin2A，由正弦定理可得bc=a2=4，从而求得△ABC 的面积bc•sinA 的值．解答：解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，（2）∵，可得2x﹣∈[，]，再根据当x=α时，f（x）有最大值，可得2α﹣=，故α=．在△ABC中，由于a=2，A=α﹣=，且sinBsinC=sin2A=，∴由正弦定理可得bc=a2=4，∴△ABC的面积为bc•sinA=×4×=．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间和最值，正弦定理，属于中档题．17．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．考点：极差、方差与标准差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）根据两组数据的平均数相等，可得x的值，进而求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；（2）分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于20分的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（1）=（9+9+11+11）=10，=（8+9+10+x+12）=10，解得：x=1 …（2分），又=[（9﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（11﹣10）2]=1；=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=，…（4分）∴＜，∴甲组成绩比乙组稳定．…（6分）（2）记甲组4名同学为：A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），共16个基本事件，其中得分之和低于的共6个基本事件，…（10分）∴得分之和低于的概率是：P==．…（12分）点评：本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．18．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED．（1）求证：BD⊥PA；（2）当 PA=时，求三棱锥A﹣PBD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定证明BD⊥平面POA，证明BD⊥AO，PO⊥BD即可；然后证明BD⊥PA．（2）求出底面面积与高，利用体积公式，可得结论．解答：（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面QBFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．∵PA⊂平面POA，∴BD⊥PA．（2）解：由题意可得：AO=3，PO⊥平面ABFED，PA=，∴PO==．底面ABD的面积为：=4．三棱锥A﹣PBD的体积：=4．点评：本题考查线面垂直，考查棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定方法，正确求体积是关键．19．（12分）已知数列{a n}满足：a1=，a2=，2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），数列{b n}满足：b1＜0，3b n﹣b n﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{b n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n}为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n取得最小值，求b1的取值X围．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得{a n}是等差数列，，b n+1﹣a n+1==．由此能证明{b n﹣a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）由．得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=．由此能证明{b n}是单调递增数列．（Ⅲ）由已知得，由此能求出b1的取值X围．解答：解：（Ⅰ）∵2a n=a n+1+a n﹣1（n≥2，n∈N•），∴{a n}是等差数列．又∵a1=，a2=，∴，∵，（n≥2，n∈N*），∴b n+1﹣a n+1====．又∵，∴{b n﹣a n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）∵b n﹣a n=（b1﹣）•（）n﹣1，．∴．当n≥2时，b n﹣b n﹣1=．又b1＜0，∴b n﹣b n﹣1＞0．∴{b n}是单调递增数列．（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S n取最小值．∴，即，∴b1∈（﹣47，﹣11）．点评：本题考查等比数列的证明，考查增数列的证明，考查数列的首项的取值X围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为4，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C标准方程；（Ⅱ）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上的两点，向量，且．设B（x0，y0），且（θ∈R），求x02+3y02的值；（Ⅲ）如图所示，直线MN经过椭圆C右焦点F．当M、N两点在椭圆C运动时，试判断×tan∠MAN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：函数思想；方程思想；向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（Ⅰ）根据椭圆的标准方程与几何性质，求出c、a与b的值即可；（Ⅱ）根据，以及点M满足的条件，求出+3的表达式并化简即可；（Ⅲ）由•×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||y M﹣y N|，利用直线MN的方程y=k（x﹣2）与椭圆方程联立，求出|y M﹣y N|的表达式与最大值，以及对应的直线MN的方程．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），且离心率e==，焦距2c=4，∴c=2，a=；∴b2=a2﹣c2=6﹣4=2，椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）∵，，∴•=x1x2+3y1y2=0；又+3=6，+3=6，点M（x0，y0），∴（x0，y0）=（x1cosθ，y1cosθ）+（x2sinθ，y2sinθ）=（x1cosθ+x2sinθ，y1cosθ+y2sinθ），∴+3=+3=（+3）cos2θ+（+3）sin2θ+2sinθcosθ（x1x2+3y1y2）=6（sin2θ+cos2θ）=6；（Ⅲ）∵•×tan∠MA N=2S△AMN=|AF||y M﹣y N|，设直线MN的方程为y=k（x﹣2），（k≠0）；联立，消去x得（1+3k2）y2+4ky﹣2k2=0，∴|y M﹣y N|=，设t=，s=1+3k2，则t==•∴t≤，当s=4，即k=±1时取等号．并且，当k=0时•×tan∠MAN=0，当k不存在时|y M﹣y N|=＜，综上，•×tan∠MAN有最大值，最大值为6，此时，直线MN方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了构造函数以及求函数的最值问题，是综合性题目．21．（14分）已知函数f（x）=的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为5x+y+3=0．（I）某某数a，b的值及函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（Ⅱ）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，某某数c的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；分段函数的应用．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（I）求出当x＜1时的f（x）的导数，由切线方程可得斜率和切点，即有f（﹣1）=2，且f′（﹣1）=﹣5，解方程即可得到a，b；再由导数，求得单调区间，对c讨论，即可得到最大值；（Ⅱ）根据条件可得，M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（﹣t，t3+t2），N（t，f（t）），（t ＞0）．讨论t，运用向量垂直的条件：数量积为0，即可求得c的X围．