2020届河南省焦作市高三年级第一次模拟数学文科试题

绝密★启用前★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}0,1,2A =，{}22,Z B x x x =-<<∈，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,22．已知复数z 满足2i 13i z =+，则z 的虚部为（ ） A ．32B ．12C ．12-D ．32-3．已知命题p ：N*x ∃∈，lg 0x <，q ：R x ∀∈，cos 1x ≤，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（ ） A ．20B ．25C ．40D ．505．设函数()23x xf x =+的零点为0x ，则0x ∈（ ） A ．()4,2--B ．()2,1--C ．()1,2D ．()2,46．设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则1311S T =（ ） A ．2633B ．23C ．1322D ．13117．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为坐标原点，若AF ，FO ，OB 成等比数列，则C 的离心率为（ ）ABCD8．已知函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪+⎝⎭是奇函数，则使得()01f x <<的x 的取值范围是（ ）A ．9,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．90,11⎛⎫⎪⎝⎭C ．9,011⎛⎫-⎪⎝⎭D ．99,0,11111⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．21-B ．22-C ．322-D ．642-10．已知函数()()32,02a f x x x bx ab =-++>的一个极值点为1，则22a b 的最大值为（ ） A ．49 B ．94 C ．1681 D ．811611．已知数列{}n a 的前n 项和()()11N*2nn n n S a n =-+∈，则100S =（ ）A ．10012-B ．0C ．10012D ．1011212．如图，在正四面体ABCD 中，E 是棱AC 的中点，F 在棱BD 上，且4BD FD =，则异面直线EF 与AB所成的角的余弦值为（ ）A 3B 2C ．12D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),1a x =-，()0,5b =，若()2a a b ⊥+，则x =______．14．写出一个离心率与双曲线22:13y C x -=的离心率互为倒数的椭圆的标准方程：______． 15．已知,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，且4cos tan 32παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭α=______． 16．已知三棱锥P ABC -的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且32PA =5PB PC ==，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 某校举办歌唱比赛，A G 七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委 ABCDEFG选手甲 91 94 96 92 93 97 95选手乙929590969491a（Ⅰ）若甲和乙所得的平均分相等，求a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率； （Ⅲ）若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a 的值（直接写出结果，不必说明理由）． 18．（12分）在锐角ABC △中，60B =︒，3AB =，7AC =．（Ⅰ）求ABC △的面积；（Ⅱ）延长边BC 到D ，使得4BD BC =，求sin ADB ∠． 19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AD ==，120BAD ∠=︒，平行四边形ABCD 的面积为43，设E 是侧棱PC 上一动点．（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）当E 是棱PC 的中点时，求点C 到平面ABE 的距离． 20．（12分）已知函数()()e ln 1xf x k x =-+，R k ∈．（Ⅰ）若12x =是()f x 的极值点，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）证明：当()0,e k ∈时，()0f x >． 21．（12分）已知抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 作斜率不为0的直线l 交抛物线Γ于A ，C 两点，过A ，C 作l 的垂线分别与y 轴交于B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是,2x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O 的极坐标方程为()282cos sin ρρθθ-=+． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆O 的直角坐标方程； （Ⅱ）当,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()()3621R f x x x m m =-++-∈． （Ⅰ）当2m =时，解不等式()12f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()10f x x ++≤无解，求m 的取值范围．★焦作市普通高中2021—2022学年高三年级第一次模拟考试★文科数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案 C 命题意图 本题考查集合的表示与运算．解析因为{}1,0,1B =-，{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-．2．答案 C 命题意图 本题考查复数的概念和计算．解析由已知得()213i i 13i 3i 31i 2i 2i 222z ++-+====--，所以z 的虚部为12-． 3．答案 B 命题意图 本题考查简单的逻辑联结词以及命题的真假判断．解析因为N*x ∀∈，lg 0x ≥，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题．因为R x ∀∈，cos 1x ≤成立，所以命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题． 4．答案 A 命题意图本题考查分层抽样的概念和有关计算．解析 应抽取博士生的人数为200180201200400200⨯=++．5．答案 B 命题意图 本题考查函数的零点判定定理．解析易知()f x 在R 上单调递增．()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．6．答案 A 命题意图 本题考查等差数列的性质．解析由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==，所以72a =；139********b b b b b b +++=+=，所以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()1137131********a a a S +⨯===，()111611*********b b b T +⨯===，因此，13112633S T =．7．答案 D 命题意图 本题考查椭圆的性质．解析设(),0F c -，则AF a c =-，FO c =，OB a =，根据题意可得()2a a c c -=，整理可得210e e +-=，解得e =． 8．答案 C 命题意图 本题考查函数的单调性与奇偶性的应用．解析令()()0lg 20f a =+=，得1a =-，所以()21lg 1lg 11x f x x x -⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，定义域为()1,1-，因为11xy x-=+在()1,1-上单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，又()00f =，9111f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以使得()01f x <<的x 的取值范围是9,011⎛⎫- ⎪⎝⎭．9．答案 D 命题意图 本题考查几何概型的概念与相关计算．解析设大圆的半径为R ，则等腰直角三角形的边长分别为2R，设等腰直角三角形的内切圆的半径为r，则()11222R r +=，解得)1r R =，则阴影部分的面积为()()222122212322S r R R πππ⎡⎤=⨯=⨯-=-⎣⎦，大圆的面积为22S R π=，则该点取自阴影部分的概率为()122322642S P S ==-=-． 10．答案 D命题意图 本题考查导数的计算与应用．解析对()322a f x x x bx =-++求导得()23f x x ax b '=-++，因为函数()f x 的一个极值点为1，所以()130f a b '=-++=，所以3a b +=，又,0a b >，于是得2239224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32a b ==时取“=”，所以ab 的最大值为94，故22a b 的最大值为8116． 11．答案 B命题意图 本题考查数列的递推关系与数列求和．解析由题意知10210210212S a =+，所以10210210110212S a S -==，又10110110112S a =-+，所以10110212a =，故1001011010S S a =-=． 12．