2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2011年考研数一真题及答案解析一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。

直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。

主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】()∑===n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。

因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。

又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛域为( )(A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121PP -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ． (13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E XY = ． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x-→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)Tβ=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=-==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=-=-= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=-=-=- 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=-=-=- (3)()y x P x ''=-，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=-∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=-∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂-''''==⋅=-=∂又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''-=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>． (4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x <<． 故正确答案为(B)．(5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP-=． 由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞-∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞-∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．(9)【答案】(ln 1．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x -=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )xe x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x -=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xyy x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂-⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +-=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdy ydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅-+-+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=--+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x-→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+--=2ln(1)limx x xx e →+-=22201()2lim x x x o x x x e→-+-=22201()2lim x x o x x e→-+=12e -=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为 g(x) 在 x 1 可导，且为极值,所以 g(1) 0 ，则d2z dxdy|x1 y 1f1(1,1) f11(1,1) f12(1,1) ．(17)(本题满分 10 分)【解析】显然 x 0 为方程一个实根．当 x 0 时，令 f x x k,arctan xf x arctanx1x x2 arctan x 2．令gxarctanx1x x2xR ， gx1 1 x21 x2 x2x 1 x2 22x 2 1 x22 0，即 x R, g x 0．又因为 g 0 0 ，即当 x 0 时， g x 0 ； 当 x 0 时， g x 0 ．当 x 0 时， f ' x 0 ；当 x 0 时， f ' x 0 ．所以当 x 0 时， f x 单调递减，当 x 0 时， f x 单调递增又由 lim f x lim x k 1 k ，x0x0 arctan xlim f x lim x k ，xx arctan x所以当1 k 0 时，由零点定理可知 f x 在 (, 0) ， (0, ) 内各有一个零点；当1 k 0 时，则 f x 在 (, 0) ， (0, ) 内均无零点．综上所述，当 k 1时，原方程有三个根．当 k 1 时，原方程有一个根．(18)(本题满分 10 分)【解析】(Ⅰ)设fxln1 x,x0,1 n 显然f(x)在0,1 n 上满足拉格朗日的条件，f 1 n f0ln1 1 n ln1ln1 1 n 1 11 n, 0,1 n 所以 0,1 n 时，1 1 11 n1 11 n1 1 01 n，即：1 n 11 11 n1 n，n亦即：1 n 1ln1 1 n 1 n．结论得证． （II）设 an11 21 3 1 ln n n 1 ln n ．nk 1 k先证数列an 单调递减． an1 an n1 k11 k ln n 1 n k 11 k ln nn1 1ln n n 11 n 1ln11 n ，利用（I）的结论可以得到1 n 1ln(1 1) n，所以1 n 1ln1 1 n 0得到an1an，即数列an 单调递减．