广东省佛山市顺德区高中数学《2.4等比数列的概念与通项》学案 新人教A版必修5

等比数列的概念及通项公式柳河八中：李先臣【知识目标】1．理解【知识目标】1．理解等比数列的定义。

2．掌握通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题。

【能力目标】通过渗透函数、方程的思想，培养学生的观察、发现、猜想、归纳、分析的思维能力。

【美育目标】等比数列与等差数列的相似美，结构美等比数列的定义。

2．掌握通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题。

【能力目标】通过渗透函数、方程的思想，培养学生的观察、发现、猜想、归纳、分析的思维能力。

【美育目标】等比数列与等差数列的相似美，结构美。

教学重点难点1．理解等比数列的定义。

2．掌握通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题。

教学过程一，引入课题【教师引导】1、由教师引导，师生动手来发现一个数列。

1、2、4、8、16……2、由一句文言文引出一个数列。

1、21 、41、18、116……学生动手操作和认真倾听来观察，发现这两列数及观察这两列数的共同特点，从而来认识等比数列。

【设计意图】1、创设学习情境。

2、激发学生学习的兴趣。

二对等比数列定义的研究【教师引导】[提出问题]能找这些数列的特点吗？( 1 ) 2，22，23，24，…（2）1、21、41…(21)n-1… 通过观察，发现，探究等比数列的特点，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）【学生参与】这个问题由学生看黑板或屏幕来回答，发现并说出这两个数列的特点。

【设计意图】培养学生观察、思维的能力。

借助黑板与多媒体增强学生感性认识。

【教师引导】［定义］一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列。

[提出问题]等比数列的定义用数学表达式该怎么表示吗？q a a nn =+1（常数）引导学生类比等差数列的定义，得出等比数列的定义，并理解剖析等比数列的定义。

【设计意图】让学生的学习由感性到理性的过程。

三对等比中项的研究由练习2与等差中项的概念类比，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项。

第二章 数列2．4 等比数列（第1课时）学习目标1．掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念； 2．掌握等比数列的通项公式及推导思路；3．能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列． 要点精讲1．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠． 2．在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有1nn a q a -=(0,1)q n ≠>，则称数列{}n a 为等比数列；在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有11n n n na aa a +-=(1)n >，则数列{}n a 为等比数列． 3．由三个数,,a Gb 组成的等比数列可以看成最简单的等比数列．这时，G 叫做a 与b 的等比中项．G 为a 与b 的等比中项⇔,,a G b 组成等比数列⇔2(0,0)G ab ab G =>≠4．设等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则通项公式11n n a a q -=．公式推导方法为归纳法．对于任意,n m N *∈，有n m n m a a q -=．范例分析例1．在等比数列{}n a 中，（1）218a =，48a =，求1a 与q ； （2）5115a a -=，426a a -=，求3a ； 例2．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，求22a ba b ++的值． 例3．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ，4b 的大小关系为（ ）A ．4a 4b =B ．4a 4b >C ．4a 4b <D ．不确定例4．在等差数列}{n a 中，公差0d ≠，且2a 是1a 和4a 的等比中项，已知1a ，3a ，123,,,n k k k k a a a a 成等比数列，求数列123,,,,n k k k k ⋅⋅⋅的通项n k ．规律总结1．可以把等比数列{}n a 的问题归结为两个基本量1a 和q 的问题； 2．判定一个数列是不是等比数列，就是看1nn a a -(1)n >是不是一个与n 无关的常数． 3．等比数列与指数函数的关系：等比数列{}n a 的通项公式111(0)n n a a q a q -=≠，它的图象是分布在曲线1(0xa y q q q=⋅>且1)q ≠上的一些孤立的点．当10,1a q >>时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q <<<时，等比数列{}n a 是递增数列；当10,01a q ><<时，等比数列{}n a 是递减数列；当10,1a q <>时，等比数列{}n a 是递增数列；当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列；当1q =时，等比数列{}n a 是常数数列 基础训练 一、选择题1．在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A ．14 B ．13 C ．12D ．1 2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列， 则2a =（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-3．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．34．在△ABC 中，tan A 是以4-为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B 是以31为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d = 若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题6．在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =___ 。

