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群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。
- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。
- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。
2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。
答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。
例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。
3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。
《群论基础》习题1．讨论以下集合是否构成群：（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法；（2）1的任何次根（n k i n e π21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法；（3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法；（4）m ⨯n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）；2．回答问题：（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。
（2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。
（3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。
（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有何特点？3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？(1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i(5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于哪一个点群。
5．确定以下分子所属点群：（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇（3）8-羟基喹啉 （4）肼（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯（7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°）（8）环戊二烯 （9）环丁烷（10）六氯乙烷 （11）丁二烯6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。
7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。
8．利用C 2h 的特征标表说明：（1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。
（2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。
9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。
11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示：A 1g ⊗B 1g A 1u ⊗ A 1u B 2u ⊗ E 1gE 1g ⊗ E 2u E 1g ⊗ B 2g A 2u ⊗ E 1u12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。
《群论》部分习题解答版权所有人：Wu TS,2006年4月第一章.预备知识(Chapter1.Preliminary) 4.(Page28)Let S be the set of all n×n symmetric real matrices and in S we define a binary relation∼in the followingA∼B if and only if there exists an invertible matrix C such that B=C AC,where C is the transpose matrix of C.Prove that∼defines an equivalent relation in pute|S/∼|.解答：（1）直接验证∼是S的一个等价关系。
（2）根据线性代数理论，对于任意实对称矩阵A,存在可逆矩阵Q 使得Q AQ是对角矩阵diag{1,1,···,−1,···,−1,0,···,0},简记为Q AQ=E r000−E s0000=Dr,s,其中r+s=r(A).根据惯性定理，其中的r也是由A唯一确定的。
因此，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是r(A)=r(B)且正惯性指数相同。
所以我们得到S/∼={D r,s|0≤r,s and r+s≤n},其中，D r,s={P D r,s P|P∈GL n(R)}.下面计算|S/∼|.(1)满足r=0的D r,s共有n+1个，它们分别是D0,0,D0,1,D0,2,···,D0,n.(2)满足r=1的D r,s共有n个，它们分别是D1,0,D1,1,D1,2,···,D1,n−1.···(n+1)满足r=n的D r,s共有1个，即为D n,0.因此，|S/∼|=n+1j=1j=(n+1)(n+2)2.1第二章.群论(Chapter2.Group Theory)1.(Page49)Prove that both G1={(a ij)n×n|a ij∈Z,det(A)=1}and G2= {(a ij)n×n|a ij∈Q,det(A)=1}are groups under the matrix multiplication.证明:只证明G1是子群。
第十二章 群论简介习题§12.1 群的定义和例子１．设Ｇ为一切不等于零的有理数所成的集合，证明Ｇ对于数的乘法作成一个群． 【证明】１）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故Ｇ对数的乘法封闭；２）数的乘法结合律对一切数都成立，自然对Ｇ也成立； ３）01≠是非零有理数，且对任何一个非零有理数a ，011≠=⨯=⨯a a a ， 说明１是Ｇ的单位元素； ４）对任意的非零有理数a ，则a1是非零有理数，且 111=⨯=⨯a aa a ， 说明a 的逆元是a 1，根据群的定义，即知集合Ｇ对数的乘法作成一个群． ２．Ｇ是由a ，b ，c 三个元素所作成的集合，它的乘法表是判别Ｇ是否成群？【解】由乘法表容易看到，Ｇ对规定的乘法是封闭的，a 是Ｇ的单位元素，a 、b 、c 的逆元分别是a 、c 、b ． 以下只要证明结合律成立即可．因为(ab)c ＝bc ＝a ，a(bc)＝aa ＝a ，故(ab)c ＝a(bc)；同法可知a(cb)＝(ac)b ＝a ，(ba)c ＝b(ac)＝a ，(bc)a ＝b(ca)＝a ，(ca)b ＝c(ab)＝a ，(cb)a ＝c(ba)＝a ，以上６个式子说明结合律对规定的乘法是成立的， 因此Ｇ对规定的乘法作成一个群．３．证明下列四个方阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ对于矩阵乘法作成一个群Ｖ，写出的Ｖ乘法表．