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群论一群的定义群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.说明：本章群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”. （2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G . 定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群. ∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
（但不是有限半群）同理：},{},,{⋅+Q Q ，},,{},,{},,{},,{},,{},,}{,{⋅⋅+⋅⋅+⋅∙∙∙C C C R R R Q},{},,{},,{},,{+⋅⋅+∙∙N N N N 都是可换半群。
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
第七章 群论基础学习指导 7.1 群的定义及性质群 如果一个含幺半群中每个元素都有逆元，即：),(⊗G G g ∈∀都有逆元，则称为一个群，称二元运算“G g∈−1),(⊗G ⊗”为乘，一般将),(⊗G 的单位元记为e 。
为简便起见，在不致混淆的情况下，将群),(⊗G 简记为，a G b ⊗简记为。
类似于半群，我们可以将群分为交换群与非交换群，有限群与无穷群等等；集合中元素的个数称为有限群G 的阶，记为。
ab G ||G 群是一种特殊的含幺半群。
因而群具有半群（或含幺半群）所有的性质。
下面是群独有的性质：定理（无零元性质） 设G 是群并且，则群无零元。
1||>G G 定理（满足消去律） 群G 满足消去律，即对,,,G c b a ∈（1）由可以推出；（2）由ba ab ac =b c =ca =可以推出b c =。
定理（单位元是幂等元） 群G 中只有单位元e 是幂等元。
定理（方程唯一解性质） 设是群，则对于G G b a ∈∀,，方程ax b =和在中均有唯一的解。
ya b =G 定理（逆元性质） 设G 是群，则（1）对于G b a ∈∀,，有11()ab b a 1−−−=。
（2）对于，有。
G a ∈∀a a =−−11)(定理（交换群判别） 群G 是交换群的充分必要条件是对G b a ∈∀,，有。
222()a b ab =元素的阶 对于群G 的元素a ，如果存在正整数使得，则的阶定义为使得上式成立的最小正整数；如果对于任何正整数n 都不成立，则定义的阶为；a 的阶记为|。
任何群的单位元的阶都是1，而且只有单位元的阶才会是1。
n e a n =a n e a n =a ∞|a 定理（元素与其逆元有相同阶） 对群中的任何元素 G G a ∈，与均有相同的阶。
a 1−a定理（元素阶的性质） 设群G 中元素 G a ∈的阶是。
则对正整数，的充分必要条件是整除。
所以，如果存在正整数使得，则a 的阶是的因子。
量子力学中要用到的数学知识大汇总第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法1.矩阵的由来2.矩阵的定义3.矩阵的相等4.矩阵的加减法5.矩阵和数的乘法6.矩阵和矩阵的乘法7.转置矩阵8.零矩阵9.矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵1.行矩阵和列矩阵2.行矢和列矢3.Dirac符号4.矢量的标积和矢量的正交5.矢量的长度或模6.右矢与左矢的乘积1.3方阵1.方阵和对角阵2.三对角阵3.单位矩阵和纯量矩阵4.Hermite矩阵5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵6.方阵的迹7.方阵之逆8.酉阵和正交阵9.酉阵的性质10.准对角方阵11.下三角阵和上三角阵12.对称方阵的平方根13.正定方阵14.Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆1.行列式的展开/doc/4b14802796.html,place展开定理3.三角阵的行列式4.行列式的初等变换及其性质5.利用三角化求行列式的值6.对称正定方阵的平方根7.平方根法求对称正定方阵的行列之值8.平方根法求方阵之逆9.解方程组法求方阵之逆10.伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之逆1.5线性代数方程组求解1.线性代数方程组的矩阵表示2.用Cramer法则求解线性代数方程组3.Gauss消元法解线性代数方程组4.平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量2.GayleyHamilton定理及其应用3.