高中数学241等比数列的概念及通项公式教案新人教A版必修5教案教案主题：等比数列的概念及通项公式教学目标：1.理解等比数列的概念；2.掌握等比数列的通项公式；3.能够应用等比数列的概念和公式解决实际问题。

教学重难点：1.等比数列的概念的理解；2.等比数列的通项公式的推导。

教学准备：教材《高中数学》新人教A版必修5；黑板、白板、彩色粉笔/白板笔；教具：计算器、数列练习题。

教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）教师出示题目：“2、4、8、16、32、…”，让学生观察并回答：1.这一串数字有什么特点？2.你们能迅速找到下一个数字是多少吗？引导学生发现并总结这个数字序列的特点，即每个数是前一个数乘以2、然后教师给出定义：定义：如果一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，该常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。

Step 2：引入通项公式（10分钟）通过上述例子，学生已经掌握了等比数列的概念。

接下来，教师将要教授的是等比数列的通项公式。

教师出示题目：“2、4、8、16、32、…”，让学生寻找规律并回答：1.第1项到第2项的比是多少？2.第2项到第3项的比是多少？3.…4.第n项到第(n+1)项的比是多少？引导学生发现每一项与它的前一项的比都是2，即q=2、然后教师要引导学生总结等比数列的通项公式，并通过实例来验证。

等比数列的通项公式：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$在上面的例子中，第5项为32，即a5=32；第1项为2，即a1=2、代入公式，可得：32=2*2^(5-1)，32=2*2^4=2*16=32、验证结果正确。

Step 3：操练巩固（20分钟）教师出示一些等比数列，让学生应用通项公式计算出对应的项数。

例1：计算等比数列的第6项：1.-3，-6，-12,-24，…2.5，10，20，40，…例2：给出等比数列的第10项，已知公比q=-0.5：1.64，-32，16，-8，…2.-2，4，-8，16，…在每一个例子中，学生尝试自己解决，并互相交流合作。

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程 一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则abG ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数,有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是———— 当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是————当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是————．三，练习：导与练跟踪训练1-1，2-1四、课堂小结： 1.等比中项的定义； 2.等比数列的性质；3．判断数列是否为等比数列的方法．课后作业：导与练课后作业。

2.4等比数列教学目标知识与技能目标：1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．过程与能力目标：1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道n a ，1a ，q ，n 中的三个，求另一个的问题． 情感态度与价值观通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．教学过程学生自学：（1）阅读课本P48页-P49页上部分内容。

（2）思考数列1，2，3，4的共同特点是什么？二、新课 （抽生回答）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．1．等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0）.思考：（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？ （抽生回答，相互补充，直至完整）(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ； ｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ，q ≠0．）(2) 隐含：任一项00≠≠q a n 且(3) q= 1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．2.等比数列的通项公式1:)0,(111均不为q a q a a n n -⋅= 观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… …)0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，． 迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a n n =-1所以11342312--=⋅⋅nnn qaaaaaaaa，即)0(111≠⋅=-qaqaa nn，3.等比数列的通项公式2:)0(≠⋅=-qaqaammnmn，三、例题讲解例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 例2．求下列各等比数列的通项公式：例3．已知数列{an}满足12,111+==+nnaaa，（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求{an}的通项公式。

2.4《等比数列（1）》导学案 【学习目标】 1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系. 【重点难点】 重点:等比数列的定义和通项公式；难点:灵活应用等比数列的定义和通项公式。

【知识链接】（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处）复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ，等差数列的性质有：【学习过程】※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…；②1，12，14，18，116，…；③1，20，220，320，420，…。