解答：解：（I）当x＜1时，f（x）的导数f′（x）=﹣3x2+2ax+b，由f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为5x+y+3=0，可得f（﹣1）=2，且f′（﹣1）=﹣5，即有1+a﹣b=2，且﹣3﹣2a+b=﹣5，解得a=1，b=0；当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2，令f′（x）=﹣3x2+2x=0可得x=0或x=，f（x）在（﹣1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递减，此时f（x）在[﹣1，1）上的最大值为f（﹣1）=2；当c＜0时，在[1，2]上单调递增，且．令，则，所以当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为；当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=2．当c≥0时，在[1，2]上单调递减，且f（1）=0，所以f（x）在[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=2．综上可知，当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为2；当时，f（x）在[﹣1，2]上的最大值为．（Ⅱ）函数f（x）=，根据条件可得，M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（﹣t，t3+t2），N（t，f（t）），（t＞0）．若t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，由∠MON是直角得，=0，即﹣t2+（t3+t2）（﹣t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0．此时无解；若t≥1，则．由于MN的中点在y轴上，且∠MON=90°，所以N点不可能在x轴上，即t≠0．同理有=0，即，．由于函数（t＞1）的值域是（﹣∞，0），实数c的取值X围是（﹣∞，0）即为所求．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，考查分类讨论的思想方法，运用向量垂直的条件即数量积为0是解题的关键．。

2015年四川省德阳市高考数学三诊试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A.-4B.C.4D.【答案】D【解析】解：∵复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2.若全集U={1，2，3，4，5}，C U P={4，5}，则集合P可以是（）A.{x∈N*||x|＜4}B.{x∈N*|x＜6}C.{x∈N*|x2≤16}D.{x∈N*|1≤x≤4}【答案】A【解析】解：若全集U={1，2，3，4，5}，C U P={4，5}，则集合P={1，2，3}，分析选项可得，A中，{x∈N*||x|＜4}={1，2，3}，符合题意；B中，{x∈N*|x＜6}={1，2，3，4，5}，不合题意；C中，{x∈N*|x2≤16}={1，2，3，4}，不合题意；D中，{x∈N*|1≤x≤4}={1，2，3，4}，不合题意；故选A．根据题意，由补集的运算可得P={1，2，3}，依次分析选项，可得A中，{x∈N*||x|＜4}={1，2，3}，B中，{x∈N*|x＜6}={1，2，3，4，5}，C中，{x∈N*|x2≤16}={1，2，3，4}，D中，{x∈N*|1≤x≤4}={1，2，3，4}，与集合P比较可得答案．本题考查集合的补集运算以及集合的表示法，关键是理解集合的意义与正确运用表示法．3.两条不重合的直线a，b和平面α，则“a⊥α，b⊥α”是“a∥b”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若“a⊥α，b⊥α”⇒“a∥b”，是充分条件，若“a∥b”推不出“a⊥α，b⊥α”，不是必要条件，故选：B．根据充分必要条件的定义结合线面垂直的判定定理进行判断即可．本题考查了充分必要条件，考查线面关系，熟练掌握线面，线线平行、垂直的性质及判定是解题的关键．4.为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【答案】C【解析】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．5.顶点在原点，经过圆C：x2+y2-2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（）A.y2=-2xB.y2=2xC.y=x2D.y=-x2【答案】B【解析】解：因为圆C：x2+y2-2x+2y=0的圆心是（1，-）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，-），设标准方程为y2=2px，因为点（1，-）在抛物线上，所以（-）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故选：B．设出抛物线方程，利用经过点（1，-），求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的标准方程的求法，注意标准方程的形式，考查计算能力，是易错题，基础题．6.设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，可得y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx．k=x0cosx0．这个函数是奇函数，可得B、C错误；当x0∈（0，）时，k＞0，所以A正确，D错误．故选：A．求出函数的导数，得到函数的解析式，然后判断函数的图象．本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，考查计算能力．7.执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n==8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n==4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n==2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n==1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8.设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则log3（+）的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，则直线的斜率k=＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z=2a+4b=6，即a+2b=3，，∴=（）（）=+≥+2=+=3，当且仅当，即a=b=1时取等号，此时log3（+）≥log33=1，故选：A作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．9.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对应的三角形的边长，若4a+2b+3c=，则cos B=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵4a+2b+3c=，∴（4a-3c）+（2b-3c）=，∵，不共线∴即a=，b=，则cos B===-；故选D．由已知及向量减法的平行四边形法则可得4a+2b+3c=，即（4a-3c）+（2b-3c）=，根据向量的基本定理可得a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理即可求cos B．本题主要考查了向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用，解题的关键是把已知变形为（4a-3c）+（2b-3c）=．+f（x）+t，t∈R，则下10.已知函数f（x）=＜，函数g（x）=[f（x）]2列判断不正确的是（）A.若t=，则g（x）有一个零点B.若-2＜t＜，则g（x）有两个零点C.若t＜-2，则g（x）有四个零点D.若t=-2，则g（x）有三个零点【答案】C【解析】解：作函数f（x）=＜的图象如下，当t=时，由[f（x）]2+f（x）+t=0得f（x）=-，故结合图象知g（x）有一个零点；当-2＜t＜时，[f（x）]2+f（x）+t=0有两个根，其中一根小于-，另一根大于-且小于1；故结合图象知g（x）有两个零点；当t＜-2时，[f（x）]2+f（x）+t=0有两个根，其中一根小于-，另一根大于1；故结合图象知g（x）有三个零点；故C不正确，故选：C．+f（x）+t=0由题意作函数f（x）=＜的图象，再讨论t以确定[f（x）]2的解与解的位置，从而结合图象解得．本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为______ ．【答案】【解析】解：如图所示，∵劣弧=1，∴劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=圆周长故答案为：．本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧的长度小于1”对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．