本征矢量的主定理4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换1.线性变换的矩阵表示2.矢量的酉变换3.相似变换4.等价矩阵5.二次型6.标准型7.方阵的对角化参考文献习题第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一1.从经典力学到量子力学2.光的波粒二象性3.驻波的波动方程4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式5.de Broglie波的实验根据6.de Broglie波的统计意义7.态叠加原理8.动量的几率——以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式4.波函数的物理意义5.力学量的平均值(由坐标波函数计算)6.力学量的平均值(由动量波函数计算)2.3算符1.算符的加法和乘法2.算符的对易3.算符的平方4.线性算符5.本征函数、本征值和本征方程6.Hermite算符7.Hermite算符本征函数的正交性——非简并态8.简并本征函数的正交化9.Hermite算符本征函数的完全性10.波函数展开为本征函数的叠加11.连续谱的本征函数12.Dirac δ函数13.动量的本征函数的归一化14.Heaviside阶梯函数和δ函数2.4量子力学的基本假设1.公理方法2.基本概念3.假设Ⅰ——状态函数和几率4.假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符5.假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值6.假设Ⅳ——态随时间变化的Schrdinger方程7.假设Ⅴ——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论1.定态的Schrdinger方程2.力学量具有确定值的条件3.不同力学量同时具有确定值的条件4.动量和坐标算符的对易规律5.Hesienberg测不准关系式2.6运动方程1.Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化2.量子Poisson括号3.力学量守恒的条件4.几率流密度和粒子数守恒定律5.质量和电荷守恒定律6.Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理1.超维里定理2.维里定理3.Euler齐次函数定理4.维里定理的某些简化形式5.HellmannFeynman定理2.8表示论1.态的表示2.算符的表示3.另一套量子力学的基本假设参考文献习题第三章简单体系的精确解3.1自由粒子1.一维自由粒子2.三维自由粒子3.2势阱中的粒子1.一维无限深的势阱2.多烯烃的自由电子模型3.三维长方势阱4.圆柱体自由电子模型3.3隧道效应——方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程3.波函数中系数的确定(E＞V0)4.贯穿系数与反射系数(E＞V0)5.能量小于势垒的粒子(E＜V0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法1.二阶线性常微分方程2.级数解法3.正则奇点邻域的级数解法4.若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式1.线性谐振子2.幂级数法解U方程3.谐振子能量的量子化4.Hermite微分方程与Hermite多项式5.Hermite多项式的递推公式6.Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式7.Hermite多项式的母函数展开式定义8.谐振子的波函数——Hermite正交函数9.矩阵元的计算参考文献习题第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程1.氢原子质心的平移运动2.氢原子中电子对核的相对运动3.氢原子作为两个质点的体系4.坐标的变换5.变量分离6.球坐标系7.球坐标系中的变量分离8.Φ方程之解9.θ方程之解10.R方程之解11.能级4.2Legendre多项式1.微分式定义2.幂级数定义3.母函数展开式定义和递推公式4.母函数的展开5.正交性6.归一化4.3连带Legendre函数1.微分式定义2.递推公式3.正交性4.归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数1.母函数展开式定义2.微分式定义3.级数定义4.积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数6.连带Laguerre多项式的母函数展开式定义7.