思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n n a a +是一个不为0的常数就行了. ※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A. 3B. 35C. 51-D. 51+【学习反思】※ 学习小结1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※ 知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列；⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 63. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）.A. a ≠1B. a ≠0且a ≠1C. a ≠0D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则123422a a a a ++＝ . 5. 在等比数列{}a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .【拓展提升】在等比数列{}n a 中，⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ；⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ；⑶ 44a =，76a =，求9a ；⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .。

2．4 等比数列第1课时 等比数列的定义及通项公式[目标] 1.记住并理解等比数列的定义,并能用定义判断一个数列是否为等比数列；2.记住等比数列的通项公式,并能进行相关运算；3.记住等比中项的定义,并能进行简单的应用．[重点] 等比数列的定义、通项公式、等比中项及应用． [难点] 对等比数列定义的理解,通项公式的推导．知识点一 等比数列的定义[填一填]一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．[答一答]1．等比数列中某一项可以是0吗？公比q 有可能为零吗？提示：由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不能为0,因此q 也不能为0. 2．一个数列既是等差数列,又是等比数列,这样的数列存在吗？ 提示：存在,此数列是一个非零常数列． 3．下列数列是等比数列的是(1)(2)．(1)a n ＝2n ；(2)a n ＝－1；(3)a n ＝n 2；(4)a n ＝3n －1；(5)0,12,14,18,….解析：在(1)中,a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2≠0,故(1)为等比数列；在(2)中,a n ＋1a n＝1≠0,故(2)为等比数列；在(3)中,a n ＋1a n ＝(n ＋1)2n 2＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2,⎝⎛⎭⎫1＋1n 2是依赖于n 的变量,不是同一个常数,故(3)不是等比数列；在(4)中,a n ＋1a n ＝3n ＋1－13n －1,3n ＋1－13n －1是依赖于n 的变量,不是同一个常数,故(4)不是等比数列；在(5)中,数列中含有0,故(5)不是等比数列．知识点二 等比中项[填一填]如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,这三个数满足关系式ab ＝G 2.[答一答]4．若a ,b 是任意两个实数,则a 与b 一定有等差中项和等比中项吗？提示：a 与b 一定有等差中项A ,且A ＝a ＋b2,但不一定有等比中项．当ab ≤0时,a 与b 没有等比中项．当ab >0时,a 与b 有等比中项,且G ＝±ab .5．若b 2＝ac ,则数列a 、b 、c 一定是等比数列吗？提示：数列a 、b 、c 不一定是等比数列．如02＝3×0,但是3,0,0不是等比数列． 知识点三 等比数列的递推公式和通项公式[填一填]已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q (q ≠0)[答一答]6．在等比数列{a n }中,公比为q ,若m ,n ∈N *,且m ≤n ,则a m 与a n 的关系怎样？提示：由等比数列的通项公式得,a n ＝a 1q n －1,a m ＝a 1q m －1,以上两式左、右两边分别相除得a n a m＝q n －m ,所以,a n ＝a m q n－m.7．由等比数列的通项公式可知,确定一个等比数列的关键是确定哪几个量？ 提示：关键是确定等比数列的首项和公比．类型一 等比数列的通项公式[例1] 已知数列{a n }为等比数列． (1)若a 4＝27,q ＝－3,求a 7；(2)若a 2＝18,a 4＝8,求a 1和q ； (3)若a 5－a 1＝15,a 4－a 2＝6,求a 3. [解] (1)解法一：由a 4＝a 1q 3, 得27＝a 1(－3)3,得a 1＝－1,所以a 7＝a 1q 6＝(－1)×(－3)6＝－729. 解法二：a 7＝a 4q 3＝27×(－3)3＝－729.(2)由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.(3)由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6. ②由①÷②,得q 2＋1q ＝52,所以q ＝12,或q ＝2.当q ＝12时,a 1＝－16,a 3＝a 1q 2＝－4；当q ＝2时,a 1＝1,a 3＝a 1q 2＝4.1.a 1和q 是等比数列的基本元素,只要求出这两个基本元素,其余的元素便可求出.2.等比数列的通项公式涉及4个量a 1,a n ,n ,q ,知任意三个就可以求出另外一个. [变式训练1] (1)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3,a 2＋a 3＝6,则a 7等于( A ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1＋a 2＝3,a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝6,∴q ＝2. 