2019年最新高三题库 北京市朝阳区高三年级期中考试文科数学

北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学文试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义以及零点的定义判断．【详解】选项A,是非奇非偶函数, 且没有零点,选项B,没有零点,选项C,是奇函数, 选项D,是偶函数，又有解，既是偶函数又存在零点．故选D【点睛】本题考查偶函数和零点的概念．3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设、为非零向量，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的含义及向量共线的条件,结合充要条件的概念即可得出结论.【详解】由能够推出，但由不能推出，所以选A.【点睛】本题考查向量共线的含义,向量共线的条件以及充要条件的概念.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则其中真命题的序号为（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】D【解析】【分析】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系可以得出结论.【详解】对于①,观察正方体,知与可以平行,可以在内,①不符合;对于②,与内任意一条直线都垂直,又,与内任意一条直线都垂直,,②成立;对于③, 观察正方体,知与可以平行,可以在内, ③不符合;对于④, 观察正方体,知④成立,这也可以作为两个平面平行的判定.因此选D.【点睛】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系,抽象的推理再结合直观的判断,常有四两拨千斤的效果.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（）A. B. 2 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】观察三视图,可知三棱锥的形状如图所示．【详解】观察三视图,可知三棱锥的直观图如图所示，．【点睛】由三视图推出三棱锥的形状，画出三棱锥的直观图是解题的关键．8.已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数和的图像,观察图像分析即可.注意点(-2,0),(0,0),(2,0)也是函数图像上的点.【详解】因为是奇函数,所以又因为函数的周期为2,所以在同一坐标系中作出函数和的图像(如图), 观察图像可知和的图像在[-3,2]上有五个交点,从而函数在区间（且）上有5个零点.【点睛】数形结合是很重要的数学方法,本题在同一坐标系中作出函数和的图像,借助函数图像求解,直观高效.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为(1). (2).【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.10.已知等差数列的公差，且满足，则___________．【答案】 2【解析】【分析】利用等差数列的通项公式为即得.【详解】,以【点睛】本题考查等差数列基本量的计算.11.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．12.如图，甲、乙、丙三人在同一个圆形跑道上运动，计时开始时，甲、乙、丙分别从、、三点出发，三个人的前进方向相同，甲在乙后面圈，乙在丙后面圈，甲以圈/分钟的速度慢跑，乙以圈/分钟的速度快走，丙以圈/分钟的速度慢走.那么经过__________分钟，甲和乙两人第一次相遇；30分钟之内，甲、乙、丙三人_________（填“能”或“不能”）同时相遇．【答案】(1). 4(2). 不能【解析】【分析】在环形相遇问题中,甲乙两人相距x(0<x<1)圈,甲的速度快于乙的速度,两人同时同向出发,第n次相遇,则甲比乙多跑(n-1+x)圈.⑴甲和乙两人第一次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人第一次相遇,可列方程;⑵,设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解.【详解】⑴甲和乙两人第一次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人第一次相遇,可列方程,解得:;⑵设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解,即有解,易知,三个方程不可能同时成立,从而甲、乙、丙三人不能同时相遇.【点睛】本题属于相遇问题中的追及问题,对学生的逻辑推理思维有一定的要求.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.14.已知函数.（1）若，则关于的方程的根的个数为__________．（2）若，且，则的取值范围是__________．【答案】(1). 1(2).【解析】【分析】(1)在同一坐标系中作出函数和函数y=m的图像,观察图像分析即可; (2)不妨设,则有,利用均值不等式求解.【详解】在同一坐标系中作出函数和函数y=m的图像,观察图像,可知直线y=m与函数的图像有且只有一个交点,因此关于的方程的根的个数为1,(2)不妨设,由得,,又【点睛】在同一坐标系中作出函数和函数y=m的图像,利用数形结合是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（I）求的最小正周期和最大值；（II）求的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为，最大值1；（2），.【解析】【分析】先”降次”,再利用辅助角公式将化成的形式,求最小正周期和最大值;利用正弦函数的单调性解不等式求单调增区间.【详解】（I）.所以，的最小正周期为.令，，可得，，所以，当，时，取最大值1.（II）由，可得：，，所以的单调递增区间为，.【点睛】逆用倍角公式及辅助角公式将化成的形式,是解题的关键,在三角函数问题中,求最小正周期、值域和单调区间,是常见的题型,一定要重视.16.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.【答案】（I），.（II）【解析】【分析】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，即可得到的通项公式；（II）因为，利用分组求和法即可得到.【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.17.我国古代数学中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，侧棱底面，是的中点，连接，，.（I）求证：为直角三角形；（II）求证：平面；（III）若，求多面体的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） .【解析】【分析】（I ）由直线与平面垂直的判定定理容易证明平面,再由直线与平面垂直的性质定理,可知,从而为直角三角形;（II ）连接，设，连接(如图),则,由直线与平面平行的判定定理,可知平面;（III ）,利用锥体的体积公式来解决. 【详解】（I ）证明：因为四边形为矩形，所以. 又因为平面，所以. 所以平面，所以. 所以为直角三角形.（II ）证明：连接，设，连接.(如图) 因为四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以. 因为平面，平面，所以平面.（III ）解：过点作于. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，且平面，所以平面， 即为三棱锥的高，且. 因为为中点，所以. 又因为，所以. 于是. 【点睛】直线和直线垂直,直线与平面垂直, 直线与平面平行,是空间线面关系中最重要的几种关系,熟练掌握直线和直线垂直,直线与平面垂直, 直线与平面平行的判定和性质是解决立体几何问题的关键.求多面体的体积常见的有割补法,等体积法,再利用锥体的体积公式来解决.18.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求；（II）求点到边的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（I）由,及,联立解得的值,再利用正弦定理求的值;（II）由求出的值,代入得点到的距离.