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注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ） A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）绵阳市高中2020届第一次诊断性考试文科数学A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(=【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
四川省绵阳南山中学2020届高三数学上学期一诊模拟考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lg x≤0}，则M∪N=（）A. B. C. D.2.已知点，向量，则向量=（）A. B. C. D.3.已知α∈（π，π），cosα=-，则tan（-α）等于（）A. 7B.C.D.4.若a，bc为实数，则下列命题中正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则5.设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A. B. C. D.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）=e|x|+cos x，若f（2x-1）≥f（x），则实数x的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知正项等比数列的公比为3,若,则的最小值等于( )A. 1B.C.D.9.已知函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象可由函数y=cos x的图象（纵坐标不变）（）A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位10.已知函数,则“”是“在上单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件111.定义在R上的函数f(x)满足：＞恒成立，若x1＜x2，则与的大小关系为（）A.B.C.D. 与的大小关系不确定12.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题）13.设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x•（1+x），则=______．14.已知直线y＝kx-2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为_________．15.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是______．三、解答题（本大题共8小题）16.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为______．17.设f（x）=2sin（π-x）sin x-（sin x-cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．18.设{a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求++…+．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．20.已知函数f（x）=e x-x2+2ax．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．21.已知函数f(x)＝ln x +a(1-x)．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．22.已知直线l的参数方程为（t为参数）．椭圆C的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标；（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．23.已知函数f（x）=|2x-1|-|x-a|，a≤0．（1）当a=0时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．3答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lg x≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选A．2.【答案】A【解析】【分析】求出有向线段，然后由=求之．本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（-4，-3），则向量==（-7，-4）；故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵α∈（π，π），cosα=-，∴sinα=-=-，∴tanα==，则tan（-α）===．故选：B．由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：对于A：若a＞b，则ac2＞bc2，当c=0时不成立，对于B：根据不等式的性质1，若a＜b，则a+c＜b+c，故成立，对于C：若a＜b，则ac＜bc，当c=0时不成立，对于D：若a＜b，则ac＜bc，当a=-1，b=1时不成立，故选：B根据不等式的基本性质，判断每个选项即可本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题5.【答案】A5【解析】【分析】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（-）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6.【答案】B【解析】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则31×5+d=390，解得d=．则==•=•=．故选：B．由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，设公差为d（尺），运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．本题考查等差数列在实际问题中的运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：f（x）是R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=e x+cos x，f′（x）=e x-sin x≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴由f（2x-1）≥f（x）得，f（|2x-1|）≥f（|x|），∴|2x-1|≥|x|，∴（2x-1）2≥x2，解得或x≥1，∴实数x的取值范围为．故选：A．可看出f（x）是R上的偶函数，并且x≥0时，得出f（x）=e x+cos x，根据导数符号即可判断出f（x）在[0，+∞）上单调递增，从而根据f（2x-1）≥f（x）可得出|2x-1|≥|x|，两边平方即可解出x的范围．本题考查了偶函数的定义，根据导数符号判断函数的单调性的方法，根据函数的单调性解不等式的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，函数的最值的求法，考查计算能力,属于较易题.利用等比数列的性质推出m、n的关系，然后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为3，若=a32，可得m+n=6,m,n∈．=,当且仅当m=2n,即m=4,n=2时，的最小值等于．故选：C．9.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，==，解得w =2．再把点（，1）代入函数的解析式可得1=sin（2×+φ），即sin（+φ）=1．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．把函数y=cos x的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y=cos2x的图象，再向右平移个单位可得y=cos2（x-）=cos（2x-）=sin[-（2x-）]=sin（-2x）=sin[π-（-2x）]=sin（2x+）=f（x）的图象．故选：B．由函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，求出w=2，φ=，可得函数f（x）=sin（2x+）．