高三数学期末模拟卷及答案详解

2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。

A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。

所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。

2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。

根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。

故选A。

3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。

又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。

由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。

将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。

解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。

故选B。

二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。

再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。

5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。

【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。

三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。

高三数学模拟考试卷（附答案解析）一、单选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知p:sinx=siny，q:x=y，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±2xC. y=±2xD. y=±x3.函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<1成立．如果f(m)>m，则实数m的取值集合是()A. {0}B. {m|m>0}C. {m|m<0}D. R4.已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an=n(n+3)，n∈N*，则an=()A. 2nB. 2n+2C. n+3D. 3n+1二、填空题（本大题共12小题，共54分）5.不等式|2x+1|+|x−1|<2的解集为______．6.函数f(x)=x+9x(x>0)的值域为______．7.函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)的最小正周期为______．8.若an为(1+x)n的二项展开式中x2项的系数，则n→+∞lim ann2=______．9.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为______．10.若实数x，y满足x+y≤4y≤3xy≥0，则2x+3y的取值范围是______．11.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=1，|a+b|=3，则|a−b|=______．12.已知椭圆C：x29+y2b2=1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于______．13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，且a2+1为a1与a3的等差中项，S3=14.若数列{bn}满足bn=log2an，其前n项和为Tn，则Tn=______．14.已知A，B，C是△ABC的内角，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=12+32i，其中i为虚数单位，则C 等于______．15.设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax−y−2a+5=0，l2：x+ay−3a−4=0，l3：y=kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为．16.设函数f(x)=x2−1,x≥a|x−a−1|+a,x<a，若函数f(x)存在最小值，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共76分。

四川省绵阳市江油中学2024学年数学高三第一学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x x D ．{|56}-<x x2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．45．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-6．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，()1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．43B ．3C ．6D ．237．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．628．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．2C ．3D ．39．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．1?S >-B ．0?S <C ．–1?S <D ．0?S >11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A ．82B ．8C ．2D ．412．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 答案：C解析：根据指数函数的性质，当x增大时，函数值单调递增，故选C。

2. 答案：B解析：由题意得，函数的对称轴为x=1，故选B。

3. 答案：D解析：利用导数的定义，求出函数的导数，再令导数等于0，解得x=1，故选D。

4. 答案：A解析：根据三角函数的周期性，得T=π，故选A。

5. 答案：C解析：利用二项式定理展开，得C(10,3)×(-1)^3=-120，故选C。

6. 答案：B解析：由题意得，方程的解为x=±√2，故选B。

7. 答案：A解析：由题意得，点P到直线l的距离为1，故选A。

8. 答案：D解析：根据三角函数的性质，得sinθ=cos(π/2-θ)，故选D。

9. 答案：C解析：利用向量的数量积公式，得a·b=|a||b|cosθ，故选C。

10. 答案：B解析：根据二次函数的性质，得对称轴为x=1，故选B。

二、填空题（每题10分，共40分）11. 答案：1/2解析：根据等比数列的性质，得a1/a2=a2/a3，解得a1/a3=1/2。

12. 答案：π/3解析：根据正弦定理，得sinA/sinB=a/b，解得A=π/3。

13. 答案：-1解析：根据导数的定义，得f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，代入x=1，得f'(1)=-1。

14. 答案：4解析：根据复数的乘法运算，得(2+3i)(2-3i)=4+9=13，故选4。

15. 答案：π/4解析：根据余弦定理，得c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a=1，b=1，C=π/4，得c=√2。