答案 C命题意图 本题考查空间几何体的结构，异面直线所成的角的计算．解析设G 为棱AD 上与点D 最近的一个四等分点，连接EG ，FG ，AF ，CF ，则GF AB ∥，所以异面直线EF 与AB 所成角即为EFG ∠（或其补角）．不妨设正四面体ABCD 的棱长为4，则114GF AB ==．在ADF △中，4AD =，1DF =，60ADF ∠=︒，由余弦定理得222411cos 602412AF +-︒==⨯⨯，解得13AF =，同理，13CF =．在等腰三角形ACF 中，()221323EF =-=．在AEG △中，2AE =，3AG =，60EAG ∠=︒，由余弦定理得cos60︒=2222312232EG +-=⨯⨯，解得7EC =．在EFG △中，由余弦定理得()2221371cos 2132EFG +-∠==⨯⨯．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案 3±命题意图本题考查平面向量的坐标运算．解析因为()()()2,120,5,9a b x x +=-+=，且()2a a b ⊥+，所以()()()2,1,90a a b x x ⋅+=-⋅=，解得3x =±． 14．答案 22143x y +=（答案不唯一） 命题意图 本题考查双曲线与椭圆的性质．解析双曲线22:13y C x -=的离心率为1321e +==，则椭圆的离心率为12e '=，所以椭圆的标准方程可以为22143x y +=． 15．答案 518π命题意图 本题考查三角恒等变换的应用．解析cos 4cos sin cos 2sin 2cos 4cos tan 4cos 32sin sin sin παααααααααααα--⎛⎫--=-=== ⎪⎝⎭，所以2sin 23sin cos 2sin 6παααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52,6123πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则26παα=+或26πααπ++=，得6πα=（舍去）或518πα=． 16．答案 34π命题意图 本题考查多面体与球的关系以及有关计算．解析根据题意，三棱锥P ABC -可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则22218a b PA +==，22225a c PB +==，22225b c PC +==，解得3a =，3b =，4c =．所以该三棱锥的外接球的半径为22222233434222a b c R ++++===，所以该三棱锥的外接球的表面积为223444342S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图 本题考查平均数与方差的概念与计算，概率的性质．解析（Ⅰ）由题意得()()119194969293979592959096949177a ++++++=++++++， 解得100a =．（Ⅱ）七名评委中，有C ，F 两名评委对甲的打分高于对乙的打分，所以所求概率为27． （Ⅲ）a 的值可以为93． 18．命题意图 本题考查解三角形，正弦定理和余弦定理的应用．解析（Ⅰ）设BC x =．由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 整理得2320x x -+=，解得1x =或2x =．当1x =时，222BC AC AB +<，此时ABC △是钝角三角形，不符合条件．当2x =时，符合条件，1sin 22ABC S AB BC B =⋅=△． （Ⅱ）根据题意48BD BC ==，由余弦定理得2222cos 49AD AB BD AB BD B =+-⋅=，所以7AD =．由正弦定理知sin sin AD ABB ADB =∠3sin ADB=∠，解得sin 14ADB ∠=． 19．命题意图 本题考查空间位置关系的推理与证明，以及点到平面的距离计算．解析（Ⅰ）平行四边形ABCD 的面积为4AD =，120BAD ∠=︒，所以4sin120AB ⨯⨯︒=2AB =．在ACD △中，由4AD =，2CD =，180********ADC BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，得2222cos60164812AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=+-=，AC =所以22212416AC CD AD +=+==，即AC CD ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又PA AC A ⋂=，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥．（Ⅱ）当E 是PC 的中点时，AE 是PAC △的中线，在Rt PAC △中，12AE PC === 因为CD AE ⊥，CD AB ∥，所以AB AE ⊥．设点C 到平面ABE 的距离为h ．由E ABC C ABE V V --=三棱锥三棱锥，得1111132232AB AC PA AB AE h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即1111124232232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得7h =． 20．命题意图 本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ）由题意得()e x kf x x'=-，0x >， 因为12x =是()f x的极值点，所以1202f k ⎛⎫'== ⎪⎝⎭，所以2k =．所以()1e f '=-()1e f =-， 所以曲线()y f x =在()()1,1f处的切线方程为e 2y x ⎛=- ⎝⎭． （Ⅱ）因为()0,e k ∈，所以11,e k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()e e ln 1ln 1e x x f x x x k k =-->--， 设()e ln 1e x g x x =--，则()e 1e x g x x'=-， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()()10g x g ≥=，所以()0f x k>，即()0f x >． 21．命题意图 本题考查双曲线和抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系．解析（Ⅰ）双曲线方程22221y x -=化为标准方程是2211122y x -=，其焦点坐标为()0,1，()0,1-， 因为抛物线()2:20x py p Γ=>的焦点F 与双曲线22221y x -=的一个焦点重合， 所以()0,1F ，12p=，2p =，故抛物线Γ的方程为24x y =． （Ⅱ）设直线():10AC y kx k =+≠，代入抛物线方程得2440x kx --=，设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则124x x k +=，124x x ⋅=-，直线()2111:4x AB y x x k -=--，所以点2110,4x x B k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理可得2220,4x x D k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以四边形ABCD 的面积221212121211224x x x x S BD x x x x k --=⋅-=+- ()()()22221212811118124k x x x x k k k kk++=+-=+⋅+=，由抛物线的对称性，只需考虑0k >的情形，则()22381182k S k k kk +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，所以()()2222283111832k k S k k k -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令0S '=，得k =0k <<时，0S '<，当k >0S '>，所以当k =ABCD ． 22．命题意图 本题考查方程的互化以及有关计算．解析（Ⅰ）由,2,x t y t =-⎧⎨=-⎩得2y x =+，即直线l 的普通方程是20x y -+=．由()282cos sin ρρθθ-=+，代入cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得22822x y x y +-=+，即圆O 的直角坐标方程为222280x y x y +---=．（Ⅱ）由222280,20,x y x y x y ⎧+---=⎨-+=⎩解得2,0,x y =-⎧⎨=⎩或2,4,x y =⎧⎨=⎩因为,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,4x y =⎧⎨=⎩舍去，所以2,0,x y =-⎧⎨=⎩ 故直线l 与圆O 的公共点的极坐标为()2,π． 23．命题意图 本题考查含绝对值不等式的解法以及性质．解析（Ⅰ）当2m =时，()12f x >即为3621212x x -++->，①当1x <-时，不等式可化为()()3621212x x ---+->，解得2x <-；②当12x -≤≤时，不等式可化为()()3621212x x --++->，解得6x <-，舍去；③当2x >时，不等式可化为()()3621212x x -++->，解得185x >． 综上，()12f x >的解集为()18,2,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）不等式()10f x x ++≤无解，即3631x x m -++≤无解， 所以()min 3631m x x <-++， 因为()()3631363336339x x x x x x -++=-++≥--+=， 所以9m <，即m 的取值范围是(),9-∞．。

2020年河南省焦作市城关中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）（A）2 （B）1 （C）（D）参考答案：D由程序框图知，，；，；，；，；…∴是以3为周期循环出现的，又，∴,，∴,当时，便退出循环，∴输出。