Ｖ是否循环群？Ｖ是否交换群？⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001D ．【证明】先写出乘法表．由乘法表看出，集合Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对Ｖ中的矩阵也满足，而矩阵Ａ是单位元，元素Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的逆元素分别是它们自身，故Ｖ对矩阵的乘法作成群． 但（Ａ）＝｛Ａ｝，（Ｂ）＝｛Ａ，Ｂ｝，（Ｃ）＝｛Ａ，Ｃ｝，（Ｄ）＝｛Ａ，Ｄ｝， 它们都不等于Ｖ，从而Ｖ不是循环群．由乘法表的对称性，可知群Ｖ是一个交换群．§12.2 置换群１．求置换的乘积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3245115432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3245154321． ２．把置换表为轮换的乘积： （１）⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321， 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321)642)(7531(=； （２）⎪⎪⎭⎫⎝⎛1234568787654321． 【解】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234568787654321)54)(63)(8271(=．３．证明：（１）121)(-k i i i )(11i i i k k -=；（２）设Ｐ，Ｑ为两个不相交的轮换，则ＰＱ＝ＱＰ．【证明】（１）)(21k i i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++n k n k k i i i i ii i i i i 1132121,)(11i i i k k -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+--+-n k kk k n k k k i i i i ii i i i i 121111, )(11i i i k k -)(21k i i i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+-n k k k k n k k k i i i i ii i i i i 121111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n k n k ki i i i i i i i i i 1132121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n k k n k i i i i i i i i i i 1211132⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n k n k ki i i i i i i i i i 1132121)(1121121i i i i i i i i i i i n k kn k k =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++ ,（恒等变换）同理可证 )(21k i i i )(11i i i k k -)(1i =，所以 121)(-k i i i )(11i i i k k -=．（２）设)(21k i i i P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++n r rk n r r k k i i i i i i ii i i i i i i 111321121，)(21r k k i i i Q ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k k n r r k k i i i i i i ii i i i i i i 112211121， 其中没有相同的数字．则 )(21k i i i PQ =)(21r k k i i i ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1121321121)(21r k k i i i ++=QP i i i k =)(21 .４．写出四次对称群的所有置换．【解】四次对称群的全体置换（共２４个）用轮换的形式表示就是： （１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）．§12.3 子群及其陪集１．求出三次对称群的所有子群．【解】)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ，它的平凡子群为单位元群)}1{(及3S 本身；其２阶子群有３个，即)}12(),1{(1=H ，)}13(),1{(2=H ，)}23(),1{(3=H ； 三阶子群只有１个，即)}132(),123(),1{(4=H ，由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是3S 的所有子群．２．证明：阶为质数的群一定是循环群．【证明】设Ｇ群的阶为质数p ，则Ｇ必含有周期大于１的元素，不妨设为a ，其周期为m ＞１，故由a 生成的循环群（a ）是群Ｇ的子群，其阶数为m ， 由拉格朗日定理知，m 整除p ， 但p 是质数，故m ＝p ， 从而 Ｇ＝（a ），即Ｇ是循环群． ３．证明：阶为质数幂mp 的群中包含一个阶为p 的子群．【证明】设群Ｇ的阶为mp ，因p 为质数，故群Ｇ含有非单位元素a ． 设a 的周期为n ，由拉格朗日定理的推论，知n 整除mp ，即rn p =，1r m ≤≤． 若r ＝１，则循环群（a ）＝2{,,,}p a a a e =是Ｇ的p 阶子群；若1r >，那么循环群（1r p a-）＝1112{,,,}---==r r r rp p pp p a a a a e是Ｇ的p 阶子群．证完．４．证明：循环群的子群也是循环群． 【证明】设Ｇ是循环群，Ｈ是其子群．若Ｇ是单位元群，则显然Ｈ＝Ｇ，故结论成立． 下面讨论Ｇ不是单位元群的情况． 若Ｇ＝（ａ），其中ａ不是单位元，Ｈ是Ｇ的子群，但不是单位元群，那么Ｈ中必含有m ＞０的幂ma ．不妨就设m a 是Ｈ中a 的最小正幂，显然Ｈ包含ma 的任何乘幂． 若sa 是Ｈ中的任意元素，由s ＝tm ＋r ，m r <≤0，可知 t m s tms ra a aa --==)( 也是Ｈ中的元素，但m 是最小正整数，而且m r <≤0，故r ＝０， 于是 tmsa a )(=，这就是说，Ｈ中的任意元素s a 都是m a 的幂，即Ｈ只含有ma 的任意乘幂， 所以Ｈ是由m a 生成的循环群，即Ｈ＝（ma ）． 这样就证明了命题．５．证明：群Ｇ的一个元素a 是恒等元的充分必要条件为a 适合关系a a =2． 【证明】必要性是显然的．下面只证充分性．设群Ｇ的恒等元为e ，由于e a a aa==--11，在关系式a a =2两端同时乘a 的逆元1-a ，有e aa aa ==--112而 a ae aa a aa ===--)(112，所以 e a =，即a 是群Ｇ的单位元．§12.4 共轭类与子群１．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2145354321P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5143254321Q ，求1-QPQ ．【解】使用教材８４—８５页的方法，对置换Ｐ的上下两行分别施行置换Ｑ，得 1-QPQ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3215451432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3154254321． ２．