三、解答题（每题20分，共80分）16. 答案：（1）令f(x)=x^3-3x^2+4x，则f'(x)=3x^2-6x+4。

令f'(x)=0，解得x=2/3。

（2）当x<2/3时，f'(x)>0，函数单调递增；当x>2/3时，f'(x)<0，函数单调递减。

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)=3，则D(X)=()A．85B．65C．45D．252．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A．若m//α，α//β，则m//β或m⊂βB．若m//n，m//α，n⊄α，则n//αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，m⊥α，则n//α3．已知纯虚数z满足(1-2i)z=2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A．-1B．1C．-2D．24．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段AB1的中点，M,N分别为线段AC1和棱B1C1上任意一点，则2PM+2MN的最小值为（）A．220.2B．2C．3D．21⎛1⎫c=log12，则()5．已知a= ⎪，b=0.2-2，3⎝2⎭A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．a >c >b6．在等差数列{a n}中，若Sn 为前n 项和，2a 9=a 11+12，则S 13的值是（）A ．156B ．124C ．136D ．180f 7．已知函数f (x )=2sin (ωx +ϕ)+b (ω>0)，（A ．3B ．3或72π+x ）=（f -x ）f ）=5，则b =（），且（888D ．5或8ππC ．58．已知点F 1是抛物线C ：x =2py 的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A ．6-22B ．2-1C ．6+22D ．2+19．设(1+i )a =1+bi ，其中a ，b 是实数，则a +2bi =（）A ．1B ．2C ．3D ．510．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A ．6+23B ．6+22C ．4+42D ．4+4311．在复平面内，复数i (2+i )对应的点的坐标为（）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(-1,2)D ．(2,-1)212．正项等差数列{a n}的前n 和为Sn ，已知a 3+a 7-a 5+15=0，则S 9=（）A ．35B ．36C ．45D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足z -3(1+z )i =1，复数z 的共轭复数是z ，则z +z =（）A ．1B ．0C ．-1D ．-13+i 222．已知等差数列{a n}的前n 项和为Sn ，且a 4=-3，S 12=24，若a i +a j =0（i ,j ∈N *，且1≤i <j ），则i 的取值集合是（）A ．{1,2,3}B ．{6,7,8}C ．{1,2,3,4,5}D ．{6,7,8,9,10}⎧x -4y +4≤0⎪3．在平面直角坐标系中，若不等式组⎨2x +y -10≤0所表示的平面区域内存在点(x 0,y 0)，使不等式x 0+my 0+1≤0⎪5x -2y +2≥0⎩成立，则实数m 的取值范围为（）A ．(-∞,-]52B ．(-∞,-]12C ．[4,+∞)D ．(-∞,-4]4．如图，在四边形ABCD 中，AB =1，BC =3，∠ABC =120︒，∠ACD =90︒，∠CDA =60︒，则BD 的长度为（）A ．533B ．23C ．33D ．733⎧x-2y+1≥0⎪5．已知实数x、y满足不等式组⎨2x-y-1≤0，则z=-3x+y的最大值为（）⎪y≥0⎩A．3B．22C．-232D．-26．已知直线l：3x+y+2=0与圆O：x+y=4交于A，B两点，与l平行的直线l1与圆O交于M，N两点，且OAB与OMN的面积相等，给出下列直线l1：①3x+y-23=0，②3x+y-2=0，③x-3y+2=0，④3x+y+23=0.其中满足条件的所有直线l1的编号有（）A．①②7．“ϕ=-B．①④C．②③D．①②④π8”是“函数f(x)=sin(3x+ϕ)的图象关于直线x=-B．必要不充分条件π8对称”的（）A．充分不必要条件C．充要条件8．已知函数f(x)=D．既不充分也不必要条件13sin x+cos x，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴22对称，则m的最小值是（）A．π6B．π4C．π3D．π2an⎧an+1=an+10bn c=9．已知正项数列{an},{bn}满足：⎨，设n，当c3+c4最小时，c5的值为()bb=a+bnn n⎩n+1A．2B．145C．3D．410．执行如图所示的程序框图，若输入的t=3，则输出的i=()A ．9B ．31C ．15D ．63x 2y 211．双曲线C ：-，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（）=1（m >0）5mA ．2x ±5y =0B ．2x ±5y =0C ．5x ±2y =0D ．5x ±y =012．已知函数f (x )=ln(x +1)-ax ，若曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =2x ，则实数a 的取值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南京市2023届高三年级期末调研模拟数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}113,202x M x x N x =+-≤<=<≤则M N ⋂=（）A.{}04x x ≤<B.{}04x x <<C.{}14x x ≤< D.{}14x x <<【答案】D 【解析】【分析】将集合,M N 分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】因为{}113M x x =+-≤<，则[)0,4M =，又因为{}202xN x =<≤，则(]1,4N =，所以()1,4M N ⋂=.故选：D.2.若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A.2- B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i |2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3.