再证数列an 有下界． ann k 11 k lnnn k 1ln 11 k lnn， nk 1ln1 1 k lnn k 1 k1 k ln 2 13 24 3n n1 lnn1， ann k 11 kln nn k 1ln 11 k lnnln n1 lnn0．得到数列an 有下界．利用单调递减数列且有下界得到an 收敛．(19)(本题满分 11 分)【解析】 I 1xdx01 0yf'' xy(x,y)dy1xdx01 0ydf' x(x,y) 1 0xdx yfxx,y |101 0f' x x,y dy 1xdx0f' x(x,1)1 0f' x(x,y)dy．因为f(x,1)0 ，所以f' x(x,1)0． I1xdx01 0f' x(x,y)dy1dy01 0xf' x(x,y)dx 1dy0 xf(x,y)|101 0f(x,y)dx1 0dy f(1,y)1 0f(x,y)dx fdxdy a ． D(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于1,2 ,3 不能由 1, 2 , 3 线性表示，对 (1, 2 , 3,1,2 ,3) 进行初等行变换：1 1 3 1 0 1 (1, 2 , 3,1,2,3) 1 2 4 0 1 31 3 a 1 1 51 1 3 1 0 1 1 1 3 1 0 1 011112 011112 ． 0 2 a 3 0 1 4 0 0 a 5 2 1 0 当 a 5 时，r(1, 2 , 3) 2 r(1, 2, 3,1) 3 ，此时，1 不能由 1, 2 , 3 线性表示，故1,2 ,3 不能由 1, 2 , 3 线性表示．(II)对 (1,2 ,3, 1, 2 , 3 ) 进行初等行变换：1 0 1 1 1 3(1,2,3,1,2,3) 013124 1 1 5 1 3 5 1 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 3 013124 013124 0 1 4 0 2 2 0 0 1 1 0 2 1 0 0 2 1 5 0104210 ， 0 0 1 1 0 2故 1 21 42 3 ， 2 1 22 ， 3 51 102 23 ．(21)(本题满分 11 分) 1 1 1 1 【解析】(I)由于A 00 00 ，设11,0, 1T,21, 0,1T，则 1 1 1 1 A1,2 1,2 ，即 A1 1, A2 2 ，而 1 0,2 0 ，知 A 的特征值为 1 1, 2 1，对应的特征向量分别为 k11 k1 0 ， k22 k2 0 ．由于 r A 2 ，故 A 0 ，所以 3 0 ．由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 3 0 对应的特征向量为3 x1, x2, x3 T ，则12TT33 0, 0,即 x1 x1 x3 x3 0, 0．解此方程组，得3 0,1, 0T ，故 3 0 对应的特征向量为 k33 k3 0 ．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：1 1 11 21, 0, 1T, 22 21 21, 0,1T,33 3 0,1, 0T ． 1令Q1,2,3，则QTAQ 1 ，0 A QQT2 2 0 2 22 2 02 20 1 0 1120 2 2 2 000 12 222 02 2 02 22 2 02 220 2 02 20 000 12 2 2 2 0 0 0 10 0 010 ．0 （22）（本题满分 11 分） 【解析】(I)因为 P X 2 Y 2 1 ，所以 P X 2 Y 2 1 P X 2 Y 2 0 ．即 P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 P X 1,Y 0 0 ．利用边缘概率和联合概率的关系得到P X 0,Y 0 P X 0 P X 0,Y 1 P X 0,Y 1 1 ；3P X 1,Y 1 PY 1 P X 0,Y 1 1 ；3P X 1,Y 1 PY 1 P X 0,Y 1 1 ．3即 X ,Y 的概率分布为X-101001/3011/301/3(II) Z 的所有可能取值为 1, 0,1 ．PZ 1 PX 1,Y 1 1 ．3PZ 1 PX 1,Y 1 1 ．3PZ 0 1 PZ 1 PZ 1 1 ．3 Z XY 的概率分布为Z-101P1/31/31/3(III)因为 XY Cov XY E XY E X E Y ，D(X ) D(Y )D(X ) D(Y )其中E XY E Z 1 1 0 1 1 1 0 ， E Y 1 1 0 1 1 1 0 ．3 333 33所以 E XY E X E Y 0 ，即 X ，Y 的相关系数 XY 0 ．（23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体 X 服从正态分布，故设 X 的概率密度为 f (x) x ．(I) 似然函数1e ， (x0 2 2)22 nn L( 2 ) f (xi; 2 ) [i 1i 11e ] (2 ) e (xi 0 2 2)22n 2； 12 2n( xi 0 )2i12 取对数： ln L( 2 ) n ln(2 2 ) n (xi 0 )2 ；2i1 2 2 求导：dln L( 2 ) d ( 2 )n 22n i 1(xi 0 )2 2( 2 )21 2( 2 )2n[(xi 0 )2 2 ] ．i 1 令dln L( 2 ) d ( 2 )0 ，解得21 nn i 1( xi0 )2． 2 的最大似然估计量为 21 nn i 1(Xi 0 )2．(II) 方法 1： X i~N (0 , 2 ) ，令YiXi 0~N (0, 2 ) ，则 21 nnYi 2i 1． E( 2 )E(1 nn i 1Yi2 )E(Yi2 )D(Yi ) [E(Yi )]22． D( 2 )D( 1 nnYi2 )i 11 n2D(Y12 Y22 Yn2 )1 nD(Yi2 )1 n{E(Yi4)[E(Yi2 )]2}1 n(344)2 n4．方法 2： X i~ N (0, 2)，则Xi 0 ~ N (0,1)，得到 Yn i1 Xi 02 ~2n，即n 2Y Xi 0 2 ． i 1E 2 1 nE n i1(Xi0)2 1E n 2Y 1 2E Y 1 2 n 2 ．nn D 2 1 n2n D i1 ( Xi0)2 1 n2D 2Y1 n24D Y1 n24 2n2 n4．。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x →-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0.