连带Laguerre多项式的级数定义8.连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数1.类氢原子的波函数2.氢原子的基态3.径向分布4.角度分布5.电子云的空间分布6.波函数的等值线图和立体表示图参考文献习题第五章角动量和自旋5.1角动量算符1.经典力学中的角动量2.角动量算符3.对易规则4.Hamilton算符与角动量算符的对易规则5.三??算符具有相同本征函数的条件6.角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值1.角动量算符的对易规则2.阶梯算符的性质3.阶梯算符的作用4.角动量的本征值5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量2.总角动量算符及其对易规则3.多电子原子的Hamilton算符的对易规则5.4电子自旋1.电子自旋2.假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则3.假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值4.电子自旋的阶梯算符5.自旋算符的矩阵表示6.假设Ⅲ——自由电子的g因子参考文献习题第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinger方程1.原子单位2.多电子分子的Schrdinger方程3.BornOppenheimer原理4.多电子体系的Schrdinger方程举例5.多电子体系的Schrdinger方程的近似解法6.2变分法1.最低能量原理2.变分法3.氦原子和类氦离子的变分处理(一)4.氦原子和类氦离子的变分处理(二)5.激发态的变分原理6.线性变分法7.变分法的推广6.3定态微扰理论1.非简并能级的一级微扰理论2.基态氦原子或类氦离子3.简并能级的一级微扰理论4.微扰法在氢原子中的应用5.二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁1.含时微扰理论2.光的吸收与发射3.激发态的平均寿命4.光谱选律5.偶极强度与吸收系数的关系参考文献习题第七章群论基础知识7.1群的定义和实例1.群的定义2.群的几个例子3.乘法表和重排定理4.同构和同态7.2子群、生成元和直积1.子群2.生成元3.直积7.3陪集、共轭元素和类1.陪集/doc/4b14802796.html,grange定理3.共轭元素和类4.置换群的类7.4共轭子群、正规子群和商群1.共轭子群2.正规子群(自轭子群)3.商群和同态定理7.5对称操作群1.对称操作2.操作的乘积3.对称操作群4.共轭对称元素系，同轭对称操作类和两个操作可对易的条件5.生成元、子群和直积7.6分子所属对称群的确定1.单轴群2.双面群3.立方体群4.分子对称群的生成元和生成关系5.晶体学点群6.分子所属对称群的确定参考文献习题第八章群表示理论8.1对称操作的矩阵表示1.基矢变换和坐标变换2.物体绕任意轴的旋转，Euler角3.对称操作的矩阵表示4.函数的变换8.2群的表示1.群表示的定义2.等价表示和特征标3.可约表示和不可约表示，不变子空间4.Schur引理5.正交关系6.正交关系示例7.投影算符和表示空间的约化8.直积群的表示9.实表示和复表示8.3表示的直积及其分解1.表示的直积2.对称积和反对称积3.直积表示的分解4.ClebschGordan系数8.4某些群的不可约表示1.循环群2.互换群3.点群4.回转群5.旋转群6.双值表示8.5群论在量子化学中的应用1.态的分类和谱项2.能级的分裂3.时间反演对称性和Kramers简并4.零矩阵元的鉴别和光谱选律5.矩阵元的计算，不可约张量方法6.久期行列式的劈因子7.不可约表示基的构成8.杂化轨道的构成9.轨道对称性守恒原理这些可是爱考的专业课老师（如果俺考研成功她可就是俺滴学姐啦）珍藏不外漏的当年的笔记啊。
什么是群论？群论的发展？群论起源于对代数⽅程的研究，它是⼈们对代数⽅程求解问题逻辑考察的结果。
群理论被公认为⼗九世纪最杰出的数学成就之⼀。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域,同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚⾄对于⼆⼗世纪结构主义哲学的产⽣和发展都发⽣了巨⼤的影响。
我们今天就主要了解它的发展⾥程,成长历史.群论产⽣的历史背景从⽅程的根式解法发展过程来看，早在古巴⽐伦数学和印度数学的记载中，他们就能够⽤根式求解⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0，接着古希腊⼈和古东⽅⼈⼜解决了某些特殊的三次数字⽅程，但没有得到三次⽅程的⼀般解法。