设四阶群Ｖ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝的乘法表为求出Ｖ的所有共轭类．【解】由Ｖ的乘法表看出，群Ｖ是可换群，故群Ｖ的每一个元素就是一个共轭类．即群Ｖ有四个共轭类：｛ｅ｝，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝． ３．证明：指数为２的子群一定是正规子群．【证明】设Ｈ为群Ｇ的子群，由于［Ｇ：Ｈ］＝２，则群Ｇ按子群Ｈ的左分解为Ｇ＝Ｈ＋ａＨ按Ｈ的右分解为 Ｇ＝Ｈ＋Ｈａ， 其中H a ∉． 因此 ａＨ＝Ｈａ，即对任意的H a ∉，都有 H aHa =-1．若H a ∈，则ａＨ＝Ｈａ，即H aHa=-1显然成立．依正规子群的定义，Ｈ是正规子群． ４．证明：交换群的每一个子群都是正规子群．【证明】设Ｇ为交换群，Ｈ为Ｇ的子群，则对任意的G a ∈，都有ａＨ＝Ｈａ，即H aHa=-1，所以Ｈ是正规子群．５．求四次对称群的所有共轭类．【解】由§１２．２的习题４，知4S 的所有置换（共２４个）为（１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）． 再由教材８５页的定理２，具有相同的轮换结构的置换必共轭，知4S 共有５个共轭类， 即上面的每一行的置换组成一个共轭类．§12.5 点群１．证明：点群3D 含有三个共轭类．【证明】点群3D 有一个三重轴（取为z 轴）及三条二重轴（与z 轴垂直），其元素为)3(2)2(2)1(2233,,,,,C C C C C E ，其中23)()3(23)()2(2)()1(2,,C C C C C yz v yz v yz v σσσ===,这个群的乘法表为233,C C 属于一个共轭类．这是因为233,C C 有共同的旋转轴，而变换Ｅ即保持它不变． (1)(2)(3)222,,C C C 属于另一个共轭类．因为只要作变换3C 或23C ，反映(1)(2)(3)222,,C C C 的对称平面即可互相转化．而Ｅ是恒等变换，它单独成一类． 所以两面体群3D 共有三个共轭类． ２．求出点群ℭh 3的元素和它的乘法表．【解】把反映h σ加到旋转群2333(){,,}C E C C =上去，并用h σ分别乘233,C C ，即得点群ℭh 3223333{,,,,,}h h h E C C C C σσσ=．它的乘法表为注意上述乘法表使用了可换性．３．设I 为以原点为对称中心的反演，证明2G ＝},{I E 是一个群． 【证明】写出2G 的乘法表 则显然2G 是一个群．§12．6 同构对应和同态对应１．证明：三次对称群3S 与点群两面体群3D 同构． 【证明】三次对称群3S 元素为Ｅ＝（１），Ａ＝（１２），Ｂ＝（１３），Ｃ＝（２３），Ｄ＝（１２３），Ｆ＝（１３２）． 其乘法表为而3D 的乘法表为（上节习题１）：作从对应3S 到3D 的对应ϕ：(1)(2)(3)222233,,,,,E E A C B C C C D C F C →→→→→→，比较两个群，发现它们有共同的乘法表，故3S 与3D 同构． ２．证明：点群v G 2与点群h G 2同构．【证明】点群v G 2＝()()()2{,,,}z xz yz v v E C σσ与点群h G 2＝22{,,,}h h E C C σσ，它们的乘法表分别为22h h E C σσ C E 22h h E C σσ C 2C h h σσ22C E C h σ 22C σσh h C E 2h C σ 2h σσ2h C C E作两个群之间的对应ϕ：()()()222,,z xz yz v h v h E E C C C σσσσ→→→→，则由两个群的乘法表可知，ϕ是一个同构对应， 从而点群v G 2与点群h G 2同构．３．证明：点群v G 3与下面的矩阵乘群M 同构．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323212A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323213A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10014A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323215A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212323216A ． 【证明】v G 3的乘法表参见教材９２页．作矩阵乘群的乘法表，作v G 3与矩阵乘群M 之间的一一对应ϕ：2(1)(2)(3)13233456,,,,,v v v E A C A C A A A A σσσ→→→→→→比较它们的乘法表，知v G 3与矩阵乘群M 同构．４．证明：群Ｇ的子群Ｈ与每一个左陪集ａＨ之间存在１—１对应． 【证明】假如{}H h =，则{|,}aH ah a G h H =∈∈．下面分两种情况讨论． １）a H ∈的情形，此时有aH H =，则Ｈ的元素与自身的对应（即恒等对应）就是一个一一对应； ２）a H ∉的情形，作Ｈ到ａＨ的对应:h ah ϕ→，则可证ϕ是一一对应．事实上，对Ｈ中不同的元素12,h h ，则它们的象12ah ah ≠，否则将会有12h h =， 这说明不同元素的象也不同，即ϕ是一个单射；另一方面，如果ah 是aH 的一个元素，则按aH 的定义，即知ｈ是ａｈ的一个原象，这说明ϕ是从Ｈ到ａＨ上的对应，即ϕ是一个满射， 从而ϕ是一一对应．综上所述，Ｈ与ａＨ之间存在１—１对应． ５．证明：存在一个从点群v G 2到点群2G 上的同态对应． 【证明】点群v G 2和点群2G 的乘法表分别是作对应()()()222:*,,,z xz yz v v E E C E C C ϕσσ→→→→，则(#)(#)*(#)()(#)E E E ϕϕϕϕϕ===，＃表示()()()2z xz yz v v C σσ,,中的任意一个变换．()()()()()2222()()*()()z xz yz z xz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====， ()()()()()2222()()*()()z yz xz z yz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====，()()()()22()()*()()xz yz xz yz v v v v E E C C ϕσσϕϕσϕσ====，注意到两个群都是交换群，故ϕ是从点群v G 2到点群2G 的一个同态对应．６．证明：除同构对应外，只有两个四阶群． 【证明】设四阶群Ｇ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝，则由拉格朗日定理的推论，即知群的元素的周期只能是１或２或４， 但a ，b ，c 的周期不能是１，故它们的周期必为２或４．１） 若a ，b ，c 之中有一个元素（比如说a ）的周期为４，则Ｇ＝（ａ），此时Ｇ为四阶循环群．２） 若a ，b ，c 的周期都是２，则Ｇ的乘法表一定是这是因为a ，b ，c 的周期为２，则222a b c e ===，而ab e ≠，否则，将有2e ab a b a ==⇒=，这与群的阶数为４不符； ab a ≠，否则b ＝e ，同样ab b ≠，这样只有ab c =．表中其它乘积的结果类似．因此，从同构的意义上说，只有两个四阶群，前一个是四阶循环群，后一个是Klein 四元群，它们都是交换群．。
大学数学群论练习题及答案一、群论概述群论是数学中极为重要的一个分支，它研究了集合和代数结构之间的关系。
群论的应用广泛，涉及到代数、几何、计算机科学等领域。
本文将介绍一些大学数学群论的练习题，并提供答案供读者参考。