(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(4) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+- (D)23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x (8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( )(A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . (12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，x Q y =下的标准形为 .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(,μN三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限0x →(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1Tα=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A . (22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与kcx 是等价无穷小，则 ( )(A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，sin x x 在本题中，03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2limkx x x x x xcx →--= ()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim 14,3k x c k cx -→==⇒==，故选择(C).(2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()()2332limx x f x f x x→-= ( )(A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x→+-'=在本题中，()()()()()()232233320220limlimx x x f x f x x f x x f f x f xx→→---+=()()()()()()()33000lim 20200x f x f f x f f f f x x →⎡⎤--'''⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎣⎦故应选(B)(3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( )(A)若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛(C) 若1nn u∞=∑收敛，则2121()n n n uu ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点： 级数的基本性质 若级数1nn u∞=∑收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在本题中，由于级数2121()n n n uu ∞-=+∑是级数1n n u ∞=∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当1nn u∞=∑收敛时，2121()n n n uu ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确.(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点： 如果在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰()a b <在本题中，如图所示： 因为04x π<<，所以0sin cos 1cot <<<<x x x又因ln x 在(0,)+∞是单调递增的函数，所以lnsin lncos lncot x x x << (0,)4x π∈4440ln sin ln cos ln cot x dx x dx x dx πππ⇒<<⎰⎰⎰即I K J <<.选（B ）.(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = ( )(A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 121-P P 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110,001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即111,AP B A BP -==故由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即2,P B E =故122,B P P -==因此，1112121,A P P P P ---==故选(D)(6) 设A 为43⨯矩阵，123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( )(A)23121()2k ηηηη++-(B)23121()2k ηηηη-+-(C) 23121231()()2k k ηηηηηη++-+-(D) 23121231()()2k k ηηηηηη-+-+-【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果1ξ，2ξ是Ax b =的两个解，则12ξξ-是0Ax =的解； （2）如n 元线性方程组Ax b =有解，设12,,,t ηηη是相应齐次方程组0Ax =的基础解系，0ξ是Ax b =的某个已知解，则11220t t k k k ηηηξ++++是Ax b =的通解（或全部解），其中12,,,t k k k 为任意常数.在本题中，因为123,,ηηη是Ax β=的3个线性无关的解，那么21ηη-，31ηη-是0Ax =的2个线性无关的解.从而()2n r A -≥，即3()2()1r A r A -≥⇒≤ 显然()1r A ≥，因此()1r A =由()312n r A -=-=，知（A ）（B ）均不正确. 又232311222A A A ηηηηβ+=+=，故231()2ηη+是方程组Ax β=的解.所以应选（C ）.(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x 与2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是 ( )(A) 1()f x 2()f x (B) 22()f x 1()F x(C) 1()f x 2()F x (D) 1()f x 2()F x +2()f x 1()F x 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： 连续型随机变量的概率密度()f x 的性质：()1f x dx +∞-∞=⎰在本题中，由于1()f x 与2()f x 均为连续函数，故它们的分布函数1()F x 与2()F x 也连续.