若等差数列{}n a 的前5项和为75，422a a =，则9a =（）A.40B.45C.50D.55【答案】B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和与基本量1a 和d 的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得()11154575232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得15a =，5d =，91845a a d ∴=+=.故选：B.4.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()()1235P X P X -<≤=>，则()150.75P X -<≤==（）A.0.5B.0.625C.0.75D.0.875【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.【详解】因为()22,X N σ，()()1225P X P X -<≤=≤<并且()20.5P X ≥=又因为()()1235P X P X -<≤=>，所以()()()()2255450.5P X P X P X P X ≥=≤<+>=>=，所以()50.125P X >=所以()250.50.1250.375P X ≤<=-=，所以()150.75P X -<≤=故选：C5.若正n 边形12n A A A L 的边长为2，21121n i i i i i A A A A -+++=⋅=∑，则n =（）A.6 B.8 C.10D.12【答案】D 【解析】【分析】设正n 边形的内角为θ，根据数量积公式可得1124cos i i i i A A A A θ+++⋅=-，由于21121n i i i i i A A A A -+++=⋅=∑ ()cos 22πn n n -=--，分别代入各选项的n 即可判断正误.【详解】解：设正n 边形的内角为θ，则()2πn nθ-=，()11222cos π4cos i i i i A A A A θθ+++∴⋅=⨯-=-，()2112142cos n i i i i i A A A A n θ-+++=⋅=--∑即()()()42cos cos22π2πn n n n n n--=---=⇒-，当6n =时，()262ππ21cos cos 3662-==-≠--，A 选项错误；当8n =时，()282ππ3coscos 4882-==-≠--，B 选项错误；当10n =时，()43coscos sin sin 51032102ππππ10==-->-=-，由于82-<，所以4cos 5π8-≠，C 选项错误；当12n =时，()5co 122ππs cos 6212122-==-=--，D 选项正确；故选：D.6.已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，C 的两个焦点为F 1，F 2，A 为C 上一点，其横坐标为1，且|OA |2=|AF 1|·|AF 2|，则C 的离心率为（）A.14B.24C.12D.22【答案】D 【解析】【分析】设()01,A y ，由220||1OA y =+，10||AF a ex =+，20||AF a ex =-，根据题意列方程可得结果.【详解】设0(1,)A y ，则20211y a +=，即：20211y a =-，∴2202211||1112OA y a a =+=+-=-.又∵10||AF a ex a e =+=+，20||AF a ex a e =-=-，∴2212||||AF AF a e =-.又∵212||||||OA AF AF =,∴22212a e a-=-.①又∵222222111c a e a a a -===-②，1a >③，∴由①②③得：22a =，212e =.又∵01e <<,∴22e =.故选：D.7.若()()sin 2sin ,sin tan 1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=（）A.2B.32C.1D.12【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可【详解】因为()()cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ⎧+=-⎪⎨-=+⎪⎩，所以()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()1sin sin cos 2cos 22αβαββα+-=-，又()()sin tan 1αβαβ+⋅-=，所以()()()sin sin 1cos αβαβαβ-+⋅=-即()()()sin sin cos αβαβαβ+-=-，所以()()1cos 2cos 2cos 2βααβ-=-，所以()()22112sin 12sin cos 2βααβ--+=-即()22sin sin cos αβαβ-=-，又sin 2sin αβ=，所以224sin sin cos cos sin sin ββαβαβ-=+，所以2224sin sin cos cos 2sin ββαββ-=+，所以2sin cos cos βαβ=，所以1sin sin cos cos 2αβαβ=即sin sin 2cos cos αβαβ=，又易知cos cos 0αβ≠，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，即tan tan 2αβ=，故选：A8.