二、基本概念1. 定义：集合G上的一个二元运算*，如果满足结合律、存在单位元和逆元，那么称< G, *>为一个群。
2. 练习题：a. 证明：一个群的单位元唯一。
答案：假设有两个单位元e1和e2，那么e1*e2=e1 (e2作为单位元)，但同时由于e1*e2=e2 (e1作为单位元)，所以e1=e2。
因此，群的单位元是唯一的。
b. 证明：群中的任意元素的逆元唯一。
答案：假设有两个逆元a和b，那么a*a^-1=e (a的逆元)，同时a*b^-1=e (b的逆元)。
根据群的结合律，我们有a^-1*(a*b^-1)=(a^-1*a)*b^-1=e*b^-1=b^-1。
因此，a^-1=b^-1，逆元是唯一的。
三、群的性质1. 半群：若集合G上的二元运算*满足结合律，但不存在单位元和逆元，则称< G, *>为一个半群。
2. 幺半群：若集合G上的二元运算*满足结合律和幺半性质（存在单位元），但不存在逆元，则称< G, *>为一个幺半群。
3. 练习题：a. 判断以下集合在给定的运算下是半群、幺半群还是群：i) 整数集合Z上的加法运算。
答案：整数集合Z上的加法运算满足结合律，存在单位元0，但不存在逆元。
因此，< Z, + >是一个幺半群。
ii) 实数集合R上的减法运算。
答案：实数集合R上的减法运算满足结合律，不存在单位元和逆元。
因此，< R, - >是一个半群。
b. 证明：每个群都是幺半群。
答案：对于一个群< G, *>，它满足结合律、存在单位元和逆元，因此也满足幺半性质。
所以每个群都是幺半群。
四、同态与同构1. 定义：设有两个群< G, *>和< H, @>，若存在一个满射f：G→H，且对任意的g1、g2∈G有f(g1*g2) = f(g1)@f(g2)，则称f为从群< G, *>到< H, @>的同态映射。
一、群的基本概念1. 定义一个群，并判断其是否满足群的基本性质。
a) R+（正实数集合，在乘法下）b) R（实数集合，在加法下）c) Z（整数集合，在加法下）d) Zn（模n的整数集合，在加法下）3. 给定一个群G，求出G的阶。
a) 在R上定义运算a b = a + b + abb) 在R上定义运算a b = a + b abc) 在R上定义运算a b = a^ba) 在S3上定义运算a b = ab^{1}b) 在S3上定义运算a b = a^{1}bc) 在S3上定义运算a b = a^{1}b^{1}6. 给定一个群G，求出G的子群。
a) {e, (12)}b) {e, (13), (23), (123)}c) {e, (12), (34), ()}a) 在Z4上定义运算a b = a + b + 1b) 在Z4上定义运算a b = a + b 1c) 在Z4上定义运算a b = a b (乘法)a) 在S3上定义运算a b = ab^{1}b) 在S3上定义运算a b = a^{1}bc) 在S3上定义运算a b = a^{1}b^{1}10. 给定一个群G，求出G的正规子群。
二、群的同态与同构1. 定义一个群同态，并判断其是否为满同态或单射。
a) f: R → R，f(x) = 2xb) f: R → R，f(x) = x^2c) f: R → R，f(x) = x + 1a) f: Z → Z，f(x) = 2xb) f: Z → Z，f(x) = x^2c) f: Z → Z，f(x) = x + 14. 给定一个群同态f，求出f的核。
a) f: Z → Z，f(x) = 2xb) f: Z → Z，f(x) = x^2c) f: Z → Z，f(x) = x + 16. 给定一个群同态f，求出f的像。
a) f: Z → Z，f(x) = 2xb) f: Z → Z，f(x) = x^2c) f: Z → Z，f(x) = x + 18. 给定两个群G和H，求出G和H的同态。
群论考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 群论中，以下哪个选项不是群的基本性质？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 单位元答案：C2. 群论中，群的阶是指什么？A. 群中元素的数量B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的和答案：A3. 在群论中，下列哪个元素被称为群的单位元？A. 群中任意一个元素B. 群中所有元素的乘积C. 群中所有元素的和D. 群中唯一一个与群中任何元素相乘后仍得该元素的元素答案：D4. 群论中，以下哪个概念描述的是群中元素的逆元？A. 子群B. 正规子群C. 商群D. 元素的逆答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果群G中的元素a满足a^2=e，其中e是群G的单位元，则称元素a为群G的________。
答案：幂等元素2. 群G的一个非空子集H，如果对于任意的h1，h2属于H，它们的乘积h1*h2也属于H，则称H为群G的一个________。
答案：子群3. 如果群G的子群H满足对于任意的g属于G和h属于H，都有g*h*g^-1属于H，则称H为群G的一个________。
答案：正规子群4. 群G的两个元素a和b，如果存在一个元素c属于G，使得a*c=c*b，则称a和b在群G中________。
答案：共轭三、简答题（每题15分，共30分）1. 描述群论中的拉格朗日定理，并给出一个例子说明其应用。
答案：拉格朗日定理指出，有限群G的任意子群H的阶数整除G的阶数。
例如，考虑群Z_6（模6的整数加法群），其子群H={0, 3}，H的阶数为2，而Z_6的阶数为6，2整除6，符合拉格朗日定理。
2. 解释什么是群的同构，并给出两个群同构的条件。
答案：如果存在一个双射函数f: G→H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b)=f(a)*f(b)，则称群G和H同构。
两个群同构的条件是：它们具有相同的群结构，即它们的元素之间存在一一对应关系，并且这种对应关系保持群运算不变。
群论试题及答案# 群论试题及答案试题一：群的定义与性质问题：定义什么是群，并说明群的基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于G中的任意两个元素a, b，它们的运算结果a * b也在G中。
2. 结合律：对于G中的任意三个元素a, b, c，有(a * b) * c = a *(b * c)。
3. 单位元：存在一个元素e在G中，使得对于G中的任意元素a，有e * a = a * e = a。
4. 逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b在G中，使得a *b = b * a = e。
试题二：子群的概念问题：给出子群的定义，并给出一个例子。
答案：子群是群G的一个非空子集H，使得对于H中的任意两个元素a, b，它们的运算结果a * b也在H中，并且H在群运算下封闭。
例如，考虑整数集合Z和加法运算，2Z = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}是Z的一个子群。
试题三：群的同态与同构问题：解释群的同态和同构，并给出它们的区别。
答案：群的同态是一个映射φ：G → H，其中G和H是两个群，满足对于G中的任意两个元素a, b，有φ(a * b) = φ(a) * φ(b)。
同构则是同态映射的一种特殊情况，它还是一个双射（即一一对应且覆盖H的所有元素）。
区别在于同态映射可能不是双射，而同构映射要求映射是一一对应的，并且是满射。
如果存在一个群同构映射，我们说这两个群是同构的。
试题四：阿贝尔群问题：定义阿贝尔群，并给出一个例子。
答案：阿贝尔群（或交换群）是一个群G，其中群的运算满足交换律，即对于G中的任意两个元素a, b，有a * b = b * a。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个阿贝尔群。
