【师说】2017届高三物理一轮总复习 第9章《电磁感应》3.2 电磁感应规律的综合应用(二)(动力学和能量)

2．模型分类及特点 (1)单杆水平式 物理 模型 F 设运动过程中某时刻棒的速度为 v，加速度为 a＝ － m B2L2v ，a、v 同向，随 v 的增加，a 减小，当 a＝0 时，v 最 mR BLv 大，I＝ 恒定 R 运动形式 匀速直线运动 力学特征 a＝0 v 恒定不变 电学特征 I 恒定
【解析】 (1)细线烧断之前，对整体分析有 F＝3mg① 设细线烧断后任意时刻 MN 的速度为 v，M′N′的速度为 v′， MN 的加速度为 a，M′N′的加速度为 a′，由牛顿第二定律知 F－mg－F安 2mg－F安′ a＝ ② a′＝ ③ m 2m 由于任意时刻两导体棒受到的安培力大小相等，即 F 安＝F 安′ a 2 代入②③式可得任意时刻的加速度之比 ＝ ④ a′ 1 v 2 因两杆初速度均为 0，故任意时刻两杆速度之比 ＝ ⑤ v′ 1
变式训练 2 如图所示， 两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 θ ＝30° 的斜面上，导轨电阻不计，间距 L＝0.4 m．导轨所在空间被分成 区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为 MN，Ⅰ中的匀强磁场方 向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感 应强度大小均为 B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量 m1＝0.1 kg，电阻 R1 ＝0.1 Ω 的金属条 ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中 将质量 m2＝0.4 kg，电阻 R2＝0.1 Ω 的光滑导体棒 cd 置于导轨上，由 静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd 始 终与导轨垂直且两端与轨道保持良好接触，g 取 10 m/s2.问
(2)两杆速度达到最大值时 a＝a′＝0⑥ 由安培力公式知 F 安＝BIl⑦ Blv＋Blv′ 由闭合电路欧姆定律知 I＝ ⑧ R 4mgR 2mgR 由①②⑤⑦⑧式解得 v＝ 2 2 ，v′＝ 2 2 3B l 3B l 4mgR 【答案】 (1)2∶1 (2)MN 的最大速度为 2 2 ，M′N′的最大 3B l 2mgR 速度为 2 2 3B l
收尾 状态
[典例] 如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导 轨间距为 L，长为 3d，导轨平面与水平面的夹角为 θ，在导轨的中部 刷有一段长为 d 的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方 向与导轨平面垂直．质量为 m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在 滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始 终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为 R，其 他部分的电阻均不计，重力加速度为 g.求： (1)导体棒与涂层间的动摩擦因数 μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小 v； (3)整个运动过程中，电阻产生的 焦耳热 Q.
2．分析电磁感应中能量问题的基本步骤 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和 方向． (2)画出等效电路，搞清电路结构，确定电流，写出回路中电阻消 耗电功率的表达式． (3)分析导体受力及各力做功情况，用动能定理或能量守恒定律， 得到所满足的方程．
[例 2] 如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面 内，导轨间距 l＝0.5 m，左端接有阻值 R＝0.3 Ω 的电阻．一质量 m＝ 0.1 kg， 电阻 r＝0.1 Ω 的金属棒 MN 放置在导轨上， 整个装置置于竖直 向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度 B＝0.4 T．棒在水平向右的外 力作用下，由静止开始以 a＝2 m/s2 的加速度做匀加速运动，当棒的位 移 x＝9 m 时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力 前后回路中产生的焦耳热之比 Q1Q2＝21.导轨足够长且电阻不计， 棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．求： (1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻 R 的电荷量 q； (2)撤去外力后回路中产生的焦耳热 Q2； (3)外力做的功 WF.
