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1．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为A．B．C．D．2．球的体积是32π3，则此球的表面积是A．12πB．16πC．16π3D．64π33．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3πB．4πC．2π+4D．3π+44．将边长为2的正沿高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是A．B．C．D．5．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．6．如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，，其中分别为的中点，则三棱锥的体积为A ．33 B ．34 C ．36D ．3127．将一铜球放入底面半径为16 cm 的圆柱玻璃容器中，水面升高9 cm ，则这个铜球的半径为________ cm. 8．正六棱柱的高为5 cm ，最长的对角线为13 cm ，则它的侧面积为__________．9．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图(单位：寸)如图所示，若取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的为__________.11．若A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为A．6πB．C．12πD．12．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是A．2 B．5 2C．3 D．7 213．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为A ．B ．C ．D ．14．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．3500πcm 3B ．3866πcm 3C ．31372πcm 3 D ．32048πcm 315．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．B ．C ．D ．16．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A ．B ．2C ．4D ．617．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=18．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π19．（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．820．（2018新课标全国Ⅲ理科）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183 C ．243D ．54321．（2017新课标全国Ⅱ理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π22．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ．3π4 C ．π2D ．π423．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12π+B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 24．（2016新课标全国Ⅰ理科）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π25．（2016山东理科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．12+π33B ．12+π33C ．12+π36D ．21+π626．（2016四川理科）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .27．（2016浙江理科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.28．（2017山东理科）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.29．（2017天津理科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．30．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是.31．（2018江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．32．（2018天津理科）已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .33．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．。
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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．已知集合，则 A ．[-2，-1]
B ．[-1，2)
C ．[-1，1]
D ．[1，2)
【答案】
A
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2．“”是“2y x x y
+≥”的 A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】当时，由基本不等式知2y x x y +≥成立；但2y x x y +≥
时，只需要,
不能推出
.所以是充分而不必要条件.选A.
3．若
，则下列结论一定成立的是 A ．
B ．
C ．
D ．。
专题12 空间几何体的体积与表面积【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6π B ．6π C ．6πD 6π【答案】D【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==Q △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，则22226R =++=62R =34466π633V R ∴=π==π. 故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==， ABC Q △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=，又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==， 在AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D \为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x∠==， 2243142x x x x +-+∴=，22122122x x x ∴+=∴==，，， 2PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=6R ∴=， 34466633V R ∴=π==π. 故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．【母题来源二】【2017年高考全国Ⅰ卷理数】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .【答案】15【解析】如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则133OG x =36x =. ∴35FG SG x ==， 2222333555663SO h SG GO x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴三棱锥的体积2451133153555333123△ABC V S h x x x x ⎛⎫=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设()4535n x x x =，x >0，则()345320n x x x '=， 令()0n x '=，即43403x -=，得43x = 易知()n x 在43x =∴max 15485441512V =-=【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.