根据概率密度的性质，应有()f x 非负，且()1f x dx +∞-∞=⎰.在四个选项中，只有（D ）选项满足[]1221()()()()f x F x f x F x dx +∞-∞+⎰2112()()()()F x dF x F x dF x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰121212()()()()()()F x F x F x dF x F x dF x +∞+∞+∞-∞-∞-∞=-+⎰⎰1=故选（D ）.(8) 设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量111n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT <2DT (C) 1ET <2ET ,1DT >2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）泊松分布()XP λ 数学期望EX λ=，方差DX λ=（2）()E cX cEX =，()E X Y EX EY +=+，2()D cX c DX =，()D X Y DX DY +=+（X 与Y 相互独立） 在本题中，由于12,,,n X X X 独立同分布，且0i i EX DX λ==>，1,2,,i n =，从而()()111111()()n ni i i i E T E X E X n E X n n nλ=====⋅⋅=∑∑，()112111111()()11--==⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭∑∑n n i n in i i E T E X X E X E X n n n n 11(1)()()1=⋅-+-i n n E X E X n n ()()111λ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭E X E X n n 故()()12<E T E T又()()1121((11))λ===⋅⋅==∑n i i D T D n D X D X n n X n n，()12221111()(1)1(1)n i n i D T D X X n n n n n λλ-==+=⋅-⋅+--∑12()1D T n n n λλλ=+>=-，故选（D ）.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()()0lim 13xtt f x x t →=+，则()f x '= .【答案】()313xex +【详解】本题涉及到的主要知识点： 重要极限公式 10lim(1)xx x e →+=在本题中，()()()31300lim 13lim 13x t xtt tt t f x x t x t ⋅→→⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦3x x e =⋅所以有()()313'=+xf x ex .(10) 设函数1x yx z y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()1,1=dz .【答案】()()12ln 2dx dy +- 【详解】用对数求导法.两边取对数得ln ln(1)x x z y y=+， 故11[ln(1)]z x x z x y y x y ∂=++∂+，21[ln(1)]z x x x z y y y x y∂=-++∂+ 令1x =，1y =，得(1,1)2ln 21z x ∂=+∂，(1,1)(2ln 21)zy ∂=-+∂， 从而()()(1,1)12ln 2dz dx dy =+-(11) 曲线tan 4yx y e π⎛⎫++= ⎪⎝⎭在点()0,0处的切线方程为 . 【答案】2y x =- 【详解】方程变形为arctan()4y x y e π++=，方程两边对x 求导得211yye y y e ''+=+，在点(0,0)处(0)2y '=-，从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为2y x =-.(12)曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . 【答案】43π【详解】本题涉及到的主要知识点： 设有连续曲线()y f x =()a x b ≤≤，则曲线()y f x =与直线x a =，x b =及x绕x 轴旋转一周产生的旋转体的体积2(bx aV f π=⎰在本题中，()222223111141().33V y dx x dx x x ππππ==-=⋅-=⎰⎰(13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1，A 中各行元素之和为3，则f 在正交变换x Q y =下的标准形为 .【答案】213y【详解】本题涉及到的主要知识点： 任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.在本题中，A 的各行元素之和为3，即1112131112132122232122233132333132333,13113,1313113113a a a a a a a a a a a a A a a a a a a ++=⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⇒=⇒=⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩ 所以3λ=是A 的一个特征值.再由二次型Tx Ax 的秩为10λ⇒=是A 的2重特征值. 因此，正交变换下标准形为：213y .(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN ，则()2E XY = .【答案】22()μμσ+【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量X 和Y 的相关系数0XY ρ=，则称X 与Y 不相关.（2）若随机变量X 与Y 的联合分布是二维正态分布，则X 与Y 独立的充要条件是X 与Y不相关.（3）如果随机变量X 与Y 相互独立，则有()E XY EXEY = 在本题中，由于(),X Y 服从正态分布()22,;,;0μμσσN，说明X ，Y 独立同分布，故X与2Y 也独立.由期望的性质有22()E XY EX EY =⋅，又EX μ=，2222()EY DY EY σμ=+=+，所以222()()E XY μμσ=+三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分)求极限x →【详解】本题涉及到的主要知识点： 当0x →时，ln(1)x x +在本题中，0x →201lim x x x →-=000x x x →→→===01.2x x →→==-=-(16) (本题满分10分)已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值，()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1zx y∂∂∂【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条件 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处有极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=. 