12.表面积为324π的球，其内接长方体的高是14，且底面是正方形，则这个长方体的表面积为______ ．【答案】576【解析】解：设正方形的边长为x，则内接长方体的对角线为球的直径．∵表面积为324π的球的半径为9，内接长方体的高是14，且底面是正方形，∴=182∴x=8，∴长方体的表面积为2（8×8+8×14+8×14）=576故答案为：576．利用内接长方体的对角线为球的直径，求出正方形的边长为8，再求出长方体的表面积．本题考查球内接多面体，考查长方体的表面积，利用内接长方体的对角线为球的直径是关键．13.设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）=2，则α+β= ______ ．【答案】【解析】解：∵（1+tanα）（1+tanβ）=2，∴1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2，∴tan（α+β）（1-tanαtanβ）+tanαtanβ=1∴tan（α+β）=1，∵α，β都是锐角，∴0＜α+β＜π，∴α+β=，故答案为：．首先，根据条件（1+tanα）（1+tanβ）=2，化简，得到tan（α+β）=1，然后，结合α，β都是锐角，从而确定α+β的值．本题重点考查了两角和的正切公式及其灵活运用，属于中档题．解题关键是正确利用两角和的正切公式进行求解．14.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦点分别是F1、F2，焦距为2c，双曲线上存在一点P，使直线PF1与圆x2+y2=a2相切于PF1的中点M，则双曲线的离心率是______ ．【答案】【解析】解：设P为双曲线的右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切于PF1的中点M，则OM⊥PF1，|OM|=|PF2|=a，即|PF2|=2a，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，即有|PF1|=4a，又PF1⊥PF2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即为16a2+4a2=4c2，即c2=5a2，则离心率e==．故答案为：．设P为双曲线的右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切于PF1的中点M，运用中位线定理和双曲线的定义，可得|PF2|=2a，|PF1|=4a，再由勾股定理和离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的定义和离心率的求法，同时考查直线和圆相切的条件和性质，考查运算能力，属于中档题．15.函数f（x）=（a＞0）的图象很像网络流行的“囧”字的内部，我们不妨把它称为“囧函数”，现有以下命题，其中正确的是______ ．（写出所有正确结论的序号）①f（x）的图象不关于原点对称②f（x）的最小值为-1③对于定义域内任意两正数m、n，若m＜n．则f（m）＞f（n）④f（x）的导函数f′（x）有零点⑤对于（-，）上的任意实数m，n，恒有≥f（）【答案】①③【解析】解：函数f（x）=（a＞0），定义域为{x|}，f′（x）=．当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当-＜x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜-时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．画出图象：①由f（-x）=f（x），可知：f（x）的图象关于y轴对称，不关于原点对称，正确；②由图象可得：f（x）无最小值，因此不正确；③对于定义域内任意两正数m、n，若取m=，n=1，则f（m）＜f（n），因此不正确；④令f′（x）=0，解得x=0，因此f（x）的导函数f′（x）有零点，正确；⑤对于（-，）上的任意实数m，n，恒有≤f（），因此不正确．综上可得：只有①③正确．故答案为：①③．函数f（x）=（a＞0），定义域为{x|}，f′（x）=．利用导数研究其单调性，画出图象，再利用其奇偶性等即可判断出正误．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其性质，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：（Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．【答案】解：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人．故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人．…（4分）（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a，b，若从5人中任取2名观众记作（x，y），…（6分）则包含的总的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10个．…（8分）其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6个．…（10分）故P（“恰有1名观众的年龄为20至40岁”）=；…（12分）【解析】（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，从中随机抽取5名，抽样比为，进而由大于40岁的观众为27人，得到大于40岁的观众应该抽取人数．（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，列举出所有基本事件的个数，及满足恰有1名观众的年龄为20至40岁的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率公式，（I）的关键计算抽样比，（II）的关键是计算所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数．17.已知函数f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程和单调递减区间；（2）若函数g（x）=f（x）-f（-x），求函数g（x）在区间[，]上的最小值和最大值．【答案】解：f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-）．由于函数f（x）的最小正周期为T==π，故ω=1，即函数f（x）=sin（2x-）．（1）令2x-=kπ+（k∈Z），得x=+（k∈Z），即为函数f（x）图象的对称轴方程．令+2kπ≤2x-≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），即函数f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）g（x）=f（x）-f（-x）=sin（2x-）-sin[2（-x）-]=2sin（2x-），由于x∈[，]，则0≤2x-≤，故当2x-=即x=时函数g（x）取得最大值2，当2x-=即x=时函数g（x）取得最小值-2．【解析】通过二倍角公式以及两角差的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，（1）通过正弦函数的对称轴直接求函数f（x）图象的对称轴方程，利用正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；（2）利用函数g（x）=f（x）-f（-x），求出函数g（x）的表达式，求出2x-的范围，然后求解函数在区间[ ， ]上的最小值和最大值．本题考查三角函数的基本知识，两角差的正弦函数的应用，函数的对称轴与单调减区间的求法，函数的最值的求解，考查计算能力．18.一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点）．（1）求证：MN ∥平面CDEF ；（2）求多面体A-CDEF 的体积．【答案】解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2 ，∴∠CBF=．（1）证明：取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF ．（2）取DE 的中点H ．∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ，在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH= ． S 矩形CDEF=DE •EF=4 ，∴棱锥A-CDEF 的体积为V= •S 矩形CDEF •AH= ×4 × = ．【解析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积．本题考查的知识点是简单空间图形有三视图、棱锥的体积及直线与平面平行的判定．根据三视图判断几何体的形状及线面之间的位置关系及长度（面积）大小是解答的关键．19.