若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法求出当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3 ，时的一些函数值，从而找到|()|y f x =函数值变化的规律，同理找到当Z x ∈，且x 依次取1,2,3--- ，时，|()|y f x =函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =，令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-，令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=，令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3 ，时，函数|()|y f x =的值依次为1 ，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)；令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-，令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=，令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=，令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3--- ，时，函数|()|y f x =的值依次为0,11 ，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【点睛】难点点睛：确定曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数，要明确函数|()|y f x =的性质，因此要通过赋值求得|()|y f x =的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数|()|y f x =的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点()cos ,sin A αα，()2cos B ββ，其中[),0,2αβπ∈，则（）A.点A 的轨迹方程为221x y +=B.点B 的轨迹方程为22143x y +=C.AB 1D.AB 1【答案】ABC 【解析】【分析】将,A B 点坐标代入方程，即可判断A 、B 项；根据三角形三边关系，结合图象，即可求出AB 的最小值与最大值，即可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，将A 点坐标代入，可得22cos sin 1αα+=成立，故A 项正确；对于B 项，将B 点坐标代入，可得())22222cos cos sin 143ββββ+=+=成立，故B 项正确；对于C 项，A 点轨迹为以()0,0为圆心，1为半径的圆.B 点轨迹为椭圆.两者位置关系如下图：显然1BO AO >=，因为1AB BO AO BO ≥-=-，当且仅当,,A B O 三点共线时（如图11,A B 或22,A B ），等号成立.所以，min min 1AB BO =-，当点B 为短轴顶点时，取得最小值，即min BO b ==，所以min 1AB =，故C 项正确；对于D 项，因为1AB AO BO BO ≤+=+，当且仅当,,A B O 三点共线时（如图33,A B 或44,A B ），等号成立.所以，max max 1AB BO =+，当点B 为长轴顶点时，取得最大值，max 2BO a ==，所以max 3AB =，故D 项错误.故选：ABC.10.记函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，且()*2ππN 3n T n n ≤≤∈.若π6x =为()f x 的零点，则（）A.23n nω≤≤B.321n ω<-C.π2x =为()f x 的零点D.7π6x =为()f x 的极值点【答案】AD 【解析】【分析】利用周期2πT ω=，计算出ω的范围；结合ππcos 0664f ωπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算出ω的值，结合余弦函数的零点，极值等性质可判断是否正确.【详解】2πT ω=Q ，()*22πN 3n n n ππω∴≤≤∈得23n nω≤≤，故A 正确；由题意得ππcos 0664f ωπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 642k k ωπ∴+=+∈,36,Z 2k k ω∴=+∈，又*23n N n nω≤≤∈ ，，则*1111N ,Z 3424k n k n n -≤≤-∈∈，,当2n =有唯一解0k =，则32ω=，故B 错误；()3πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则π3πcos 12224f π⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；7π37πcos 16264f π⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：AD11.对于伯努利数()N n B n ∈，有定义：001,C (2)nkn nkk B B B n ===∑ .则（）A.216B =B.4130B =C.6142B =D.230n B +=【答案】ACD 【解析】【分析】根据伯努利数的定义以及二项式定理，将()N n B n ∈写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.【详解】由001,C (2)nk n nkk B B B n ===∑ 得，012301230C C C C C +(2)C nk n n k n n n k nn n n B B B B B B n B ==+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥=∑，所以，0123101231C )C +C 0(2C C n n n n n n n B B B B n B --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=≥，同理，0123101213111111C )C +0(1C C C C n nn n n n n n n n n B B B B B B +++++-+-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=≥，所以，()1012311211311011+(1)C C C C C C nn n n n n n n n n B B B B n B B +++--+++=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，()1012311101231111+(1)C C C C C 1n n n n n n n n B B n n B B B B ++-+++-=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥+其中第1m +项为111(1)(1)(2)(1)(2)C 11123123n m mm m n n n n m n n n m B B B n n m m ++--+--+=⨯=++⨯⨯⨯⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯(1)(2)(1)C 