再由函数y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由y=A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′（x）=x2+a≥0恒成立，即a≥0，∴“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，故选：A．利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则，∴函数g（x）单调递增，∵若x1＜x2，∴g（x1）＜g（x2），即，∴f（x2）＞ef（x1），故选：A．12.【答案】B【解析】解：（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，7舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜-2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．故选：B．（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．对a 分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得，=．故答案为：．由奇函数的性质可得，，由周期性可得，进而得解．本题考查函数奇偶性及周期性的综合运用，考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】1+ln2【解析】【分析】本题给出直线是曲线y=x lnx的切线，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题设切点为（x0，x0ln x0），对y=x lnx求导数得y′=ln x+1，从而得到切线的斜率k=ln x0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（ln x0+1）x-x0，对照已知直线列出关于x0、k的方程组，解之即可得到实数k的值．【解答】解：设切点为（x0，x0ln x0），对y=x lnx求导数，得y′=ln x+1，∴切线的斜率k=ln x0+1，故切线方程为y-x0ln x0=（ln x0+1）（x-x0），整理得y=（ln x0+1）x-x0，与直线y=kx-2比较，得：，故k=1+ln2，故答案为：1+ln2．．15.【答案】2【解析】解：由已知条件知：==x2-xy+y2=（x+y）2-3xy；∴（x+y）2-1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故答案为：2．对两边平方并根据已知条件可得到：x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=1，所以（x+y）2-1=3xy，因为根据向量加法的平行四边形法则可知，x，y＞0，所以，所以，所以得到x+y≤2，所以x+y的最大值是2．考查向量数量积的运算及计算公式，向量加法的平行四边形法则，基本不等式．16.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象知当直线y=-x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6，故答案为：6（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）sin x-（sin x-cos x）2 =2sin2x-1+sin2x=2•-1+sin2x 17.【答案】解：=sin2x-cos2x+-1=2sin（2x-）+-1，令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x-）+-1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sin x+-1的图象，9∴g（）=2sin+-1=．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．（Ⅱ）利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．可得：2a1+3d=5ln2，可得d=ln2，{a n}的通项公式；a n=a1+（n-1）d=n ln2，（Ⅱ）==2n，∴++…+=21+22+23+…+2n==2n+1-2．【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．19.【答案】解：（Ⅰ）∵•=2，cos B=，∴c•a cos B=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos B，即9=a2+c2-4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sin B===，由正弦定理=得：sin C=sin B=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cos C===，则cos（B-C）=cos B cos C+sin B sin C=×+×=．【解析】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；（2）由余弦定理可得cos C，求得sin C，sin B，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．20.【答案】解：（1）∵f'（x）=e x-2x+2，∵f'（1）=e，即k=e，f（1）=e+1∴所求切线方程为y-（e+1）=e（x-1），即ex-y+1=0（2）f'（x）=e x-2x+2a，∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴在R上恒成立，令，，令g'（x）=0，则x=ln2，∵在（-∞，ln2）上g'（x）＞0；在（ln2，+∞）上，g'（x）＜0，∴g（x）在（-∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（ln2）=ln2-1，∴a≥ln2-1，∴实数a的取值范围为[ln2-1，+∞）．【解析】（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到f′（1），再求得f（1），代入直线方程点斜式得答案；（2）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0在R上恒成立，得e x-2x+2a≥0在R上恒成立，分离参数a后利用函数的导数求解函数的最值，然后求解实数a的取值范围；本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用单调性证明函数不等式，是压轴题．21.【答案】解：（1）f′（x）=-a（x＞0）．若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，当x∈时，f′（x）＜0，所以f（x）在上单调递增，在单调递减．（2）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为=ln+a=-ln a+a-1．因此＞2a-2等价于ln a+a-1＜0．令g（a）=ln a+a-1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0．于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，因此，a的取值范围是（0，1）．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）f′（x）=-a（x＞0），对a分类讨论即可得出单调性．（2）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为=ln+a=-ln a+a-1．因此＞2a-2等价于ln a+a-1＜0．令g（a）=ln a+a-1，利用其单调性即可得出．22.【答案】解：（1）椭圆C的参数方程为（α为参数）．转化为直角坐标方程为：．点A的极坐标为（2，）．转换为直角坐标为：（）．（2）直线l的参数方程（t为参数），转化为直角坐标方程为：x+y-1=0．则：，整理为：，解得：，故：P（0，1），Q（），所以：|PQ|=，点A（1，）到直线x+y-1=0的距离d=，则：=．【解析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方进行转化．（2）利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，两点间的距离公式的应用．23.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）＜1化为|2x-1|-|x|-1＜0．．当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；当时，不等式化为x＞0，解得；当时，不等式化为x＜2，解得；综上，f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由题设可得11所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为（，0），（1-a，0），，该三角形的面积为×[（1-a）-（）]×|a-|=．由题设，且a＜0，解得a＜-1．所以a的取值范围是（-∞，-1）．【解析】（1）将a=0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围再合并；（2）由a≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于，解出a的范围即可．本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，属于中档题．。