在本题中，(,(,))z f x y f x y =+121(,(,))(,(,))(,)zf x y f x y f x y f x y f x y x∂'''=+++⋅∂ 2111221(,(,))(,(,))(,)(,)zf x y f x y f x y f x y f x y f x y x y∂''''''=++++∂∂ ()21222212[(,(,))(,(,))(,)](,(,)),f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''+++++⋅()1,12f =为(),f u v 的极值 ()()121,11,10f f ''∴==211212(1,1)2,2(2,2)(1,1)z f f f x y ∂'''''∴=+⋅∂∂(17) (本题满分10分)求不定积分【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）()x t ϕ=，1()[()]()()[()]f x dx f t t dt G t C G x C ϕϕϕ-'==+=+⎰⎰；（2）udv uv vdu =-⎰⎰； （3）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.在本题中，令t =,2x t =,2dx tdt =∴2arcsin ln 2t t tdt t +=⋅⎰()22arcsin ln t t dt =+⎰ 2222arcsin 22ln 2tt t t t t dt t=⋅-+⋅-⋅⎰222arcsin 2ln 4t t t t t=⋅+⋅+-22arcsin 2ln 4t t t t t C=⋅+⋅++x C =+，其中C 是任意常数.(18) (本题满分10分)证明方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使()0f ξ= （2）函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中，令4()4arctan 3f x x x π=-+-，'24()11f x x=-+当x >'()0f x <，()f x 单调递减；当x <时，'()0f x >，()f x 单调递增.4(4arctan((03f π=-+=.当x <()f x 单调递减,∴(,x ∈-∞,()0f x >；当x <<()f x 单调递增,∴(x ∈,()0f x >x ∴=()f x在(-∞上唯一的零点.又因为48033f ππ==-> 且()4lim lim 4arctan .3x x f x x x π→+∞→+∞⎛=-+-=-∞ ⎝∴由零点定理可知，)0x ∃∈+∞，使()00f x =,∴方程44arctan 03x x π-+=恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且满足'()()+=⎰⎰⎰⎰ttD D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤tD x y y t x x t t ，求()f x 的表达式.【详解】本题涉及到的主要知识点： 一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰. 在本题中，因为()()tt t xD f x y dxdy dx f x y dy -''+=+⎰⎰⎰⎰，令x y u +=，则()()()()t xtx f x y dy f u du f t f x -''+==-⎰⎰()(()())()()tttD f x y dxdy f t f x dx tf t f x dx '+=-=-⎰⎰⎰⎰201()()()()2ttD tf t f x dx f t dxdy t f t ∴-==⎰⎰⎰.两边对t 求导，得 2()()02'+=-f t f t t ,解齐次方程得212()(2)--⎰==-dt t C f t Ce t由(0)1f =，得4C =. 所以函数表达式为24()(01)(2)f x x x =≤≤-.(20) (本题满分11分)设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T,()21,2,3T β=,()33,4,β=Ta 线性表出.(I)求a 的值 ；(II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. 【详解】本题涉及到的主要知识点： 向量组12,,,l b b b 能由向量组12,,,m a a a 线性表示的充分必要条件是 121212(,,,)(,,,,,,,)m m l r a a a r a a a b b b =(I)因为123101,,01310115ααα==≠，所以123,,ααα线性无关.那么123,,ααα不能由123,,βββ线性表示⇒123,,βββ线性相关，即123113113,,1240115013023a aa βββ===-=-，所以5a =(II)如果方程组112233(1,2,3)j x x x j αααβ++==都有解，即123,,βββ可由123,,ααα线性表示.对123123,,,,,αααβββ（）作初等行变换，有123123,,,,,αααβββ（）=101113013124115135⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1002150104210001102⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-(21) (本题满分11分)A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(I) 求A 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵A .【详解】本题涉及到的主要知识点： （1）(0)A αλαα=≠λ为矩阵A 的特征值，α为对应的特征向量（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交. （I ）因()2r A =知0A =，所以0λ=是A 的特征值.又111000111A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，110011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以按定义1λ=是A 的特征值，1(1,0,1)Tα=是A 属于1λ=的特征向量；1λ=-是A 的特征值，2(1,0,1)T α=-是A 属于1λ=-的特征向量.