试题五：群的阶问题：解释群的阶，并给出一个例子。
答案：群的阶是群中元素的数量。
例如，集合{1, -1}在乘法运算下构成的群的阶是2，因为只有两个元素。
试题六：群的生成元问题：解释群的生成元，并给出一个例子。
2.第二章群论自测练习(共10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 群论自测练习一、概念解释1. 置换2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数二、判断题1.对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
2.任何一个子群都同一个变换群同构。
3. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）4. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）5.4S 的置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。
6. 群G 中元素a 的逆元存在，但不一定唯一。
三、选择题1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. ),(+NB. ),(+QC. ),(*+Z , 其中是非零整数集合D. ),(+C2. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ ）。
A. 111)(---=b a abB. 222)(---=b a abC. 若e a =2，则1-=a aD.ba ab =3.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 以下结论正确的是 ( )。
A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群C.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于1的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群5. 若,H K 分别是群G 的2011阶, 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ) 。
阶子群 阶子群阶子群 D.⨯阶子群6. 以下结论正确的是 ( )。
A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C.有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7. 在4次对称群4S 中，阶等于2的元的个数是( )。
群论基础试题及答案1. 什么是群的定义？答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件：(1)封闭性：对于任意a，b属于G，a*b也属于G；(2)结合律：对于任意a，b，c属于G，有(a*b)*c = a*(b*c)；(3)单位元：存在一个元素e属于G，对于任意a属于G，有e*a = a*e = a；(4)逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 请给出群的阶数的定义。
答案：群的阶数是指群中元素的数量。
3. 什么是子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得对于任意a，b属于H，a*b也属于H。
4. 举例说明什么是正规子群。
答案：如果群G的每个左陪集等于右陪集，即对于任意a属于G，有aH = Ha，则子群H称为正规子群。
5. 什么是群的同态？答案：设f: G → H是群G到群H的映射，如果对于任意a，b属于G，有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称f是群G到群H的同态。
6. 什么是群的同构？答案：如果群G到群H的同态f是双射（即既是单射又是满射），则称f是群G到群H的同构。
7. 什么是群的直积？答案：设G和H是两个群，它们的直积G×H是集合G×H，配合运算(a, b)*(c, d) = (a*c, b*d)，构成一个群。
8. 请解释什么是群的中心。
答案：群G的中心Z(G)是G的所有元素a的集合，使得对于任意b 属于G，有a*b = b*a。
9. 什么是阿贝尔群？答案：如果群G的任意两个元素a，b满足a*b = b*a，则称G为阿贝尔群。
10. 请说明什么是群的表示。
答案：群的表示是将群G的元素映射到线性变换群上的同态。
1、 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群，陪集群和类。
本题书上可找到，略。
2、 试写出平面正三角形对称群即二面体群D3群的所有群元。
类分割和所含的所有子群，并且用其中一个子群写出D3群的左右陪集分割串。
解：D3={E,A,B,C,D,F} 其中，E ：恒等操作 A ：绕轴1旋转pai B ：绕轴2旋转pai C ：绕轴3旋转pai D ：绕Z 轴旋转2pai/3 F ：绕Z 轴放置4pai/3子群：{E}、{E ，A}、{E ，B}、{E ，C}、{E ，D ，F}、{E ，A ，B ，C ，D ，F} 类：{E}、{A ，B ，C}、{D ，F} 取H1={E ，A}，则DH1={D ，C}，FH1={F ，B}，故左陪集分割串为：{D ，C}、{F ，B} H1D={D ，B}，H1F={F ，C}，故右陪集分割串为：{D ，B}、{F ，C}3、 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。
首先，设所有实数S 的集合为G ，于是，集合对元素的加法运算是封闭的，数的加法满足结合律，实数0是此集合的恒元，-S 仍是实数，它是S 的逆元，因此，集合G 构成群，称为实数加法群；其次，设所有正实数R 的集合为H ，于是，集合对元素的乘积是封闭性的，数的乘积满足结合律，正实数1是此集合的恒元，R 的倒数1/R 仍为正实数，它是R 的逆元，因此，集合H 构成群，称为正实数乘法群；最后，通过指数函数建立群H 与G 的元素一一对应关系，且这种关系对元素的乘积保持不变。
R=e S R ’=e S ’ RR ’=e S+S ’因此，群H 与G 同构。
4、 证明由满足232()A B AB E ===的A,B 二元素生成的一个群，并写出其乘法表。
本题，老师课件上有原题，略。
5、 简述什么是群表示，等价表示和不可约表示。
教材中有原述，略。
6、 写出3阶置换群S3的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求出S3的所有共轭类所包含的元素（即S3的类分割）。
群论考试题和答案徐慧一、选择题（每题5分，共30分）1. 群论中，群的元素满足的运算性质不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 单位元存在性答案：C2. 以下哪个不是群的同态性质？A. 同态保持群的单位元B. 同态保持群的逆元C. 同态保持群的运算D. 同态保持群的子群答案：D3. 有限群的阶数为n，以下哪个结论是正确的？A. 群中至少有一个阶数为n的元素B. 群中至少有一个阶数为1的元素C. 群中至少有一个阶数为2的元素D. 群中至少有一个阶数为n的子群答案：B4. 群论中，以下哪个概念是描述群的元素之间关系的？A. 正规子群B. 同构C. 同态D. 群的直积答案：A5. 群论中，以下哪个概念用于描述两个群之间的结构关系？A. 子群B. 正规子群C. 同构D. 商群答案：C6. 群论中，以下哪个概念是描述群的元素的阶数的？A. 单位元B. 元素的阶C. 群的阶D. 子群答案：B二、填空题（每题5分，共30分）1. 群论中，如果群G的每个元素a∈G，都存在唯一的元素b∈G，使得ab=ba=e，其中e是群G的单位元，则称群G为________。