四川省绵阳市2020届高三线上学习质量评估(文科)数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x 2≥1},则A∩B=A.{1,2}B.{-1,0,1}C.{-1,1,2}D.{0} 2.若a ∈R ,则"a>2"是"|a|>2"的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知复数z 满足z ·(1-i)=1+i,则z=A. iB. -iC.2iD.-2i 4.圆224x y +=被直线y=x+ 2截得的劣弧所对的圆心角的大小为A.30°B.45°C.90°D.120°5.从编号0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本,若编号为58的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为A.72B.74C.76D.786.已知双曲线C 2222:1(0,0)y x a b a b-=>>的离心率为2,则双曲线C 的渐近线方程为A. y=±2xB. 12y x =±C.y =D. y x = 7.已知α为第三象限角，且tan()3,4πα+=-则sinα=.A .B .C .D8.△ABC 中,3,AB BC ==AC=4, 则△ABC 的面积为.A .B .C .D 9.某木材加工厂需要加工一批球形滚珠.已知一块硬质木料的三视图如图所示,正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近A.3cmB.2.5cmC.5cmD.4.5cm10. 曲线4y x =上的点到直线8x- 16y-7=0的距离的最小值为 5.20A 5.10B 5.40C 5.5D 11.2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光。
四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学试题（文史类）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选D.2. 若，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假设则，所以，这与已知矛盾.故假设错误，应有，所以选C.3. ．已知向量，，若，则的值是（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A.4. 若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】因为，解得，所以，故选D.5. 某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得，即。
根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以，解得。
选C。
6. 已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为恒成立，所以命题为假命题，由得或，即或，所以是假命题，故是真命题，选B.7. 函数满足，且当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数解析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，故选C.8. 已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，因此，向右平移后得，，所以代入选项检验，当时，取最大值，所以是一条对称轴，故选B.9. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.10. 已知，给出以下结论：①；②；③.则其中正确的结论个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】对①，由指数函数的性质知，再由幂函数性质知，所以；对②取，显然，故不正确；对③根据对数函数的性质和图象知，故正确. 故选B.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.12. 已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故可设，∵∴ ，根据题意.存在，使得，只需，即，∴ ，∴.∴∴.故选B.点睛：本题主要考查了三角函数和导数的有关知识，难度较大，属于难题.求解时要做到灵活转化，一是根据条件设出，进而得到，并确定导数的值域；二是将存在两条互相垂直的切线转化为存在存在，使得，故得到只需，求得后再转化为三角函数的最值问题处理.13. 已知变量满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】3【解析】解：由变量x,y满足约束条件表示的平面区域，可知当直线过点（1,1）时，目标函数最小，且为514. 已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据函数的单调性及奇偶性可知，当或时，，故或时，，解得，故填.15. 在中，，，，且是边的两个三等分点，则__________．【答案】【解析】如图，,.∴。
四川省绵阳南山中学2020届高三数学上学期一诊热身考试试题 文第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] 2.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4) 3.已知），（23ππα∈，54cos -=α，则=-)4tan(απA ．7 B.17 C ．－17 D ．－74.若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是 A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc2B ．若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋cC ．若a ＜b ，则ac ＜bcD ．若a ＜b ，则1a ＞1b5.设a ，b ，c 是非零向量．．．．．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨(⌝q )6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A.165 B. 1615 C. 1629 D. 16317.已知函数||()e cos x f x x =+，若(21)()f x f x -≥，则实数x 的取值范围为 A ．1(,][1,)3-∞+∞B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1(,]2-∞D ．1[,)2+∞8.已知正项等比数列{}n a 的公比为3,若229a a a n m =⋅，则nm 212+的最小值等于 A.1 B.21 C.43 D.23 9.已知f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x 的图象(纵坐标不变)如何变换得到A.先把各点的横坐标缩短到原来的21,再向左平移6π个单位 B.先把各点的横坐标缩短到原来的21,再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移12π个单位 10.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.定义在R 上的函数f (x )满足：)()(x f x f >'恒成立，若21x x <，则)(21x f e x⋅与)(12x f e x⋅的大小关系为 A ．e x1f (x 2) >()21e x f x B ．e x1f (x 2) <()21e x f xC ．e x 1f (x 2)＝()21e x f xD ．