已知函数y =f （x ）的图象经过坐标原点，且f （x ）=x 2-x +b ，数列{a n }的前n 项和S n =f （n ）（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设P n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2，Q n =a 10+a 12+a 14+…+a 2n +8，其中n ∈N *，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论；（3）若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）由f（x）=x2-x+b（b∈R），y=f（x）的图象过原点，即b=0，则f（x）=x2-x，S n=n2-n，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-2，又因为a1=S1=0适合a n=2n-2所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-2（n∈N*）；（2）a1，a4，a7，…，a3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，所以P n=•6=3n（n-1），a10，a12，a14，…，a2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，所以Q n=18n+•4=2n2+16n，故P n-Q n=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n（n-19），所以，对于正整数n，当n≥20时，P n＞Q n；当n=19时，P n=Q n；当n≤18时，P n＜Q n．（3）由a n+log3n=log3b n得：b n=n•=n•32n-2，所以T n=b1+b2+b3+…+b n=30+2•32+3•34+…+n•32n-2①所以9T n=32+2•34+3•36+…+n•32n②②-①得：8T n=n•32n-（1+32+34+36++32n-2）=n•32n-所以T n=-=．【解析】（1）首先利用代入法求出S n的关系式，然后利用S n与a n的关系求a n；（2）是一个是开放性问题，利用等差数列求和公式求出P n和Q n，然后利用作差法比较大小；（3）利用对数知识求出b n，然后利用错位相减法求数列{b n}的前n项和．本题将数列与函数有机的结合在一起，综合考查了对数的运算、等差数列、等差数列的求和、错位相减法等知识点以及分析问题、综合解决问题的能力，属于中档题．20.椭圆的一个顶点为M（0，），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+1=0的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于点P且与椭圆相交于A、B两点，||=1，是否存在上述直线l使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则b=，设右焦点F（c，0），则d==，解得c=1，则a==2，则椭圆的方程为+=1；（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．假设使=1成立的直线l存在．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且||=1．得=1，即m2=k2+1．①∴•=1，||=1．∴•=（+）•（+）=++•+•=1-1+0=0，即有⊥，即x1x2+y1y2=0．将y=kx+m代入椭圆方程+=1，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．∵l与C有两个交点，k≠0，x1+x2=，x1x2=．②∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．③将②代入③得（1+k2）•+km•+m2=0．化简，得7m2=12（1+k2）．④∵||=1，∴m≠0由①、④得，m=0不成立．②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，），B（1，-）．∴=（0，-），=（0，-），∴•=≠1，不合题意．综上，不存在上述直线l使=1成立．【解析】（1）设出椭圆方程，可得b=3，运用点到直线的距离公式，计算可得c=1，再由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．假设使=1成立的直线l 存在．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且||=1．得m2=k2+1．解方程即可得到不存在，②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，），B（1，-）．符合题意的直线l不存在．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和顶点，以及椭圆方程和直线方程联立，运用韦达定理，和平面向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．21.已知函数，F（x）=-2x3+3（a+2）x2+6x-6a-4a2，其中a＜0且a≠-1．（Ⅰ）当a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x=1时，函数F（x）有极值，求函数F（x）图象的对称中心坐标；（Ⅲ）设函数g（x）=，，＞（e是自然对数的底数），是否存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）当a=-2，f（x）=-+x-3lnx-30（x＞0）∴′，设f'（x）＞0，即x2-3x+2＞0，所以x＜1，或x＞2，∴f（x）单调增区间是（0，1），（2，+∞）；（Ⅱ）∵F（x）=-2x3+3（a+2）x2+6x-6a-4a2，当x=1时，函数F（x）有极值，∴F'（x）=-6x2+6（a+2）x+6，且F'（1）=0，即a=-2，∴F（x）=-2x3+6x-4，又F（x）=-2x3+6x-4的图象可由的图象向下平移4个单位长度得到，而的图象关于（0，0）对称，所以F（x）=-2x3+6x-4的图象的对称中心坐标为（0，-4）；（Ⅲ）假设存在a使g（x）在[a，-a]上为减函数，设h1（x）=F（x）-6x2+6（a-1）x•e x，，′，设m（x）=（-2x3+3（a-2）x2+12ax-4a2），当g（x）在[a，-a]上为减函数，则h1（x）在[a，1]上为减函数，h2（x）在[1，-a]上为减函数，且h1（1）≥h2（1）．由（Ⅰ）知当a＜-1时，f（x）的单调减区间是（1，-a），由h1（1）≥h2（1）得：4a2+13a+3≤0，解得：，当h1（x）在[a，1]上为减函数时，对于∀x∈[a，1]，h'1（x）≤0即m（x）≤0恒成立，因为m'（x）=-6（x+2）（x-a），（1）当a＜-2时，m（x）在[a，-2]上是增函数，在（-∞，a]，[-2，+∞）是减函数，所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a2-12a-8，故m（-2）=-4a2-12a-8≤0，即a≤-2，或a≥-1，故a＜-2；（2）当a＞-2时，m（x）在[-2，a]上是增函数，在（-∞，-2]，[a，+∞）是减函数，所以m（x）在[a，1]上最大值为m（a）=a2（a+2），故m（a）=a2（a+2）≤0，则a≤-2与题设矛盾；（3）当a=-2时，m（x）在[-2，1]上是减函数，所以m（x）在[a，1]上最大值为m（-2）=-4a2-12a-8=0，综上所述，符合条件的a满足[-3，-2]．【解析】（Ⅰ）当a=-2，对f（x）求导数f′（x），令f'（x）＞0，解得f（x）的单调增区间；（Ⅱ）由F（x）在x=-1时有极值，得F'（-1）=0，求出a的值，从而得F（x）的解析式，求出F（x）图象的对称中心；（Ⅲ）假设结论成立，设h1（x）=F（x）-6x2+6（a-1）x•e x，h2（x）=e•f（x），则h1（x）在[a，1]上为减函数，h2（x）在[1，-a]上为减函数，且h1（1）≥h2（1），求出a 的取值范围．本题考查了利用导数的正负判定函数的单调性以及根据函数的单调性研究函数的极值问题，也考查了分段函数的单调性问题，是较难的题目．。