【详解】（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，点到的距离为.【点睛】有关解三角形问题, 正弦、余弦定理是基础,灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化,是解题的关键.19.已知函数（）.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（II）若在上无极值点，求的值；（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】（1）；（2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】【分析】（I）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解. （II）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得.(III)讨论当时,在上的符号, 函数的单调性、极值情况,从而分析函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.【详解】（I）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为.（II），，依题意有，即，，解得.(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.（2）时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值，结合函数的大致图像判断零点的个数．20.已知函数.（I）求证：当时，；（II）设，.（i）试判断函数的单调性并证明；（ii）若恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）（i）在上递减；（ii） .【解析】【分析】（I）求导,考查函数的单调性和最小值;（II）（i）求导,考查的符号; （ii）恒成立,等价于，恒成立,问题转化为求，的最值,求,分和讨论.【详解】（I）因为在区间上，所以. 即在上递增，所以.（II）（i）因为，，所以.由（I）知，当时，所以.所以在上递减.（ii）依题意，.恒成立即，恒成立，令，，则.（1）若，则当时，，则在上递增.即时，.则时，.即当时，恒成立.（2）若，令得.因为在上减，且，所以方程在上恰有一个根，记为，当时，；当时，.所以在上递减，在上递增.所以.此时不恒成立.综上，的最小值为1.【点睛】导数作为一种研究数学知识的工具,在求单调性、最值方面发挥了独特的作用;同时利用函数的单调性也能完成不等式的证明,通过构造函数求最值解决恒成立问题．。

（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合}2{>=x x A ，B ＝{(1)(3)0}x x x --<，则A ∩B =( )A ．{1}x x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{2x x >或1}x < 【答案】B考点：集合间的运算.2. 设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数x 的值是( ) A ．2- B ．1- C ．13- D ．15- 【答案】D 【解析】试题分析：(,1)a x =，(4,)b x =所以451a b x x x =+==-，解得15x =- 故答案选D考点：向量的数量积.3. 下列函数在(,0)(0,)-∞+∞上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是 ( )A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2x y =-【答案】C 【解析】试题分析：易判断A 、C 选项函数的偶函数，A 选项2y x =-是开口向下二次函数，其在(0,)+∞单调递减，C 选项2log ||y x =，当0x >时，2log y x =，由对数函数性质知，其在(0,)+∞单调递增故答案选C考点：函数的奇偶性和单调性. 4．已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于 ( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ． 12-【答案】A 【解析】试题分析：11tan tan34tan()2141tan tan 1143πθπθπθ+++===--⨯故答案选A考点：正切函数的和差公式.5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】B考点：三角函数的图像平移.6. 下列命题准确的是 ( ) A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x xC. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x 【答案】B 【解析】试题分析：A 选项， 0232>+-x x (1)(2)02x x x ⇔-->⇒>或1x <，所以“1<x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件，故A 选项错误；B 选项，若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ，故B 选项准确；C 选项，q p ∧有假便是假，所以若q p ∧为假命题，则q p ,至少有一个是假命题，故C 选项错误；D 选项，命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 2320x x -+≠则2≠x ，故D 选项错误. 故答案选B考点：命题的真假判断.7. 在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是( ) A ．5 B ．421C ．6D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为M 、N 分别是BC 边上的三等分点所以2133AM AB AC =+,1233AM AB AC =+ 所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅+2225()99AB AC AB AC =++⋅又BC AC AB =-所以2222222()2324BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅⇒=+-⨯ 得2217AC AB += 所以25174699AM AN ⋅=⨯+⨯= 故答案选C考点：1.向量的线性关系；2.向量的数量积.8. 已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存有实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：令()0g x =，即()f x b =，若要使函数()f x 与函数y b =有两个交点需22a a >， 由函数图象知当2a =或4时，22a a =所以当24a <<时，22a a > 故答案选C考点：1.函数的零点；2.数形结合.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 若集合{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则_____,_______.a b == 【答案】1-，1 【解析】试题分析：由{,0,1}a 1{,,1}c b=- 又集合的特征，所以该集合为{1,0,1}- 所以1a =-因为10b ≠ 所以111b b=⇒=故答案为1-，1. 考点：集合的特性.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612a a +=，48S =，则9a 的值是 ． 【答案】15考点：等差数列的基本量运算. 11. 给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．【答案】①④ 【解析】试题分析：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①命题准确；②平行于同一直线的两个不重合的平面不一定平行，故②命题错误；③垂直于同一平面的两个不重合的平面不一定平行，故③命题错误；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行，故④命题准确； 故真命题的是①④ 考点：点线面的位置关系.12．