2. 已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则集合A∩B中的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．无穷个参考答案：C3. 设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B． +C．7+D．6参考答案：D 【考点】椭圆的简单性质；圆的标准方程．【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．4. （5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． 12+ B． 12+ C． 4+ D． 4+参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】：由题意作直观图，从而求各部分的体积，再求和．解：由题意作直观图如下，其上方为半球V1=××π×23=π；其下方为长方体V2=2×2×3=12；故该几何体的体积为12+π；故选B．【点评】：本题考查了学生的空间想象力与作图用图的能力，属于基础题．5. 若函数，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有恒成立，此时T为的假周期，函数是M上的a级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当函数，若，使成立，则实数m的取值范围是（）A．B．(－∞,12] C．(－∞,39]D．[12,+∞)参考答案：B根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的3级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=33?f（x﹣6），则有﹣≤f（x）≤，则f（8）=27 f（2）=27 f（0）=，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为，最小值为﹣；对于函数，有g′（x）=分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值g（1）=+m，若?x1∈[6，8]，?x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤，得到m范围为.故答案为：B.6. 在直角中，，，为直线上的点，且，若，则的最大值是（）A．B． C. 1 D．参考答案：A解析：因，故由可得，即，也即，解之得，由于点，所以，应选答案A。

2019-2020学年河南省焦作市高三（上）第一次模拟数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|7−2x<5}，B={x|3x−x2≥0}，则A∪B=()A. [0,3]B. (1,3]C. [0,+∞)D. (1,+∞)2.已知i是虚数单位，复数z=2i1−i，在复平面内其共轭复数z对应的点的坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,−1)3.函数y=sinxcosx的最小正周期是()A. π2B. π C. 3π2D. 2π4.已知不重合的平面α、β和不重合的直线a、b，下列说法正确的是()A. 若a//α，b//β，则a//bB. 若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α//βC. 若a⊥α，b⊥β，且a//b，则α//βD. 若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b5.函数在区间上是增函数，则a的取值范围是()A. B. (−4,4] C. D. (−4,2]6.已知命题p：sinx+4sinx≥4，命题q：“a=−1”是“直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是()A. p∧qB. p∨(￢q)C. (￢p)∧qD. (￢p)∧(￢q)7.f(x)=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A. B.C. D.8.若函数f(x)=ax−3在R上单调递增，则a的取值范围为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. [1,+∞)D.(−∞,1]9.由偶数组成的数阵如图：则第21行第4列的数为()A. 594B. 546C. 592D. 64410. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bc cosC +ba cosA =1，则cos B 的最小值为( )A. √33B. 13C. √22D. 1211. 已知三棱锥A −BCD 四个顶点都在半径为3的球面上，且BC 过球心，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，则三棱锥A −BCD 的表面积为( )A. 18+6√3B. 18+8√3C. 18+9√3D. 18+10√312. 函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (−∞,−2]⋃[2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)⋃(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，AB =3，AC =5，若O 为△ABC 的外心，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 14. 若函数f(x)是R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +x +a ，则f(−2)=____． 15. 正实数x,y 满足2x +y −3=0，则4y−x+6xy的最小值为_________．16. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，若b n =log 2a n ，则1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b n b n+1=___________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在等差数列{a n }中，a 2=4，a 4+a 7=15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n −2+n ，求数列{b n }的前10项和．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−a 2bc=2sinB−sinAsinC．(1)求角C 的值；(2)若a +b =4，当边c 取最小值时，求△ABC 的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，BC=PC，DB=2√2，(1)证明PA//平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求四棱锥P−ABCD的体积．kx2．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−x+12(1)当k=2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处切线方程；(2)求f(x)的单调区间．21.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=π4，cos∠C=35．(Ⅰ)求sin∠ADB的值；(Ⅱ)若BD=2DC=5，求△ABD的面积．22.已知函数f(x)=lnx+ax2(a∈R)．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与x轴平行，求f(x)的极值；(2)若函数g(x)=f(x)−x−1在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|0≤x≤3}；∴A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算，一元二次不等式的解法．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的运算，考查共轭复数及复数的几何意义，属于基础题．化简可得z=−1+i，得到共轭复数z−=−1−i，即可得到答案．【解答】解：z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，则z−=−1−i，所以z−在复平面内对应的点为(−1,−1)．故选C．3.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的周期性，由二倍角公式化简已知函数解析式，由周期公式可得答案．【解答】解：y=sinxcosx=12sin2x，故最小正周期T=2π2=π．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力是中档题．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的性质定理得α//β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若a//α，b//β，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊂α，b⊂β，且a//b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，b⊥β，且a//b，则由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；在D中，若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．5.答案：B解析：【分析】本题考查复合函数的单调性的判断，二次函数的单调性及对数函数的性质，属于中档题．根据复合函数的单调性“同增异减”，转化为g(x)=x2−ax+3a在也是增函数且恒大于0，列出不等式求解即可．