2020年太原市高三一模考试文科数学答案

山西省太原市2020届高三下学期模拟测试试题三 文科数学【含解析】第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.已知集合 A = |x|x 2 -x-2<0j , 3 = {x|2x-l>0},则 A\JB=（ ）A. （一1, + 3）B. g'l] C ・[扑]g+S【答案】A 【解析】【分析】 确定出集合A, 3中的元素后，由并集定义计算. 【详解】由题意a = {x\-\<x<2}, B = {x\x>^}, A A|JB = {X |X >-1）. 故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键.2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质 量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为〃的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取 了 4 件，贝!]〃=（）故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，牢记分层抽样的性质是解题关键，属于基础 题.3.设复数z 满足|z-l| = |z-i| （i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（X, V ）,则（）C. (x-l)2+(y-l)2 =1D.(x + 1)- +(y+ 1)~ = 1【答案】B 【解析】 【分析】A. 9【答案】D【解析】B. 10C. 12D. 13【分析】由题意结合分层抽样的性质可得 -------------120 + 80 + 60 480 即可得解.【详解】由题意n120 + 80 + 60 4 —,解得 n — 13. 80 A . y = -x^z = x+yi(x,yeR),代入已知等式化简即可.^z = x+yi(x,yeR), ■: |z-l| = |z-i|, \x+yi-]\ = \x+yi-i\,即(x-1)2 + ^=亍+(1)2,化简得y = x.故选：B.【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得.也可由模的几何意义求解.4.已知等差数列｛弓｝的前〃项和为S R,且a2 = -2, tz8 = 10 ,则S9 =( )A. 45B. 42C. 25D. 36【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知％ +% =。

2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。

2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解： 复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解： 平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解： 对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。

2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集1，2，3，，集合2，，，则为A. 2，B. 3，C. 2，3，D. 2，2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A. B.C. D.3.已知等差数列中，前5项和，，则A. 16B. 17C. 18D. 194.已知平面向量，若与垂直，则A. B. 2 C. D. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是A.B.C.D.7.函数的图象大致为A.B.C.D.8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为A. 3B. 5C. 8D. 119.设，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对的对数为A. 1B. 2C. 3D. 410.刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. B. 3 C. D. 411.过抛物线上点作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别交于不同与P的点A，B，若，，则下列结论正确的是A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12.函数的定义域为，为其导函数．若且，则的解集为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的实轴长是______ ．14.已知函数是偶函数，则k的值为______ ．15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______．16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，用表示它的前n项和，若已知，那么______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率．18.已知中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ求C；Ⅱ若，的面积为，求的值．19.如图在等腰直角三角形ABC中，，，点D为AB中点，将沿DC折叠得到三棱锥，如图，其中，点M，N，G分别为，BC，的中点．Ⅰ求证：平面DCG；Ⅱ求三棱锥的体积．20.已知函数．求在点处的切线方程；求证：在上仅有2个零点．21.椭圆E的焦点为和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的直线，又知点，直线BH记为，与交于点设，已知当时，Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，已知点，点P是曲线上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点M的轨迹的极坐标方程；Ⅱ已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值23.已知函数，．Ⅰ若的最小值为1，求实数a的值；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．由题意，集合，从而求得2，．【解答】解：，2，；故选D．2.答案：A解析：解：复数在复平面内对应的点在第二象限，，解得．实数m的取值范围是．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.答案：B解析：解：，，，则，则公差，，则．故选：B．根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：平面向量，若与垂直，，求得，故选：C．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5.答案：C解析：解：设大正方形的边长为4，则面积，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，故概率．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.答案：B解析：解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上1．，．故选：B．分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列前四项的和再加上利用裂项法求和可求解．本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构．7.答案：D解析：解：，则为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当时，为增函数，排除A，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：作出可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得．结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故选：D．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：解：对于任意实数x都有，则函数的周期相同，若，此时，，此时，若，则方程等价为，，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组，故选：B．根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：，可得设的斜率为k，则，的斜率分别为：，，设直线的方程为：，则的方程为，的方程为，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，所以，代入直线中可得，即；联立直线与抛物线的方程可得，整理可得所以，可得，代入中可得，即；联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，代入抛物线的方程可得，可得；所以为定值；故选：B．由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，B，C 的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12.答案：D解析：解：令，，由题意可得，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，又，时，，由可得即，结合函数图象可知，．故选：D．结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．13.答案：4解析：解：双曲线化为标准方程为即双曲线的实轴长是4故答案为：4双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长．本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14.答案：解析：解：由函数是偶函数，可知即，对一切恒成立，故答案为．利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15.答案：解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，0，，1，，设，，，．1，，，，，．当且仅当时等号成立．令，则．当，即时，．长度的最小值是．故答案为：．以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，可得，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16.答案：解析：解：，，，，，，，，以上累加得：，，，故答案为：．根据条件，利用累加法得到，从而，．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得：，解得，设中位数是，则，解得，中位数是125．Ⅱ由，估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数，这两人均来自区间包含的基本事件个数，这两人均来自区间的概率．解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，而C为三角形的内角，；Ⅱ的面积为，及，得，化简可得，又，由余弦定理，得，化简得，，解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值，Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出．本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，，在三棱锥中，，，是的中点，，，，平面DGC，点M，N，分别为，BC的中点．，平面DCG．Ⅱ解：由图知，，，平面，又，是等边三角形，，，，，，三棱锥的体积：．解析：Ⅰ推导出，，从而，，进而平面DGC，推导出，由此能证明平面DCG．Ⅱ由，，，得平面，推导出是等边三角形，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：切点为．．，在点处的切线方程为：，化为：．证明：．时，，，函数在上单调递增，而，函数在上只有一个零点0．时，．函数在上单调递增，而，，存在唯一实数，使得，且函数在上单调递减，上单调递增．又，，．函数在上存在唯一零点，而在上无零点．综上可得：在上仅有2个零点．解析：切点为可得，利用点斜式即可得出切线方程．分类讨论：时，利用导数研究其单调性可得，函数在上只有一个零点时，可得函数在上单调递增，进而得出零点的个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，，，由椭圆定义得，从而，故此时点A在y轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为：；Ⅱ证明：如图所示：，设点，，设直线AB的方程为：，代入椭圆中，得：，，，，由题设知，直线BH斜率，直线BH的方程为：，而直线方程为：，代入，得，故点C的横坐标是定值3．解析：设椭圆方程为，其中，利用椭圆的定义和已知条件可得，代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程；设点，，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而得到直线BH斜率，再得到直线BH的方程与直线方程联立即可得到点C的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，设，由于点M满足，所以为参数，转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为，设，，由于，所以，即，由于，所以，解得．所以，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数，．，解得或；时，不等式，即：，可得：，．，不等式的解集包含，即：且，．实数a的取值范围：．解析：Ⅰ化简的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a的值；Ⅱ化简不等式的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高．。