又a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3,∴3a 1＝3. ∴a 1＝1.∴a 7＝26＝64.(2)已知等比数列{a n }的各项均为正数,它的前三项依次为1,a ＋1,2a ＋5,则数列{a n }的通项公式a n ＝3n －1.解析：由题意,知(a ＋1)2＝2a ＋5,则a 2＝4. ∵数列{a n }的各项均为正数, ∴a ＋1>0,且2a ＋5>0.∴a ＝2.∴a ＋1＝3.∴q ＝a ＋11＝3.∴a n ＝3n －1.类型二 等比数列的判定与证明[例2] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1,a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．[分析] 要证明{a n }是等比数列,只要证明“a n ＋1a n ＝常数”即可．[解] (1)由S 1＝13(a 1－1),得a 1＝13(a 1－1),故a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1),即a 1＋a 2＝13(a 2－1),得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1),得a n a n －1＝－12,所以{a n }是首项为－12,公比为－12的等比数列．[变式训练2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3,…)．求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ,a n ＋1＝n ＋2n S n, ∴S n ＋1－S n ＝n ＋2n S n ,∴n (S n ＋1－S n )＝(n ＋2)S n ,∴nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ,∴S n ＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫S n n .∵S 11＝1≠0. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项,2为公比的等比数列．类型三 等比中项[例3] 已知a ,－32,b ,－24332,c 五个数成等比数列,试求a ,b ,c 的值．[解] ∵b 2＝(－32)×(－24332)＝(32)6,∴b ＝±278.当b ＝278时,∵ab ＝(－32)2,∴a ＝23.由bc ＝(－24332)2＝(32)10及b ＝278,得c ＝2 187128＝(32)7.同理,当b ＝－278时,a ＝－23,c ＝－(32)7.综上所述,a ,b ,c 的值可为23、278、(32)7或－23、－278、－(32)7.[变式训练3] 已知等比数列{a n }中,a 2a 3a 4＝64,a 3＋a 6＝36,求a 1与a 5的等比中项． 解：因为{a n }是等比数列,所以a 3是a 2与a 4的等比中项,因此a 23＝a 2a 4. 可得a 33＝64,于是a 3＝4. 又a 3＋a 6＝36,所以a 6＝32.设公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝4，a 1q 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.于是a 5＝a 1q 4＝16.设a 1与a 5的等比中项为G ,则G 2＝16,故G ＝±4. 即a 1与a 5的等比中项为±4.1．如果数列{a n }是等比数列,那么( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列2．2＋3和2－3的等比中项是( C ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．2解析：设2＋3与2－3的等比中项为G ,则G 2＝(2＋3)(2－3)＝1,∴G ＝±1.故选C. 3．在等比数列{a n }中,已知首项为98,末项为13,公比为23,则此等比数列的项数是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：在等比数列{a n }中,a 1＝98,a n ＝13,q ＝23,设项数为n ,则由等比数列的通项公式可得13＝98×⎝⎛⎭⎫23n －1即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233,∴n ＝4.故选B. 4．在数列{a n }中,a 1＝2,且对任意正整数n,3a n ＋1－a n ＝0,则a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.解析：∵3a n ＋1－a n ＝0,∴a n ＋1a n ＝13.∴数列{a n }是以a 1＝2为首项,公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.5．已知{a n }为等比数列,且a 5＝8,a 7＝2,该数列的各项都为正数,求a n .解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝14，a 1＝128，∵a n >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝128.∴a n ＝128×⎝⎛⎭⎫12n －1＝28－n.——本课须掌握的两大问题1．等比数列的定义与通项公式(1)“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q ”,q 是等比数列的公比,即q ＝a na n －1或q ＝a n ＋1a n .特别注意,q 不可以为零,当q＝1时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比中项(1)G 是a 与b 的等比中项,则a 与b 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中项． G ＝±ab ,即等比中项有两个,且互为相反数．(2)当G 2＝ab 时,G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0,但0,0,5不是等比数列．。