【解答】解：函数在上是增函数，即g(x)=x2−ax+3a在也是增函数且均大于0，即g(2)>0且a2≤2，即{22−2a+3a>0a2≤2,解得−4<a≤4，则a的取值范围是(−4,4]．故选B．6.答案：C解析：解：命题p：sinx+4sinx≥4，sinx<0时是假命题．命题q：直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行⇔a−11=a+3−1，解得a=−1．∴“a=−1”是“直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是(￢p)∧q．故选：C．命题p：sinx<0时是假命题．命题q：直线x−y+5=0与直线(a−1)x+(a+3)y−2=0平行⇔a−1 1=a+3−1，解得a，即可判断出真假．本题考查了三角函数的单调性、直线平行的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的判断和识别，结合函数奇偶性和特殊值的符号是否一致是解决本题的关键．先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e−x+e x =|x|cosxe x+e−x=f(x)，定义域为R，则f(x)是偶函数，排除C，f(π)=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π<0，排除B，D．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查函数的单调性，考查推理能力，属于基础题．利用一次函数的性质即可求解．【解答】解：因为f(x)=ax−3在R上递增，所以a>0，故选B．9.答案：A解析：本题考查了观察能力及归纳推理，属中档题．先观察再进行归纳推理得：第一列的数设为数列{a n}，则有a1=2，a n−a n−1=2n，解得a n=n2+n，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，则第21行第4列的数为462+42+44+46=594，得解．【解答】解：由图可知，第一列的数设为数列{a n}，则有a1=2，a n−a n−1=2n，解得a n=n2+n，即第21行的第一个数为212+21=462，由图可知，第21行第4列的数为462+42+44+46=594，故选：A．10.答案：D解析：解：∵bc cosC+bacosA=1，∴由余弦定理可得：bc ⋅a2+b2−c22ab+ba⋅b2+c2−a22bc=1，整理可得：b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac≥2ac−ac2ac=12，当且仅当a=c时等号成立，即cos B的最小值为12．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，利用余弦定理，基本不等式可求cos B的最小值．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查几何体的外接球，几何体的体积与几何体的位置关系的判断，表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．判断几何体的体积最大时的位置，然后求解三棱锥的表面积．【解答】解：因为三棱锥A−BCD四个顶点都在半径为3的球面上，且BC过球心，所以BC是球的直径，D在以球心为直径的大圆面上，当三角形DBC是等腰直角三角形时，底面积最大，当A与球心的连线与BCD平面垂直时，三棱锥A−BCD的高最大，则此时几何体的体积最大，此时OA为该三棱锥的高；此时OA =OB =OD =OC =3，AB =AD =AC =3√2，BD =DC =3√2， 则三棱锥的表面积为：2×12×6×3+2×√34×(3√2)2=18+9√3．故选：C ．12.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系．若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则△>0，解得答案． 【解答】解：若二次函数f(x)=x 2+ax +1有两个不同的零点，则方程x 2+ax +1=0有两个不同的根， 则△=a 2−4>0，解得：a >2或a <−2． 故选D ．13.答案：8解析：解：过O 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC 垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AT ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−3×32+5×52=8 故答案为：8作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．14.答案：−5解析： 【分析】本题考查了奇函数的性质及已知函数解析式求值问题，属于基础题.解题时利用奇函数的性质求出a ，再求出f(−2)即可．【解答】解：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=20+0+a=0，即a=−1，所以f(−2)=−f(2)=−(22+2−1)=−5．故答案为−5．15.答案：9解析：【分析】本题考查基本不等式，属于中档题．正实数x，y满足2x+y−3=0，可得4y−x+6xy =3(1y+2x)，利用“1”的用法即可得解．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y−3=0，∴4x+2y=6，则4y−x+6xy=4y−x+4x+2yxy=3(1y+2x)=(2x+y)(1y+2x)=5+2xy+2yx≥5+2√2xy·2yx=9，当且仅当x=y=1时取等号．∴4y−x+6xy的最小值为9．故答案为9．16.答案：nn+1解析：【分析】本题考查了数列推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对n∈N∗都有S n=1−a n，n=1时，a1=1−a1，解得a1.n≥2时，a n=S n−S n−1.利用等比数列的通项公式可得a n .b n =log 2a n =−n.可得1b n b n+1=1n−1n+1．【解答】解：对n ∈N ∗都有S n =1−a n ，n =1时，a 1=1−a 1，解得a 1=12． n ≥2时，a n =S n −S n−1=1−a n −(1−a n−1)，化为：a n =12a n−1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12． a n =(12)n ．∴b n =log 2a n =−n ． ∴1b n b n+1=1−n(−n−1)=1n −1n+1．则1b1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．故答案为nn+1．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=4，a 4+a 7=15，得a 1+d =4，(a 1+3d)+(a 1+6d)=15， 解得a 1=3，d =1，所以a n =a 1+(n −1)d =3+n −1=n +2； (2)由(1)可得b n =2a n −2+n =2n +n ， 所以b 1+b 2+b 3+⋯+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+⋯+(210+10) =(2+22+23+⋯+210)+(1+2+3+⋯+10) =2×(1−210)1−2+(1+10)×102 =(211−2)+55 =211+53=2101．解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，以及运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求；(2)求得b n =2a n −2=2n +n ，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．18.答案：解：(1)由条件和正弦定理可得b 2+c 2−a 2bc=2b−a c，即b 2+c 2−a 2b =2b −a ，整理得b 2+a 2−c 2=ab 从而由余弦定理得cosC =b 2+a 2−c 22ab=ab2ab =12．又∵C是三角形的内角，∴C=π3．(2)由余弦定理得c2=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=16−3ab，∵4=a+b≥2√ab，∴√ab≤2，ab≤4，则−ab≥−4，即c2=16−3ab≥16−12=4，当且仅当a=b=2时等号成立．∴c的最小值为2，故S△ABC=12absinC=12×4×√32=√3．解析：(1)由余弦定理和正弦定理进行化简即可(2)结合余弦定理以及基本不等式求出c的最小值，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理和余弦定理进行转化是解决本题的关键．19.答案：(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又E为PC的中点，从而EH//PA，因为HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE；(Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，由(Ⅰ)知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，从而AC⊥平面PBD：(Ⅲ)解：在△BCD中，DC=1，DB=2√2，∠BDC=45°得BC2=12+(2√2)2−2×1×2√2cos45°=5，∴BC=√5．在Rt△PDC中，PC=BC=√5，DC=1，从而PD=2，则S ABCD=2S△BCD，故四棱锥P−ABCD的体积V P−ABCD=13S ABCD×PD=43．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．