这个问题直到⽂艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意⼤利⼈解决。
同⼀时期，意⼤利⼈费尔拉⾥⼜求解出⼀般四次⽅程 x4+ax3+bx2+ cx+d=0的根是由系数的函数开四次⽅所得。
但是在以后的⼏个世纪⾥，探寻五次和五次以上⽅程的⼀般公式解法却⼀直没有得到结果。
1770年前后，法国数学家拉格朗⽇转变代数的思维⽅法，提出⽅程根的排列与置换理论是解代数⽅程的关键所在，他的⼯作有⼒地促进了代数⽅程论的进步。
但是他的这种⽅法却不能对⼀般五次⽅程作根式解，于是他怀疑五次⽅程⽆根式解。
并且他在寻求⼀般n次⽅程的代数解法时也遭失败，从⽽认识到⼀般的四次以上代数⽅程不可能有根式解。
他的这种思维⽅法和研究根的置换⽅法给后⼈以启⽰。
相继鲁菲尼和⾼斯都在这⽅⾯进⾏了研究. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。
1824年到1826年，阿贝尔着⼿考察可⽤根式求解的⽅程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果⼀个⽅程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表⽰成⽅程的根和某些单位根的有理数。
并且利⽤这个定理⼜证明出了阿贝尔定理：⼀般⾼于四次的⽅程不可能代数地求解。
接着他进⼀步思考哪些特殊的⾼次⽅程才可⽤根式解的问题。
在⾼斯分圆⽅程可解性理论的基础上，他解决了任意次的⼀类特殊⽅程的可解性问题，发现这类特殊⽅程的特点是⼀个⽅程的全部根都是其中⼀个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q 2(x)满⾜q1q2(x)=q2q1(x)，q 1，q2为有理函数。
第七章60C 分子的群论处理§1 60C 分子的结构和对称群60C 分子具有正二十面体的对称性,其对称轴(面)分别为:(1)六个五度对称轴:NS (南北轴),'i i A A )5,4,3,2,1(=i .60C 分子共有S N ,,',i i A A)5,4,3,2,1(=i 十二个正五边形. 60C 的60个碳原子处在这十二个正五边形的顶角上,与每一五边形相连的是五个六边形.共二十个六边形.60C 分子可以看成是一个正二十面体削去十二个顶角形成的. 正二十面体的十二个顶角削去后形成十二个正五边形,二十个正三角形在十二个顶角削去后,形成二十个六边形.(该六边形是否为正六边形不影响分子的对称性.)(2) 二十个六边形的中心连线构成十个三度对称轴60C 分子中的C C −键可分为两类,其一是连接两个六边形的是短键,键长为39.1Å;而另一类是连接一个五边形和一个六边形的是长键,键长为44.1Å.(3) 连接六边形C C −键中点连线构成十五个二度对称轴 上述对称性构成I 群.(正则转动群) (4) 具有空间反演对称{}i E C i ,=,故60C 分子的对称群为i h C I I ⊗=.2'4I 群的共轭类:{}E ,{}512C ,{}2512C ,{}320C ,{}215C 五个共轭类.群阶: 60=g .于是602524232221=++++d d d d d ，11=d ，332==d d ，44=d ,55=d 。
I 群的特征标：这里的251±=±α.i h C I I ⊗=有十个不可约表示,分别是:{}u g u g u g u g u gH H G G T T T T A A,,,,,,,,,2211.§2 完全转动群按点群的简约考虑一个原子中的点子,其Hamiltonian 是球对称的()r V mH +∇−=222ˆ=， 它与完全转动群中的任一转动操作R 的算子R P 对易，即H P P H RR ˆˆ=， 而Hˆ中的角度部分为()22222ˆsin 1sin sin 1,ˆ=Lu =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂∂∂−=ϕθθθθθϕθ， 即有{}E {}512C {}2512C {}320C {}215C A 1 1 1 1 1 1T 3 +α −α 0 -1 2T 3 −α +α0 -1 G 4 -1 -1 1 0 H 5 0 0 -1 1u P P uR R ˆˆ=， 表明R P 与uˆ（角动量算子）具有共同的本征函数。
第七章群论§1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。
不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1.封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。
如A属于G：B属于G：则有()（7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。
一个数学群必须首先定义一种乘法。