．．'4已知等差数列｛αn｝的前h项和为S斗，且α2＝一2，α8= 10，则s9=太原市2020年高三年级模拟试题（三）B.42D. 36土豆J E；工1b=2b否C.3共60分）第I卷（选择题D.2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符•干棘7.已知sinα－cosα＝）豆，αε（0，τ），则ta nα＝合题目要求的．空斟半生，D. 1v2C.一－2B.( I'1)A. (-1, +oo)'lT8＇.已知向量e,,e2是夹角为一的两个单位向量，贝Ua=2e,+e2与b=-3e1 +2e2的夹角为3D. (I' +oo)c. (f,2)'lTB-3'lTA.-62.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们D.三主6c.主主3的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，'lT9.把函数f( x) = si r巾的图象向右平移一个单位后，得到函数y=g(x）的图象．则g（川的解12B. 10其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=A.9析式是D. 13c. 12B.g(x)= _..!_co s j2x -王\ 12A.g(x)＝圳市＋主123.设复数z满足I z -11 = I z -i IC i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（坷，y），则D.g(x）＝争巾1－2＋C仲）＝－±叫2x-iB.y = xD.(x + 1)2 +( y + 1)2 = 1高三数学（文｝第2页（共8页）第1页（共8页）高三数学（文）A. 455.''x>1”是“l o g2x＞。

”的c.25学试卷（文科）数.A.充分不必要条件c.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的α，b分别为3,1，则输出的n等于B.必要不充分条件A.5B.4注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第E卷5至8页。

2019-2020学年高三省一模考试数学（文科）一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足1zi i =+，其中i 为虚数单位，则=z （ ）.1.1.1.1A z i B z i C z iD z i=+=−=−−=−+答案：B 考点：复数运算。

解析：由1zi i =+，得1i z i+=，化简得1i −. 2.已知0,0,a b m R >>∈，则a b ≤的一个必要不充分条件是（ ） 222222....m m a b A a b B m m C am bm D a m b m≤≤≤+≤+ 答案：C考点：不等式，充分必要条件。

解析：A 是既不充分也不必要条件；B 是充分不必要条件；C 是必要不充分条件；D 是充要条件.3.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄类型的标准：年龄中位数在20 岁以下称为年轻型人口；年龄中位数在2030岁为成年型人口；年龄中位数在30岁以上为老年型人口.上图反映了我国全面放开二孩政策对我国年龄中位数的影响.据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断： ①建国以来至2000年为成年型人口；②从2010年至2020年为老年型人口；③放开二胎政策以后我国仍为老年型人口.其中正确的是（ ）.A ②③ .B ①③ .C ② .D ①② 答案：A 考点：统计。

解析：根据题目中条件可以判断②③是正确的，①是错误的.4.已知函数()3,1,ln ,1,x e x f x x x ⎧−<=⎨≥⎩则关于函数()f x 的说法不正确的是（ ）.A 定义域为R .B 值域为()3,−+∞ .C 在R 为增函数 .D 只有一个零点 答案：B考点：分段函数定义域，图象画法，单调性，值域，零点。

解析：如图，由于分段函数()f x 的值域为()[)3,30,e −−⋃+∞，因此选B .5．在四边形ABCD 中，()()3,1,2,,AC BD m AC BD =−=⊥则该四边形的面积是（ ）..10.20A B C D 答案：C考点：平面向量坐标运算。

山西省太原市2020届高三模拟考试（一）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()22,?52,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,1-B ．[)1,2-C ．[)2,2-D ．[]0,22．数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．273．已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．36π+B ．66π+C ．312π+D ．124．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD-的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π5．已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B =I （ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]0,1C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 6．运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，890a a +<，则使得0nn s a n+<最小的n 为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．139．已知函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+，将函数()f x 的图象向左平移(0)φφ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π10．已知角a 的终边经过点(,1)A a ，若点A 在抛物线23y x =的准线上，则cos α=（ ）A ．3B ．3C ．12D ．12-11．函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点(0)12，π对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点(0)6π，对称 D ．关于直线6x π=对称 12．已知等比数列{}n a 的前n 项和3nn S a =+（a 为常数），则数列2{}n a 的前n 项和为（ ）A ．1(91)2n- B ．1(91)4n-C ．1(9)8na + D ．3(91)8na +-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

i 1
i 1
6
2
又由已知计算得： (x x)( yi y)
r
i 1
=
13.56
13.56 0.998
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
17.5 10.55 4.18 3.25
i 1
i 1
所以：由 R2 r 2 0.996 0.89 ，因此，回归方程 y ketx 的拟合效果要更好.
利用VB1 ABC
VABB1C
得：
1 3
SABC
d
1 3
S BB1C
AO ，
d
21 ，
7
sin d 21 BB1 7
19. 解：（1）由 y ketx 得： ln y tx ln k ，由上表中可得： x 3.5 ， u 3.13 ，
6
6
(ui u)2 10.55 ， (xi x)(ui u) 13.56 ，
6
（2）
①
由题知： t b
i 1
( xi
6
x)(ui (xi x)2
u)
=
13.56 17.5
0.77
i 1
因此有： ln k u b x =3.13-0.775×3.5=0.418
故 ln y 0.775x 0.418 ,
故回归方程为： y e0.775x0.418 ， 即： y 1.520e0.775x
要证： ln x x2 x ，只作差函数即可，余略
22. （1） 点 P 到直线 l 距离的最大值为 2 2
（2） t 的取值范围为 (0, 3) 23. （1） ( 8 ,2) ； （2） (0,8]
3
4
，即