12311m mm nB B n n n m n m n m n m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅--+-+=⨯⨯⨯⋅+-⨯-+即可得01201211C +C +C C C 11(1)1m m nn n n n n n n B B B B B n B n n n n m --⎛⎫=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+ ⎝⎭++≥-⎪令1n =，得11002C 111B B ⎛⎫= +-=-⎪⎝⎭；令2n =，得0101222C C 31113262B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭；令3n =，得012012333310C C 11C 434224B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭同理，可得45678910111115,0,,0,,0,,030423066B B B B B B B B =-====-===；即可得选项AC 正确，B 错误；由上述前12项的值可知，当n 为奇数时，除了1B 之外其余都是0，即210(1)n B n +=≥，也即230,N n B n +=∈；所以D 正确.故选：ACD.12.已知函数()1πsin ,(,)()(2)2ni xf xg x n f x i n ===+∑ ，则（）A.(),40g x n =B.()(),42n ng x f x ++=C.()()()1,0g x nf n f x ++=D.()()(),0g x n nf n f x ++=【答案】ACD 【解析】【分析】首先理解1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，并写出(,4)g x n ，再利用函数()πsin 2xf x =的周期，结合()()()()1234f x f x f x f x +++++++的值，即可判断选项A;代特殊值，判断B ；CD 选项注意2n ≥这个条件，则可判断()nf n 中的()1f n =，则可得*41,N n k k =+∈，这样结合条件和A 的证明，即可判断CD.【详解】1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，()πsin 2x f x = ，函数的周期2π4π2T ==,()()()()1234f x f x f x f x +++++++ππππ3ππsin sin πsin sin 2π222222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcossin cos sin 02222x x x x =--+=，()()()()()41(,4)()1234...4ni g x n f x i f x f x f x f x f x n=∴=+=++++++++++∑00n =⨯=，故A 正确；B.当1n =时，()()()()()11,42,612...6g x g x f x f x f x +==++++++()()ππ12cos sin 22f x f x x x =+++=-，()()11ππππ,42cossin sin cos 2222g x f x x x x ∴++=-+=不恒为0，故B 错误；C.1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑,()()1,g x nf n ∴+中,()1f n =，*41,N n k k =+∈,()()()()()()1,1,4123...42g x nf n g x k f x f x f x k ∴+=++=+++++++，由A 的证明过程可知，相邻四项和为0，所以()()()()π23...422sin 2f x f x f x k f x +++++++=+=-，()()()ππ1,sinsin 022g x nf n f x x x ∴++=-+=，故C 正确；D.()()(),0g x n nf n f x ++=，由C 的证明过程可知，()()(),0g x n nf n f x ++=()()()()()411412413...4141f x k f x k f x k f x k k f x =++++++++++++++++++()()()()()234...42f x f x f x f x k f x =++++++++++()()2sinsin 022f x f x x x ππ=++=-+=，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是理解1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，并会展开，但重点考查三角函数的周期，利用周期求和，问题就会迎刃而解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为__________.【答案】25##0.4【解析】【分析】小星只可能在第二次和第四次抽到紫卡，将所有情况列表排列可得答案.【详解】按照规则，两人依次抽卡的所有情形如下表所示，小颖小星小颖小星小颖情形一紫情形二蓝紫情形三蓝蓝紫情形四蓝蓝蓝紫情形五蓝蓝蓝蓝紫其中情形二和情形四为小星最终抽到紫卡，则小星抽到紫卡的概率为25.故答案为：25.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：214y x =的焦点为F ，过点O 的直线与C 交于点A ，记直线OA ，FA 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1=3k 2，则|FA |=__________.【答案】52##2.5【解析】【详解】首先设直线OA 为1y k x =，与抛物线方程联立，并根据123k k =，求得点A 的坐标，利用两点间距离求FA .【点睛】设过原点的直线OA 为1y k x =，联立1214y k xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或12144x k y k =⎧⎨=⎩，即()2114,4A k k ，()0,1F ，所以2121414k k k -=，因为123k k =，所以21114134k k k =⨯，解得：164k =±，则32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52FA =.故答案为：5215.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面PAB ⊥平面PCD ,则P ABCD -体积的最大值为__________.