已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω ，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝ ．【答案】2；2π【解析】试题分析：由三角函数的周期公式222||T πππωωω=⇒=⇒= 则()2sin 2f x x =令()0f x =，则2,,2kx k k Z x k Z ππ=∈⇒=∈ 因为(0,)x π∈， 所以02x π=故答案为2；2π考点：三角函数的性质.13. 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：因为函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增 所以()0f x '≥在区间ππ(,)64上恒成立()cos sin 0cos sin f x a x x a x x '=-≥⇒≥因为ππ(,)64x ∈，所以cos 0x > 所以sin tan cos xa x x≥=因为tan y x =在区间ππ(,)64上单调递增tan 1x << 所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞ 考点：恒成立问题.14.如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC =+（m ∈R ），且点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．【答案】(2,6)- 【解析】试题分析：如图以A 原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C 因为D 是BC 的中点，所以(2,2)D因为向量14AM AB mAC =+，所以(1,4)M m又平面向量的平行四边形法则 所以1344m << AM BM ⋅2(1,4)(3,4)316m m m =-=-+因为1344m <<，所以223166m -<-+< 所以AM BM ⋅的取值范围是(2,6)-考点：1.平面向量的数量积；2.平行四边形法则.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x x f x =+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间. 【答案】（I ）2π；（II ）[2,2]33k k π4ππ+π+,k ∈Z . 【解析】试题分析：（I ）由三角函数的半角公式原式可化为()cos 1f x x x =++，再由三角函数和差公式得，()2sin()16f x x π=++，最后由周期公式2||T πω=，计算得)(x f 的最小正周期；考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换. 16. （本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=已知1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（I ）21n a n =+；(Ⅱ) 22 4.n n T n +=+-【解析】试题分析：（I ）数列{}n a 是等差数列，可设其首项为1a ，公差为d ，由315S =，所以1323152a d ⨯+=，1341,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+，两方程联立，即可求得首项1a ，公差d ，既得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 由（I ）知21n a n =+，所以121n n b +=+，使用分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 试题解析：（I ）依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13,2.a d =⎧⎨=⎩所以1(1),32(1)2121n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即. (Ⅱ)依题意，1212212+=+⨯==+n nn n a b .12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++=23122...2n n +++++4(12)12n n-=+-22 4.n n +=+-考点：1.等差数列和等比数列；2.数列求和. 17. （本小题满分14分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .(Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B 上是否存有点M ，使得1BM CB ⊥?若存有,确定点M 的位置; 若不存有，说明理由.【答案】（I ）略；(Ⅱ)略； (Ⅲ)存有，M 为线段11A B 的中点，理由略.(Ⅲ) 在线段11A B 上存有点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：由已知得1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点，所以CD AB ⊥，可得CD ⊥平面11AA B B .连接BM .因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥，易证1BM B D ⊥，所以BM ⊥平面1B CD ，即可得1BM CB ⊥.试题解析：（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥. 又AC BC ⊥，1BCCC C =,所以11AC BCC B ⊥平面． 而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， 所以1AC ∥1CDB 平面.(Ⅲ)在线段11A B 上存有点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.E证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ,所以1AA CD ⊥. 由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥. 又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM . 因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥. 又1CDB D D =,所以BM ⊥平面1B CD .又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥. 考点：18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin⋅的取值范围．【答案】（I；（II ）1(0,]4.EM试题解析：（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，所以2π3B =，sin B = 由正弦定理,sin sin a bA B=可得2sin A =则1sin 2A =. 又A 为锐角，则6A π=，所以6C π=. 所以1sin 2ABC S ab C ∆=11222=⨯⨯=.考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质. 19. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 【答案】（Ⅰ）[3,)+∞；（Ⅱ）证明略. 【解析】试题分析：（I ）函数的定义域为(0,)+∞.因为(1)()()(1)a x x a f x x a x x--'=+-+=.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上恒成立.