绵阳市高2015级第三次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABDCC ADABC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1(0)8-， 14．215．81256π16．210三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）由已知a 1a n =S 1+S n ，可得当n =1时，a 12=a 1+a 1，可解得a 1=0，或a 1=2， ……………………………2分 由{a n }是正项数列，故a 1=2．…………………………………………………3分 当n ≥2时，由已知可得2a n =2+S n ，2a n -1=2+S n -1，两式相减得，2(a n -a n -1)=a n ．化简得a n =2a n -1， ……………………………6分 ∴ 数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n ． …………………………………………8分（Ⅱ）∵ b n =32log 2n a，代入a n =2n 化简得b n =n -5， ………………………9分显然{b n }是等差数列，…………………………………………………………10分∴ 其前n 项和T n =292)54(2nn n n -=-+-．…………………………………12分18．解：（Ⅰ）由题得蜜柚质量在[17502000)，和[20002250)，的比例为2∶3， ∴ 应分别在质量为[17502000)，，[20002250)，的蜜柚中各抽取2个和3个． ……………………………………………2分 记抽取质量在[17502000)，的蜜柚为A 1，A 2，质量在[20002250)，的蜜柚为B 1，B 2，B 3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3， 其中质量均小于2000克的仅有A 1A 2这1种情况，…………………………5分故所求概率为101．………………………………………………………………6分 （Ⅱ）方案A 好，理由如下：…………………………………………………7分由频率分布直方图可知，蜜柚质量在)17501500[，的频率为250×0.0004=0.1， 同理，蜜柚质量在)20001750[，，)22502000[，，)25002250[，，)27502500[，，]30002750[，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05． …………………8分 若按A 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为 (150017502+×500+175020002+×500+200022502+×750+225025002+×2000+250027502+×1000+275030002+×250)×40÷1000=2502×250×[(6+7)×2+(7+8)×2+(8+9)×3+(9+10)×8+(10+11)×4+(11+12)×1]× 40÷1000=25×50 [26+30+51+152+84+23]=457500（元）． ……………………………………………………………10分 若按B 方案收购：∵ 蜜柚质量低于2250克的个数为 (0.1+0.1+0.3)×5000=1750， 蜜柚质量低于2250克的个数为5000-1750=3250，∴ 收益为1750×60+325080=250×20×[7×3+13×4]=365000元．∴ 方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A ．…………………12分 19．解：（Ⅰ）证明：连接AC ，与交BD 于点N ，连接MN ．由ABCD 是菱形，知点N 是AC 的中点．…1分 又∵ 点M 是PC 的中点，∴ MN //PA ， ………………………………3分而MN ⊂面MDB ，PA ⊄面MDB ， ∴ PA //面MDB ． ……………………………5分（Ⅱ） ∵ PA ⊥面ABCD ，∴ PA ⊥AB ，PA ⊥AD ．又∵ AB=AD ，∴ Rt △PAD ≌Rt △PAB ，于是PB=PD ．……………………………………7分 由已知PB ⊥PD ，得2PB 2=BD 2． ……………………………………………8分令菱形ABCD 的边长为a ，则由∠BAD =32π，可得BD =a 3，∴ PB =a 26，PA =a 22． ……………………………………………………9分 ∴ V P -ABD=23111332ABD S PA a ∆⋅=⨯=解得a =2，于是PA =222=a ． ……………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设F 2(c ，0)，由题意可得12222=+by a c ，即y M =a b 2．∵ OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH =42， ∴ |MF 2|=22，即a b 2=22，整理得a 2=2b 4．① …………………………2分又由题知，Q 为椭圆C 的上顶点，∴ △F 1F 2Q 的面积=1221=⨯⨯b c ，整理得bc =1，即b 2(a 2-b 2)=1，② ……3分PD M CAN联立①②可得2b 6-b 4=1，变形得(b 2-1)(2b 4+b 2+1)=0， 解得b 2=1，进而a 2=2，∴ 椭圆C 的方程为1222=+y x ． ……………………………………………5分 （Ⅱ）由|OB OA 2+|=|-|可得|2+|=|2-|，两边平方整理得=0OA OB ⋅．……………………………………………………6分直线l 斜率不存在时，A (-1，22)，B (-1，22-)，不满足=0OA OB ⋅．…7分 直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为1-=my x ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-= 12122y x my x 消去x ，得(m 2+2)y 2-2my -1=0， ∴ y 1+y 2=222+m m，y 1y 2=212+-m ，（*）………………………………………9分由=0OA OB ⋅得02121=+y y x x ．将x 1=my 1-1，x 2=my 2-1代入整理得(my 1-1)(my 2-1)+y 1y 2=0， 展开得m 2y 1y 2-m (y 1+y 2)+1+y 1y 2=0，将（*）式代入整理得222102m m -+=+， 解得m= ……………………10分 ∴ y 1+y 2=y 1y 2=25-，△ABO 的面积为S =11212OF y y ⨯⨯-=112⨯⨯代入计算得S=即△ABO的面积为． ……………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）当a =1时，2221441()1x x f x x x x -+'=+-=，………………………1分由题意知x 1、x 2为方程x 2-4x +1=0的两个根， 根据韦达定理得121241x x x x +=⋅=，．于是x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=14． ……………………………………………4分（Ⅱ）∵ 22244()a ax x af x a x x x -+'=+-=，同（Ⅰ）由韦达定理得121241x x x x a+=⋅=，，于是121x x =． ……………5分∵ 21221121()()4ln 4ln a af x f x ax x ax x x x -=---++，∴ 21()()f x f x -22222214ln 4ln a a ax x ax x x x =---++222228ln aax x x =-- 22212()8ln a x x x =--，…………………………………………7分 由121241x x x x a+=⋅=，整理得221222244411x a x x x x x ===+++，代入得21()()f x f x -22222281()8ln 1x x x x x =--+ 222228(1)8ln 1x x x -=-+，………………………9分 令222=(1)t x e ∈， ，于是可得88()4ln 1t h t t t -=-+， 故222221644(21)4(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t --+--'=-==<+++∴ h (t )在2(1)e ，上单调递减，…………………………………………………11分∴ 21216()()(0)1f x f x e -∈-+，． ………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由题可变形为ρ2+3ρ2cos 2θ=16，∵ ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ， ∴ x 2+y 2+3x 2=16，∴221416x y +=．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由已知有M (2，0)，N (0，4)，设P (2cos α，4sin α)，α∈(0，2π)．于是由OMPN OMP ONP S S S ∆∆=+1124sin 42cos 22αα=⋅⋅+⋅⋅4sin 4cos αα=+)4πα=+，由α∈(0，2π)，得4πα+∈(4π，34π)，于是sin()4πα+≤ ∴ 四边形OMPN最大值10分 23．解：（Ⅰ）f (x )=|x +a |+|x -3a |≥|(x +a )-(x -3a )|=4|a |，有已知f (x )min =4，知4|a |=4，解得 a =±1．……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题知|m 2|-4|m |≤4|a |， 又a 是存在的，∴ |m |2-4|m |≤4|a |ma x =12．即 |m |2-4|m |-12≤0，变形得 (|m |-6)(|m |+2)≤0， ∴ |m |≤6，∴ -6≤m ≤6．…………………………………………………………………10分。