答案：阿贝尔群2. 如果群G的每个元素a∈G，都存在唯一的元素b∈G，使得ab=ba=e，其中e是群G的单位元，则称群G的运算为________。
答案：交换律3. 群论中，如果群G的子群H满足对于任意的g∈G和h∈H，都有ghg^-1∈H，则称H为G的________。
答案：正规子群4. 群论中，如果存在一个群同态φ: G→H，使得φ是双射，则称G和H是________。
答案：同构5. 群论中，如果群G的子群H满足对于任意的g∈G和h∈H，都有ghg^-1∈H，则称H为G的________。
答案：正规子群6. 群论中，如果群G的每个元素a∈G，都存在唯一的元素b∈G，使得ab=ba=e，其中e是群G的单位元，则称群G的运算为________。
群论习题第一章：群的基本概念*1.1下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。
（1）在复数加法下全体复数的集合（2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合（3）在数的减法下所有整数的集合（4）在数的乘法下所有正实数的集合1.2如果某有限群的任一元素皆满足e f f =•,证明该群是Abel 群。
提示：任二群元a 和b ：()a b b b a a b e a b •=•••=••=•2a 。
1.3验证矩阵集合：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤00,00,0110,00,00,10012222ωωωωωωωω，其中32πωi e =在矩阵乘法下构成群，并且与3D 群同构。
提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。
再和3D 群的乘法表对比就可发现同构关系。
1.4验证集合()()()()群）群（注：改群成为之下构成在乘法为光速Lorentz Abel c L L L c c c c c I 2212133212221,,,1111υυυυυυυυυυυυυ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫<<-⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤---=提示：只需证明c c <<-3υ条件成立，则()3υL 也必属于该集合，得到的集合的封闭性。
0=υ时L(0)对应单位元，3υ中的2υ和1υ的地位对称，所以()()()()1221υυυυL L L L =。
*1.5证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。
1.6证明有限群G 的非空子集H 为子群的充要条件是：若a,b ∈H ，则ab ∈H 。
提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：c=a,c=b 则cc ∈H ，进而c m ∈H （m 为正整数）。
*1.7证明指数为2的子群必是正规子群。
提示：先要理解子群指数这一概念*1.8证明群阶为质数的有限群必为Abel 群，并且必为循环群。
第十二章 群论简介习题§12.１ 群的定义和例子１.设G 为一切不等于零的有理数所成的集合,证明Ｇ对于数的乘法作成一个群.【证明】１）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故G 对数的乘法封闭；２)数的乘法结合律对一切数都成立，自然对Ｇ也成立; 3)01≠是非零有理数，且对任何一个非零有理数a,011≠=⨯=⨯a a a , 说明1是Ｇ的单位元素; ４）对任意的非零有理数a ，则a1是非零有理数,且 111=⨯=⨯a aa a , 说明a 的逆元是a 1，根据群的定义，即知集合G 对数的乘法作成一个群． ２．Ｇ是由a ，ｂ,c 三个元素所作成的集合，它的乘法表是判别G 是否成群?【解】由乘法表容易看到，Ｇ对规定的乘法是封闭的，ａ是Ｇ的单位元素,a 、ｂ、c 的逆元分别是a 、c 、ｂ. 以下只要证明结合律成立即可．因为（ab)ｃ＝ｂc=a,ａ（bc)＝aa ＝ａ，故(ab ）c ＝a(bc);同法可知ａ(c ｂ）=（ac)ｂ＝a ，（ｂa)ｃ=ｂ(a ｃ)=a,(bc)ａ＝b(ｃａ）＝ａ,(ca ）b=ｃ(ab ）=ａ，(ｃb)a ＝ｃ（ba)＝a ，以上６个式子说明结合律对规定的乘法是成立的, 因此Ｇ对规定的乘法作成一个群．３．证明下列四个方阵Ａ,B ，C ，D 对于矩阵乘法作成一个群Ｖ,写出的Ｖ乘法表．Ｖ是否循环群?V 是否交换群？⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001D ．【证明】先写出乘法表．由乘法表看出,集合V ＝｛A ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对V 中的矩阵也满足，而矩阵Ａ是单位元,元素A 、Ｂ、C 、Ｄ的逆元素分别是它们自身,故V 对矩阵的乘法作成群. 但（A ）＝{A},(Ｂ)＝｛A,B ｝，（Ｃ)＝{Ａ，C ｝,(D)＝{Ａ,Ｄ｝, 它们都不等于Ｖ,从而Ｖ不是循环群．由乘法表的对称性，可知群V 是一个交换群．§１2.2 置换群１．求置换的乘积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3245115432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3245154321． 2．把置换表为轮换的乘积: (1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321, 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321)642)(7531(=； (２）⎪⎪⎭⎫⎝⎛1234568787654321. 【解】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234568787654321)54)(63)(8271(=.３．证明：（1)121)(-k i i i )(11i i i k k -=；(2）设P ，Q 为两个不相交的轮换，则PQ=Q Ｐ.【证明】(1）)(21k i i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++n k n k k i i i i ii i i i i 1132121，)(11i i i k k -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+--+-n k kk k n k k k i i i i ii i i i i 121111, )(11i i i k k -)(21k i i i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+-n k k k k n k k k i i i i ii i i i i 121111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n k n k ki i i i i i i i i i 1132121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n k k n k i i i i i i i i i i 1211132⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n k n k ki i i i i i i i i i 1132121)(1121121i i i i i i i i i i i n k kn k k =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++ ,(恒等变换)同理可证 )(21k i i i )(11i i i k k -)(1i =，所以 121)(-k i i i )(11i i i k k -=.