绝密★启用前山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则v B A =U ðA.{0,2,4}B.{1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2.已知i 是虚数单位,复数m+ 1 +(2 - m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A.(-∞, -1)B.(-1,2)C.(2, +∞)D.(-∞,-1)U(2, +∞)3.已知等差数列{}n a 中,前5项和525,S =23,a =,则9a =A.16B.17C.18D.194.已知平面向量a =(4,-2),b =(1,-3),若a + λb 与b 垂直,则λ =A.-2B.2C.-1D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为 5.16A 11.32B 7.16C 13.32D6.某程序框图如图所示,若a = 4,则程序运行后输出的结果是7.4A 9.5B 11.6C 13.13D7.函数21()||x f x x -=的图象大致为8.已知变量x,y 满足约束条件632,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数z=x + 2y 的最大值为A.3B.5C.8D.119.设a ∈R, b ∈[0, 2π ),若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+),则满足条件的有序实数对(a, b)的个数为A.1B.2C.3D.410.刘徽注《九章算术.商功》中，将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为.3 B.3 3C D.411.过抛物线24y x =上点P(1, 2)作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,,l l l 与抛物线分别交于不同于P 的点A,B,C.若12230,1k k k k +=⋅=-,则以下结论正确的是A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定 12. 函数f(x)的定义域为(,2),()f x '-∞为其导函数,若1(2)()()x x x fx f x e '--+=且f(0)=0,则f(x)< 0的解集为A.(-∞, 0)B.(0, 1)C.(1,2)D.(0,2)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___14.已知函数4()log (41)(x f x kx k =++òR )是偶函数，则k=____15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC,BF 上移动，则MN 长度的最小值是____16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，12211,1,(n n n a a a a a n ++===+∈N *).用n S 表示它的前n 项和,若已知2020,S m =那么2020a =_____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步),绘制出如下频率分布直方图:( I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数;( II )若该校有教职工175人,试估计一天行走步数不大于130百步的人数;(III)在(II)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间( 150, 170]的概率.18. (本小题满分12分)已知△ABC 中,a, b,c 分别是内角A, B, C 的对边，212cos sin()cos 362C C ππ++=-. ( I )求C; (II)若c=3,△ABC 33求11a b +的值.19. (本小题满分12分)如图(1) ,在等腰直角△ABC 中，∠ACB = 90° ,AB =4,点D 为AB 中点,将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1-BCD,如图(2) ,其中,160,A DB ︒∠=， 点M,N,G 分别为11,,AC BC A B 的中点.( I )求证:MN ⊥平面DCG ；( II )求三棱锥1G A -DC 的体积.20. (本小题满分12分)已知函数f ()cos .x x e x =-(I )求曲线y =f(x )在点(0,f(0))处的切线方程;( II )证明:f(x)在(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21. （本小题满分12分)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0),F 过2F 的直线1l 交E 于A,B 两点,过A 作与y 轴垂直的直线2,l 又知点H(2, 0),直线BH 记为32,l l 与3l 交于点C.设22,AF F B λ=u u u u r u u u u r 已知当λ=2时,|AB|= |BF 1|.(I)求椭圆E 的方程;( II )求证;无论λ如何变化,点C 的横坐标是定值,并求出这个定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),已知点Q(6,0),点P 是曲线C 1上任意一点, 点M 满足 2PM MQ =u u u u r u u u u r ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程; (II)已知直线l:y=kx 与曲线2C 交于A,B 两点,若4OA AB =u u u r u u u r ,求k 的值.23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x-1|( I )若f(x)+ 2g(x )的最小值为1,求实数a 的值;( II )若关于x 的不等式f(x)+ g(x)< 1的解集包含1[,1]2,求实数a 的取值范围.。