绵阳市高中2015届第三次诊断性考试数学（文）本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第B卷2至4 页．共4页．满分150分考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，则32ii-+等于（A）－l＋i (B) 1－i (C) 1＋i (D) －1－i2.已知向量为非零向量，则的（A）充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件3.己知函数的图象在同一直角坐标系中对称轴相同，则ω的值为(A) 4(B) 2 (C) 1（D）1 24、已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若（A）M（B）N（C）I（D）∅5.一机器元件的三视图及尺寸如右图示（单位：dm），则该组合体的体积为(A) 80 dm3(B) 88 dm3(C) 96 dm}3(D) 120dm36.若，则下列不等式成立的是7.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出f（x）的是8、已知C是半径为1，圆心角为60°的圆弧上的动点，如图，若其中，则x＋y的最大值是9.己知四梭锥P-ABCD的各条棱长均为13, M, N分别是PA, BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8，则线段MN的长（A）5（B）6 (C) 7（D）810.已知点是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足＝4，若AB的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是第II卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可先用铂笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

德阳市高中2015届 “三诊”考试数学试卷（文史类）说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 球的表面积公式：24S R π=（其中R 表示球的半径）球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为A ．4-B ．45-C ．4D ．45【答案】D【解析】由题意知|43|534343455i z i i i +===+--．【考点】复数的模及复数运算．2.若全集{}1,2,3,4,5U =，{}4,5U P =ð，则集合P 可以是A ．{}*|||4x N x ∈<B ．{}*|6x N x ∈<C ．{}2|16x N x ∈≤D ．{}3*|16x N x ∈≤【答案】A【解析】由{}1,2,3,4,5U =，{}4,5U P =ð，可知{}1,2,3P =． 【考点】集合的补集运算．3.两条不重合的直线a 、b 和平面α，则“a α⊥，b α⊥”是“//a b ”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故满足充分性；但//a b ，不一定满足都与α垂直． 【考点】空间中的线面关系．4.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而同一学段男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的方法是 A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样 【答案】C【解析】因为各学段视力情况差异较大，故采用按学段分层抽样． 【考点】分层抽样．5.顶点在原点，经过圆2220x y x +-+=的圆心且准线和x 轴垂直的抛物线方程为A ．22y x =-B ．22y x =C．2y =D．2y =【答案】B【解析】因为抛物线的准线与x 轴垂直，故可设抛物线方程为2(0)y mx m =≠，因为圆心(1,在抛物线上，所以2m =，故抛物线方程为22y x =． 【考点】抛物线的方程．6.设函数()sin cos f x x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为【答案】A【解析】由()sin cos f x x x x =+，得'()cos f x x x =，故000()cos g x x x =，该函数为奇函数，故排除B 、C ，又在00x >且00x →时，0()0g x >，排除D ． 【考点】函数图象与函数的性质．7.执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】5,0n k ==；16,1n k ==；8,2n k ==；4,3n k ==；2,4n k ==；1,5n k ==输出．【考点】程序框图．8.设x ，y 满足约束条件20,320,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为6，则312log ()a b +的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】分析可知，当目标函数线经过点(2,4)A 时取得最大值，故246a b +=，即2133a b +=．所以12122522()()33333a b b a a b a b a b +=++=++522333≥+⨯=．当且仅当1a b ==时等号成立．所以332log ()log 31a b 1+≥=，即312log ()a b+的最小值为1．【考点】线性规划及均值不等式．9.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的三角形的边长，若4230aBC bCA cAB ++=，则cos B ＝A ．2936-B ．2936C ．1124D ．1124-【答案】D【解析】由4230aBC bCA cAB ++=，得(34)(42)0c a AB a b AC -+-=．因为AB 、AC 不共线，所以340,420,c a a b -=⎧⎨-=⎩整理得2,4,3b a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以222164119cos 42423a a aB a a +-==-⋅． 【考点】向量的线性运算及余弦定理．10.已知函数33,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数[]2()()()g x f x f x t =++，t R ∈，则下列判断不正确的是A ．若14t =，则()g x 有一个零点 B ．若124t -<<，则()g x 有两个零点 C ．若2t <-，则()g x 有四个零点 D ．若2t =-，则()g x 有三个零点 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图象，如图所示．令()0g x =，得[]2()()0f x f x t ++=，140t ∆=->，解得14t <，所以2t <-时，该方程有两个根，不妨设为1()f x 、2()f x ，且12()()f x f x <，由12()()2f x f x t ⋅=<-，得1()0f x <，由函数()f x 的图象可知，1()()f x f x =有一个根，2()()f x f x =最多有两根，故关于x 的方程[]2()()0f x f x t ++=最多有3个根，即()g x 最多有三个零点，故C 错误． 【考点】函数的图象与函数的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卡对应题号后横线上．11.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随即取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 ． 【答案】23【解析】到圆上点A 距离小于1的点B 所在弧长为2，故其概率为23．【考点】几何概型．12.表面积为324π的球，其内接长方体的高为14，且底面是正方形，则此长方体的表面积为 ． 【答案】576【解析】由题意设球的半径为r ，则24324r ππ=，解得9r =．设长方体底面正方形的边长为a ，则18=，解得8a =，故长方体的表面积为2(88814814)576S =⨯+⨯+⨯=．【考点】长方体与球的组合体问题．13.设角α、β是锐角，若(1tan )(1tan )2αβ++=，则αβ+= ． 【答案】4π【解析】由(1tan )(1tan )2αβ++=，展开得1t an t a n t a n αβαβ+++⋅=，整理得t a n t a n 1t a n αβαβ+=-，故t a n t a n t a n ()11t a n t a n αβαβαβ++==-．因为α、β是锐角，所以0αβπ<+<，故4παβ+=．【考点】两角和的正切公式．14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦点分别是1F 、2F ，焦距为2c ，双曲线上存在一点P ，使直线1PF 与圆222x y a +=相切于1PF 的中点M ，则双曲线的离心率是 ．【解析】如图，在直角三角形1OMF 中，1OF c =，OM a =，故1MF b =，故22PF a =，12PF b =．