【命题意图】通过考查几何体的表面积和体积等相关知识，考查数形结合思想和运算求解能力.【命题规律】本部分是高考考查的重点内容，主要考查空间几何体的表面积与体积的计算，同时还考查距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，能用转化与化归的思想解题.【方法总结】1.求解几何体的表面积或体积的方法：（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.（4）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．2．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． 3．构造法在定几何体外接球球心中的应用 常见的构造条件及构造方法有：（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； （4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 4．性质法在定几何体外接球球心中的应用立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 5．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a ，球的半径为R . ①对于正方体的外接球，2R 3a ； ②对于正方体的内切球，2R ＝a ；③对于球与正方体的各棱相切，2R 2a .（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，球的半径为R ，则2222R a b c =++（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3π4+B ．9π42+ C ．4π2+D ．11π42+【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱， 其底面半径为1，高为2， 故其表面积2339π2π12π122214442S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+. 故选B ．【名师点睛】本题考查圆柱的表面积，简单几何体的三视图，难度不大．2．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是A ．2π3B ．3π2C ．3πD ．3π【答案】B【解析】根据几何体的三视图，可知该几何体是由一个正方体切去右下角得到的． 故该几何体的外接球为正方体的外接球，所以球的半径222111322r ++==，则该几何体的外接球的体积是3433ππ322V ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选B ．【名师点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球，主要考查空间想象能力和运算求解能力.3．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学】已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π48+，则r =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V ， 所以21111π9433424π48,4332V r r r r r =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 解得2r =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了通过三视图识别组合体的形状，并根据体积求参数问题，考查了空间想象能力和数学运算能力.4．【江西省九江市2019届高三第二次高考模拟统一考试】已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为 A ．23 B ．49 C ．269D ．827【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆， 所以3r =， S 球的表面积=22234π4π4π33r R R ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 圆锥的表面积S 22π2π3πR R R R =⋅+=，所以球与圆锥的表面积之比为224π433π9RR =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题．5．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,4,5,BCD AB AD ==2BC CD ==A BCD -的外接球的表面积是A ．25πB ．20πC ．5πD 5π【答案】B【解析】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥， 又4,5AB AD ==2BD =， 又2BC CD ==222BD CD BC =+，所以BC CD ⊥.由此可得三棱锥A BCD -是长方体中的一个几何体，如下图：长方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球， 则长方体的体对角线长就是外接球的直径， 设外接球的半径为R ， 则2222(2)(2)420R =++=可得三棱锥A BCD -的外接球的表面积是：24π20πS R ==. 故选B.【名师点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将几何体还原到长方体中是解题的关键，考查了学生的思考能力和空间想象能力，属于中档题.6．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试】如图，在棱长为1的正方体1111 ABCD A B C D -中，M 为CD 中点，则四面体1A BC M -的体积为A ．12 B ．14 C ．16D ．112【答案】C【解析】M Q 为CD 中点，1122△AMB ABCD S S ∴==Y ， 又1CC ⊥平面ABCD ，1111136△A BC M C ABM ABM V V S CC --∴==⋅=.故选C.【名师点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，利用等体积法即可求解.7．【河北省示范性高中2019届高三下学期4月联考数学】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取π3=） A ．704立方尺 B ．2112立方尺 C ．2115立方尺D ．2118立方尺【答案】B【解析】设圆柱体底面圆的半径为r ，高为h ，周长为C . 因为2πC r =，所以2πCr =， 所以222224811ππ4π4π12C C h V r h h ⨯==⨯⨯==2112=（立方尺）.故选B.【名师点睛】本题以数学文化为背景考查圆柱体的体积计算，属于一般题.8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考】已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，2AB =AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 A 3B 2πC ．2πD ．3π【答案】D【解析】根据题意，AC 为截面圆的直径，3AC =设球心到平面ABC 的距离为d ，球的半径为R ，1,2PA PB AB ===Q PA PB ∴⊥，Q 平面PAB ⊥平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为22， 由勾股定理可得22222312222R d d 骣骣骣琪琪琪=+=+-琪琪琪桫桫桫，230,4d R \==， ∴球的表面积为24π3πR =故选D.