数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则B ∪（∁U A ）为（ ） A ．{0，2，4}B ．{1，3，4}C ．{2，3，4}D ．{0，2，3，4}2．已知i 是虚数单位，复数m +1+（2﹣m ）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣1，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）3．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝25，a 2＝3，则a 9＝（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．15．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．1132C ．716D ．13326．某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．74B ．95C ．116D ．1377．函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．119．设a ∈R ，b ∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ），则满足条件的有序实数对（a ，b ）的对数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）A ．√3B ．3C ．√32D ．411．过抛物线y 2＝4x 上点P （1，2）作三条斜率分别为k 1、k 2、k 3的直线l 1、l 2、l 3，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 过定点 B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．函数f （x ）的定义域为（﹣∞，2），f '（x ）为其导函数．若（x ﹣2）f '（x ）+f （x ）=1−xe x 且f（0）＝0，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是．14．已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则k的值为．15．在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16．我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{a n}中，a1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*）．用S n表示它的前n项和，若已知S2020＝m，那么a2022＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间（150，170]的概率．18．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos 2π3sin(π6+C)+cosC =−12．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c ＝3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b的值． 19．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB ＝60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣cos x ．（1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求证：f （x ）在（−π2，+∞）上仅有两个零点．21．椭圆E 的焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H （2，0），直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ．设AF 2→=λF 2B →，已知当λ＝2时，|AB |＝|BF 1|． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM →=2MQ →，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA →=4AB →，求k 的值 [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）+2g （x ）的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，求实数a 的取值范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{1，3，4}C．{2，3，4}D．{0，2，3，4}由题意，集合∁U A＝{0，4}，从而求得（∁U A）∪B＝{0，2，4}．∵∁U A＝{0，4}，∴（∁U A）∪B＝{0，2，4}；故选：A．本题考查了集合的运算，属于基础题．2．已知i是虚数单位，复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．∵复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，∴{m+1＜02−m＞0，解得m＜﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3．已知等差数列{a n}中，前5项和S5＝25，a2＝3，则a9＝（）A．16B．17C．18D．19根据等差中项求出a3，然后求出a1和d，求出a9∵S5＝25，a2＝3，∴S5＝25＝5a3，则a3＝5，则公差d＝a3﹣a2＝2，a1＝1，则a9＝1+8×2＝17．故选：B．本题考查等差数列性质，属于基础题．4．已知平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得λ的值． ∵平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直， ∴（ a →+λb →）•b →=a →⋅b →+λb →2=4+6+10λ＝0，求得λ＝﹣1， 故选：C ．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．1132C ．716D ．1332先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高√2，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．设大正方形的边长为4，则面积4×4＝16，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，面积12×2√2×2√2=4，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高√2，面积√2+2√22×√2=3，故概率P =716． 故选：C ．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6．某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．74B ．95C ．116D ．137分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列{1n(n+1)}前四项的和再加上1．利用裂项法求和可求解．由题意知，该程序计算的是数列{1n(n+1)}前四项的和再加上1．∵1n(n+1)=1n −1n+1，∴S ＝1+（1−12）+(12−13)+(13−14)+(14−15) =95． 故选：B ．本题考查了直到型循环结构求数列前n 项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构． 7．函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ） A ．B．C．D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当x＞0时的单调性，利用排除法进行求解即可．f（﹣x）=(−x)2−1|−x|=x2−1|x|=f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当x＞0时，f（x）=x2−1x=x−1x为增函数，排除A，故选：D．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．11先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z ＝x +2y 过点P （2，1）时，z 最大值即可． 作出可行域如图，由z ＝x +2y 知，y =−12x +12z ，所以动直线y =−12x +12z 的纵截距12z 取得最大值时，目标函数取得最大值． 由{x =1x +y =6得A （1，5）． 结合可行域可知当动直线经过点A （1，5）时， 目标函数取得最大值z ＝1+2×5＝11． 故选：D ．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．设a ∈R ，b ∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ），则满足条件的有序实数对（a ，b ）的对数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． ∵对于任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ）， 则函数的周期相同，若a ＝3，此时sin （3x −π3）＝sin （3x +b ）， 此时b =−π3+2π=5π3，若a ＝﹣3，则方程等价为sin （3x −π3）＝sin （﹣3x +b ）＝﹣sin （3x ﹣b ）＝sin （3x ﹣b +π）， 则−π3=−b +π，则b =4π3， 综上满足条件的有序实数组（a ，b ）为（3，5π3），（﹣3，4π3），共有2组， 故选：B ．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10．刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）A ．√3B ．3C ．√32D ．4首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径． 根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体． 如图所示：所以r =√(12)2+(√22)2=√32．故选：C ．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．过抛物线y 2＝4x 上点P （1，2）作三条斜率分别为k 1、k 2、k 3的直线l 1、l 2、l 3，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 过定点 B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定由k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1，可设直线l 1的方程，可得l 2，l 3的方程，分别于抛物线联立可得A ，B ，C 的坐标，进而可得直线AB 的斜率为定值﹣1．k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1可得设l 1d 的斜率为k ，则l 2，l 3的斜率分别为：﹣k ，1k ，设直线l 1的方程为：y ＝k （x ﹣1）+2， 则l 2的方程为y ＝﹣k （x ﹣1）+2， l 3的方程为y =1k（x ﹣1）＝2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），联立直线l 1与抛物线的方程：{y =k(x −1)+2y 2=4x ，整理可得k 2x 2+[2k （2﹣k ）﹣4]x +（2﹣k ）2＝0， 所以x A •1=(2−k)2k2，所以x A =(2−k)2k2，代入直线l 1中可得y A ＝k （x ﹣1）+2＝k [(2−k)2k −1]+2=4−4kk ，即A （(2−k)2k ，4−2k k）；联立直线l 2与抛物线的方程可得{y =−k(x −1)+2y 2=4x，整理可得k 2x 2﹣[2k （2+k ）+4x +（2+k ）2＝0，所以x B •1=(2+k)2k2，可得x B =(2+k)2k2，代入l 2中可得y B ＝﹣k （x ﹣1）+2＝﹣k [(2+k)2k 2−1]+2=−2k+4k ，即B （(2+k)2k 2，−2k+4k ）； 联立直线l 3与抛物线的方程：{y =1k (x −1)+2y 2=4x ，整理可得y 2﹣4ky +8k ﹣4＝0，y C •2＝8k ﹣4，所以y C ＝4k ﹣2，代入抛物线的方程可得x C ＝（2k ﹣1）2，可得C （（2k ﹣1）2，4k ﹣2）； 所以k AB =4−2k k +2k+4k (2−k)2k 2−(2+k)2k2=8k −8k k2=−1为定值；故选：B ．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12．函数f （x ）的定义域为（﹣∞，2），f '（x ）为其导函数．若（x ﹣2）f '（x ）+f （x ）=1−xe x且f （0）＝0，则f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（0，2）结合已知构造函数g （x ）＝（x ﹣2）f （x ），x ＜2，结合已知可知g （x ）的单调性，结合其函数的特征可求解不等式． 令g （x ）＝（x ﹣2）f （x ），x ＜2， 由题意可得，g ′（x ）=1−xe x， 当x ＞1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减， 又g （0）＝0，x →2时，g （x ）→0， 由f （x ）＜0可得g (x)x−2＜0即g （x ）＞0，结合函数图象可知，0＜x ＜2． 故选：D ．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．双曲线2x 2﹣y 2＝8的实轴长是 4 ． 双曲线2x 2﹣y 2＝8化为标准方程为x 24−y 28=1，即可求得实轴长．双曲线2x 2﹣y 2＝8化为标准方程为x 24−y 28=1∴a 2＝4 ∴a ＝2 ∴2a ＝4即双曲线2x 2﹣y 2＝8的实轴长是4 故答案为：4本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14．已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数，则k 的值为 −12． 