2.缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。
如A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。
3.单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即E A=A E=A,(7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。
4.逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E,(7.1-4) 称为的逆元素。
逆元素可以是该元素本身。
下面我们举几个群的例子（2）G={所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。
满足封闭性和缔合性是显然的。
1是单位元素，任一实数m的逆元素为。
(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。
此例中“乘”的意思是加。
1+2=3 封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n 213（4）G={E、I} ( C i )这个群（称为C i）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。
这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。
把E和I作用到任意函数上，结果为：如果对先用E作用，再用I作用：,因为是任意函数，故，I E=I0（可见，在这里“乘”的意思就是指连续作用）。
同理，：可见封闭性满足。
I E I=( I E ) I=I I=EI E I=I ( E I )=I I=E可见缔合性满足。
单位元素是E，E的逆元素是E，I的逆元素是I。
（5）H2O分子（）我们选z轴通过氧原子并平分氢原子之间的连线。
于是整个水分子再yz平面上，有一个对称面，为xz平面，与此相联系，存在一个镜面反映动作，亦用表示。
另一个对称面，为yz平面，与此相联系的操作是。
有一个对称轴c，就是z轴，即分子绕z轴转动180°复原，此对称操作亦用C2表示。
还有一个对称操作是E：不动。
因此，这个点群包含四个对称操作：G={E,c 2，，}称为。
其乘积表为：214群元素为对称操作的群称为对称群（Symmetry group），亦称为点群（Pointgroup），因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义：因为所有对称元素只收在一个点相交。
215(1)G={1, -1, I, -i}对普通乘法而言，构成一个群。
封闭性：1 ×(-1) = -1(-1) × (-1) = 1i × i = -1i × (-i) = -1缔合性：1 × i × (-1) = [i × i ] × (-1) =i × (-1) = -i1 × i × (-1) = 1 × [ i × (-1) ] = 1 × (-i) = -i 等。
单位元素：1逆元素：i (-i) = 1 (-1) (-1) = 1 1 × 1 = 1群中元素的数目称为群的“阶”，用h表示，本例中h = 4。
显然例(2)(3)中群元素的书目h为无穷大，故称为无限群，例(1)则是有限群。
应当区别对称操作和对称元素这两个概念，对称操作是一种动作，通过这种动作可使物体(包括分子)或图形复原，对称操作所赖以进行的几何要素(点、线、面) 称为对称元素，如一个大分子(如本例中的H2O分子)能沿某一轴（如本例中的Z轴）旋转180º，转动后所得分子和原来完全一样(复原)，则称这个分子有二重轴。
在群论中二重轴和旋转180º这个动作都用同一个符号C2表示，而群元素则是对称操作。
从抽象的观点看，在数学上具有相同性质，尽管其元素含义实际上不一样。
如例(1) U = { 1, -1, i, -i}和军训的基本动作所构成的群V = {↑, ↓, ←, →} 同构，1 ↑，-1 ↓，i ←，-i →， 且 -1× i = -i 对应 ↓ ← = →等。
显然两个同构的群具有相同的阶，且乘积表的“结构”相同，因此若已知D 3和C 3v 同构且已知C 3v 的乘积表，则容易写出D 3的乘积表，只要把C 3v 中的，，都换成``````````(手稿看不清)216E EEEE乘积表中第一行，第一列，及对角线元素(如C 2C 2 = E 等)易知，C 2 = 等可这样得到：任选一个点1，先作用得2，再作用C 2得3，通过的作用可直接由1→3，可见C 2 =。
由乘积表可见封闭性满足。
c 2 = (c 2 == Ec 2= c 2= c 2 c 2 = E可见缔合性满足。
每个元素的逆元素也可以从乘积表得到，如=，=，= σ立正 向左转 向右转向后转单位元素是E。