【名师点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，考查数学转化思想方法，构造直角三角形求出外接球的半径是解题的关键.9．【山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测数学】如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为棱AA 1上任意一点，则四棱锥P −BDD 1B 1的体积为__________．【答案】13【解析】连结AC 交BD 于O 点，则有AO ⊥平面BDD 1B 1，所以，AO 就是点P 到平面BDD 1B 1的距离，即高ℎ=AO =√22， 又矩形BDD 1B 1的面积为S =√2，所以，四棱锥P −BDD 1B 1的体积为V ＝1212323=. 故答案为13. 【名师点睛】本题求解的关键是先证明AO ⊥平面BDD 1B 1，进而得到AO 就是点P 到平面BDD 1B 1的距离，然后根据体积公式求出体积.10．【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）】在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1是一个“堑堵”，其中AB =BC =BB 1=2，点M 是A 1C 1的中点，则四棱锥M −B 1C 1CB 的外接球的表面积为__________．【答案】8π【解析】由题意得四边形B 1C 1CB 为正方形，设其中心为O ，取B 1C 1中点N ，则ON ⊥MN ，∵ON =1，MN =1，∴OM =√2=OB =OC =OB 1=OC 1，即O 为四棱锥M −B 1C 1CB 的外接球球心，且球的半径为√2， 则球的表面积为24π2)8π=.故答案为8π.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为__________. 1033【解析】由24πS R =得2100π4πR =5R ⇒=，设球心到圆柱底面的距离为d ，圆柱的底面半径为r ，如图，则222225r R d d =-=-，∴圆柱的体积()()223π22π252π50πV d r d d d d d =⋅=-=-+，()26π50πV d d '=-+，令()0V d '=，则533d =， 故当533d =时，圆柱的体积()V d 最大， 则圆柱的高为10323d =. 1033【名师点睛】本题考查圆柱的外接球问题，关键是能够构造圆柱的底面半径与球的半径、球心到底面的距离之间的函数关系式，再利用导数知识求解最值.12．【2019年湖北省武汉市高考数学（5月份）模拟数学】已知四面体ABCD 中，AB AD BC DC===5,8BD AC ===，则四面体ABCD 的体积为__________. 【答案】113【解析】如图，取BD 中点O ，AC 中点E ，连接,,AO CO OE ，∵四面体ABCD 中，5,8AB AD BC DC BD AC ======，∴AO BD ⊥，CO BD ⊥，25532542AO CO ==-=， ∵AO CO O =I ，∴BD ⊥平面AOC ，又OE AC ⊥， ∴175********△AOC S =⨯-= 则15101122211323A BCD B AOC V V --==⨯⨯⨯=. 1011．【名师点睛】三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.有时还需把复杂几何体分割成若干简单几何体便于体积的计算或体积的找寻，这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底面的面积的比值为定值．13．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设等边三角形ABC 的中心为O ，连接PF ，CF ，OP .由6AB =，得223,33AO BO CO CF OF ===== PAB Q △是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24π348π⨯=.故答案为48π. 【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用22224R a b c =++（,,a b c 为三条棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC △外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 14．【山东省威海市2019届高三二模考试数学】在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2A ABC A ∠=︒=，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________．【答案】16π【解析】如图，在Rt △ABC 中，设,AB c BC a ==，则22AC a c =+．分别取11,A C AC 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt △A B C 和Rt △ABC 外接圆的圆心，连接12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连接OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，∴1()1132O ABC ac V -=⨯⨯=， ∴6ac =． 在2Rt △OO A 中， 2222222212()()11224O O AC a c a c R ++=+=+=+，∴22224π4π(1)4π(1)16π44球表面积a c acS R+==+≥+=，当且仅当a c=时等号成立，∴球O表面积的最小值为16π．故答案为16π．【名师点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．。
专题04 立体几何1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．3244．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．9．【2019年高考北京卷文数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．10．【2019若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.11．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .12．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．13．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C 的体积．14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 15．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．16．【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.17．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．18．【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.19．【云南省昆明市2019届高三高考5月模拟数学试题】已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A ．l β∥或l β⊄ B ．//l m C ．m α⊥D ．l m ⊥20．【陕西省2019届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A B ．34C ．4D ．5421．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13 B ．23C ．34D ．122．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．23．【河南省洛阳市2019年高三第三次统一考试（5月）数学试题】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ， 60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ===，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ； （2）求多面体1A E ABCD -的体积.。
暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱“专题04立体几何1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的幂势既同，则积不容异”称为祖=体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158C．182B．162D．3244．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱V A上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A B C D挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H 1111分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【 E 12． 2019 年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱 ABCD –A 1B 1C 1D 1 的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，9．【2019 年高考北京卷文数】已知 l ，m 是平面 α 外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥ α ；③l ⊥ α ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．10．【2019 年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 __________.11． 2019 年高考江苏卷】如图，长方体 ABCD - A B C D 的体积是 120， 为 CC 的中点，则三棱锥 E −BCD1 1 1 11的体积是 ▲ .【E ，M ，N 分别是 BC ，BB 1，A 1D 的中点.A（1）证明：MN ∥平面 C 1DE ；（2）求点 C 到平面 C 1DE 的距离．13．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体 ABCD – 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面 EB 1C 1；（2）若 AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥 EBB 1C 1C的体积．14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，△Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.15．【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E 为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面P AB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．16．【2019 年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面 PAC ⊥ 平面 PCD ， P A ⊥ CD , C D = 2, AD = 3 .（1）设 G ，H 分别为 PB ，AC 的中点，求证： G H ∥平面 P AD ；（2）求证： P A ⊥ 平面 PCD ；（3）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.17．【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面 DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．18．【2019 年高考浙江卷】如图，已知三棱柱 ABC - A B C ，平面 A ACC ⊥ 平面 ABC , ∠ABC = 90︒ ，1 1 1 11∠BAC = 30︒, A A = AC = AC, E, F 分别是 AC ，A B 的中点.【1 11 1（1）证明： EF ⊥ BC ；（2）求直线 EF 与平面 A 1BC 所成角的余弦值.19．云南省昆明市 2019 届高三高考 5 月模拟数学试题】已知直线 l ⊥ 平面 α ，直线 m ∥平面 β ，若 α ⊥ β ，A ．B ． 2【 1则下列结论正确的是A ． l ∥β 或 l ⊄ βC ． m ⊥ αB ． l // mD ． l ⊥ m20．【陕西省 2019 届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱 ABC - A B C 的侧棱与底面边长都相等，1 1 1A 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 所成的角的余弦值为1 1A ．34B ．345C ．D ．45 421．【四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2 的正方形 ABCD 中， E , F 分别是 BC , C D 的中点，现在沿 AE , AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 B, C , D 三点重合，重合后的点记为 P ，则四面体 P - AEF 的高为13 3C ．3 4D ．122． 广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学试题】在三棱锥 P - ABC 中，平面 P AB ⊥平面 ABC ，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，△PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．23．【河南省洛阳市 2019 年高三第三次统一考试（5 月）数学试题】在四棱柱 ABCD - A B C D 中，四边1 1 1 1形 ABCD 是平行四边形，A A ⊥平面 ABCD ， ∠BAD = 60︒ ，AB = 2, BC = 1, AA 1 = 6 ，E 为 A 1B 1中点.1（1）求证：平面 A 1BD ⊥ 平面 A 1AD ；（2）求多面体 A E - ABCD 的体积.。
2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）2．距离(选学)一、选择题1．已知a ⊂α ，A ∉α ，点A 到平面α 的距离为m ，点A 到直线a 的距离为n ，则( ) (A )m ≥n (B )m ＞n(C )m ≤n(D )m ＜n3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( ) (A )2 (B )－2(C )－2或552 (D )2或552-4．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1(C )7(D )－7第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（理科）空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ．6． 已知直线12l l ，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)a b k =-=-，，若12l l ⊥，则实数k = ▲ ．7．设点)2,1,12(++a a C 在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(--B A P 确定的平面上，则a 的值为 。