e x1f (x 2)与()21e x f x 的大小关系不确定12.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是 A.(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－1)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4四川省绵阳市2024-2025学年高三第一次诊断性考试数学质量检测试题．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}2,1,0-- C. []2,0- D. []22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2. “22ac bc >”，是“a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3. 已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（ ）A. 3B. C. 6D. 9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy 的范围，从而求得xy 的最小值.详解】3x y xy +=-≥)23310--=+≥，30,9xy -≥≥，当且仅当3x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为9.故选：D4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）A. 30万元 B. 32万元C. 36万元D. 40万元【答案】D 【解析】【分析】先得求数据的中心点()10,50.5，代入ˆ 1.6ˆ5yx a =+得ˆ34a =，再由ˆ100=y 求得40x =即得.【详解】258111519106x +++++==，33455053586450.56y +++++==，因ˆ 1.6ˆ5yx a =+过点()x y ，故ˆ50.5 1.6510a =⨯+，得ˆ34a =，【故当ˆ100=y时，341001.65x +=，得40x =，故选：D5. 下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）A. 2y x -= B. 1y x x=+C. sin y x x =-D. 1ln1x y x -=+【答案】C 【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A ，令()2f x x -=，0x ≠，()()()22fx x x fx ---=-==，所以2y x -=是偶函数，故A 错误；对于B ，1y x x=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减，故B 错误；对于C ，令()sin g x x x =-，R x ∈，()()()()sin sin g x x x x x g x -=---=--=-，所以sin y x x =-是奇函数，又1cos 0y x '=-≥，所以sin y x x =-是R 上的增函数，故C 正确；对于D ，令()1ln1x h x x -=+，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()()()11201111x x h x x x x x '+-⎛⎫'=⋅=> ⎪-+-+⎝⎭，所以函数1ln 1x y x -=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，但在定义域上不单调，故D 错误.故选：C.6. 已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（ ）A. 9 B. 3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，的故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ=或tan θ=（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：lg 20.301≈）A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k ，然后再令0.4P =即可解出t .【详解】依题意，900(120%)ekP P --=，解得1ln 0.89k =-，即900.8t P P =，当0(160%)P P =-时，9000.40.8tP P =，即90.80.4t=，解得9lg 0.49(2lg 21)9(120.301)37lg 0.83lg 21130.301t --⨯==≈≈--⨯，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h .故选：C8. 已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（ ）A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]2e,0- D. ()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令()()2e3,0xh x xx =->，则()()()e 31x h x x x +'=-，当01x <<时，ℎ′(x )<0，则ℎ(x )在(0,1)上单调递减；当1x >时，ℎ′(x )>0，则ℎ(x )在(1,+∞)上单调递增；令()()231,0k x x x =-+≤，则其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线；由关于x 的不等式()()()0x f x g x -<，可知0x ≠，当0x >时，()()f x g x <，即有()()h x g x <；当0x <时，()()f x g x >，即有()()k x g x >；作出函数图象如图：要使关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，显然0m ≤不能满足题意，故需满足()()()()02222m h g k g ⎧>⎪≥⎨⎪-≤-⎩，即20e 232m m m>⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩，解得302m <≤，即m 的取值范围为30,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（ ）A. 342S = B. 2n nS a <C. {}n S 是等比数列 D. 存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =【答案】AB 【解析】【分析】通过n a 与n S 的关系，作差得到数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由16n n a S +=+，可得16,2n n a S n -=+≥两式相减可得：12,2n n a a n +=≥，又2211612,2a a S a =+==，所以数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，所以162n n a -=⨯，626nn S =⨯-，所以3362642S =⨯-=，A 正确；262n n a =⨯，所以2n n S a <，B 正确；由626nn S =⨯-，可得1236,18,42S S S ===，显然3212S S S S ≠，可判断{}n S 不是等比数列，C 错误；若n k S a =，即162662n k -⨯-=⨯，也即1221n k --=，显然不存在大于1的整数,n k ，使得等式成立，D 错误；故选：AB10. 已知函数()22sin cos0)222xxxf x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（ ）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B. 令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C. 函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D. 函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincossin 2sin (0)2223xxxf x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ， [)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，x ∈(0,π)，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点， 故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 故D 正确；故选：ABD.