上面讨论的五个粒子，对群元素的乘法而言是对易的，即AB = BA。
例(1)(2)(3)很显然，例(4)(5)也可以从乘积表中看出。
但是从群的定义，我们知道对易性不是群的必要条件，即不是所有的群都具有对易性的，我们称这些具有对易性的群为对易群(Abel群)。
注下面举一个非对易群的粒子。
(5) NH3分子(C3v)NH3分子的空间构型如图6-2(i)( i ) ( ii ) ( iii )图7-2 NH3分子三个H原子构成一个正三角形，如果作俯视图（即从N原子往下看），则如图7-2 ( ii )。
通过等边三角形的三个顶角的平分线，垂直于等边三角形有三个面（包含了N原子）是对称面，称它们为，，。
(如图7-2(iii)）由N原子，向三角形作垂直线，是一个三重轴，用C3表示，存在转= 120º这样一个对称操作；另外，转240º=120º× 2也能使图形复原，故还有对称操作，加上不懂；E，一共6个对称操作：E，C3，，注：Abel(1801—1829)：奠定群论数学基础的年轻数学家之一。
217G={E, , , ,,}是一个点群，称为，其乘积表如下：EEEEEEE先规定逆时针旋转！所以=（操作写在后面表示先作用）积分表中的元素得到方法示例于右：故由乘积表可见封闭性满足。
缔合性满足，如：=（）==E===E单位元素是E=故群的四个基本条件全部满足。
从乘积表中我们还可以看出：（1）=故是非对易群（2）两个旋转相乘，结果是旋转。
如=（3）两个镜像反映相乘，结果是旋转。
如（4）一个镜像反映和一个旋转相乘，结果是镜像反映。
如=(5)设x，y，z，都是群中元素z=xy则如：====(一般证明见后) 218（6）乘积表中每一行或每一列，每个元素都出现一次，只是排列次序不听，这称为重拍定理，可以一般证明如下。
设G={E，}共h个元素，用表示其中的任何一个。
X G,则xG={ xE，} (任一行)Gx=( Ex，) (任一列)我们来证明Gx=G（xG=G同理可证）《证明》i)根据封闭性，若x G,G,则Gii)设,则反证法：若有则有即和假设矛盾！故，即没有重复出现的。
群{ Ex，}一共也是h个元素，每个元素也都属于G ，且每个元素都不同。
可见Gx=G即乘完以后，只是群元素的次序有所变化，是那几个群元素，群元素的个数都是不变的。
以上证明Gx=G相当于证明了乘积表中每一列满足重排定理，对每一行，即xG=G同理可证。
重拍定理的用处是①检验乘积表正确与否②当某一行或某一列缺一个结果可以用重拍定理把它填上。
课堂练习：构造的乘积表二、子群及其陪集首先看分子的对称性，如图7-3所示，是一个三角双锥。
中间有一个三重轴（主轴），垂直于轴有一个对称面（），在这个面上有三个垂直于轴的轴。
还有三个包含轴和轴的对称面（），还有一共有十二个对称操作，属于群。
G={E,}=注：因为对于象转运动，可能有些读者不如对旋转、反映、倒反那么熟悉，这里简要说明一下。
象转是旋转和反映的复合对称操作，实现这一对称操作所凭借的对称要素称为象转轴。
通常都是用表示。
=当p=偶数时：=当p=奇数时：==因此当n=偶数时当n=奇数时而（不管n是奇或偶都对）219 在这个群里面,可以找到一个较小的群,如C3ѵ={E，c3，，ѵ，，},D3={ E，c3，c32，c2，，},称C3ѵ, D3为D3h的子群。
在C3ѵ, D3里面还能找到更小的群：c3。
c3：{ E,c3,c32}是三阶群。
还有二阶群：{E,ѵ }、{E,}、{E,} 称为C s。
最后还有一阶群：{E}称为C1。
这些都是C3ѵ的子群。
这里我们可以看到一个12阶群的子群的阶是6和1、2、3。
12都可以被它们整除。
可以一般地证明：n阶群的任意子群，若子群的阶为m,则=是正整数。
这称为Lagrange定理，为了证明这个定理，需先介绍子群陪集的概念。
设H为群G的一个子群，A为群G的一个固定元素，则定义AH为H的一个左陪集，HA为H的一个右陪集。
注如H={E,ѵ} H C3ѵH的左陪集有：E H=Hc3H={ c3,} H={ ,}H={ѵ, E}=H ѵˊH={，}ѵH={, c3}其中E H=ѵHc3H=HH=H所以C3ѵ=H+ c3H+ H=ѵH+H+H上式可以一般地表示为G=A1H+A2H+…+AγH （7.1-5）A1通常可选为E，式（7.1-5）通常称为群G按子群H的左分解。
同理可作群G按子群H的右分解：G=HB1+HB2+ …+HBγ（7.1-6）(可以证明B i=A i-1)定理：在有限群G中，子群H的两个左（或右）陪集或无公共元素，或为相等元素的集合，且H的每个陪集（左或右）所包含的元素数与H的阶数相同。
证明：若A1H和A2H有一个共同元素x,则x = A1h1 = A2h2, h1h2为H中的元素，从而A1=A2h2h1-1，设h为H中的任一元素，A1h =A2h2h1-1h= A2h3，根据H的封闭性h3= h2h1-1h 也属于H，由于h是H中的任一元素，故上式说明A1H=A2H。