8．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2π，AD=3，EF=2.（1）求证： AE∥平面DCF ； （2）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3π。
9．已知△ABC 的三个顶点(3,3,2)A ，(4,3,7)B -，(0,5,1)C ，则BC 边上的中线长等于 ▲ ．10．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是BCDEFAB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是______．三、解答题11．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的余弦值；(3)求点C到平面A1BD的距离．12．已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是直角梯形，,90,AD BC ABC PA∠=⊥∥平面ABCD,2,AB BC AD==若平面PCD与平面PAB所成二面角的余弦值为3，求PAAD的值。
专题09空间几何体的体积与表面积【母题来源一】【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC ⨯⋅⋅=⨯=. 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【母题来源二】【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，，所以该多面体的体积为2142133⨯⨯⨯=. 【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．【母题来源三】【2017年高考江苏卷】如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是.【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．【命题意图】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，主要考查空间想象能力以及运算求解能力. 【命题规律】立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，主要以柱体、椎体、球、组合体为载体考查常见几何体的体积或表面积公式，考查的核心素养是直观想象和数学运算.提高空间想象能力，熟记柱体、椎体和球体的体积公式是求解此类问题的关键. 【方法总结】（一）求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． （2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解． ①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用． （二）球的表面积和体积的求解策略：（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.熟记球的表面积公式为24πR ，体积公式为34π3R . （2）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（3）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =（4）常见结论：①若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是2；与正方体所有棱相切的球的半径是2a ．②若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h③若正四面体的棱长为a ，则正四面体的内切球半径是12a ；正四面体的外接球半径是4a ；与正四面体所有棱相切的球的半径是4a ． ④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． ⑤球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．1．【江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试数学试题】四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，PA =E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 的体积为______.【解析】∵底面ABCD 是矩形，E 在CD 上， ∴S △ABE 112322AB AD =⋅=⨯⨯=3． ∵PA ⊥底面ABCD ，∴V E −PAB ＝V P −ABE 11333△ABE S PA =⋅=⨯=【名师点睛】本题考查了棱锥的体积计算，线面位置关系，熟记等体积转化，准确计算是关键，属于基础题．由PA ⊥平面ABCD 可得V E −PAB ＝V P −ABE 13△ABE S PA =⋅，求解即可. 2．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_______.【答案】π3【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形， 所以圆锥的母线3l =，圆锥的底面的周长为2π332π⨯=，因此圆锥底面的半径1r =，根据勾股定理，可知圆锥的高h ==所以圆锥的体积为21π13⋅⨯=. 【名师点睛】本题考查了求圆锥的体积问题，解题的关键是熟知圆锥侧面展开图与圆锥之间的关系.求解时，通过展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，可以求出圆锥的母线、圆锥的底面周长及半径，这样可以求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出圆锥的体积.3．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S_______.【答案】4【解析】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r=，所以212π24πr S r r =⨯=，所以214S S =，故填4【名师点睛】本题考查圆柱、圆锥侧面积的计算，属于基础题.求解时，设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r，分别计算圆柱和圆锥的侧面积可得它们的比值.4．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为_______.，4π2πr ∴=，即圆锥的底面半径为：2r =，∴圆锥的高为：h =∴【名师点睛】本题考查圆锥侧面积、体积的相关问题的求解，属于基础题.求解时，由半圆弧长可求得圆锥的底面半径，从而得到圆锥的高，代入圆锥体积公式求得结果.5．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】某长方体的长、宽、高分别为2cm ，2cm ，4cm ，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.【解析】因为长方体的长、宽、高分别为2cm ，2cm ，4cm ， 所以长方体的体积为3224=16(cm )长方体V =⨯⨯，其外接球直径为2R =，故R =【名师点睛】本题主要考查长方体的体积及其外接球的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.求解时，根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比.6．【江苏省苏州市2019届高三5月高考信息卷数学试题】圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3=V V V +球水柱4r =． 【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和等于柱体的体积，求解即可．7．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为________．【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ， 因为圆柱与圆锥的侧面积相等，所以12π2π2R R R L ⨯=⨯⨯，解得：L ＝2R ，所以圆锥的高为2h ，所以圆锥与圆柱的高之比为R=.