设()(1)()g x x x a =--，由二次的性质得(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥；（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，则211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==，令()0f x '=，求得函数()f x 的单调区间，即得函数()f x 的最小值，即证.试题解析：（I ）函数的定义域为(0,)+∞.因为2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=+-+==.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上成立. 设()(1)()g x x x a =--，则(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥. 所以a 的取值范围是[3,)+∞.（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==. 令()0f x '=，得1x =或1x =-（舍）. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为1(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. 考点：1.恒成立问题；2.导函数的应用. 20. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx =++(其中a ，b ∈R ),函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1b =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为0，求b 的值． 【答案】 (Ⅰ) 210x y -+= ；(Ⅱ) 2b =或2b =-.(Ⅱ)由已知得2()e (1)x f x x bx =++，所以()e (1)(1)xf x x x b '=+++，对1-，1，1b --实行分类讨论，求得函数()f x 在区间[1,1]-上的单调区间，继而求得函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值，即得b 的值.试题解析：因为2()e (1)xf x ax bx =++，所以2()e [(2)1]xf x ax a b x b '=++++． 因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b -+++=．所以1a =． (Ⅰ)当1a =时，1b =时， (0)1,(0)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-． 即210x y -+=． (Ⅱ)由已知得2()e (1)xf x x bx =++，所以2()e [(2)1]e (1)(1)xxf x x b x b x x b '=++++=+++． （1）当11b --<-，即0b >时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x >-或1x b <--；令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++<得，11b x --<<-．所以函数()f x 在(1,)-+∞和(,1)b -∞--上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然合题意．（2）当11b --=-时，即0b =时，2()e (1)0x f x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然不符合题意． （3）当11b -->-时，即0b <时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x <-或1x b >--； 令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11x b -<<--．所以函数()f x 在(,1)-∞-和(1,)b --+∞上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减．考点：1.导数的几何意义；2.函数的最值.。

高三数学试卷 第1页（共13页）北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷 2019．11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2{4}A x x =∈<Z ，{1,2}B =-，则AB =（A ）{1}-（B ）{1,2}-（C ）{1,0,1,2}- （D ）{2,1,0,1,2}--（2）已知π(,π)2α∈，且3sin 5α=，则tan α= （A ）34 （B ）43 （C ）34-（D ）43-（3）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）sin()y x =-（C ）2log y x =（D ）22x xy -=-（4）关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论：①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间π(,π)2上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②（B ）①③ （C ）②③（D ）①②③（5）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是（A ）若αβ⊥，则//m β （B ）若αβ⊥，则m β⊥ （C ）若//m β，则//αβ （D ）若m β⊥，则αβ⊥高三数学试卷 第2页（共13页）（6）已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,)+∞ （7）已知*{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）设1F ，2F 为椭圆C ：22195x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12△MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为 （A ）32 （B（C） （D ）32-（9）在△ABC 中，90BAC ∠=，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是 （A ）1(,1]2（B ）1[,1]2（C）2 （D）[2（10）已知集合A ，B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：① 若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ② 若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③ 若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④ 若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①③ （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④高三数学试卷 第3页（共13页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市朝阳区高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类） （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈R C ．{|22,}x x x -<<∈R D ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为 A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥ ，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0 ， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos 2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 . 12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为 ，4S 的值为 ．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是 .14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。