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. ()0f 可以等于零 B. ()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C. 曲线f (x−1)为轴对称图形 D. 若()11f =，则201()20k f k ==∑【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得()00f =或()01f =，分类讨论可得()01f =，判断A ；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B ；结合B 的分析以及图象的平移可判断C ；判断出(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令0x y ==，可得()()000000222f f f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()200f f =，解得()00f =或()01f =，当()00f =时，则可得()()0222f x f x x x x x f f ++-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()0f x =，与()f x 不恒为0矛盾，所以()01f =，故A 错误；令y x =-，可得()()()()()()20,f x f x f f x f x f x +-=∴-=，所以()f x 为偶函数，因为()cos 2f x x =是偶函数，所以()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =，故B 正确；因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()1f x -关于直线1x =对称，所以曲线()1f x -为轴对称图形，故C 正确；令2,x k y k =+=，则可得()()2222222f k f k k f f +++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()*221,N f k f k f k k ++=+∈，又()()2022222f f f f +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得()21f =，所以(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，所以201()20k f k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =______．【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由()()2cos cos πcos 3B C B C A ⎡⎤+=-+=-=-⎣⎦，故2cos 3A =，则22222cos 491253a b c bc A =+-=+-⨯=，故a =..13. 已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14. 若2x =是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】2e a <-【解析】【分析】根据函数的导数，对a 分类讨论，再结合()0f x '=的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】()()()()()e222e xx f x x a x x a =-+-=-+'，当0a ≥时，e 0x a +>，当2x <时，f ′(x )<0，当2x >时，f ′(x )>0，所以()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以2x =是函数的极小值点，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，可得()122,ln x x a ==-，若()2ln a <-，即2e a <-时，则2x <时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()2ln x a <<-时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，符合题意；若()2ln a >-即20e a >>-时，则2x >时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()ln 2a x -<<时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极小值点，不符合题意；若()2ln a =-即2e a =-时，则R x ∈时，f ′(x )≥0，函数()f x 单调递增，函数()f x 无极值点，不符合题意.综上，当2e a <-时，2是函数()f x 的极大值点.故答案为：2e a <-【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当0a ≥时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当0a <时，根据()0f x '=的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15，女生有报考军事类院校意向的概率为1 4（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写22⨯列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算2χ的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写22⨯列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为1001 5005=，女生有报考军事类院校意向的概率为1001 4004=.【小问2详解】()22900100300400100 3.214 2.072200700400500χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，（1）求ABC V 的面积；（2）若π4B =，求A ．【答案】（1）14； （2）π8或5π8.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在ABC V 中，由余弦定理及cos cos 1a C c A +=，得222222122a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得1b =，而1sin 2a C =，所以ABC V 的面积11sin 24S ba C ==.【小问2详解】由（1）及正弦定理得1πsin sin sin 4a b A B ===a A =，于1sin 2A C =1sin(2π)4A A +=，12cos )A A A +=，即22sin cos 12sin A A A =-，因此sin 2cos 2A A =，即tan 21A =，由3π04A <<，得3π022A <<，解得π24A =或5π24A =，所以π8A =或5π8A =.17. 已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．（1）若124a a +=，求1b 的值；（2）若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．【答案】（1）2（2）（ⅰ）()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()32n n n n T S +-=【解析】【分析】（1）先得112b a =，2232b a =，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得1n n n b a n+=，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得12n n n a a n ++=，由累乘法可得()1n a n n =+，进而可得()21n b n =+；（ⅱ）先得1n n n a b -=+，利用等差数列前n 项和公式可得()32n n T S n n +-=.