【答案】43【解析】【分析】先做PE CD,PF AB ⊥⊥交,CD AB 于点,E F ,PO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,连接,OE OF ,根据线面垂直的判定定理证明CD OE ⊥,即OE BC ∥,同理可得OF BC ∥,即EF BC ∥,且2EF BC ==,再根据面面垂直的性质定理得PE PF ⊥,再设各个长度,在直角三角形PEF 中得到等式进行化简,即可得关于OP 的式子,进而求得体积的表达式,求得最值即可.【详解】解:由题过点P 做PE CD,PF AB ⊥⊥分别交,CD AB 于点,E F ,过P 做PO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,连接,OE OF ,画图如下:PO ⊥ 平面ABCD ,PO CD ∴⊥,,PE CD PO ⊥⊂ 平面POE ,PE ⊂平面POE ,CD \^平面POE ,CD OE ∴⊥,底面ABCD 是边长为2的正方形,,CD BC ∴⊥OE ⊂ 平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,OE BC ∴ ,同理可得:OF BC ∥,故,,O E F 三点共线,且有EF BC ∥,2EF BC ==,设平面PAB ⋂平面PCD l =,,AB CD AB ⊂ ∥平面PAB ,CD ⊂平面PCD ,l AB CD ∴∥∥,,PE CD PE l ⊥∴⊥ ,平面PAB ⊥平面PCD ,平面PAB ⋂平面PCD l=PE ∴⊥平面PAB ,PF ⊂ 平面PAB,PE PF ∴⊥,不妨设(),,,2,02PE x PF y OF m OE m m ====-≤≤,224x y ∴+=①,且22222OP PF OF PE OE =-=-,即()22222y m x m -=--,化简即:2244y x m -=-②,联立①②可得:222,42y m x m ==-,22222OP y m m m ∴=-=-,∴四棱锥P ABCD -的体积1223V =⨯⨯=,()02m ≤≤,当1m =时,max 43V =,故P ABCD -体积的最大值为43.故答案为:4316.若函数()e sin x f x a x =-，()e sin x g x a x x =-，且()f x 和()g x 在[]0,π一共有三个零点，则=a __________.【答案】sin1e 或4π2e 2-【解析】【分析】考虑a<0，0a =，0a >三种情况，设()1e xF x a =，()2sin F x x =，()3e xa F x x=，求导得到导函数，根据公切线计算得到1π4x =，π4e 2a -=，再根据a 的范围讨论零点的个数，计算得到答案.【详解】当a<0时，()e sin 0xf x a x =<-，()e sin 0xg x a x x -=<，不成立；当0a =时，()sin f x x =-，()sin g x x x =-，在[]0,π上有0，π两个零点，不成立；当0a >时，()00f a =≠，(]0,πx ∈时，()e sin 0xf x a x ==-，即e sin x a x =；()00g a =≠，当(]0,πx ∈时，()e sin 0xg x a x x -==，即e sin xa x x=，设()1e xF x a =，()2sin F x x =，()3e xa F x x=，则()1e xF x a '=，()2cos F x x '=，()()32e 1x a x F x x -'=当()1e xF x a =，()2sin F x x =相切时，设切点为()11,x y ，则1111e sin e cos x x a x a x ⎧=⎨=⎩，解得1π4x =，π42e 2a -=；当[)0,1x ∈时，()30F x '<，函数单调递减；当(]1,πx ∈时，()30F x '>，函数单调递增.画出()2sin F x x =，()3e xa F x x=的简图，如图所示：()2sin F x x =，()3e xa F x x =最多有两个交点，故()g x 最多有2个零点，当π4e 2a ->时，()f x 没有零点，()g x 最多有2个零点，不成立；当π42e 2a -=时，()f x 有1个零点，π432π2e π12π2F F ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x 有2个零点，成立；现说明π42e 1π<，即π44e π<，构造函数，()44e x h x x =-，[]3,3.5x ∈，()()334e 44e x x h x x x '=-=-，设()31e x h x x =-，()21e 3x h x x '=-，设()22e 3xh x x =-，()2e 6x h x x '=-，设()3e 6xh x x =-，()3e 60x h x '=->恒成立，故()3e 6xh x x =-单调递增，()()333e 630h x h >=-⨯>，故()22e 3xh x x =-单调递增，()() 3.52223.5e3 3.50h x h <=-⨯<，故()31e x h x x =-单调递减，()()3313e 30h x h <=-<，故()h x 函数单调递减，()()343π34e 34e 810h h <=-=-<，故π42e π<，当4π2e 20a -<<，()f x 有2零点，()g x 有2个零点，若1x =是一个零点，则有两个零点重合，满足，此时sin1ea =.综上所述：sin1e a =或π42e 2a -=故答案为：sin1e 或4π2e 2-【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，解题的关键是将函数的零点问题转化为交点问题，利用公切线解决参数.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设（X ，Y ）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（a i ，b j ），其中i ，j ∈N *.记p ij =P （X =a i ，Y =b j ）是随机变量（X ，Y ）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：Y ，求（X ，Y ）的联合分布列.【答案】(),X Y 32103---182--38-1-38--018---【解析】【分析】易知(),X Y 的所有可能取值为()()()()0,3,1,2,2,1,3,0，A 盒中的卡片数一旦确定则B 盒中的卡片数就唯一确定了，利用二项分布考查A 盒中的卡片数为0，1，2，3时的概率即可.