2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

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高三数学试题：高三年级期中数学试卷文史类
北京市朝阳区2019-2019学年度高三年级第一学期期中统一考试
数学试卷（文史类） 2019.11
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集, 集合, , 则()等于
?A． B． C． D．
2. 曲线处的切线方程为
A． B． C． D．
3. 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角是
A． B． C． D．
4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则等于A． B． C． D．
5. 已知角的终边经过点，则等于
A． B． C． D．
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北京朝阳区2019届高三数学上学期期中试卷（文科附解析）北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学文试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合，，则A.B.c.D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A.B.c.D.【答案】D【解析】根据偶函数的定义以及零点的定义判断．【详解】选项A,是非奇非偶函数,且没有零点,选项B,没有零点,选项c,是奇函数,选项D,是偶函数，又有解，既是偶函数又存在零点．故选D【点睛】本题考查偶函数和零点的概念．设平面向量，，，，则实数的值等于A.B.c.0D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．执行如图所示的程序框图，输出的值为A.-10B.-2c.2D.10c【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选c.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．设、为非零向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的含义及向量共线的条件,结合充要条件的概念即可得出结论.【详解】由能够推出，但由不能推出，所以选A.【点睛】本题考查向量共线的含义,向量共线的条件以及充要条件的概念.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则其中真命题的序号为A.①③B.②③c.①④D.②④【答案】D【解析】【分析】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系可以得出结论.【详解】对于①,观察正方体,知与可以平行,可以在内,①不符合;对于②,与内任意一条直线都垂直,又,与内任意一条直线都垂直,,②成立;对于③,观察正方体,知与可以平行,可以在内,③不符合;对于④,观察正方体,知④成立,这也可以作为两个平面平行的判定.D.因此选【点睛】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系,抽象的推理再结合直观的判断,常有四两拨千斤的效果.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于A.B.2c.D.6【答案】A【解析】【分析】观察三视图,可知三棱锥的形状如图所示．【详解】观察三视图,可知三棱锥的直观图如图所示，．【点睛】由三视图推出三棱锥的形状，画出三棱锥的直观图是解题的关键．已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间上至少有5个零点，则的最小值为A.2B.3c.4D.6【答案】A【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数和的图像,观察图像分析即可.注意点,,也是函数图像上的点.【详解】因为是奇函数,所以又因为函数的周期为2,所以在同一坐标系中作出函数和的图像,观察图像可知和的图像在[-3,2]上有五个交点,从而函数在区间上有5个零点.【点睛】数形结合是很重要的数学方法,本题在同一坐标系中作出函数和的图像,借助函数图像求解,直观高效.第Ⅱ卷二、填空题已知，，则_________，__________．【答案】..--【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为..【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.0.已知等差数列的公差，且满足，则___________．【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的通项公式为即得.【详解】,以【点睛】本题考查等差数列基本量的计算.．__________已知，满足则的最大值为1.【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABc及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABc及其内部，其中A，B，c设z=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．如图，甲、乙、丙三人在同一个圆形跑道上运动，计时开始时，甲、乙、丙分别从、、三点出发，三个人的前进方向相同，甲在乙后面圈，乙在丙后面圈，甲以圈/分钟的速度慢跑，乙以圈/分钟的速度快走，丙以圈/分钟的速度慢走.那么经过__________分钟，甲和乙两人次相遇；30分钟之内，甲、乙、丙三人_________同时相遇．【答案】.4.不能【解析】【分析】在环形相遇问题中,甲乙两人相距x圈,甲的速度快于乙的速度,两人同时同向出发,第n次相遇,则甲比乙多跑圈.⑴甲和乙两人次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人次相遇,可列方程;⑵,设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解.【详解】⑴甲和乙两人次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人次相遇,可列方程,解得:;⑵设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解,即有解,易知,三个方程不可能同时成立,从而甲、乙、丙三人不能同时相遇.【点睛】本题属于相遇问题中的追及问题,对学生的逻辑推理思维有一定的要求.3.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度是时刻的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：03691215182124011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线可近似地看成函数的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.已知函数.若，则关于的方程的根的个数为__________．若，且，则的取值范围是__________．【答案】.1.【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数和函数y=的图像,观察图像分析即可;不妨设,则有,利用均值不等式求解.【详解】在同一坐标系中作出函数和函数y=的图像,观察图像,可知直线y=与函数的图像有且只有一个交点,因此关于的方程的根的个数为1,不妨设,由得,,又【点睛】在同一坐标系中作出函数和函数y=的图像,利用数形结合是解题的关键.三、解答题已知函数.