【小问1详解】由()1n n n a nb +=可得112b a =，2232b a =，由题意可知2a 是1b 与2b 的等比中项，故2212a b b =，可得22123a a a =，即213a a =，又因124a a +=，故11a =，故1122b a ==【小问2详解】（ⅰ）由()1n n n a nb +=得1n n n b a n +=，由题意可得1211121n n n n n n n a a a n n b b ++++++==⋅，得12n n n a a n ++=，故12n n a n a n++=，故()1112211321121n n n n n a a a a n n n n a n n a a a ---=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+--= ，()211n n n b a n n+==+，故()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()()2111n n b n a n n n =+-=-++，()()1212n n n n T b b b a a a S =+++-++-()()()1122n n b a b a b a =-+-++- ()231n =++++ ()212n n++=()32n n +=18. 已知函数()3221f x x ax a x =+--．（1）当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有3条切线，322y x =-+（2）答案见解析 （3）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对a 分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当x →+∞时，()f x →+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当5a =-时，()325251f x x x x =---，()231025f x x x =--'，设切点为()00,x y ，因为切线过点(0,2)，所以切线斜率存在，故可设切线方程为2y kx =+，则3200002002525131025kx x x x k x x ⎧+=---⎨=--⎩，化简可得()2200021330x x x --+=，即()()200012330x x x ---=，由2002330x x --=的判别式9240∆=+>知方程有2个不等实根且不为1，故()()200012330x x x ---=有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故3102532k =--=-，所以切线方程为322y x =-+.【小问2详解】()()()22323f x x ax a x a x a =+-=-+'，当0a =时，()230f x x ='≥，所以函数R 上单调递增；当0a >时，3a a -<，所以x a <-或3ax <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3aa x -<<时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当0a <时，3aa ->，所以x a >-或3a x <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3ax a <<-时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；综上，0a =时，()f x 在R 上单调递增，无递减区间；当0a >时，()f x 在(),a ∞--和,3a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()f x 在,3a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),a ∞-+上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【小问3详解】当0a =时，3()1f x x =-，函数仅有1个零点1；当0a >时，由（2）知，()f x 的极大值为()f a -，且当x →+∞时，()f x →+∞，若()f x 有唯一零点，则333()10f a a a a -=-++-<，解得1a <，故()0,1a ∈，当0a <时，由（2）知，()f x 的极大值为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，同理，若()f x 有唯一零点，则3510327a f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得a >，故a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，综上，实数a的取值范围⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19. 已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．在（1）求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312nii a=-<∑．【答案】（1）a =2（2）(1)1n a >，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断()f x 的单调性求出最大值得解；（2）（i ）由已知结合基本不等式可得1ln 12nn na a a +≥+，利用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，（ii ）先构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a ，将所证明的式子放缩求和证明.【小问1详解】()()()121123x x f x x x x--'=+-=Q ，(]0,1x ∈，当102x <<时，10x -<，210x -<，()0f x '∴>，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当112x ≤≤时，10x -≤，210x -≥，()0f x '∴≤，则()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 11133ln ln 222424f x f a ⎛⎫∴==+-+=- ⎪⎝⎭，解得2a =所以实数a 的值为2.【小问2详解】（i ）由（1）知，()2ln 32f x x x x =+-+，所以212ln 3231n n n n n n a a a a a a +=+-++-，即21ln 12n n n na a a a +++=，212n n a a +≥Q ，1ln 12nn na a a +∴≥+，.下面用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，当2n =时，143a =，1214lnln 3111823a a a ∴≥+=+>，假设()2,Z n k k k =≥∈时，命题成立，则1k a >，当1n k =+时，有1ln 112kk ka a a +≥+>成立，所以上述命题对2,Z n n ≥∈，均有1n a >成立.（ii ）当1n =时，13112a -=<成立，当2n ≥时，令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11x ϕϕ<=，所以()()21ln 11ln 1112222n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ϕ+⎛⎫++++==+=+< ⎪⎝⎭，即11112n n a a +-<-，又由（i ）知1n a >，则()11112+-<-n n a a ，()()()121313111ni n i a a a a =∴-=-+-++-⎡⎤⎣⎦∑L ()121111311222n a -⎡⎤⎛⎫<-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 111123211322n n -⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭，102n >Q ，1112n ∴-<，12122n⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即1312ni i a =-<∑，得证.【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a .。