【详解】由题意，(),X Y 的所有可能取值为()()()()0,3,1,2,2,1,3,0，且330103303122131113C ,C 2828p p p p ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(),X Y 的联合分布列为：(),X Y 32103---182--38-1-38--18---18.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，114,AC AB AC ⋅==（1）求四面体ACB 1D 1体积的最大值；（2）若二面角B -AC -D 1的正弦值为53，求ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积.【答案】（1）23；（2）2.【解析】【分析】（1）根据数量积和余弦定理得到214AC AB a ⋅==，即2a =，然后根据1AC =得到222b c +=，最后利用不等式求四面体11ACB D 体积的最大值即可；（2）根据二面角的定义得到1DED ∠为二面角1D AC D --的平面角，然后根据二面角1B AC D --的正弦值为53列方程得到()()221100c c --=，1c =，最后求体积即可.【小问1详解】设AB a =，BC b =，1BB c =，且111cos AC AB AC AB CAB ∠⋅=⋅⋅，由余弦定理得：22211211142AC AB B CAC AB AC AB a AC AB +-⋅=⋅⋅==⋅，则2a =，又1AC ==222b c +=，且11222223323ACB Db c V bc +=⨯= ，当且仅当1b c ==时等号成立，即四面体11ACB D 23；【小问2详解】过点D 作AC 的垂线，垂足为E ，连接1D E ，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且AC DE ⊥，又1DE DD D =I ，1,DE DD ⊂平面1DED ，所以AC ⊥平面1DED ，且1D E ⊂平面1DED ，所以1AC D E ⊥，即1DED ∠为二面角1D AC D --的平面角，记二面角1B AC D --的平面角为θ，则二面角1D AC D --的平面角为πθ-，所以11sin 3DD D Eθ==，则()()221100c c --=，且22c <，所以1c =，且111122ABCD A B C D V bc -==，所以1111ABCD A B C D -的体积为2.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为直径的三个圆的面积依次为1S ，2S ，3S .已知123S S S A B +-=+.（1）若π4C =，求ABC 的面积；（2）若ABC的面积为3，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）34（2）【解析】【分析】（1）由已知条件123S S S A B +-=+和π4C =可得到2223a b c +-=，根据余弦定理可求得2ab =，即可由面积公式求得ABC 的面积；（2）由已知得()2ππcos C ab C-=，从而可得π02C <<，由面积公式可得πtan πC S C -=，构造函数()πtan πC f C C -=确定其在π02C <<上单调性，由特殊值π33f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可得π3C =，83ab =，结合基本不等式得263c ≥，463a b +≥=，从而可求得ABC 周长的最小值.【小问1详解】解：记ABC 的面积为S ，因为()222123π3ππ44S S S a b c A B C +-=+-=+=-=，所以2223a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，所以2222cos 3a b c ab C +-===，则322ab =，所以1123sin 2224S ab C ===；【小问2详解】解：因为()222123ππ4S S S a b c A B C +-=+-=+=-，得()2224ππC a b c -+-=又由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=，所以()2π0πcos C ab C-=>，所以cos 0C >，则π02C <<，又1πsin tan 2πC S ab C C -==，设()πtan πC f C C -=，π02C <<所以()221πsin 2tan π20ππcos πcos C CC C f C C C---=-+=>'，所以()f C 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，且ππππ3tan 3π33f -⎛⎫== ⎪⎝⎭π3C =，所以83ab =则22282cos 3ab C a b c =+-=，所以2228882333c a b ab =+-≥-=，即3c ≥，且3a b +≥=，当且仅当3a b c ===时，取等号，所以ABC 周长a b c ++的最小值2633⨯=.20.已知数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1=1，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，{}1n n b b +-是公差为2的等差数列．（1）若b 2=2，求{a n }，{b n }的通项公式；（2）若2N b *∈，2n b a a ，证明：121113n b b b +++<L ．【答案】（1）3222n a n n n =-+；2(1)1n b n =-+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知求得n n a nb =，121n n b b n +-=-，通过累加法求得2(1)1n b n =-+，进而求得n a ；（2）根据已知求得n a ，构造()322222254f b b b b =-+，求导后得()20f b ' ，结合2N b *∈得21b a a，又21b a a ，从而求得21b =，进而证得结论．