(Ⅰ)设AC∩BD=H，连接EH，说明H为AC的中点，证明EH//PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA//平面BDE；(Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD⊥AC，然后证明AC⊥平面PBD：(Ⅲ)求出S ABCD，然后求四棱锥P−ABCD的体积．20.答案：解：(1)k=2时，f(x)=ln(1+x)−x+x2，f′(x)=11+x−1+2x，由于f(1)=ln2，f′(1)=32，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−ln2=32(x−1)，即3x−2y+2ln2−3=0；(2)f′(x)=x(kx+k−1)1+x，x∈(−1,+∞)，当k<0时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−∞,−1)舍去；因此，在区间(−1,0)上，f′(x)>0，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f′(x)=−x1+x，因此在区间(−1,0)上，f′(x)>0；在区间(0,+∞)上，f′(x)<0；所以f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk>0；因此，在区间(−1,0)和(1−kk ,+∞)上，f′(x)>0；在区间(0,1−kk)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f′(x)=x21+x，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，由f′(x)=x(kx+k−1)1+x =0，得x1=0，x2=1−kk∈(−1,0)；因此，在区间(−1,1−kk )和(0,+∞)上，f′(x)>0，在区间(1−kk,0)上，f′(x)<0；即函数f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)；综上所述，当k<0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当k=0时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)，单调递减区间为(0,+∞)；当0<k<1时，f(x)的单调递增区间为(−1,0)和(1−kk ,+∞)，单调递减区间为(0,1−kk)；当k=1时，f(x)的递增区间为(−1,+∞)；当k>1时，f(x)的单调递增区间为(−1,1−kk )和(0,+∞)，单调递减区间为(1−kk,0)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于较难题．(1)求导数，确定切线的斜率，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求导，分类讨论，利用导数的正负，可得f(x)的单调区间．21.答案：解：(I)在△ABC 中，∵cosC =35，∴sinC =45．∴sin∠ADC =sin(C +∠CAD)=sinCcos∠CAD +cosCsin∠CAD =45×√22+35×√22=7√210． ∵∠ADB +∠ADC =π， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =7√210． (II)在△ACD 中，由正弦定理得CDsin∠CAD =ADsinC ， ∴52√22=AD45，解得AD =2√2．∴S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB =12×5×2√2×7√210=7．解析：(I)求出sin C ，则sin∠ADB =sin∠ADC =sin(C +∠CAD)；(II)在△ACD 中使用正弦定理计算AD ，代入三角形的面积公式S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB 即可． 本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．22.答案：解：，∴f′(x)=1x +2ax(x >0)，由条件可得f′(2)=12+4a =0，解得a =−18，，f′(x)=1x −14x =−(x−2)(x+2)4x(x >0)，令f′(x)=0可得x =2或x =−2(舍去)，当0<x <2时，f′(x)>0；当x >2时，f′(x)<0， 即f(x)在(0,2)上单调递增，在上单调递减，故f(x)有极大值，无极小值；(2)由题意知，则g′(x)=1x+2ax −1=2ax 2−x+1x(x >0)，设ℎ(x)=2ax 2−x +1， ①当a =0时，g′(x)=−x−1x，当0<x <1时，g′(x)>0，当x >1时，g′(x)<0， 即g(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，不满足条件；②当a <0时，ℎ(x)=2ax 2−x +1是开口向下的抛物线， 方程2ax 2−x +1=0有两个实根，设较大实根为x 0． 当x >x 0时，有ℎ(x)<0，即g′(x)<0， ∴g(x)在上单调递减，故不符合条件；③当a >0时，由g′(x)⩾0可得ℎ(x)=2ax 2−x +1在上恒成立，故只需或，即{1⩾0 14a⩽01−8a>0 a>0，或{1−8a⩽0a>0，解得a⩾18．综上可知，实数a的取值范围是．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、单调性，注意分类讨论思想的应用．(1)对函数f(x)求导，依条件得a=−18，再根据单调性分析即可得出f(x)有极大值，无极小值；(2)对函数g(x)求导，再对a的取值分类讨论，进行分析即可．。

2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。

2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省焦作市第二十中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，若，则直线：与圆：的位置关系是（）A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离参考答案：C2. 如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为参考答案：答案：D解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B 正确；根据对称性知C正确。

选D3. 在递增等比数列{a n}中，，则公比＝A．-1 B．1 C．2 D．参考答案：C略4. 函数的定义域是(A). (B). (C). (D) .参考答案：C略5. 已知x的取值范围是[0，8]，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【分析】利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为=，故选B．6. 已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于(A)4 (B)5 (C)6 (D)7参考答案：C 【解析】本小题主要考查等差数列的性质。

由得：，故选C。

7. 以抛物线的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率的双曲线的标准方程是A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则等于( )A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}参考答案：A9. 将函数f（x）＝sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为A．B．C．1 D．参考答案：A10. 下列命题中正确的是( )A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；简易逻辑．【分析】由若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则P且q真假不确定，即可判断A；运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断B；由原命题和逆否命题的关系，注意或的否定为且，即可判断C；由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断D．【解答】解：对于A．若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q的真假不定，则A错误；对于B．若a＞0，b＞0，则+≥2=2，当且仅当a=b取得等号，反之，若+≥2即为≥0，即≥0，即有ab＞0，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，则B错误；对于C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，则C错误；对于D．命题p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，则D正确．故选D．【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要考查复合命题的真假、充分必要条件的判断和四种命题及命题的否定形式，属于基础题和易错题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．参考答案：试题分析：由，解得：，所以函数的定义域是．考点：函数的定义域．12. 设变量x，y满足约束条件：则的最大值为________．参考答案：913. 已知函数．若存在，使得，则实数b 的取值范围是____．参考答案：∵f(x)=e x(x?b)，∴f′(x)=e x(x?b+1)，若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，则若存在x∈[,2],使得e x(x?b)+xe x(x?b+1)>0，即存在x∈[,2],使得b<成立，令，则，g(x)在递增，∴g(x)最大值=g(2)=，则实数的取值范围是14. 在中，，则的最大值为。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．