设3123(,,)Tx x x α=是A 属于特征值0λ=的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此131323130,0,T Tx x x x αααα⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ 解出3(0,1,0)Tα= 故矩阵A 的特征值为1,1,0-；特征向量依次为123(1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)T T Tk k k -，其中123,,k k k 均是不为0的任意常数.(II)由12312(,,)(,,0)A ααααα=-，有1112123*********(,,0)(,,)000001000110110100A ααααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(22)(本题满分11分)且22()1P X Y ==.(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 ()()()()cov ,X Y E XY E X E Y =-⋅ （2）相关系数cov ,XY X Y ρ=(I)设(,)X Y 的概率分布为根据已知条件{}221P XY ==，即{}{}{}0,01,11,11P X Y P X Y P X Y ==+==-+===，可知1221231p p p ++=，从而110p p p ===，1p p p ===，即(,)X Y 的概率分布为(II) Z XY =的所有可能取值为-1，0，1 .{}{}111,13P Z P X Y =-===-={}{}111,13P Z P X Y ====={}{}{}101113P Z P Z P Z ==-=-=-=Z XY =的概率分布为(3) 23EX =，0EY =，0EXY =，故(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，从而0XY ρ=.(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）X 、Y 是连续型随机变量，边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰；（2）在Y y =的条件下X 的条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y =； （3）设G 是平面上的有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.(I)(,)X Y 的联合密度为1,(,),(,)0,(,).x y G f x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩当01x ≤<时，0()(,)1x X f x f x y dy dy x +∞-∞===⎰⎰； 当12x ≤≤时，20()(,)12x X f x f x y dy dy x +∞--∞===-⎰⎰；当0x <或2x >时，()0X f x =.所以 , 01,()2, 12,0, X x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.(II)|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =当01y ≤<时，2()122yY yf y dx y -==-⎰；当0y <或1y ≥时，()0Y f y =.所以|1, 2,01,22(|)0, X Y y x y y y f x y ⎧<<-≤<⎪-=⎨⎪⎩其他.。

2011年全国硕士研究生入学统一考试教育学专业基础综合试题一、单项选择题：1～45小题,每小题2分,共90分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合试题要求;1．以教育理论自身作为专门研究对象的学科称为A．教育学 B．比较教育学 C．元教育学 D．教育哲学2．世界近代教育发展的重要成就之一是实施了A．补偿教育 B．义务教育 C．终身教育 D．回归教育3．根据皮亚杰的研究,初中生的思维处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期;针对这一发展特点,教师在教学中应加强对学生A．运算能力的培养 B．操作能力的培养 C具体思维能力的培养 D．抽象思维能力的培养4．把教育方针规定为“教育必须为社会主义现代化建设服务,必须与生产劳动相结合,培养德、智、体等方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人”的文献是A．中华人民共和国义务教育法 B．中共中央关于教育体制改革的决定C．中华人民共和国教育法 D．中国教育改革和发展纲要5．某校将全体学生分成两批,一批上午在教室里上课,另一批上午在学校的图书馆、体育馆、工厂、商店等场所进行有组织的活动,下午对调;这种做法属于A．二部制 B．工读制 C．复式教学 D．合作教学6．学制规定了各级各类学校的性质、任务、入学条件、教育年限以及学校之间的A．主导与辅助关系 B．领导与从属关系 C．合作与竞争关系 D．衔接与分工关系7．布鲁纳说：“任何学科的任何知识,都可以用智力上诚实的方式,教给任何阶段的任何儿童;”这种观点属于A．结构主义课程论 B．经验课程论 C．要素主义课程论 D．社会改造主义课程论8．把两门或两门以上的学科内容整合在一门课程中,加强学科联系,但不打破学科界限;这种课程属于A．活动课程 B．核心课程 C．相关课程 D．融合课程9．将一个班的学生按能力分组,各组以不同的进度完成相同的课业;这种能力分组属于 A．作业分组制 B．活动分组制 C．异质分组制 D．混合能力分组制10．通过对道德两难问题的深入讨论,儿童倾向于拒斥低于自己道德发展阶段的同伴的道德推理,并且能够理解和同化高于自己一个阶段的同伴的道德推理,但难以理解和接受高于自己两个或两个以上阶段的同伴的道德推理;这种现象被科尔伯格等人称为A．皮格马利翁效应 B．俄狄浦斯效应 C．布莱特效应 D．布朗效应11．20世纪60年代以来,许多国家推行“教育先行”政策,以促进国民经济快速发展;这种政策的理论基础是A．教育万能论 B．劳动力市场理论 C．筛选假设理论 D．人力资本理论12．关于如何组织课程内容的问题,泰勒在课程与教学的基本原理中提出的3条影响至今的基本原则是A．基础性、顺序性和整合性 B．连续性、顺序性和整合性C．基础性、连续性和整合性 D．基础性、连续性和顺序性13．某山区小学,每个年级数学、语文等科的教学均由一名教师担任;这些教师属于A．兼任教师 B．主任教师 C．级任教师 D．科任教师14．先秦墨家所倡导的最具特色的教育内容是A．政治教育 B．科技教育 C．艺术训练 D．军事训练15．被朱熹称为“为学之序”的“博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之”出自A．大学 B．中庸 C．论衡 D．白鹿洞书院揭示16．随着“独尊儒术”文教政策的施行,中国经学教育制度正式建立,其标志是A．设置博士 B．守师法家法 C．建立察举制 D．创办太学17．