【名师点睛】本题考查了圆柱与圆锥侧面积的求法，属于基础题.求解时，设圆柱和圆锥的底面半径为R ，圆锥的母线长为L ，由圆柱与圆锥侧面积相等得L ＝2R R ，即可求出结果. 8．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为_______.【答案】3【解析】由题意可知：60PAO ∠=o ，2PA =，sin 60PO PA o ∴==cos601AO PA o ==，cos 45AOAB o∴==，11233ABCD V S PO Y ∴=⋅=⨯=.本题正确结果为3.【名师点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是利用侧棱与底面的夹角，求得几何体的高和底面边长，属于基础题.求解时，根据侧棱长和侧棱与底面夹角求得高和底面边长，利用体积公式求得结果. 9．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为_______cm 3． 【答案】7π3【解析】依据题意，作出如下直角梯形：将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和.其中圆柱的底面半径为=1BC ，高为=2CD ，圆锥的半径为=1DE BC =，高为=1AE . 由此可知：2217ππ12π1133圆柱圆锥V V V =+=⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：7π3. 【名师点睛】本题主要考查了空间思维能力，还考查了锥体体积公式及圆柱体积公式，考查计算能力，属于基础题.求解时，由题可得：将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和，由锥体体积公式及圆柱体积公式计算得解.10．【江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题】设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，则球O 的表面积为_______m 2． 【答案】29π【解析】∵P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直， 则球的直径等于以PA ，PB ，PC 长为棱长的长方体的体对角线长. ∵PA = 2 m ，PB = 3 m ，PC = 4 m ，∴2R =则球O 的表面积S ＝4πR 2＝29π， 故答案为29π.【名师点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O 的半径，是解答本题的关键，是基础题.11．【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中数学模拟试题】如图，三棱锥A BCD -中，E 是AC的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______．【答案】10【解析】设△ABF 的面积为S ， ∵2AF FD =，∴△ABD 的面积为3S ．设点E 到平面ABD 的距离为d ，则点C 到平面ABD 的距离为2d ， 则有123A BEF E ABF V V Sd --===， ∴1(3)(2)123A BCD C ABD V V S d --==⋅⋅=， ∴四棱锥B ECDF -的体积为12210C ABD E ABF V V ---=-=．故答案为：10.【名师点睛】本题主要考查锥体体积的求法和转化思想方法的运用，同时也考查计算能力，属于中档题．解答本题的关键是由题意得到三棱锥A BEF -与三棱锥C ABD -的体积比，进而得到三棱锥C ABD -的体积，利用两个三棱锥的体积之差可得四棱锥B ECDF -的体积．12．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =3，AA 1=2，P ，M 分别为BD 1，B 1C 1上的点．若112BP PD =，则三棱锥M -PBC 的体积为_______． 【答案】1【解析】由题意可知原图如下：111132322△四边形MBC BC CB S S ==⨯⨯=， 又112BP PD =，即113BP D B =， P ∴到面MBC 的距离h 等于1D 到面MBC 的距离13，即11113133h D C ==⨯=， 1131133△M PBC P MBC MBC V V S h --∴==⋅=⨯⨯=.本题正确结果为1.【名师点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求解的底面积和高.三棱锥M PBC -体积与三棱锥P MBC -的体积一样，M 为11B C 上动点，可知△MBC 面积为侧面11BCC B 面积的一半；P 到面MBC 的距离等于1D 到面MBC 的距离的13，由此可根据三棱锥体积公式求得体积.13．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中质量抽测数学试题】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BDD B -的体积为_______．【答案】13【解析】连接AC 交BD 于O 点，则有AO ⊥平面11BDD B ，所以AO 的长等于点P 到平面11BDD B 的距离，即高2h AO ==；又矩形11BDD B 的面积为S =所以四棱锥11P BDD B -的体积为V ＝132＝13. 【名师点睛】本题关键是先根据已知条件证明出AO ⊥平面11BDD B ，进而求出AO 就是点P 到平面11BDD B 的距离，这是本题解答的关键点，此类问题基本解题方法就是先求出高，然后再根据体积公式求出体积.14．【盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V =__________.【答案】23【解析】由题意得2V =V P −ABC =1132AB BC PA ⨯⨯⨯， 1V =V P −ACE = V P −ACD – V E −ACD = V P −ABC – V E −ACD =1132AB BC PA ⨯⨯⨯−111323AB BC PA ⨯⨯⨯=23V P −ABC =232V ， 即122:3V V =.【名师点睛】本题主要考查三棱锥的体积计算公式，首先需要注意椎体的体积公式V =13S 底h ，另外三棱锥是唯一一个在计算体积时可以换底的，另外遇到不好求的体积可用割补法进行.15．【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三）数学试题】如图所示的几何体是一个五面体，四边形ABCD 为矩形，4AB =，2BC =，且∥MN AB ，3MN =，△ADM 与BCN △都是正三角形，则此五面体的体积为_______．【答案】6【解析】如图，将五面体补全为直三棱柱ADE BCF -，因为4AB =，2BC =，且∥MN AB ，3MN =，△ADM 与△BCN 都是正三角形，所以NF BF ⊥，2BN =，12NF =，所以22221152()24BF CF ==-=，取BC 中点O ，则FO ==，所以12△BCF S BC FO =⋅=，故五面体的体积为：1124223226ADE BCF N BCF V V ---=-⨯⨯=.【名师点睛】不规则几何体体积的求法，关键是将几何体看作是多个规则几何体如柱、锥、台、球的组合体，利用割补法求解，注意运算的准确性.求解时，将五面体补全为直三棱柱ADE BCF -，根据五面体的几何特征，求三棱柱底面积，再用割补法求五面体体积.。