利用函数为偶函数的定义寻找关于k 的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．（1）由函数f （x ）是偶函数，可知f （x ）＝f （﹣x ） ∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx即 log 44x +14−x +1=−2kx ，log 44x ＝﹣2kx∴x ＝﹣2kx 对一切x ∈R 恒成立， ∴k =−12故答案为−12．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15．在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是√33．以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，AM →=λAC →=(0，λ，λ)，BN →=μBF →=(μ，−μ，0)，0≤λ≤1，0≤μ≤1，可得MN →=（μ，1﹣λ﹣μ，﹣λ），求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值． 如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0，0，0），B （0，1，0），F （1，0，0），C （0，1，1），设AM →=λAC →=(0，λ，λ)，BN →=μBF →=(μ，−μ，0)，0≤λ≤1，0≤μ≤1． MN →=AB →−AM →+BN →=（0，1，0）﹣（0，λ，λ）+（μ，﹣μ，0） ＝（μ，1﹣λ﹣μ，﹣λ）．∴|MN →|=√μ2+(1−λ−μ)2+λ2=√λ2+μ2+(λ+μ)2−2(λ+μ)+1≥√(λ+μ)22+(λ+μ)2−2(λ+μ)+1=√32(λ+μ)2−2(λ+μ)+1（当且仅当λ＝μ时等号成立）．令λ+μ＝t （0≤t ≤2），则|MN →|≥√32t 2−2t +1． ∴当t =23，即λ=μ=13时，|MN →|min =√13=√33． ∴MN 长度的最小值是√33． 故答案为：√33． 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16．我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{a n }中，a 1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*）．用S n表示它的前n项和，若已知S2020＝m，那么a2022＝m+1．根据条件，利用累加法得到a1+a2+a3+……+a2020＝a2022﹣a2＝m，从而a2022＝m+1，．∵a1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），∴a1+a2＝a3，a2+a3＝a4，a3+a4＝a5，……a2019+a2020＝a2021，a2020+a2021＝a2022，以上累加得：a1+2a2+2a3+2a4+……+2a2020+a2021＝a3+a4+……+a2021+a2022，∴a1+a2+a3+……+a2020＝a2022﹣a2＝m，∴a2022＝m+1，故答案为：m+1．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间（150，170]的概率．（Ⅰ）由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．（Ⅲ）在区间（150，170]中有28人，在区间（170，190]中有7人，在区间（190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从（150，170]中抽取4人，（170，190]和（190，210]中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间（150，170]的概率．（Ⅰ）由题意得：0.002×20+0.006×20+a×20+0.002×20+0.002×20＝1，解得a＝0.008，设中位数是110+x，则0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012x＝0.5，解得x＝15，∴中位数是125．（Ⅱ）由175×（0.002×20+0.006×20+0.008×20）＝98，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间（150，170]中有28人，在区间（170，190]中有7人，在区间（190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从（150，170]中抽取4人，（170，190]和（190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数n=C62=15，这两人均来自区间（150，170]包含的基本事件个数m=C42=6，∴这两人均来自区间（150，170]的概率p=mn=615=25．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos 2π3sin(π6+C)+cosC =−12．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c ＝3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b的值． （Ⅰ）根据三角函数的化简即可求出C 的值， （Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出． （Ⅰ）2cos2π3sin(π6+C)+ccosC =−12， ∴sin （π6+C ）﹣cos C =12， ∴12cos C +√32sin C ﹣cos C =12，∴√32sin C −12cos C =12， ∴sin （C −π6）=12， 而C 为三角形的内角， ∴C =π3；（Ⅱ）△ABC 的面积为3√32，及C =π3，得12ab sin π3=3√32， 化简可得ab ＝6，又c ＝3，由余弦定理，得a 2+b 2﹣2ab cos C ＝9， 化简得a 2+b 2＝15， ∴a +b ＝3√3， ∴1a +1b=a+b ab=√32本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB ＝60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．（Ⅰ）推导出A1D＝BD，A1C＝BC，从而DG⊥A1B，CG⊥A1B，进而A1B⊥平面DGC，推导出MN∥A1B，由此能证明MN⊥平面DCG．（Ⅱ）由CD⊥A1D，CD⊥BD，A1D∩BD＝D，得CD⊥平面A1DG，推导出△A1DB是等边三角形，三棱锥G﹣A1DC的体积V G−A1DC =V C−A1DG=13S△A1DG×CD，由此能求出结果．（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC＝BC＝2√2，AD＝BD＝CD＝2，∴在三棱锥A1﹣BCD中，A1D＝BD，A1C＝BC，∵G是A1B的中点，∴DG⊥A1B，CG⊥A1B，∵DG∩CG＝G，∴A1B⊥平面DGC，∵点M，N，分别为A1C，BC的中点．∴MN∥A1B，∴MN⊥平面DCG．（Ⅱ）解：由图（1）知CD⊥A1D，CD⊥BD，A1D∩BD＝D，∴CD⊥平面A1DG，又∠A1DB＝60°，∴△A1DB是等边三角形，∴DG⊥A1B，A1B＝2，A1G=12A1B＝1，DG=√3，∴S△A1DG=12×A1G×DG=12×1×√3=√32，∴三棱锥G﹣A1DC的体积：V G−A1DC =V C−A1DG=13S△A1DG×CD=13×√32×2=√33．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数f（x）＝e x﹣cos x．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：f（x）在（−π2，+∞）上仅有两个零点．（1）f（0）＝0．切点为（0，0）．f′（x）＝e x+sin x．可得f′（0）＝1，利用点斜式即可得出切线方程．（2）f′（x）＝e x+sin x．分类讨论：x≥0时，利用导数研究其单调性可得f′（x）≥0，函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点0．x∈（−π2，0）时，f″（x）＝e x+cos x＞0．可得函数f′（x）在x∈（−π2，0）上单调递增，进而得出f（x）零点的个数．（1）f（0）＝0．∴切点为（0，0）．f′（x）＝e x+sin x．∴f′（0）＝1，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣0＝x﹣0，化为：x﹣y＝0．证明：（2）f′（x）＝e x+sin x．x≥0时，e x≥1，∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，而f（0）＝0，∴函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点0．x∈（−π2，0）时，f″（x）＝e x+cos x＞0．∴函数f′（x）在x∈（−π2，0）上单调递增，而f′(−π2)=1eπ2−1＜0，f′（0）＝1＞0，∴存在唯一实数x 0∈（−π2，0），使得f ′（x 0）=e x 0+sin x 0＝0， 且函数f （x ）在x ∈（−π2，x 0）上单调递减，x ∈（x 0，0）上单调递增． 又f(−π2)=1e π2＞0，f （x 0）=e x 0−cos x 0＝﹣sin x 0﹣cos x 0＜0，f （0）＝0．∴函数f （x ）在x ∈（−π2，x 0）上存在唯一零点，而在x ∈[x 0，0）上无零点． 综上可得：f （x ）在（−π2，+∞）上仅有2个零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．椭圆E 的焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H （2，0），直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ．设AF 2→=λF 2B →，已知当λ＝2时，|AB |＝|BF 1|． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值． （1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，其中b 2＝a 2﹣1，利用椭圆的定义和已知条件可得B （32，b 2），代入椭圆方程解得a ，b ，c 的值，从而得到椭圆方程；（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为：x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得m =y 1+y2y 1y 2，进而得到直线BH 斜率k BH ＝y 1，再得到直线BH 的方程与直线l 2方程联立即可得到点C 的横坐标是定值3． （Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，其中b 2＝a 2﹣1，由已知当λ＝2时，不妨设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m ， ∵|AB |＝|BF 1|，∴|BF 1|＝3m ，由椭圆定义得2a ＝4m ，从而|AF 1|＝|AF 2|＝2m ，故此时点A 在y 轴上，不妨设A （0，﹣b ），从而由已知条件可得B （32，b2），代入椭圆方程，解得a 2＝3，所以b 2＝a 2﹣1＝2， 故所求椭圆方程为：x 23+y 22=1；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为：x ＝my +1，代入椭圆2x 2+3y 2＝6 中，得：（2m 2+3）y 2+4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2=−4m 2m 2+3，y 1y 2=−42m 2+3， ∴m =y 1+y2y 1y 2，由题设知H （2，0），直线BH 斜率k BH =y 2x 2−2=y 2my 2−1=y2y 1+y 2y 1−1=y 1，∴直线BH 的方程为：y ＝y 1（x ﹣2），而直线l 2方程为：y ＝y 1，代入y ＝y 1（x ﹣2），得x ＝3，故点C 的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM →=2MQ →，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA →=4AB →，求k 的值（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数），设P （3cos θ，3sin θ），由于点M 满足PM →=2MQ →， 所以{x =4+cosθy =sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣4）2+y 2＝1． 转换为极坐标方程为ρ2﹣8ρcos θ+15＝0（Ⅱ）直线l ：y ＝kx 转换为极坐标方程为θ＝α， 设A （ρ1，α），B （ρ2，α），由于OA →=4AB →， 所以5OA →=4OB →，即5ρ1＝4ρ2， 由于ρ2﹣8ρcos θ+15＝0， 所以{ρ1+ρ2=8cosθρ1ρ2=155ρ1=4ρ2，解得cosθ=9√316．所以k 2=tan 2θ=1cos 2θ−1=13243， 解得k ＝tan θ=±√3927．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）+2g （x ）的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）化简f （x ）+2g （x ）的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a 的值；（Ⅱ）化简不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集，通过解集包含[12，1]，列出不等式，然后求实数a 的取值范围．（Ⅰ）函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|． f （x ）+2g （x ）＝|2x +a |+2|x ﹣1| ＝|2x +a |+|2x ﹣2|≥|2x +a ﹣（2x ﹣2）|＝|a +2|＝1，解得a ＝﹣1或a ＝﹣3；（Ⅱ）x ∈[12，1]时，不等式f （x ）+g （x ）＜1，即：|2x +a |+|x ﹣1|＜1，可得：|2x +a |+1﹣x ＜1，∴|2x +a |＜x ． ∴−a 3＜x ＜﹣a ，不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，即：−a 3＜12且﹣a ＞1，∴−32＜a ＜−1． 实数a 的取值范围：（−32，﹣1）．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。