求的最小正周期和最大值；求的单调递增区间.【答案】最小正周期为，最大值1；，.【解析】【分析】先”降次”,再利用辅助角公式将化成的形式,求最小正周期和最大值;利用正弦函数的单调性解不等式求单调增区间.【详解】.所以，的最小正周期为.令，，可得，，所以，当，时，取最大值1.由，可得：所以的单调递增区间为，.【点睛】逆用倍角公式及辅助角公式将化成的形式,是解题的关键,在三角函数问题中,求最小正周期、值域和单调. 一定要重视,是常见的题型,区间．设是各项均为正数的等比数列，且，.求的通项公式；若，求.【答案】，.【解析】【分析】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，即可得到的通项公式；因为，利用分组求和法即可得到.【详解】设为首项为，公比为，则依题意，解得，，所以的通项公式为，.因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.我国古代数学中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，侧棱底面，是的中点，连接，，.求证：为直角三角形；求证：平面；若，求多面体的体积.【答案】见解析；见解析；.【解析】【分析】由直线与平面垂直的判定定理容易证明平面,再由直线与平面垂直的性质定理,可知,从而为直角三角形;连接，设，连接,则,由直线与平面平行的判定定理,可知平面;,利用锥体的体积公式来解决.【详解】证明：因为四边形为矩形，所以.又因为平面，所以.所以平面，所以.所以为直角三角形.证明：连接，设，连接.因为四边形为矩形，所以为中点，又因为为中点，所以.因为平面，平面，所以平面.解：过点作于.因为平面，所以平面平面.因为平面平面，且平面，所以平面，即为三棱锥的高，且.因为为中点，所以..又因为，所以于是【点睛】直线和直线垂直,直线与平面垂直,直线与平面平行,是空间线面关系中最重要的几种关系,熟练掌握直线和直线垂直,直线与平面垂直,直线与平面平行的判定和性质是解决立体几何问题的关键.求多面体的体积常见的有割补法,等体积法,再利用锥体的体积公式来解决.在中，角，，的对边分别为，，，，，.求；求点到边的距离.【答案】；.【解析】【分析】由,及,联立解得的值,再利用正弦定理求的值;由求出的值,代入得点到的距离.【详解】因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.在中，由知为钝角，所以.点到的距离为.【点睛】有关解三角形问题,正弦、余弦定理是基础,灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化,是解题的关键.已知函数.若，求曲线在点处的切线方程；若在上无极值点，求的值；当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】；时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】【分析】由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解.因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得.讨论当时,在上的符号,函数的单调性、极值情况,从而分析函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.【详解】当时，，，所以曲线在点处的切线方程为.依题意有，即，解得..时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值，结合函数的大致图像判断零点的个数． 0.已知函数.求证：当时，；设，.试判断函数的单调性并证明；若恒成立，求实数的最小值.【答案】见解析；在上递减；.【解析】【分析】求导,考查函数的单调性和最小值;求导,考查的符号;恒成立,等价于，恒成立,问题转化为求，的最值,求,分和讨论.【详解】因为在区间上，所以.即在上递增，所以.因为，，所以.由知，当时，所以.所以在上递减.依题意，.恒成立即，恒成立，令，，则.若，则当时，，则在上递增.即时，.则时，.即当时，恒成立.若，令得.因为在上减，且，所以方程在上恰有一个根，记为，当时，；当时，..所以在上递减，在上递增所以.此时不恒成立.综上，的最小值为1.【点睛】导数作为一种研究数学知识的工具,在求单调性、最值方面发挥了独特的作用;同时利用函数的单调性也能完成不等式的证明,通过构造函数求最值解决恒成立问题．。

北京市朝阳区2019学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2019.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．第一部分每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第二部分不能答在试题卷上，请答在答题卡上.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{}260M x x x =+-<，{}13N x x =≤≤，则MN 等于（ ）A ．[)1,2B ．[]1,2C ．(]2,3D ．[]2,32. 已知向量a ，b 满足|a | = 8，|b | = 6， a ·b = 24，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒3. 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ．1 C ．32D ．24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且369315a a a ++=，则11S 等于（ ）A ．78B ．66C ．55D ．335.命题“,sin 1x x ∀∈≤R ”的否定是（ ）A ．,sin 1x x ∃∈≥RB ．,sin 1x x ∀∈>RC ．,sin 1x x ∀∈≥RD ．,sin 1x x ∃∈>R 6. 函数x x x f ln )(+=的零点所在的大致区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,eD ．()2,e 7. “1a >”是“对任意的正数x ，不等式21ax x+≥成立”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3i j =，则使关系式0()i i j A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 的组数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9.已知π3(,π),sin ,25αα∈=则tan α= . 10.已知等比数列{}n a 各项均为正数,前n 项和为n S ，若22a =，1516a a =，则3a = ；5S = ．11. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若5,2a b c ===， 则cos B = .12. 在ABC ∆中，已知(2,1)AB =，(3,)AC k =()k ∈R ，则BC =__；若90B ∠=︒，则k =__ _．13.已知函数2,20,()2cos ,0.x x f x x x ⎧-≤≤=⎨<≤π⎩若方程()f x a =有解，则实数a 的取值范围是 ．14.设函数()1f x x α=+（α∈Q ）的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，且()f x 在[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）设集合{|(1)0,M x x x a =--<a ∈R },集合2{|230}N x x x =--≤.（Ⅰ）当1a =时，求M N ；（Ⅱ）若M N ⊆,求实数a 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知向量a =(sin ,cos())x x π-，b =(2cos ,2cos )x x ，函数()1f x =⋅a b +. （Ⅰ）求π()4f -的值；（Ⅱ）求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.17. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos 4B =． （Ⅰ）求2sinsin 22BB +的值；（Ⅱ）若b =ac 取最大值时，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分13分）在递增数列}{n a 中，n S 表示数列}{n a 的前n 项和，11a =，1n n a a c +=+（c 为常数，n *∈N ），且123,,a a S 成等比数列.（Ⅰ）求c 的值;（Ⅱ）若12()3nn n b a +=⋅-，*n ∈N ，求242n b b b +++.19.（本小题满分14分）设函数221()22x a f x ax -=-+，R a ∈.（Ⅰ）若x ∀∈，关于x 的不等式24()2a f x -≥恒成立，试求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,4]上恰有一个零点，试求a 的取值范围.20. （本小题满分14分） 已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-（a ∈R 且0a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 记函数()y F x =的图象为曲线C .设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点，如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”. 试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.北京市朝阳区2019学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）答案 2019.11二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空 三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时,不等式化为(2)0x x -<，则{|02}M x x =<<.又{}13N x x =-≤≤，因此{}13MN x x =-≤≤. ………………6分（Ⅱ）若1a <-,{|10},M x a x =+<<若M N ⊆,则有110a -≤+<，解得21a -≤<-. ………………8分 若1a =-,,{|13}M N x x φ==-≤≤,此时M N ⊆成立;………………10分若1a >-,{|01},{|13}M x x a N x x =<<+=-≤≤,若M N ⊆,则有013a <+≤, 解得12a -<≤. ………………12分 综上,a 的取值范围是[2,2]-.………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()1f x =⋅+a b =22sin cos 2cos 1x x x -+=sin 2cos 2x x -， …………4分则π()14f -=-. ………………6分（Ⅱ）()f x =sin 2cos 2x x -)4x π-. ………………7分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. ………………9分则当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x………………11分 当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-. ………………13分（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为3cos 4B =，所以sin 4B =. ………………1分 则21sinsin 2(1cos )2sin cos 22B B B B B +=-+=18+324.…5分 （Ⅱ）由已知得2223cos 24a cb B ac +-==， …………7分又因为b = 所以，22332a c ac +-=. …………8分 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当a c ==ac 取得最大值. …………11分此时11sin 62244ABC S ac B ∆==⨯⨯=. 所以当ac 取最大值时，ABC ∆. ……………13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11,1,n n a a c a c +=+=为常数， 所以1(1).n a n c =+-则231,1(1)(12)33.a c S c c c =+=++++=+ ………………3分 又123,,a a S 成等比数列，所以2(1)33c c +=+，解得1c =-或2c =.由于}{n a 是递增数列，舍去1c =-,故2c =. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得21n a n =-，*n ∈N .所以12()(21)3nn b n =⋅---，2212()(41)3nn b n =⋅---. ……………8分从而 242n b b b +++21[1()](341)991219n n n -+-=--211(1)249n n n =---，*n ∈N . ………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 依题得:x ∀∈，不等式232x ax +≥恒成立,则322x a x ≤+.…2分 设3()22x g x x=+,则min ()a g x ≤即可. ………………3分又3()22x g x x =+≥=x =,min ()g x g =. 所以a的取值范围是(-∞. ………………6分 （Ⅱ）二次函数()f x 的图象开口向上，对称轴是直线x a =. ………………7分依题意得：当2a ≤时，只需满足(0)0,(4)0,f f <⎧⎨>⎩即2210,8150,a a a ⎧-<⎨-+>⎩解得11a -<<, ………………10分当1a =-时满足题意，1a =时不满足题意，则11a -≤< . ……………11分当2a >时，只需满足(0)0,(4)0,f f >⎧⎨<⎩即2210,8150,a a a ⎧->⎨-+<⎩解得35a <<. …………12分当5a =时满足题意，3a =时不满足题意，则35a <≤. …………13分 综上所述, a 的取值范围是[1,1)(3,5]-. …………14分（20）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)显然函数()f x 的定义域是(0,)+∞. …………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. …………2分 ⑴当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<; 令'()0f x <,解得1x >.所以函数()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减. …………3分 ⑵当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; 令'()0f x <,解得11x a-<<.所以，函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增,在1(,1)a-上单调递减; …………4分②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………5分 ③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-;令'()0f x <,解得11x a<<-.所以，函数()f x 在(0,1)和1(,)a -+∞上单调递增,在1(1,)a-上单调递减.…………6分 综上所述，⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减； ⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增,在1(,1)a-上单调递减； ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1(,)a -+∞上单调递增,在1(1,)a-上单调递减. ……………7分 (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-. 