【小问1详解】解：因为111,n n a a b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以n na nb =，即n n a nb =，且211b b -=，所以121n n b b n +-=-，累加得211n b b n +-=，所以2(1)1n b n =-+，则3222n n a nb n n n ==-+；【小问2详解】解：因为1223n n b b n b +-=+-，累加得21122n b b n n nb +-=-+，所以()22441n b n n n b =-++-，则()322441n a n n n n n b =-++-，则23212221,254b a a b b b ==-+，令()()3222222N 254f b b b b b *=-+∈，且()222261040f b b b =-+' ，所以21b a a，且21b a a ，所以21b =，所以233n b n n =-+，且22121,3332n b b b n n n n ===-+>-+，从而()22111113333221n n b n n n n n n =<=--+-+-- ，所以()1211113331n n b b b n +++<-<- ，当1n =时，1113,2n b =<=时，121123b b +=<，所以121113nb b b +++<L ．21.已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的准线方程为12x =±，C 的两个焦点为F 1，F 2.（1）求b ；（2）若直线l 与C 相切，切点为A ，过F 2且垂直于l 的直线与AF 1交于点B ，证明：点B 在定曲线上.【答案】（1）b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的准线方程计算c ，再求b 即可；（2）先以A 点坐标表示直线l 的方程，进而表示出直线1AF 和2BF 的方程，联立表示出B 点坐标，再表示出1AF 的长度，列出关于A 点坐标的方程，最后代换成B 点坐标表示，即可求得B 点的轨迹方程.【小问1详解】由题可知，21a =，又双曲线C 的准线方程为12x =±，所以2112a c c ==，则2c =，所以b ==【小问2详解】由（1）知22:13y C x -=，设点()()()0012,,2,0,2,0A x y F F -，首先证明：00:13y y l x x -=，并将l 斜率不存在的情况舍弃，即01x ≠±,联立2213y x -=消去x 得：22002330y y y x -+-=，且()2200Δ44330y x =--=，所以00:13y y l x x -=，即00033x y x y y =-，所以直线()()002100:2,:232y y F B y x F A y x x x =--=++，联立直线21,F B F A ，解得0000222,1212x y B x x ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且0022112x x -≠-+，注意到()()22221000221AF x y x =++=+，从而220000112122x y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即22000022412124x y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，也即220000222241212x y x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以点B 的轨迹方程为22(2)4x y ++=，其中1x ≠-，即点B 在定曲线22(2)4x y ++=上.22.已知函数()()2ln ,2ln 2a f x ax x g x x =+=+.（1）若()()f x g x ≥，求a 的取值范围；（2）记()f x 的零点为12,x x （12x x <），()g x 的极值点为0x ，证明：1024e x x x >.【答案】（1）44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数()()()h x f x g x =-，然后分类讨论，即可得到a 的取值范围（2）()f x 和()g x 分别求导，求出()g x 的极值点0x 的关系式，()f x 单调区间，()f x 零点所在区间，即可证明.【小问1详解】记()()()21ln 202a h x f x g x x ax x ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，①当2a 时，取102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，不符条件；②当2a >时，()()221122122a a x ax ax x h x x x ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭=='，令()0,()0h x h x ''<>，∴()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以11ln210224a a h ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44ln212ln2a ++ ，则a 的取值范围为44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭；【小问2详解】∵()22a g x x='+，令()0g x '=，则00,4e e 4a x x a =-=-，且()12f x ax x '=+，令()()0,0f x f x ''><，∴()f x在⎛ ⎝单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭单调递减，且111ln 0222f a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，∴102a e-<<，取1x =，则()10f a =<，∴121x x <<<<，取1e x a=-，则2111ln e e e f a a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记1,02e t t a=-<<，在()ln e t t t ϕ=-中，()11e 0e e t t t t ϕ-'=-=>，∴()t ϕ在()0,e 单调递增，∴()()e e ln e 0e t ϕϕ<=-=，即222211111ln 0()e e e e e f f x x a a a a a x ⎛⎫⎛⎫-=+-<=⇒->⇒>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵121x x <<<<∴1221x x x >从而10221e 4e x a x x x >>-=.【点睛】本题考查构造函数，求导，考查单调区间的求法，具有很强的综合性.。