山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）文科数学试题4.21第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则v B A =U ðA.{0,2,4}B.{1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2.已知i 是虚数单位,复数m+ 1 +(2 - m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A.(-∞, -1)B.(-1,2)C.(2, +∞)D.(-∞,-1)U(2, +∞)3.已知等差数列{}n a 中,前5项和525,S =23,a =,则9a =A.16B.17C.18D.194.已知平面向量a =(4,-2),b =(1,-3),若a + λb 与b 垂直,则λ =A.-2B.2C.-1D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为 5.16A 11.32B 7.16C 13.32D6.某程序框图如图所示,若a = 4,则程序运行后输出的结果是7.4A 9.5B 11.6C 13.13D7.函数21()||x f x x -=的图象大致为8.已知变量x,y 满足约束条件632,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数z=x + 2y 的最大值为A.3B.5C.8D.119.设a ∈R, b ∈[0, 2π ),若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+),则满足条件的有序实数对(a, b)的个数为A.1B.2C.3D.410.刘徽注《九章算术.商功》中，将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为.3B.3 3C D.411.过抛物线24y x =上点P(1, 2)作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,,l l l 与抛物线分别交于不同于P 的点A,B,C.若12230,1k k k k +=⋅=-,则以下结论正确的是A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定 12. 函数f(x)的定义域为(,2),()f x '-∞为其导函数,若1(2)()()x x x fx f x e '--+=且f(0)=0,则f(x)< 0的解集为A.(-∞, 0)B.(0, 1)C.(1,2)D.(0,2)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___14.已知函数4()log (41)(x f x kx k =++òR )是偶函数，则k=____15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC,BF 上移动，则MN 长度的最小值是____16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，12211,1,(n n n a a a a a n ++===+∈N *).用n S 表示它的前n 项和,若已知2020,S m =那么2020a =_____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步),绘制出如下频率分布直方图:( I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数;( II )若该校有教职工175人,试估计一天行走步数不大于130百步的人数;(III)在(II)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间( 150, 170]的概率.18. (本小题满分12分)已知△ABC 中,a, b,c 分别是内角A, B, C 的对边，212cos sin()cos 362C C ππ++=-. ( I )求C; (II)若c=3,△ABC 33求11a b +的值.19. (本小题满分12分)如图(1) ,在等腰直角△ABC 中，∠ACB = 90° ,AB =4,点D 为AB 中点,将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1-BCD,如图(2) ,其中,160,A DB ︒∠=， 点M,N,G 分别为11,,AC BC A B 的中点.( I )求证:MN ⊥平面DCG ；( II )求三棱锥1G A -DC 的体积.20. (本小题满分12分)已知函数f ()cos .x x e x =-(I )求曲线y =f(x )在点(0,f(0))处的切线方程;( II )证明:f(x)在(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21. （本小题满分12分)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0),F 过2F 的直线1l 交E 于A,B 两点,过A 作与y 轴垂直的直线2,l 又知点H(2, 0),直线BH 记为32,l l 与3l 交于点C.设22,AF F B λ=u u u u r u u u u r 已知当λ=2时,|AB|= |BF 1|.(I)求椭圆E 的方程;( II )求证;无论λ如何变化,点C 的横坐标是定值,并求出这个定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),已知点Q(6,0),点P 是曲线C 1上任意一点, 点M 满足 2PM MQ =u u u u r u u u u r ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程; (II)已知直线l:y=kx 与曲线2C 交于A,B 两点,若4OA AB =u u u r u u u r ,求k 的值.23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x-1|( I )若f(x)+ 2g(x )的最小值为1,求实数a 的值;( II )若关于x 的不等式f(x)+ g(x)< 1的解集包含1[,1]2,求实数a 的取值范围.11。