由122PF PF a -=，可得222b a a -=，故2b a =，故e ==． 【考点】双曲线的离心率． 15.函数21()(0)1f x a ax =>-的图象很象网络流行的“囧”字的内部，我们不妨把它称为“囧函数”，现有以下命题，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①()f x 的图象不关于原点对称； ②()f x 的最小值为1-；③对于定义域内任意两正数m 、n ，若m n <，则()()f m f n >； ④()f x 的导函数'()f x 有零点；⑤对于(上的任意实数m ，n ，恒有()()()22f m f n m n f ++≥ 【答案】①④【解析】函数21()(0)1f x a ax =>-的定义域为|x x ⎧⎪≠⎨⎪⎩，关于原点对称，但()()0f x f x -+≠，故该函数不是奇函数，即()f x 的图象不关于原点对称，故①对；因为211ax -≥-，且210ax -≠，所以2101ax >-或2111ax ≤--，故无最小值，故②错；222'()(1)axf x ax -=-，因为0x >，所以'()0f x <，故函数()f x 在(0,a 和()a +∞为减函数，且当(0,)x a ∈时，()0f x <，当()x a∈+∞时()0f x >，故③错误；由222'()(1)axf x ax -=-0=，解得0x =，即()f x 的导函数'()f x 有零点，故④正确；设2()1(0)g x ax a =->，则该函数为凹函数，故()()0()22g m g n m n g ++>≥，从而()()()22f m f n m nf ++≤，故⑤错误．【考点】函数的性质．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：（140岁的观众应该抽取几名？ （2）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40的概率． 【答案】（1）3；（2）35【解析】 试题分析：（1）分层抽样又叫比例抽样，先求出抽样比，然后求出大于40岁的观众应抽取人数；（2）抽取的5人中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，分别求出任取2名的所有情况和恰有1名年龄在20至40之间的情况，作比即可．试题解析：（1）从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为51459=，故大于40岁的观众应抽取12739⨯=（人）． （2）抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁人为1a ，2a ，3a ，20至40岁的人为1b ，2b ，则从5人中抽取2人的基本事件有12(,)a a ，13(,)a a ，23(,)a a ，12(,)b b ，11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b 共10个，其中恰有1人为20岁至40岁的有6个．故所求概率为63105=． 17.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x ωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π． （1）求函数()f x 图象的对称轴和单调递减区间；（2）若函数()()()4g x f x f x π=--，求函数()g x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）3()28k x k Z ππ=+∈；37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2- 【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为“一角一函数”，然后根据最小正周期为π，即可求出函数()f x 解析式，进而求出函数()f x 的对称轴与单调递减区间；（2）根据()()()4g x f x f x π=--，即可求出())4g x x π=-，通过x 的区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即可求出24x π-的范围为504π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，进而求出()g x 在此区间上的最小值和最大值．试题解析：()2cos (sin cos )1f x x x x ωωω=-+sin 2cos 2x x ωω=-)4x πω=-．由于函数()f x 的最小正周期为22T ππω==，故1ω=．故函数())4f x x π=-．（1）令24x k πππ-=+（k Z ∈），得：3()28k x k Z ππ=+∈，令3222()242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得37()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()f x 的单调递减区间是37,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．（2）()()()4g x f x f x π=--)2()444x x πππ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦)4x π=-．由于3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则50244x ππ≤-≤，故当242x ππ-=，即38x π=时函数()g x 取得最大值当5244x ππ-=，即34x π=时函数()g x 取得最小值2-．18.（本小题满分12分） 一个多面体的直观图即三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）．（1）求证：//MN 平面CDEF ；（2）求多面体A CDEF -的体积．【答案】（1）（略）；（2）83【解析】 试题分析：（1）连接BE ，可知MN 为△BCE 的中位线，故//MN CE ，从而即可证明//MN 平面CDEF ；（2）取DE 的中点H ，连接AH ，即可证明AH ⊥平面CDEF ，从而可知AH 即为多面体A CDEF -的高．试题解析：由三视图可知：2AB BC BF ===，DE CF ==2CBF π=．（1）证明：连接BE 、EC ，则MN 为△BEC 中位线，∴//MN EC ． ∵EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴//MN 平面CDEF ．（2）解：取DE 的中点H ． ∵AD AE =，∴AH ⊥DE ．在直三棱柱ADE BCF -中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE 平面CDEF DE =． ∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A CDEF -是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥．在△ADE 中，AH =CDEF S DE EF =⋅=矩形∴棱锥A CDEF -的体积为118333CDEF V S AH =⋅⋅=⨯矩形． 19.（本小题满分12分）已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且2()f x x x b =-+，数列{}n a 的前n 项和()n S f n =（*n N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14732n n P a a a a -=++++…，10121428n n Q a a a a +=++++…，其中*n N ∈，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论；（3）若数列{}n b 满足33log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）22n a n =-（*n N ∈）；（2）当20n ≥时，n n P Q >；当19n =时，n n P Q =；当19n <时，n n P Q <；（3）222331(81)3186464n n n n n n T ⋅--+=-= 【解析】试题分析：（1）易得2n S n n =-，然后根据已知前n 项和求通项的方法即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出n P 、n Q ，然后作差讨论即可；（3）通过33log log n n a n b +=，求出{}n b 的的通项公式，然后利用乘公比错位相减法即可求出n T ．试题解析：（1）∵()y f x =的图象过原点，∴2()f x x x =-．∴2n S n n =-． 当2n ≥时，221(1)(1)22n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-．