从唐代到清末,科举考试中最常用的考试方式是A．帖经和诗赋 B．墨义和策论 C．策论和诗赋 D．经义和帖经18．颜元主持的漳南书院性质上属于A．理学书院 B．实学书院 C．制艺书院 D．考据书院19．为了收回教育权,1925年中国政府公布了A．外人捐资设立学校请求认可办法 B．请求力谋收回教育权 C．教育实行与宗教分离 D．取缔外人在国内办理教育事业20．1927年6月,南京国民政府接受蔡元培等人的提案,试行大学院和大学区制,以实现教育行政机构的A．科学化 B．集权化 C．学术化 D．法制化21．下列选项中,不．属于．．中国近代洋务学堂特点的是A．以造就专业人才为惟一培养目标 B．以“西文”、“西艺”为惟一教学内容 C．以理论联系实际为基本教学原则 D．以班级授课制为基本教学组织形式22．在陶行知看来,教育与生活两者的关系是A生活可以取代教育 B．教育是生活的中心 C．教育不能改造生活 D．生活是教育的中心23．中国共产党领导下的抗日民主根据地发展教育的基本精神是A教育为长期的战争服务 B．群众教育第一 C．注重教育的正规化建设 D．生产教育第一24．在古代斯巴达,城邦为满18岁的公民子弟接受正规军事训练而设立的教育机构是A．体育馆 B．埃弗比 C．体操学校 D．角力学校25．古罗马教育家西塞罗论述教育的主要着作是A．雄辩术原理 B．论雄辩家 C．忏悔录 D．论灵魂26．19世纪30年代,美国公立学校运动的主要内容之一是兴办A．公立小学 B．公立中学 C．公立职业学校 D．州立大学27．夸美纽斯依据教育适应自然的原则将母育学校比喻为A．“春季” B．“夏季” C．“秋季” D．“冬季”28．主张教育目的是“为完满生活作准备”、反对英国古典主义教育传统的教育家是A．培根 B．洛克 C．斯宾塞 D．赫胥黎29．近代法国中央集权式教育管理体制确立的标志是拿破仑第一帝国时期设立的A．帝国大学 B．教育部 C．大学区 D．索邦大学30．19世纪末20世纪初在欧美流行的劳作教育思潮的主要代表人物和推动者是A．拉伊 B．凯兴斯泰纳 C．蒙台梭利 D．克里斯曼31．1947年,日本颁布的终结军国主义教育并为战后教育指明方向的划时代教育法案是 A．学制令B．大学令 C．产业教育振兴法 D．教育基本法32．在英国教育史上,第一次从国家角度阐明“中等教育面向全体儿童”的教育文献是A．斯宾斯报告 B．哈多报告 C．雷沃休姆报告 D．诺伍德报告33．杜威的“思维五步法”包括经验的情境的寻求、问题的产生、资料的占有和观察的开展、解决方法的提出以及方法的运用和检验;他把这种思维称作A．反省思维 B．情境思维 C．逻辑思维 D．形象思维34．维果茨基的“最近发展区”意指A．最新达到的解决问题水平 B．超出目前的解决问题水平C．正处于掌握边缘的解决问题水平 D．需要在下一发展阶段达到的解决问题水平35．面对问题时,总是把问题考虑清楚后再作反应,看重问题解决的质量;具有这种特点的认知方式是A．场独立型 B．场依存型 C．冲动型 D．沉思型36．心智技能区别于运动技能的主要特点是A．流畅性、简缩性和适应性 B．简缩性、展开性和流畅性 C．简缩性、内潜性和展开性 D．观念性、内潜性和简缩性37认为学业求助是缺乏能力的表现、是对自我价值构成威胁的学生,其成就目标定向类型是 A．掌握目标 B．学习目标 C．任务目标 D．表现目标38．人在解决一系列相似的问题之后,容易出现一种以习以为常的方式方法解决新问题的倾向;这种现象被称为A．学习准备 B．思维定势 C．功能固着 D．思维阻抑39．以所掌握资料中的参考文献为线索,查找有关主题的文献;这种检索文献的方法是A．顺查法 B．逆查法 C．引文查找法 D．综合查找法40．教育研究假设的表述应当避免．．使用A．陈述句 B．疑问句 C．全称肯定判断 D．全称否定判断41．某研究者欲考察教师对学生期望值的高低与师生关系之间的相关性,他每天用一小时的时间去教室随机观察师生互动行为,并根据实际情况灵活记录观察结果;这种观察是A．参与式、结构式观察 B．参与式、非结构式观察C．非参与式、结构式观察 D．非参与式、非结构式观察42．在测量调查中,用“1”代表男性,用“2”代表女性;这一测量属于A．定名测量 B．定序测量 C．定距测量 D．比率测量43．教育行动研究由计划、行动、观察和反思四个基本步骤组成;它的提出者是A．勒温 B．萧恩 C．斯腾豪斯 D．凯米斯44．在教育研究的定量分析中,完全正相关的相关系数是A． B．0.05 C． D．45．撰写学术论文时,把论点分为若干层次,论证时逐步展开,直到最后得出结论的方法是 A．平列分论式 B．平列层递式 C．层递推论式 D．层递平列式二、辨析题：46～48小题,每小题15分,共45分;首先判断正误,然后阐明理由;46．德育应当普遍存在于一切教学之中;47．“学不可以已;青,取之于蓝,而青于蓝”,表明荀况在师生关系问题上强调不惟师说; 48．经典条件反射的建立过程与操作条件反射的建立过程无根本差异;三、简答题：49～53小题,每小题15分,共75分;49．简述课堂教学设计的主要依据;50．简述中华人民共和国教师法对教师权利的规定;51．简述陈鹤琴“活教育”思想体系的三大命题;52．简述自我效能感的基本含义及其提高措施;53．教育研究为什么要遵守针对研究对象的伦理原则简述该原则的基本内容;四、分析论述题：54～56小题,每小题30分,共90分;54．阅读下述材料,评析论者的教育目的观,并联系实际论述这种目的观对我国教育改革的借鉴意义;“现在教育上的许多方面的失败,是由于它忽视了把学校作为社会生活的一种形式这个基本原则;现代教育把学校当作一个传授某些知识、学习某些课业或养成某些习惯的场所;这些东西的价值被认为多半要取决于遥远的将来,儿童所以必须做这些事情,是为了他将来要做别的事情,而这些事情只是预备而已;结果是,它们并不成为儿童生活经验的一部分,因而并不真正具有教育作用;” “把教育看作为将来作预备,错误不在强调为未来的需要作预备,而在把预备将来作为现在努力的主要动力;为不断发展的生活作预备的需要是巨大的,因此,应该把全副精力一心用于使现在的经验尽量丰富,尽量有意义,这是绝对重要的;于是,随着现在于不知不觉中进入未来,未来也就被照顾到了;”55．论述赫尔巴特的兴趣观及在其教育理论体系中的作用;56．请在I、II两道试题中任选一题．．．．作答;若两题都答,只按第I道题的成绩计分; I．认知建构主义认为,学生并不是空着脑袋进入教室的;在日常生活和先前的学习中,他们形成了大量知识经验;其中,有些经验与科学的理解相一致,可以作为新知识学习的起点；有些经验与科学的理解相违背,并有可能阻碍新知识的学习;因此,转变学生头脑中的错误概念是教学过程中的重要环节;请根据有关的研究成果,论述错误概念转变的影响因素,并分析说明如何在教学中促进错误概念的转变;II．某乡镇中学有100名初一学生,他们先前所在小学均未开设英语;现拟对其进行一项题为“多媒体教学对初一学生英语阅读成绩影响的研究”的真实验．．．;请问：1最好选用哪种实验设计写出其名称和格式为什么2如何产生实验班和控制班3这样设计有何优缺点一、单项选择题：1～45小题,每小题2分,共90分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合试题要求;1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．D 12．B 13．C 14．B 15．B 16．