2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第1题5分若全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则B∪∁U A=（）．A. {0,2,4}B. {1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第2题5分2020年四川宜宾高三一模文科第2题5分已知i是虚数单位，复数m+1+(2−m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）．A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (2,+∞)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)3、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第3题5分已知等差数列{a n}中，前5项和S5=25，a2=3，则a9=（）．A. 16B. 17C. 18D. 194、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第4题5分已知平面向量a→=(4,−2)，b→=(1,−3)，若a→+λb→与b→垂直，则λ=（）．A. −2B. 2C. −1D. 15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第5题5分2020年山西太原高三一模理科第3题5分2019~2020学年6月湖北武汉高三下学期月考文科供题（二）第7题5分七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）．A. 516B. 1132C. 716D. 13326、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第6题5分某程序框图如图所示，若a=4，则程序运行后输出的结果是（）．A. 74B. 95C. 116D. 1377、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第7题5分2020年山西太原高三一模理科第5题5分函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）． A.B.C.D.8、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第8题5分2019~2020学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第5题5分已知变量x，y满足约束条件{x+y⩽6x−3y⩽−2x⩾1，则目标函数z=x+2y的最大值为（）．A. 3B. 5C. 8D. 119、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第9题5分2016年高考真题上海卷文科第17题5分2019~2020学年浙江杭州拱墅区杭州源清中学高一下学期期中第7题4分2020~2021学年11月浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期周测D卷第8题2017~2018学年重庆北碚区西南大学附属中学校高一上学期期末第10题5分设a∈R，b∈[0,2π)．若对任意实数x都有sin⁡(3x−π3)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第10题5分刘徽注《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）．A. √3B. 3C. √32D. 411、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第11题5分过抛物线y2=4x上点P(1,2)作三条斜率分别为k1，k2，k3的直线l1，l2，l3，与抛物线分别交于不同于P的点A，B，C．若k1+k2=0，k2⋅k3=−1，则以下结论正确的是（）．A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第12题5分且f(0)=0，则函数f(x)的定义域为(−∞,2)，f′(x)为其导函数，若(x−2)f′(x)+f(x)=1−xe xf(x)<0的解集为（）．A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第13题5分2018~2019学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期中第15题3分双曲线2x2−y2=8的实轴长是．14、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第14题5分已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数，则k=．15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第15题5分2020年山西太原高三一模理科第15题5分在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第16题5分我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n}中，a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N∗)，用S n表示它的前n项和，若已知S2020=m，那么a2022=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第17题12分手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：(1) 求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数．(2) 若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数．(3) 在（2）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150,170]的概率．18、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第18题12分已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos⁡2π3sin⁡(π6+C)+cos⁡C =−12． (1) 求C ．(2) 若c =3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第19题12分2020年河南郑州高三一模文科第18题12分如图(1)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 的中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1−BCD ，如图(2) ，其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．(1) 求证：MN ⊥平面DCG ．(2) 求三棱锥G −A 1DC 的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第20题12分已知函数f (x )=e x −cos⁡x ．(1) 求曲线y =f (x )在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 证明：f (x )在(−π2,+∞)上有且仅有2个零点．21、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第21题12分椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1,0)，过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H (2,0)，直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ，设AF 2→=λF 2B →，已知当λ=2时，|AB|=|BF 1|．(1) 求椭圆E 的方程．(2) 求证：无论λ如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第22题10分2020年山西太原高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3cos⁡θy=3sin⁡θ（θ为参数)，已知点Q(6,0)，点P是曲线C1上任意一点，点M满足PM→=2MQ→，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹C2的极坐标方程．(2) 已知直线l:y=kx与曲线C2交于A，B两点，若OA→=4AB→，求k的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第23题10分2020年山西太原高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|，g(x)=|x−1|．(1) 若f(x)+2g(x)的最小值为1，求实数a的值．(2) 若关于x的不等式f(x)+g(x)<1的解集包含[12,1]，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】4;14 、【答案】−1;2.;15 、【答案】√3316 、【答案】m+1;17 、【答案】 (1) a=0.008，125．;(2) 98人．;(3) 2．5;18 、【答案】 (1) C=π．3;(2) √3．2;19 、【答案】 (1) 证明解析．;(2) √3．3;20 、【答案】 (1) x−y=0．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x23+y22=1．;(2) 证明见解析，3．;22 、【答案】 (1) ρ2−8ρcos⁡θ+15=0．;(2) k=±√3927．;23 、【答案】 (1) a=1或a=3．;(2) (1,32)．;。