（２）设)(21k i i i P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++n r rk n r r k k i i i i i i ii i i i i i i 111321121，)(21r k k i i i Q ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k k n r r k k i i i i i i ii i i i i i i 112211121， 其中没有相同的数字.则 )(21k i i i PQ =)(21r k k i i i ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1121321121)(21r k k i i i ++=QP i i i k =)(21 .4.写出四次对称群的所有置换.【解】四次对称群的全体置换(共２４个）用轮换的形式表示就是： （1);（１2）,（13），(１４），(23），（２４）,(3４）;(12３),（１3２)，(134）,（１43）,（12４)，(１４2）,（234),(2４３); (123４)，(１243），(１32４）,（1３４2），(14２3）（１4３2)； （１２）（3４),(１３)（2４）,(1４)(２３).§1２.3 子群及其陪集1.求出三次对称群的所有子群.【解】)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,它的平凡子群为单位元群)}1{(及3S 本身;其２阶子群有３个，即)}12(),1{(1=H ,)}13(),1{(2=H ,)}23(),1{(3=H ； 三阶子群只有１个,即)}132(),123(),1{(4=H ,由拉格朗日定理,不可能有其它阶数的真子群,因此以上所列就是3S 的所有子群．2.证明：阶为质数的群一定是循环群．【证明】设G 群的阶为质数ｐ，则Ｇ必含有周期大于１的元素，不妨设为a ，其周期为m>１,故由ａ生成的循环群(ａ)是群Ｇ的子群，其阶数为m, 由拉格朗日定理知,m 整除p ， 但p 是质数,故ｍ＝p, 从而 G=(a ），即G 是循环群. 3.证明：阶为质数幂mp 的群中包含一个阶为ｐ的子群．【证明】设群Ｇ的阶为mp ,因p 为质数，故群G 含有非单位元素a. 设a 的周期为n ，由拉格朗日定理的推论,知ｎ整除mp ，即rn p =，1r m ≤≤． 若r=1,则循环群（a ）=2{,,,}p a a a e =是G 的p 阶子群;若1r >，那么循环群（1r p a-)=1112{,,,}---==r r r rp p pp p a a a a e是G 的p 阶子群.证完．4.证明:循环群的子群也是循环群． 【证明】设Ｇ是循环群,H 是其子群.若G 是单位元群,则显然H ＝Ｇ,故结论成立. 下面讨论G 不是单位元群的情况．若G ＝(ａ）,其中ａ不是单位元,Ｈ是Ｇ的子群，但不是单位元群,那么H 中必含有m ＞０的幂ma .不妨就设m a 是H 中a 的最小正幂，显然H 包含ma 的任何乘幂． 若sa 是H 中的任意元素,由s=tm ＋r,m r <≤0,可知 t m s tms ra a aa --==)( 也是H 中的元素，但m 是最小正整数，而且m r <≤0,故r ＝0, 于是 tmsa a )(=,这就是说,Ｈ中的任意元素sa 都是ma 的幂,即Ｈ只含有ma 的任意乘幂, 所以H 是由ma 生成的循环群，即H=(ma ）． 这样就证明了命题.5.证明:群G 的一个元素a 是恒等元的充分必要条件为ａ适合关系a a =2． 【证明】必要性是显然的．下面只证充分性.设群G 的恒等元为e ，由于e a a aa==--11,在关系式a a =2两端同时乘a 的逆元1-a ,有e aa aa ==--112而 a ae aa a aa ===--)(112,所以 e a =，即ａ是群G 的单位元.§1２．4 共轭类与子群1．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2145354321P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5143254321Q ，求1-QPQ .【解】使用教材8４—８5页的方法,对置换Ｐ的上下两行分别施行置换Q ，得 1-QPQ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3215451432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3154254321． 2.设四阶群Ｖ＝求出V 的所有共轭类.【解】由V 的乘法表看出，群V 是可换群,故群V 的每一个元素就是一个共轭类.即群Ｖ有四个共轭类：{ｅ},｛a}，{ｂ},{ｃ｝．3．证明：指数为2的子群一定是正规子群.【证明】设Ｈ为群G 的子群,由于[Ｇ：Ｈ］＝2,则群G 按子群H 的左分解为G=Ｈ＋ａH按H 的右分解为 G ＝H+H ａ， 其中H a ∉. 因此 ａH=Ｈa ，即对任意的H a ∉，都有 H aHa =-1.若H a ∈，则ａH ＝Ｈａ,即H aHa=-1显然成立．依正规子群的定义,H 是正规子群． 4．证明:交换群的每一个子群都是正规子群.【证明】设G 为交换群，H 为G 的子群,则对任意的G a ∈,都有ａＨ=Ha,即H aHa=-1,所以H 是正规子群.５.求四次对称群的所有共轭类．【解】由§１2.2的习题４,知4S 的所有置换(共24个）为（1);（12）,（13),(１4),（23），（2４)，（３４)； （1２3），（132），(１34),(１４3），（１２４）,（１42)，（234)，(2４３）; （１2３4),(1２4３),（1３2４),（１３4２)，(１４23)（1４32)； (１２）（3４），（1３）(24）,（１4)(2３).再由教材８５页的定理２,具有相同的轮换结构的置换必共轭，知4S 共有５个共轭类, 即上面的每一行的置换组成一个共轭类.§12.5 点群１．证明：点群3D 含有三个共轭类．【证明】点群3D 有一个三重轴(取为ｚ轴）及三条二重轴(与z 轴垂直),其元素为)3(2)2(2)1(2233,,,,,C C C C C E ,其中23)()3(23)()2(2)()1(2,,C C C C C yz v yz v yz v σσσ===，这个群的乘法表为233,C C 属于一个共轭类.这是因为233,C C 有共同的旋转轴,而变换E 即保持它不变． (1)(2)(3)222,,C C C 属于另一个共轭类.因为只要作变换3C 或23C ，反映(1)(2)(3)222,,C C C 的对称平面即可互相转化.而E 是恒等变换,它单独成一类. 所以两面体群3D 共有三个共轭类. ２.求出点群ℭh 3的元素和它的乘法表.【解】把反映h σ加到旋转群2333(){,,}C E C C =上去,并用h σ分别乘233,C C ,即得点群ℭh 3223333{,,,,,}h h h E C C C C σσσ=．它的乘法表为注意上述乘法表使用了可换性．３．设I 为以原点为对称中心的反演，证明2G ＝},{I E 是一个群． 【证明】写出2G 的乘法表 则显然2G 是一个群.§12.6 同构对应和同态对应１.证明:三次对称群3S 与点群两面体群3D 同构． 【证明】三次对称群3S 元素为Ｅ=(1），Ａ=（１２），B ＝（13)，C ＝（２３）,D=（１２３)，F ＝（１32）． 其乘法表为而3D 的乘法表为（上节习题1）：作从对应3S 到3D 的对应ϕ:(1)(2)(3)222233,,,,,E E A C B C C C D C F C →→→→→→,比较两个群,发现它们有共同的乘法表，故3S 与3D 同构. 2．