2532．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A ．3B ．3C ．1D ．53．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -6．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -7．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-9．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+10．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间 B ．3阶区间 C ．4阶区间 D ．5阶区间11．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ） A ．100B ．210C ．380D ．40012．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|-1≤x≤5}，B={x|x2-2x＞3}，则 A∩B=（A. {x|3＜x≤5}B. |x|-1≤x≤5|C. {x|x＜-1 或 x＞3}D. R2. 已知复数 z 满足 i（3+z）=1+i，则 z 的虚部为（ ）A. -iB. iC. -1）D. 13. 已知函数，若 f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（ ）A.B.C. a2＜abD. ln（a2+1）＞ln（b2+1）4. 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A. 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为B. 12 个月的 PMI 值的平均值低于 50% C. 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4% D. 12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%5. 已知函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数的图象，则 φ 的最小值为（ ）A.B.C.D.6. 已知数列{an}满足 an+1-an=2，且 a1，a3，a4 成等比数列．若{an}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn 的最小值为（ ）第 1 页，共 14 页A. -10B. -14C. -187. 已知 cos（2019π+α）=- ，则 sin（ -2α）=（ ）D. -20A.B.C. -D.8. 已知双曲线的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于 M 点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）A. S＞-1？B. S＜0？C. S＜-1？D. S＞0？10. 过抛物线 E：x2=2py（p＞0）的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知函数 f（x）=x3-ax-1，以下结论正确的个数为（ ）①当 a=0 时，函数 f（x）的图象的对称中心为（0，-1）；②当 a≥3 时，函数 f（x）在（-1，1）上为单调递减函数；③若函数 f（x）在（-1，1）上不单调，则 0＜a＜3；④当 a=12 时，f（x）在[-4，5]上的最大值为 15．A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知四棱锥 E-ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，ED=1，平面 ECD⊥平面ABCD，当点 C 到平面 ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A.B.C.D. 1二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 =（1，1），| |= ，（2 + ）• =2，则| - |=______．14. 为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级间的 拔河比赛．每两班之间只比赛 1 场，目前（一）班已赛了 4 场，（二）班已赛了 3 场，（三）班已赛了 2 场，（四）班已赛了 1 场．则目前（五）班已经参加比赛的 场次为______．15. 将底面直径为 4，高为 的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大 值为______．16. 如图，已知圆内接四边形 ABCD，其中 AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则=______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列{an}的各项都为正数，a1=2，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=[lg（log2an）]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1， 求数列{bn}的前 2020 项和．18. 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 A1ACC1，CC1=2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为 AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC1∥平面 B1CE； （Ⅱ）求斜三棱柱 ABC-A1B1C1 截去三棱锥 B1--CBE 后剩 余部分的体积．19. 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天 种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新 奇水果的箱数 x（单位：十箱）与成本 y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y 与 x 可用回归方程（其中 ， 为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱 的利润是多少元．|． （Ⅱ）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数 的频率分布直方图如图． （i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在第 3 页，共 14 页[80，120）内的概率； （ⅱ）求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用 该组区间的中点值作代表） 参考数据与公式：设 t=lgx，则0.546.81.530.45线性回归直线中，，．20. 已知椭圆的左，右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|=2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF1F2 的面积的最大值为 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）若 A（a，0），B（0，b），四边形 ABCD 内接于椭圆 E，AB∥CD，记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值．21. 已知直线 y=x-1 是曲线 f（x）=alnx 的切线． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）若 t≤3-4ln2，证明：对于任意 m＞0， 个零点．第 4 页，共 14 页有且仅有一22. 以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ，P 是 C1 上一动点，，Q 的轨迹为 C2．（Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点 M（0，1），直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l与曲线 C2 的交点为 A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线 l 的普通方程．23.已知 a，b，c∈R+，∀x∈R，不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c 恒成立． （Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：．2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. C8. A9. B10. C 11. C 12. B13. 314. 215.16.17. 解：（I）由题意，且，即-an+1an-2 =0，整理，得（an+1+an）（an+1-2an）=0． ∵数列{an}的各项都为正数， ∴an+1-2an=0，即 an+1=2an． ∴数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，第 5 页，共 14 页∴an=2n． （Ⅱ）由（I）知，bn=[lg（log2an）]=[lg（log22n）]=[lgn]，故 bn=，n∈N*．∴数列{bn}的前 2020 项的和为 1×90+2×900+3×1021=4953．18. 解：（Ⅰ）如图，连接 BC1，交 B1C 于点 M，连接 ME，则 ME∥AC1．因为 AC1⊄平面 B1CE，ME⊂平面 B1CE，所以 AC1∥平面 B1CE．（Ⅱ）因为 B1C1 平面 ABC， 所以点 B1 到平面 ABC 的距离等于点 C1 到平面 ABC 的距离． 