D 17．C 18．B 19．A 20．C 21．B 22．D 23．A 24．B 25．B 26．A 27．A 28．C 29．A 30．B 31．D 32．B 33．A 34．C 35．D 36．D 37．D 38．B 39．C 40．B 41．D 42．A 43．D 44．C 45．C 二、辨析题：46～48小题,每小题15分,共45分;首先判断正误,然后阐明理由;请将答案写在答题．．纸．指定位置上;46．答案要点：正确;3分德育是全面发展教育目的或任务的一个重要组成部分,学校应围绕这一目的或任务开展管理、教学、服务等工作;4分教学是学校教育的核心工作,是实施德育的基本途径;教学不仅承担着传授知识和技能、发展能力的任务,还承担着促进学生道德发展的任务;4分教学必须遵循教育性原则,在教学目标的确定、教学内容的组织、教学的实施过程中都要重视学生道德品质的培养;4分47．答案要点：错误;3分劝学中这段话阐明了持久的学习和教育对人有完善的作用,也蕴含了学生必须向老师学习求教的思想,但推导不出在师生关系问题上不惟师说的结论,荀况也并无不惟师说的思想;5分荀况认为,教师与天、地、君、亲处在并列的地位,关系到国家的治理；教师是礼义的化身,人的完善没有比向老师学习更为有效的办法;因此强调学生必须服从教师,“师云亦云”,否则就是背叛;据此提出尊师,并以是否尊师为国48．答案要点：错误;3分尽管经典条件反射和操作条件反射都属于行为主义者解释学习发生的基本现象,但两者的建立过程则完全相对;2分在建立巴甫洛夫的经典条件反射的过程中,无条件刺激如食物有时又称为强化刺激,往往需伴随着条件刺激如铃声而出现,或与其同时出现；5分在建立斯金纳的操作条件反射中,强化刺激如食物则需伴随着反应出现;5分三、简答题：49～53小题,每小题15分,共75分;49．答案要点： 1课程与教学的具体目标和内容;3分 2学生的需要与特点;3分 3教师的教学经验;3分 4现代教育技术等教学条件;3分 5教学的其他实际需要和特点;3分评分说明若有其他合理答案,可酌情给分;50．答案要点： 1进行教育教学活动,开展教育教学改革和实验; 2从事科学研究、学术交流,参加专业的学术团体,在学术活动中充分发表意见; 3指导学生的学习和发展,评定学生的品行和学业成绩; 4按时获取工资报酬,享受国家规定的福利待遇以及寒暑假期的带薪休假; 5对学校教育教学、管理工作和教育行政部门的工作提出意见和建议,通过教职工代表大会或者其他形式,参与学校的民主管理; 6参加进修或者其他方式的培训;51．答案要点：1“活教育”的目的论：“做人,做中国人,做现代中国人”;5分2“活教育”的课程论：“大自然、大社会都是活教材”;5分3“活教育”的教学论：“做中教,做中学,做中求进步”;5分52．答案要点： 1自我效能感的含义：个体对自己是否具有通过努力成功地完成某种任务能力的判断和信念;3分 2自我效能感的提高措施：①获得成功经验：个体在成败上的直接体验是对自我效能感影响最大的因素,成功的经验会提高人的自我效能感;因此,教授学习策略与方法,使个体获得直接成功的体验,可提高自我效能感;②获得替代经验：个体通过观察示范者的行为而获得的间接经验对自我效能感的形成也具有重要影响,当个体看到与自己水平相当的示范者取得了成功,就会增强自我效能感;因此,观察与自己水平相当的人获得成功的经验,可提高自我效能感; ③言语说服：重要他人对个体能力给予的积极评价,可提高个体的自我效能感; ④情绪的唤起：情绪和生理状态也影响自我效能感的形成,高度的情绪唤起和紧张的生理状态会妨碍行为操作,降低成功的预期水准;因此,创设宽松的氛围,降低焦虑水平,可提高自我效能感; ⑤合理的归因：鼓励个体对成败进行合理归因,也就是将成功归因于个体的能力,而对失败进行努力或运气等的归因,可提高自我效能感;53．答案要点： 1教育研究的内容主要涉及学生、教师、学生家长和其他人的一些行为、思维等方面,有些研究可能会对他们的生活、身心和权利产生消极影响;因此,研究者应当遵守针对研究对象的伦理原则;6分 2基本内容：①尊重被研究者和参与研究者的权利,如知情权、保密权等;3分②避免给被研究者和参与研究者不适当的压力和负担;3分③避免或消除不良后果;3分评分说明若有其他合理答案,可酌情给分;四、分析论述题：54～56小题,每小题30分,共90分;54．答案要点： 1材料阐述的是“教育适应生活说”的教育目的观;4分2“教育适应生活说”针对的是“教育准备生活说”的教育目的观;后者主张,教育建立在儿童未来生活的实际需要基础上,为儿童未来完满生活作准备;前者批评这种观点错误地以准备未来作为儿童当下学习的主要动力,主张教育是生活的过程,学校教育应以现在为目的,使儿童主动参与和适应现实的社会生活;8分3“教育适应生活说”的合理之处在于,将生活看成是一个连续的过程,避免把人生机械地分为准备阶段和生活阶段,关注儿童当下的社会生活,引导儿童通过主动参与现实的社会生活来为未来的生活作准备;但是,该理论也存在一定的局限性,按照这种教育目的观进行的教育改革尝试,曾经导致儿童习得的经验缺乏广度、深度和系统性,不足以应对未来的社会生活;8分 4结合学校教育脱离生活的现象,以及当前我国学校教育改革等,论述教育目的的确立要兼顾儿童当下和未来的生活的观点;10分55．答案要点： 1赫尔巴特的兴趣观：赫尔巴特认为,兴趣是一种将思维的对象保留在意识中的内心力量,是一种智力活动的特性,并具有道德的力量;他把人类所具有的多方面兴趣分为两大类：经验类的兴趣和同情类的兴趣；把兴趣活动分为四个阶段：注意、期待、探求和行动;8 分 2兴趣观在其教育理论体系中的作用：①培养儿童具有多方面的兴趣是赫尔巴特为教学所确立的直接的、近期的目的,教学又是实现道德教育目的的基本手段;6 分②兴趣观是赫尔巴特设置课程的基本依据之一;课程内容的选择和编制应该与儿童的兴趣相一致,根据经验类的兴趣设置自然、物理、化学、地理、数学、逻辑学、绘画等课程；根据同情类的兴趣设置外国语、本国语、历史、政治、法律、神学等课程;8 分③兴趣观是赫尔巴特确立教学形式阶段的重要依据;兴趣以不同的形式贯穿于教学进程之中：在教学的明了阶段,学生的兴趣表现为注意；在教学的联合阶段,学生的兴趣表现为获得新观念前的期待；在教学的系统阶段,学生的兴趣表现为探求；在教学的方法阶段,学生的兴趣表现为行动;8 分56． I．答案要点： 1影响因素：①概念的性质：先前概念的不合理性；新概念的可理解性；新概念的合理性；新概念的有效性;8 分②学生的特性：学生的先前知识经验；学生的认知监控能力；学生的动机和态度;6 分 2教学策略：①创设开放和安全的课堂气氛;4 分②洞察和揭示学生的原有观念;4 分③引发新旧经验的认知冲突;4 分④鼓励相互讨论以解决冲突;4 分;II．答案要点： 1最好选用“随机分派控制组后测实验设计”,3 分其格式为：或3 分 21 OO X R ' YY X R理由：这100 名学生在小学里均未学过英语,无法进行前测；根据题意只能用真实验设计, 而不能用前实验设计和准实验设计;4 分 2可以采用等组法中的“随机分派”方式,将100 名学生分成品质均等的两个班；6 分以抽签的方式决定实验班和控制班;4 分3优点：由于进行了等组化处理,且不存在前测对后测的影响,同时这种实验能系统操纵自变量并有效控制无关变量,所以内在效度较高；不进行前测,也适合学生的实际情况;6分缺点：个别学生有可能自学过英语,由于没有前测,这一情况带来的差异不易发现;4分。