又∵110a S ==适合22n a n =-，∴数列{}n a 的通项公式22n a n =-（*n N ∈）． （2）1a ，4a ，7a ，…，32n a -组成以0为首项，6为公差的等差数列， ∴2(1)6332n n n P n n -=⨯=-． 10a ，12a ，14a ，…，28n a +组成以18为首项，4为公差的等差数列，∴2(1)1842162n n n Q n n n -=+⨯=+． 故2223321619(19)n nP Q n n n n n n n n -=---=-=-． ∴对于正整数n ，当20n ≥时，n n P Q >；当19n =时，n n P Q =；当19n <时，n n P Q <．（3）由33log log n n a n b +=，得2233n n n b n a n -=⋅=⋅（*n N ∈）． ∴123n n T b b b b =++++…024********n n -=+⋅+⋅++⋅…，242229 323(1)33n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅…， 两式相减得：2242283(1333)nn n T n -=⋅-++++ (2231)38n nn -=⋅-， ∴222331(81)3186464n n n n n n T ⋅--+=-=． 20.（本小题满分13分）椭圆的一个顶点为M ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线10x y -+=（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线，不垂直于x 轴的直线l 与n 垂直相交于P 点、于椭圆相交于A 、B 两点，||1OP =．是否存在上述直线使1AP PB ⋅=成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 不存在 【解析】试题分析：（1）因为焦点在x 轴上，且M 为椭圆的一个顶点，故23b =；根据右焦点到直线10x y -+=可求出c ，进而求出椭圆C 的方程；（2）根据||1OP =，可得221m k =+，再根据1AP PB ⋅=，即可得0OA OB ⋅=，从而转化为12120x x y y +=，然后联立方程求出两根关系代入上式即可得出矛盾，故直线l 不存在．试题解析：（1）设右焦点为(,0)c= ∴1c =，又23b =，∴2224a b c =+=，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，假设使1AP PB ⋅=成立的直线l 存在． 设l 的方程为y kx m =+，由l 与n 垂直相交于P 点且||1OP =1=，即221m k =+．∵1AP PB ⋅=，||1OP =，∴()()OA OB OP PA OP PB ⋅=+⋅+2OP OP PB PA OP PA PB =+⋅+⋅+⋅10010=++-=． 即12120x x y y +=．将y kx m =+代入椭圆方程，得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=．由此可得：122834km x x k -+=+ ④ 212241234m x x k -=+ ⑤12120x x y y =+1212()()x x kx m kx m =+++221212(1)()k x x km x x m =++++，将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= ⑥将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=，矛盾．∴直线l 不存在．21.（本小题满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（3）当1a <-时，设函数2()66(1),1,()(),1xF x x a x e x g x e f x x ⎧⎡⎤-+-⋅≤⎪⎣⎦=⎨⋅>⎪⎩（e 是自然对数的底数），是否存在实数a ，使()g x 在[],a a -上为减函数，若存在，求a 的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(0,1)和(2,)+∞；（2）(0,4)-；（3）存在a ，且[]3,2a ∈-- 【解析】试题分析：（1）当2a =-时，对()f x 求导，利用'()0f x >即可求出()f x 的单调递增区间；（2）由1x =时，函数()F x 有极值，即可求出2a =-，即可求出()F x ，然后根据函数图象平移即可求出对称中心坐标；（3）因为()g x 在[],a a -上为减函数，所以在[],1a 和(]1,a -上为减函数，且在[],1a 上的最小值不小于(]1,a -上的最大值．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当2a =-，2222332'()1x x f x x x x-+=+-=． 设'()0f x >，即2320x x -+>，所以1x <或2x >， 故函数()f x 的单调增区间是(0,1)和(2,)+∞．（2）当1x =时，函数()F x 有极值，所以2'()66(2)6F x x a x =-+++，且'(1)0F =，即2a =-． 所以3()264F x x x =-+-．3()264F x x x =-+-的图象可由31()26F x x x =-+的图象向下平移4个单位长度得到，而31()26F x x x=-+的图象关于(0,0)对称， 所以3()264F x x x =-+-的图象的对称中心坐标为(0,4)-． （3）假设存在a 使()g x 在[],a a -上为减函数．设21()()66(1)x h x F x x a x e ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦322(23664)xx ax ax a a e =-++--⋅， 2()()(1)ln 15a h x e f x e x a x a x ⎡⎤=⋅=⋅++-+⎢⎥⎣⎦，3221'()23(2)124xh x x a x ax a e ⎡⎤=-+-+-⋅⎣⎦．设322()23(2)124m x x a x ax a =-+-+-．当()g x 在[],a a -上为减函数，则1()h x 在[],1a 上为减函数，2()h x 在[]1,a -上为减函数，且12(1)(1)h h ≥．由（1）知当1a <-时，()f x 的单调递减区间是(1,)a -，由12(1)(1)h h ≥得241330a a ++≤，解得134a -≤≤-， ∴31a -≤<-．当1()h x 在[],1a 上为减函数时，对于[],1x a ∀∈，1'()0h x ≤，即()0m x ≤恒成立． 因为'()6(2)()m x x x a =-+-，①当2a <-时，()m x 在[],2a -上是增函数，在(],a -∞，[)2,-+∞是减函数， 所以()m x 在[],1a 上最大值为2(2)4128m a a -=---，故2(2)41280m a a -=---≤，即2a ≤-或1a ≥-（舍），故2a <-；②当2a >-时，()m x 在[]2,a -上是增函数，在(],2-∞-，[),a +∞上是减函数， 所以()m x 在[],1a 上最大值为2()(2)m a a a =+，故2()(2)0m a a a =+≤，则2a ≤-与题设矛盾，故舍去；③当2a =-时，()m x 在[]2,1-上是减函数，所以()m x 在[],1a 上最大值为2(2)41280m a a -=---=，综上所述，存在符合条件的a ，[]3,2a ∈--．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）姓名 成绩一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B =U （ ）()A {|13}x x -<< ()B {|11}x x -<< ()C {|12}x x << ()D {|23}x x <<2、设向量(2,4)a =r 与向量(,6)b x =r共线，则实数x =（ ）()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）()A 抽签法 ()B 系统抽样法 ()C 分层抽样法 ()D 随机数法4、设,a b 为正实数，则"1"a b >>是22log log 0"a b >>的（ ）()A 充要条件 ()B 充分不必要条件 ()C 必要不充分条件 ()D 既不充分也不必要条件5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）()A cos(2)2y x π=+ ()B sin(2)3y x π=+ ()Csin 2cos 2y x x =+ ()D sin cosy x x =+6、执行如图所示程序框图，输出S 的值为（ ）()A ()B ()C 12- ()D 127、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x ,A B 两点，则||AB =（ ）()A ()B ()C 6 ()D 8、某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系kx by e+=（ 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数）。