如图，设 O 是 AC 的中点，连接 OC1，OB． 因为△ACC1 为正三角形，所以 OC1⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 A1ACC1，平面 ABC∩平面 A1ACC1=AC， 所以 OC1⊥平面 ABC． 所以点 C1 到平面 ABC 的距离 OC1= ，故三棱锥 B1-BCE 的体积为 V= S△BCE•OC1= × ×1× × = ，而斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V=S△ABC•OC1= AB•CE•OC1= ×2× × =3，所以剩余部分的体积为 3- = ．19. 解（Ⅰ）根据题意，=，，∴．又 t=lgx，∴．∴x=10 时，（千元），即该新奇水果 100 箱的成本为 8364 元，故该新奇水果 100 箱的利润 15000-8364=6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为．设这两天分别为 a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为，设这四天分别为 A，B，C，D． ∴随机抽取 2 天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC）， （BD），（Ba），（Bb），第 6 页，共 14 页（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共 15 种． 满足恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb）， （Ca），（Cb），（Da），（Db）共 8 种，所以估计恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：×（箱）．20. 解：（Ⅰ）设椭圆 E 的半焦距为 c，由题意可知，当 M 为椭圆 E 的上顶点或下顶点时，△MF1F2 的面积取得最大值 ．所以，所以 a=2，b= ，故椭圆 E 的标准方程为．（Ⅱ）根据题意可知 A（2，0），B（0， ），kAB=-因为 AB∥CD，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2）由，消去 y 可得 6x2-4+4m2-12=0，所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，所以 k1k2=•，=，=，==．故 k1k2 为定值．21. 解：（Ⅰ）根据题意，f′（x）= ，设直线 y=x-1 与曲线相切于点 P（x0，y0）根据题意，可得，解之得 x0=a=1，因此 f（x）=lnx．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 h（x）=mx- +lnx+t（x＞0）， 则当 x→0 时，h（x）＜0，当 x→+∞时，h（x）＞0， 所以 h（x）至少有一个零点．第 7 页，共 14 页h′（x）= +m=m- +（ - ）2①m≥ ，则 h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）有唯一零点．②若 0＜m＜ ，令 h′（x）=0 得 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），所以 ＞ ，即 0＜x1＜16． 可知 h（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递 增．所以极大值为 h（x1）=mx1- +lnx1+t=（ - ）x1- +lnx1+t=- -1+lnx1+t，又 h′（x1）=- + = ＞0，所以 h（x1）在（0，16）上单调递增， 则 h（x1）＜h（16）=ln16-3+t≤ln16-3+3-4ln2=0，所以 h（x）有唯一零点． 综上可知，对于任意 m＞0 时，h（x）有且仅有一个零点．22. 解：（Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有 ρ= ρ0=2cosθ+4sinθ，故曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ， 故 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+4y，即（x-1）2+（y-2）2=5； （Ⅱ）设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，则|MA|=t1，|MB|=t2，设直线 l 的参数方程，（t 为参数），代入 C2 的直角坐标方程（x-1）2+（y-2）2=5 中， 整理得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0． 由根与系数的关系得 t1+t2=2（cosα+sinα），t1t2=-3， 则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===≥2， 当且仅当 sin2α=-1 时，等号成立， 此时 l 的普通方程为 x+y-1=0．23. 证明：（Ⅰ）∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1，∴a+b+c≥1． ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac， ∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca， ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2≥1，∴．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2，即两边开平方得，同理可得，三式相加，得．第 8 页，共 14 页【解析】1. 解：由题意 B={x|x＜-1 或 x＞3}，所以 A∩B={x|3＜x≤5}， 故选：A． 求出集合 B，再求出即可． 本题考查一元二次不等式的解法集合的基本运算，基础题．2. 解∵i（3+z）=1+i，∴3+z=，∴z=-2-i，∴复数 z 的虚部为-1．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：易知 f（x）在 R 上单调递增，故 a＞b．因为 a，b 的符号无法判断，故 a2 与 b2，a2 与 ab 的大小不确定，所以 A，C，D 不一定正确；B 中正确．故选：B．易知 f（x）在 R 上单调递增，可得 a＞b，再逐项判断即可．本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．4. 解：从图中数据变化看，PMI 值不低于 50%的月份有 4 个，所以 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为 = ，所以 A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于 50%，所以 B 正确； 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%，所以 C 正确； 12 个月的 PMI 值的中位数为 49.6%，所以 D 错误． 故选：D． 根据统计图中数据变化情况，分析判断选项中的命题是否正确即可． 本题主要考查了统计图表的识别以及样本的数字特征问题，也考查了数形结合思想，是 基础题．5. 解：把函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数 y=sin（2x+2φ- ）的图象，即得到的图象，∴2φ- =2kπ+ ，k∈Z，∴φ 的最小值为 ，故选：A． 由题意利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6. 【分析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质及二次函数的单调性，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式、等比中项的性质，列方程求基本量，再求和结合二次函数性 质即可得出． 【解答】 解：根据题意，可知{an}为等差数列，公差 d=2．由 a1，a3，a4 成等比数列，可得=a1（a1+6），解得 a1=-8．第 9 页，共 14 页所以 Sn=-8n+=-．根据单调性，可知当 n=4 或 5 时，Sn 取到最小值，最小值为-20． 故选：D．7. 解：由 cos（2019π+α）=- ，可得 cos（π+α）=- ，∴cosα= ，∴sin（ -2α）=cos2α=2cos2α-1=2× -1=- ． 故选：C． 由已知利用诱导公式可得 cosα= ，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所 求即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查 了转化思想，属于基础题．8. 解：双曲线 C： =1，a＞0，b＞0 的右顶点为 A（a，0），右焦点为 A（c，0），M 所在直线为 x=a，不妨设 M（a，b）， ∴MF 的中点坐标为（ ， ）．代入方程可得 - =1，∴= ，∴e2+2e-4=0，∴e= -1（负值舍去）．故选：A． 由题意可得过右顶点的直线，又可得 M 的坐标，进而求出 MF 的中点的坐标，代入双 曲线方程，可得 a，c 的关系，进而求出离心率． 本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题．9. 解：i=1，S=1．运行第一次，S=1+lg =1-lg3＞0，i=3，不成立；运行第二次，S=1+lg +lg =1-lg5＞0，i=5，不成立；运行第三次，S=1+lg +lg +lg =1-lg7＞0，i=7，不成立；运行第四次，S=1+lg +lg +lg +lg =1-lg9＞0，i=9，不成立；运行第五次，S=1+lg +lg +lg +lg +lg =1-lg11＜0，i=11，成立，输出 i 的值为 11，结束， 故选：B． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变量 i 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题主要考查循环结构的框图，属于基础题．