①-③，得 2(x1 x2 )(x1 x2 ) 3( y1 y2 )( y1 y2 ) 6(1 2) ，……④ ...................8 分
由 AF2 F2B ，得 x1 x2 1 ， y1 y2 0 ，
将 x1 x2 1 ， y1 y2 0 代入④化简，得 x1 x2 3(1 ) ，
（Ⅱ）由175 0.002 20 0.006 20 0.008 20 0.012 20 98 .
∴估计一天步行数不大于 130 百步的人数为 98 人. ...............................................6 分
（Ⅲ）在区间 150,170 中有 28 人，在区间 170,190 中有 7 人，在区间 190, 210 中有 7 人，
又 点M、N分别是A1C、BC的中点MN A1B ， MN 平面DGC . .........................................................................................................6 分 解（Ⅱ）由（Ⅰ）知， CD A1D,CD BD ，且 A1D BD=D,
又
f
π 2
π
e2
0
，所以
f
π 2
f
t
0，
由零点存在定理可知，函数
y
f
(x)
在区间
π 2
,
0
上有且只有一个零点.
.............11 分
综上所述，函数
y
f
(x)
在区间
π 2
,
上有且仅有两个零点.
......................................12

2019-2020学年高三一模考试数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则u B C A =（ ）.A {}0,2,4 .B {}1,3,4 .C {}2,3,4 .D {}0,2,3,4【答案】A 【考点】集合运算【解析】由集合运算知{}u 0,4C A =u B C A ={}0,2,42.已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++−在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）.A ()--1∞，.B ()-1-2， .C ()2+∞， .D ()()--12+∞∞，，【答案】A【考点】复数及复平面的概念【解析】第二象限，则实部1m +为负，虚部(2)m −为正 3.已知等差数列{}n a 中前5项和525S =,23a =，则9a =（ ）.A 16 .B 17 .C 18 .D 19【答案】B【考点】等差数列通项公式及求和公式 【解析】由公式可知()515515=252S a d −=+，213a a d =+=，解得1=1a ，2d =，91817a a d =+=4.已知平面向量()4,2a =−，()1,3b =−，若a b λ+与b 垂直，则=λ（ ）.A -2 .B 2 .C -1 .D 1【答案】C【考点】平面向量的坐标运算【解析】()=4+-2-3a b λλλ+，，()()()4+-3-2-3=0a b b λλλ+•=，解得=-1λ5.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成。

（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之。

如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）.A 516 .B 1132 .C 716.D 1332【答案】C【考点】几何概型【解析】若正方形面积为1，可求得阴影部分面积为7166.某程序框图如图所示，若4a =，则程序运行后输出的结果是（ ）7.4A 9.5B 11.6C 13.7D 答案：B考点：程序框图解析：由题，4a =时，1119112355S =+−+−−= 7.函数()21x fxx−=的图像大致为（ ）答案：D考点：函数解析式与图像解析：由()()f x f x =−得，函数为偶函数，排除,B C()0,1x ∈时，()0f x ＜恒成立，固选D8.已知变量,x y 满足约束条件6,321x y x y x +≤⎧⎪−≤−⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）.3A .5B .8C .11D答案：D 考点：线性规划 解析：由题，122zy x =−+，其最大值位置如图所示，将点()1,5代入2z x y =+得，max 11Z = 9.设a R ∈，[)0.2b π∈，若对于任意实数x 都有()sin 3sin 3x ax b π⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数对(),a b 的个数为（ ）.1A .2B .3C .4D答案：B考点：三角函数诱导公式 解析： 5sin 3sin 32sin 3333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin 3sin 3sin 3333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−−=−+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 10.刘徽注《九章算术⋅商功》，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马，如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）.3B C .4D答案：C考点：三视图还原立体图形、外接球 解析：三视图还原立体图形如图所示：过点O 作垂直于面ABCD 的垂线，向上作12的长度即得到球心位置所以外接球半径2R 11.过抛物线24y x =上点()1,2P 作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,l l l ，与抛物线分别交于不同于P 的点,,A B C 。

数的单调性，排除 A，即可得到答案.
【详解】由题意，函数
f
x
x2
1
，可得
f
x
(x)2
1
x2
1
f
x ，
x
x
x
即 f (x) f (x) ，所以函数 f x 为偶函数，图象关于 y 对称，排除 B、C；
当
x
0 时，
f
x
x2 1 x
x
1 x
，则
f
'( x)
1
1 x2
＞0，
所以函数在（0，＋）上递增，排除 A，
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】
由 S5 25 以及等差数列的性质及求和公式可得 a3 5 ，又 a2 3 可得公差 d，再利用 a9 a3 6d 计算即
可得到答案.
【详解】由等差数列的性质及求和公式，得
S5
5(a1 2
a5 )
5a3
25 ，解得 a3
5 ，又
a2 3 ，所以公差 d 2 ， a9 a3 6d 17 .
故选：B
【点睛】本题考查等差数列的基本性质及求和公式的计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
4.已知平面向量 a (4, 2) ， b (1, 3) ，若 a λb 与 b 垂直，则 （ ）
A. 2
B. 2
【详解】解:因为复数 m+1+(2﹣m)i 在复平面内对应的点在第二象限,
m 1＜0 所以 2 m＞0 ,解得 m＜﹣1.
所以实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣1).
故选:A.
【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题.