证明：点群v G 2与点群h G 2同构．【证明】点群v G 2=()()()2{,,,}z xz yz v v E C σσ与点群h G 2=22{,,,}h h E C C σσ,它们的乘法表分别为22h h E C σσ C E 22h h E C σσ C 2C h h σσ22C E C h σ 22C σσh h C E 2h C σ 2h σσ2h C C E作两个群之间的对应ϕ：()()()222,,z xz yz v h v h E E C C C σσσσ→→→→，则由两个群的乘法表可知,ϕ是一个同构对应， 从而点群v G 2与点群h G 2同构．３．证明:点群v G 3与下面的矩阵乘群M 同构．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323212A ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323213A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10014A ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323215A ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212323216A . 【证明】v G 3的乘法表参见教材9２页.作矩阵乘群的乘法表,作v G 3与矩阵乘群M 之间的一一对应ϕ：2(1)(2)(3)13233456,,,,,v v v E A C A C A A A A σσσ→→→→→→比较它们的乘法表，知v G 3与矩阵乘群M 同构．４．证明：群G 的子群Ｈ与每一个左陪集aH 之间存在１—１对应. 【证明】假如{}H h =,则{|,}aH ah a G h H =∈∈.下面分两种情况讨论． １）a H ∈的情形,此时有aH H =，则H 的元素与自身的对应(即恒等对应）就是一个一一对应； 2)a H ∉的情形,作H 到aH 的对应:h ah ϕ→，则可证ϕ是一一对应.事实上,对H 中不同的元素12,h h ,则它们的象12ah ah ≠,否则将会有12h h =, 这说明不同元素的象也不同，即ϕ是一个单射;另一方面,如果ａｈ是aH 的一个元素,则按aH 的定义,即知h 是ａｈ的一个原象，这说明ϕ是从H 到ａＨ上的对应,即ϕ是一个满射, 从而ϕ是一一对应.综上所述,H 与aH 之间存在1—１对应．５．证明：存在一个从点群v G 2到点群2G 上的同态对应． 【证明】点群v G 2和点群2G 的乘法表分别是作对应()()()222:*,,,z xz yz v v E E C E C C ϕσσ→→→→,则(#)(#)*(#)()(#)E E E ϕϕϕϕϕ===，＃表示()()()2z xz yz v v C σσ,,中的任意一个变换．()()()()()2222()()*()()z xz yz z xz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====, ()()()()()2222()()*()()z yz xz z yz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====,()()()()22()()*()()xz yz xz yz v v v v E E C C ϕσσϕϕσϕσ====,注意到两个群都是交换群,故ϕ是从点群v G 2到点群2G 的一个同态对应.6．证明：除同构对应外,只有两个四阶群． 【证明】设四阶群Ｇ＝｛ｅ，ａ，ｂ，c},则由拉格朗日定理的推论，即知群的元素的周期只能是1或２或４， 但ａ,ｂ,c 的周期不能是１,故它们的周期必为２或４.１） 若ａ,ｂ，c 之中有一个元素（比如说a ）的周期为４,则Ｇ=（ａ)，此时Ｇ为四阶循环群.---- ２） 若a,ｂ，c 的周期都是２，则G 的乘法表一定是这是因为a,b ，ｃ的周期为2，则222a b c e ===，而ab e ≠，否则,将有2e ab a b a ==⇒=，这与群的阶数为４不符; ab a ≠,否则b ＝e ，同样ab b ≠，这样只有ab c =．表中其它乘积的结果类似.因此,从同构的意义上说,只有两个四阶群，前一个是四阶循环群，后一个是K ｌei ｎ四元群,它们都是交换群.。
《群论基础》习题
1．讨论以下集合是否构成群：
（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法；
（2）1的任何次根（n k i n e π
21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法；
（3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法；
（4）m ⨯n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）；
2．回答问题：
（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。
（2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。
（3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。
（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？
（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有
何特点？
3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？
(1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i
(5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i
4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于
哪一个点群。
5．确定以下分子所属点群：
（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇
（3）8-羟基喹啉 （4）肼
（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯
（7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°）
（8）环戊二烯 （9）环丁烷
（10）六氯乙烷 （11）丁二烯
6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。
7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。
8．利用C 2h 的特征标表说明：
（1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。
（2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。
9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。
11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示：
A 1g ⊗
B 1g A 1u ⊗ A 1u B 2u ⊗ E 1g
E 1g ⊗ E 2u E 1g ⊗ B 2g A 2u ⊗ E 1u
12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。
（D 2点群）。