四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ）A ．（2，4）B ．{2，4}C ．{3}D ．{2，3}2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ） A ．x 2＜y 2 B ． C ．x 2＞1D ．y 2＜13．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3C ．D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．166．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ）祝您高考马到成功！A ．x=0B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ） A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣112．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 ．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 ． 15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则= ．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）祝您高考马到成功！17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围． 21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间； （2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参祝您高考马到成功！数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．祝您高考马到成功！四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ） A ．（2，4） B ．{2，4} C ．{3} D ．{2，3}【解答】解：集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}={x ∈Z |﹣1＜x ＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}， 则A ∩B={2，3}， 故选：D2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ）A ．x 2＜y 2B ．C ．x 2＞1D ．y 2＜1【解答】解：∵x ＞y ，且x +y=2，∴x ＞2﹣x ， ∴x ＞1，故x 2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．2【解答】解：根据题意，向量，，若，则有2x=（x ﹣1），解可得x=﹣1，故选：A ．祝您高考马到成功！4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．D ．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x 立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x ﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x ﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C ．6．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ） A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得： 命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0为假命题， 若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣1=b ﹣2或a ﹣1=﹣b +2 即a ﹣b=﹣1，或a +b=3，故命题q 为假命题， 故¬q 为真命题；祝您高考马到成功！p ∨q ，p ∧q 为假命题， 故选：B7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 【解答】解：因为f （x +2）=f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，在x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=|x |．画出函数f （x ）与g （x ）=log a x 的图象如下图所示；若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则函数g （x ）=log a x 的图象过（5，1）点，即a=5， 故选：C8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x=0 B ．C ．D ．祝您高考马到成功！【解答】解：∵函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx=2sin （ωx +）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f （x ）的周期为T ，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f （x ）=2sin （πx +），∴y=g （x ）=f （x ﹣）=2sin [π（x ﹣）+]=2sin （πx +），∵令πx +=kπ+，k ∈Z ，解得：x=k +，k ∈Z ，∴当k=0时，函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是：x=． 故选：C ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：“C=”⇔“A +B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A +B=，或A=+B ，“C=”不一定成立，∴A +B=是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，故选：A ．10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【解答】解：∵0＜a ＜b ＜1， 故y=为减函数，y=x a 在（0，+∞）上为增函数，祝您高考马到成功！故，即①正确；y=b x 为减函数，y=在（0，+∞）上为增函数，，即②错误；y=log a x 与在（0，+∞）上均为减函数，故，．即③正确；故选：B11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ）A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：∵f′（x ）=1﹣=，∴当﹣2＜x ＜﹣1时，f′（x ）＜0，当x ＞﹣1时，f′（x ）＞0，∴当x=﹣1时，f （x ）取得最小值f （﹣1）=0，∴f （x ）只有唯一一个零点x=﹣1，即x 1=﹣1，∵|x 1﹣x 2|≤1，∴﹣2≤x 2≤0，∴g （x ）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a 2﹣4（4a +4）=0，即a=2±2，此时g （x ）的零点为x=a ，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a 2﹣4（4a +4）＞0，即a ＜2﹣2或a ＞2+2，①若g （x ）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g （﹣2）g （0）≤0， ∴a=﹣1，②若g （x ）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a ＜2﹣2．祝您高考马到成功！综上，a 的最小值为﹣1． 故选：D ．12．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．【解答】解：∵函数f （x ）=ax +bcosx +csinx ，b 2+c 2=1，∴f′（x ）=a +ccosx ﹣bsinx=a ﹣sin （x ﹣φ），其中tanφ=， 则f′（x ）∈[a ﹣1，a +1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则存在k 1，k 2∈[a ﹣1，a +1]，使k 1k 2=﹣1， 由（a ﹣1）（a +1）=a 2﹣1≥﹣1得： a=0， 则a +c=c=sin （φ+θ），其中tanθ=，故a +c ∈[﹣，]，故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 3 ．