2.4等比数列（二）【教学目标】1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.4等比数列（二）》课件“复习回顾”部分，对等比数列的定义和通项公式进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理等比数列的性质阅读教材P51例4～P53，完成下列问题．1．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k.2．等比数列项的运算性质在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….3．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也为等比数列．三、合作探究 问题1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .等比数列也有类似变形吗？提示：在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n－m (n ，m ∈N *)． 问题2我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？提示：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．问题3等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3a n }是等比数列；(2){3＋a n }是等比数列；(3){1a n}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．提示：由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．问题4在等比数列{a n}中，a25＝a1a9是否成立？a25＝a3a7是否成立？a2n＝a n－2a n＋2(n>2，n∈N*)是否成立？提示：∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝a21q8＝(a1q4)2＝a25，∴a25＝a1a9成立．同理a25＝a3a7成立，a2n＝a n－2·a n＋2也成立．探究点1 等比数列的判断方法例1 已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝n－5a n－85，n∈N*，证明：{a n－1}是等比数列．提示：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85，解得a1＝－14，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝1－5a n＋5a n－1，∴6a n＝5a n－1＋1，a n－1＝56(a n－1－1)，∴{a n －1}是首项为－15，公比为56的等比数列． 反思与感悟 判断一个数列是等比数列的基本方法：(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (常数)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a 22≠a 1a 3.探究点2 等比数列的性质命题角度1 序号的数字特征例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．提示：(1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9，∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝10.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．命题角度2 未知量的设法技巧例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．提示：方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6. 所以，当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (q ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时， 所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为aq 3，a q，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .四、当堂检测1．在等比数列{a n}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为( )A．2B．3C．4D．82．在等比数列{a n}中，a n>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于( )A．9B．6C．3D．23．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．4．已知a n＝2n＋3n，判断数列{a n}是不是等比数列？提示：1．A 2.C 3.84．解不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a22，∴数列{a n}不是等比数列．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。

2.4等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .2.等比数列的通项公式: .二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b 的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列.分析:(1)由{a n}是等比数列,知,所以有=a n-1a n+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=a n-1a n+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{a n}中的每一项均不为零,且=a n-1a n+1(n≥2,n∈N),则数列{a n}是等比数列,反之成立.2.几个性质分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出a n,a n-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为,公比为的等比数列.(2)已知无穷等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.分析:①由=q,得a n+1=a n q,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{a n}的所有奇数项组成的数列是首项为,公比为的等比数列.②因为=…==q,所以数列{ca n}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{a n}是等比数列.分析:①设数列{a n}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=a n-1a n+1(n>1)成立.③=a n-k a n+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得a m=a1q m-1,a n=a1q n-1,a p=a1q p-1,a k=a1q k-1,结论:若m+n=p+k,则.三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{a n}中,(1)已知a2=4,a5=-,求数列{a n}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练3:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= .变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q≠0)二、信息交流,揭示规律1.⇒G2=ab⇒G=±2.(1)a n(2)①a1q2(3)a m a n=a p a k(m,n,p,k∈N*)三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-.∴a n=a2q n-2=4×.(2)∵a3a5=,a3a4a5==8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=,∴a2a3a4a5a6==32.因为=q1q2,【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,∴,∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边.证毕.法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,则b=aq,c=aq2,d=aq3,∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右边证毕.【例4】解:设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、变式训练,深化提高答案:25由a1+a2+a3=7得a1+a3=5, ②由①②解得当时,q==2,a n=2n-1,当时,q=,a n=4×=23-n.答案:2n-1或23-n变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=,a4a6=a5a5=,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.又a n>0,所以a3+a5=5.答案:5变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.五、反思小结,观点提炼略。