2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++-- …………8分曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+， …………9分 依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+.化简可得：2121ln ln x x x x --122x x =+， 即21lnx x =21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+. …………11分设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211t t t t -==-++, 即4ln 21t t +=+. …………12分 令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增, 显然有()2g t >恒成立. 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4ln 21t t +=+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”. ……………14分。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（文史类）2019. 1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1•已知集合匕「：：三二丨■<-m,则一（）A. B. - C. D. :【答案】D【解析】【分析】先求得集合A，再利用集合的并集运算，即可求解•【详解】由题意，集合- -■ ■：：--< I —，则/「二■■",故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中正确求解集合A，利用集合的并集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）LA. B. ° D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得到答案【详解】对于A中，函数为对数函数，不奇函数，不符合题意；对于B中，函数了二汁为幕函数，既是奇函数又是单调递增函数，符合题意；对于C中，函数为正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D中，函数，其定义域为不是奇函数，不符合题意，y = x = vx综上可知函数满足题意，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判定问题，其中解答中熟记常见函数的奇偶性和单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题13•设，贝U 是的（）aA.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查不等式，充分条件，必要条件，充要条件及判定•1 1 a 1 亠十八,亠—….| ■' L 7.. 所以有a a a.丨」' .丨则则是的充分但不必要条件•故选Aa a a4•执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）♦ft = 1^结束匚A. 5B. 6C. -8D. -18【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，依次计算程序运行时的结果，直到满足条件终止循环，即可得到输出结果.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得：S=吃TJ= 1执行循环体，：：-不满足条件•，执行循环体不满足条件■■- ■ '■- c，执行循环体，；不满足条件：】，执行循环体，,- ；满足条件终止循环体，输出--■：，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中按照给定的程序框图，依次计算程序运行的结果是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5•在平面直角坐标系中，过y/lEFW二心三点的圆被轴截得的弦长为()A. B. .. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为.「：「：=：[..■/■=■：：,代入…•，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为十二十匚,又由…，十4D 十4E + F =■ 0则由’，解得二--川--.II 16 + 4E 十F = 0即圆:-i v . 4令，得十忙=，：,解得「二八即圆M与轴的交点坐标分别为•，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6.已知四边形的顶点A, B, C, D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则^ ( )利用双曲线的渐近线方程，求出，然后利用双曲线的定义转化，即可求解，得到答案A.B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 分别求出广二霍乳的坐标，由向量的数量积的坐标运算，即可得到答案•【详解】如图所示，以 A 为坐标原点，以 AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则.■- .I - U ；「，.,所以忙门.I. ■■■：，所以 Im ，：，:-〕：:! :故选 B.VA【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中建立适当的直角坐标系，求解向量的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2 2X V7•已知双曲线的一条渐近线方程为• *，， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在十Io双曲线上，且=冷贝则=( )A. 1B. 13C. 17D. 1 或 13D- ......................................【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出，然后利用双曲线的定义转化，即可求解，得到答案【详解】由题意，双曲线 的一条渐近线方程为• • ，a 2 16可得 ，解得了- ，又由'-.：i J ir 、a 3又由，分别是双曲线 的左、右焦点，点F 在双曲线上，且，可得点P 在双曲线的左支上，所以|.-：\|"，可得r-；-j = \，故选B .【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单几何性质的应用，其中解 答中根据双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题•8•从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加果的最小的数是（）A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案 【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11,故选B.的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力，属于基础题第二部分（非选择题 共110分）、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在答题卡上.9•设复数工满足(1- i)z = 21，则図= ________________ .1或乘以2.3 4/、 /、465 8八八总358 71261U 9,O 42 3八A6584 658 &8712610 g 16【点睛】本题主要考查了简单22【答案】..【解析】【分析】等式两边同时除以1-i，得到z的表示式，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简，得到结果. . . .2【详解】：•••复数z满足z (1-i) =2i , •••1-1 (―D l-!2• / J 丨「■J丄.【点睛】解答与复数相关概念有关的问题时，通常需要先把所给的复数化为a+bi (a, b€ R)的形式，再根据题意求解。