第 10 页，共 14 页10. 解：显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率 为 k，则直线 AB 的方程为y=kx+ ，联立方程，消去 y得：x2-2pkx-p2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=2pk， ∴， 由抛物线的性质可知：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线 CD 的斜率为：- ，∴|CD|=2p（- ）2+2p=，∴，∴2p+2pk2=4+4k2， ∴p=2， ∴抛物线方程为：x2=4y，准线方程为：y=-1， 设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|， 而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为 2+1=3，如图所示： ∴|PF|+|PQ|的最小值为 3， 故选：C．显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=kx+ ，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，因为 AB⊥CD，所以直线CD 的斜率为：- ，所以|CD|=2p（- ）2+2p=，所以，解得 p=2，设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最 小值为 2+1=3． 本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．11. 解：①幂函数 y=x3 为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当 a=0 时，函数 f（x）=x3-1 的图象的对称中心为（0，-1），即①正确． ②由题意知，f'（x）=3x2-a． 当-1＜x＜1 时，3x2＜3， 又 a≥3，所以 f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立， 所以函数 f（x）在（-1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f'（x）=3x2-a， 当 a≤0 时，f'（x）≥0，此时 f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，不合题意，故 a＞0．第 11 页，共 14 页令 f'（x）=0，解得．因为 f（x）在（-1，1）上不单调，所以 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，所以，解得 0＜a＜3，即③正确．④令 f'（x）=3x2-12=0，得 x=±2． 当 x∈[-4，5]时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5）， 因为 f（-2）=15，f（5）=64，所以最大值为 64，即④错误． 故选：C． ①根据幂函数 y=x3 与 f（x）=x3-1 的图象变换即可判断正误； ②求导 f'（x）=3x2-a，当 a≥3 时，f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立； ③求导 f'（x）=3x2-a，首先判断 a≤0 不符合题意，其次讨论当 a＞0 时，若 f（x）在（-1， 1）上不单调，则 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，即可得解； ④当 a=12 时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5），然后比较 f（-2）和 f（5）的大小即可得解． 本题考查函数的性质及导数的应用，熟练运用导数解决函数的单调性、最值问题是解题 关键，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．12. 解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大， 可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B． 如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最 大．即可得出此时该四棱锥的体积． 本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 解：由题意可得，∴，解得，∴．故答案为：3．依题意，可求得，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14. 解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了 2 场， 故答案为：2．第 12 页，共 14 页根据题意，画出图形，即可得到目前（五）班已经赛了 2 场． 本题主要考查逻辑推理，是基础题．15. 解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则 = ，解得 h= - r．故 S 侧=2πrh=2πr（ - r）= πr（2-r）≤ π=．当 r=1 时，S 侧的最大值为 ． 故答案为： ．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，由=，解得 h= - r．可得 S 侧=2πrh=2πr（ - r），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题．16. 解：由圆内接四边形的性质可得∠C=π-∠A，∠D=π-∠B．连接 BD，在△ABD 中，有 BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA． 在△BCD 中，BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC， 所以，AB2+AD2-2AB•ADcosA=BC2+CD2+2BC•CDcosA，cosA===，所以 sinA===，连接 AC，同理可得 cosB===，所以 sinB===．所以==．结合圆内接四边形的性质及余弦可分别求解 cosA，cosB，然后结合同角平方关系可求 sinA，sinB，进而可求． 本题主要考查余弦定理，同角平方关系及圆内接四边形的性质的应用．17. 本题第（I）题对递推式进行转化，因式分解，根据题意可得数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，即可得到数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题根据第（I）题的结果 写出数列{bn}的通项公式，然后根据[x]的特点转化为分段的通项公式，再求和即可得到 结果． 本题主要考查等比数列及数列的求和等相关基础知识．考查了方程思想，转化思想的应 用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18. （Ⅰ）运用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）运用线面垂直的判定定理和性质，以及棱锥的体积公式计算可得所求值． 本题主要考查线面平行线面垂直等线面位置关系以及几何体的体积．19. （Ⅰ）由已知求得 与 ，得到，结合 t=lgx，可得．取 x=10 时求得 y 值得答案．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数，设这两天分别 为 a，b，求出水果箱数在[80，120）内的天数，利用枚举法结合古典概型概率公式求恰第 13 页，共 14 页有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）直接由题意求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值． 本题主要考查线性回归方程、古典概型以及样本的平均值，考查计算能力，是中档题．20. （Ⅰ）由题意可得，解得 a，b，c，进而得椭圆的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 A（2，0），B（0， ），kAB=- ，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线 CD 与椭圆的方程得所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，代入 k1k2 化简可得结论． 本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系．21. （Ⅰ）设切点 P（x0，y0），则，即可求出 a；（Ⅱ）由 h（x）的解析式可知其至少有一个零点，又因为 h′（x）=m- +（ - ）2，讨论①m≥ ②0＜m＜ 两种情况下均只有一个零点即可．本题考查导数的综合应用，考查利用导数表示曲线上某点切线，利用导数判断函数单调 区间等，属于综合题，中档题．22. （Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），分析可得曲线C2 的极坐标方程，变形可得答案；（Ⅱ）根据题意，设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，直线 l 的参数方程，（t 为参数），与 C2 的方程联立可得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0，由根与系数的关系分析可 得答案． 本题考查三种方程的转化，利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系，属于基础题．23. （Ⅰ）由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）分析可知，，三式相加即可得证． 本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式．第 14 页，共 14 页。