变式训练 1 如图所示， ab 和 cd 是两条竖直放置的长直光滑金属 导轨，MN 和 M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为 m 和 2 m．竖直向上的外力 F 作用在杆 MN 上，使两杆水平静止，并刚 好与导轨接触；两杆的总电阻为 R，导轨间距为 l.整个装置处在磁感 应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直．导轨电阻 可忽略，重力加速度为 g.在 t＝0 时刻将细线烧断，保持 F 不变，金属 杆和导轨始终接触良好．求： (1)细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比； (2)两杆分别达到的最大速度．
[要点回顾] 知识点一 电磁感应中的动力学问题 1．安培力的大小： 安培力公式：FA＝BIl B2l2v 感应电动势：E＝Blv ⇒FA＝ R E 感应电流：I＝ R
2．安培力的方向： (1)用左手定则判断：先用右手定则判断感应电流的方向，再用左 手定则判定安培力的方向． (2)用楞次定律判断：安培力的方向一定与导体切割磁感线的运动 方向相反(选填“相同”或“相反”)． 3．安培力参与物体的运动：导体棒(或线框)在安培力和其他力的 作用下，可以做加速运动、减速运动、匀速运动、静止或做其他类型 的运动，可应用动能定理、牛顿运动定律等规律解题．
cd 棒下滑后，分析导体棒 ab 的受力如图所示，ab 刚要上滑时， ab 所受最大静摩擦力沿斜面向下，则 F 安＝Ffm＋m1gsinθ 又 F 安＝ILB cd 棒切割磁感线产生的感应电动势 E＝BLv E 由闭合电路的欧姆定律得 I＝ R 1＋ R 2 m1gR1＋R2 由以上各式得 v＝ ＝5 m/s B2L2
2．解决电磁感应中力学问题的基本步骤 (1)明确研究对象和物理过程，即研究哪段导体在哪一过程切割磁 感线． (2)根据导体运动状态，应用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感 应电动势的大小和方向． (3)画出等效电路图，应用闭合电路欧姆定律求回路中的感应电 流． (4)分析研究导体受力情况，要特别注意安培力方向的确定． (5)列出动力学方程或平衡方程求解． ①导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态． 处理方法：根据平衡条件——合外力等于零，列式分析． ②导体处于非平衡状态——加速度不为零． 处理方法： 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
[解析] (1)设棒匀加速运动的时间为 Δt，回路的磁通量变化量为 ΔΦ － － ΔΦ ， 回路中的平均感应电动势为 E ， 由法拉第电磁感应定律得 E ＝ Δt ① 其中 ΔΦ＝Blx② － E － － 设回路中的平均电流为 I ，由闭合电路欧姆定律得 I ＝ ③ R＋ r 则通过电阻 R 的电荷量 q＝－ I Δ t④ 联立①②③④式，代入数据得 q＝4.5 C⑤
Q I2R1t (3)设 cd 产生的热量为 Q′，则 ＝ 2 ＝1 Q′ I R2t 1 2 根据动能定理得 m2gxsinθ－(Q＋Q′)＝ m2v 2 代入已知数据得 Q＝Q′＝1.3 J 【答案】 (1)从 a 到 b (2)5 m/s (3)＋导轨”模型 1．模型构建 “杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也 是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空 间大，是我们复习中的难点．“杆＋导轨”模型又分为“单杆”型和 “双杆”型(“单杆”型为重点)；导轨放置方式可分为水平、竖直和 倾斜；杆的运动状态可分为匀速、匀变速、非匀变速运动等．
[例 1] 如图所示，质量为 M 的导体棒 ab，垂直放在相距为 l 的 平行光滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为 θ，并处于磁感应 强度大小为 B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，左侧是水平 放置、间距为 d 的平行金属板．R 和 Rx 分别表示定值电阻和滑动变阻 器的阻值，不计其他电阻．
[思维诊断] (1)在有安培力的作用下，导体棒不可能做加速运动．( × ) (2)电磁感应中求焦耳热时， 用公式 Q＝I2Rt 均能直接求解． (× ) (3)电磁感应现象中，电路中的电能增加时，外力一定克服安培力 做功．( √ )
考点一 电磁感应中的动力学问题 1.电磁感应综合问题的两大研究对象及其关系 电磁感应中导体棒既可视为电学对象(因为它相当于电源)，又可 视为力学对象(因为感应电流的存在而受到安培力)， 而感应电流 I 和导 体棒的速度 v 则是联系这两大对象的纽带．
考点二 电磁感应中的能量问题 1.安培力做功及对应的能量转化关系 (1)电动机模型：如图甲所示，回路通电后导体棒中存在电流，受 到安培力的作用而向右运动．通过安培力做功，电能转化为导体棒的 机械能．
(2)发电机模型： 如图乙所示， 导体棒因向右运动而产生感应电流， 受到安培力的阻碍作用．通过克服安培力做功，机械能转化为回路的 电能． 综上所述，安培力做功是电能和其他形式的能之间相互转化的桥 梁，如图所示．
动态 分析
收尾 状态
(2)单杆倾斜式 物理 模型 动态 分析 棒释放后下滑， 此时 a＝gsinα， 速度 v↑―→E＝BLv↑―→I E ＝ ↑―→F＝BIL↑―→a↓，当安培力 F＝mgsinα 时，a R ＝0，v 最大 运动形式 匀速直线运动 mgRsinα 力学特征 a＝0 v 最大 vm＝ 2 2 BL 电学特征 I 恒定
(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 将要向上滑动时，cd 的速度 v 多大； (3)从 cd 开始下滑到 ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离 x ＝3.8 m，此过程中 ab 上产生的热量 Q 是多少．
【解析】 (1)cd 下滑，根据右手定则判断，c 端电势高于 d 端， ab 中电流方向从 a 到 b. (2)ab 刚放上时，刚好不下滑，说明 ab 棒受到了最大静摩擦力 Ffm 作用，且 Ffm＝m1gsinθ
(1)调节 Rx＝R，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒 的电流 I 及棒的速率 v. (2)改变 Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为 m，带电量为 ＋q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的 Rx.
[解析] (1)当 Rx＝R，棒沿导轨匀速下滑时，由法拉第电磁感应 E Blv 定律得 E＝ Blv 电流 I＝ ＝ 导体棒所受安培力 F＝ BIl＝ 2R 2R B2l2v 2MgRsinθ 由平衡条件得 Mgsinθ＝F 解得 v＝ 2R B2l2 U (2)微粒水平射入金属板间，能匀速通过，由平衡条件得 mg＝q d 棒沿导轨匀速运动，由平衡条件得 Mgsinθ＝BI1l mldB 金属板间电压 U＝I1Rx 解得 Rx＝ Mqsinθ Blv 2MgRsinθ mldB [答案] (1) ； (2) 22 2R Bl Mqsinθ