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x +y 得y=﹣2x +z ， 平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时，直线y=﹣2x +z 的截距最小， 此时z 最小． 由，解得A （1，1），代入目标函数z=2x +y 得z=2×1+1=3．祝您高考马到成功！即目标函数z=2x +y 的最小值为3． 故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 （﹣，） ．【解答】解：根据题意，f （x ）为偶函数，则（2x +1）=f （|2x +1|），又由f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，则f （2x +1）＜1⇒f （|2x +1|）＜f （2）⇒|2x +1|＜2，解可得﹣＜x ＜；则x 的取值范围是（﹣，）； 故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则=．【解答】解：根据题意，如图△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点， 有=+=+=+（﹣）=+， =+=+=+（﹣）=+，祝您高考马到成功！则=（+）•（+）=2+2+•=；即=；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 （，） ．【解答】解：根据题意，数列{a n }中，a n +1+a n =2n +1，对其变形可得[a n +1﹣（n +1）]+（a n ﹣n ）=0，即a n +1﹣（n +1）=﹣（a n ﹣n ）， 又由a 1=m ，则a 1﹣1=m ﹣1，当m=1时，a n ﹣n=0，则a n =n ，符合题意，当m ≠1时，数列{a n ﹣n }是以m ﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列， 则a n ﹣n=（m ﹣1）×（﹣1）n ， 即a n =（m ﹣1）×（﹣1）n +n ，则a n ﹣1=（m ﹣1）×（﹣1）n ﹣1+n ﹣1， 当n 为偶数时，a n ﹣a n ﹣1=2（m ﹣1）+1，① 当n 为奇数时，a n ﹣a n ﹣1=﹣2（m ﹣1）+1，② 如果{a n }是单调递增数列，则有，解可得＜m ＜，即m 的取值范围是（，）∪（1，）；祝您高考马到成功！故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．【解答】解：（1）由图得，A=2． …（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（3分）∵，即， ∴，k ∈Z ，即，k ∈Z ，又， 所以，即． …（6分）（2）由已知，即， 因为，所以，∴． …（8分）祝您高考马到成功！∴===． …（12分）18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d （d ＞0）， 由S 3=15有3a 1+=15，化简得a 1+d=5，①…（2分）又∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴a 42=a 1a 13，即（a 1+3d ）2=a 1（a 1+12d ），化简得3d=2a 1，②…（4分） 联立①②解得a 1=3，d=2，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1． …（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n ＜a n +11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t ＜162． …（12分）19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．祝您高考马到成功！【解答】解：（1）△ABD 中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+CD 2﹣2AD•CD•cos ∠ADC ， 即，整理得CD 2+6CD ﹣40=0， 解得CD=﹣10（舍去），CD=4， ∴BC=BD +CD=4+2=6． ∴S △ABC =．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f'（x ）=3x 2+2x ﹣1=（3x ﹣1）（x +1），…（1分）由f'（x ）＞0解得或x ＜﹣1；由f'（x ）＜0解得，又x ∈[﹣1，2]，于是f （x ）在上单调递减，在上单调递增．…（3分） ∵， ∴f （x ）最大值是10+a ，最小值是．…（5分）（2）设切点Q （x ，x 3+x 2﹣x +a ），P （1，4）， 则，整理得2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a=0，…（7分） 由题知此方程应有3个解．祝您高考马到成功！令μ（x ）=2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a ，∴μ'（x ）=6x 2﹣4x ﹣2=2（3x +1）（x ﹣1）， 由μ'（x ）＞0解得x ＞1或，由μ'（x ）＜0解得，即函数μ（x ）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．…（10分）要使得μ（x ）=0有3个根，则，且μ（1）＜0，解得，即a 的取值范围为． …（12分）21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．【解答】解：（1）． …（1分）①当a ≤0时，f'（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；…（3分）②当a ＞0时，由f'（x ）＞0解得，由f'（x ）＜0解得．即f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增；综上，a ≤0时，f （x ）的单调递减区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是，f （x ）的单调递增区间是． …（5分）（2）由（1）知f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增， 则． …（6分）要证f （x ）≥，即证≥，即lna +≥0，祝您高考马到成功！即证lna ≥．…（8分）构造函数，则，由μ'（a ）＞0解得a ＞1，由μ'（a ）＜0解得0＜a ＜1，即μ（a ）在（0，1）上单调递减；μ（a ）在（1，+∞）上单调递增； ∴，即≥0成立．从而f （x ）≥成立．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程是（α为参数），∴将C 的参数方程化为普通方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，即x 2+y 2﹣6x ﹣8y=0． …（2分）∴C 的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（4分） （2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（8分）∴S△AOB ===． …祝您高考马到成功！（10分）.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≤时，f （x ）=﹣2﹣4x ，由f （x ）≥6解得x ≤﹣2，综合得x ≤﹣2，…（2分） 当时，f （x ）=4，显然f （x ）≥6不成立，…（3分）当x ≥时，f （x ）=4x +2，由f （x ）≥6，解得x ≥1，综合得x ≥1，…（4分）所以f （x ）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|≥|（2x ﹣1）﹣（2x +3）|=4，即f （x ）的最小值m=4． …（7分） ∵a•2b ≤，…（8分）由2ab +a +2b=4可得4﹣（a +2b ）≤，解得a +2b ≥，∴a +2b 的最小值为．…（10分）祝您高考马到成功！。
秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ） A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾. 【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）绵阳市高中2017级第一次诊断性考试文科数学A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(=【答案】DB.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