一．基础题组1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为___________，表面积为____________.【答案】【解析】【分析】还原三视图，其几何体为圆锥的一半，且底面向上放置，然后求出几何体的体积和表面积【详解】【点睛】本题考查了还原三视图，求几何体的体积和表面积，只需根据三视图还原后的几何体为三棱锥的一半，且底面向上放置，然后求出结果2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】已知△的顶点平面，点在平面同侧，且，若与所成角分别为，则线段长度的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：过作平面的垂线，垂足分别为，则可根据线面角得到的长，而的长度可以用的长度来表示，依据的范围可得到的范围．详解：如图，过过作平面的垂线，垂足分别为，则四边形为直角梯形．在平面内，过作交于．又，，，所以故．又，也即是，所以即，故选B．点睛：空间中线段长度的计算，应归结平面图形中的线段长度的计算，该平面图形的其他量可通过空间中的边角关系得到．3. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：从三视图看，原来的几何体是一个四棱锥，它按如图所示的形式放置．详解：几何体如图所示，其中为等腰直角三角形，平面平面，四边形为矩形且面积为，点到平面的距离为，故体积为，故选B．点睛：本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．4.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则【答案】C【解析】试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由可得,则,可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由可得，则有,故C正确，D错误.5. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3为______，表面积（单位：cm2）为_____．【答案】【解析】分析：由三视图可得该几何体为二分之一圆锥，圆锥的底面半径为，高为，利用圆锥的体积公式及侧面积公式可得结果.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】四个同样大小的球两两相切，点是球上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：是正四面体，设边长为，过作底面，运用线面垂直的性质，即可得到所成角的最大值，再由大圆的切线计算可得所成角的最小值.详解：如图是正四面体，设边长为，过作底面，可得为底面的中心，由，可得，则在直线上时，可得直线与直线垂直，即有所成角的正弦值为，作，则，在平面内，过作球的切线，设切点为，此时最大，可得与成的最大角，所以的最小值为，所以与成的最小角为，即有所成角的正弦值为，则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为.点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，利用底面距离点线距离以及利用展开图转化为平面问题，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法.7. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知互相垂直的平面交于直线，若直线满足，则A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由相垂直的平面交于直线可得，再由，推导出.点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.8.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E BCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】分析：首先结合正四面体的特征以及等腰直角三角形在旋转的过程中对应的特点，得到相关的信息，结合题中所给的条件，以及相关的结论，认真分析，逐一对比，得到结果.点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.9.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．32316+3πB．16833π+C．3236π+D．836π+【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为11223238363ππ⨯⨯+⨯=+，故选D。
2019年高考数学试题分项版——立体几何（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅱ文，7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2.(2019·全国Ⅲ文，8)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．(2019·浙江，4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158 B．162 C．182 D．3244．(2019·浙江，8)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则()A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β5．(2019·全国Ⅰ理，12)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8π B．4π C．2π D.π6．(2019·全国Ⅱ理，7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面7.(2019·全国Ⅲ理，8)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，16)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB 两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．2．(2019·全国Ⅱ文，16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．3.(2019·全国Ⅲ文，16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.4．(2019·北京文，12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．5．(2019·北京文，13)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________. 6．(2019·天津文，12)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．7．(2019·江苏，9)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．8．(2019·全国Ⅱ理，16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．9.(2019·全国Ⅲ理，16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.10．(2019·北京理，11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．11．(2019·北京理，12)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m⊥．mα；③lα⊥；②//以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．12．(2019·天津理，11)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．三、解答题1.(2019·全国Ⅰ文，19)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．2.(2019·全国Ⅱ文，17)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．3．(2019·全国Ⅲ文，19)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图②中的四边形ACGD的面积．4.(2019·北京文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．5．(2019·天津文，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；(2)求证：P A⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．6.(2019·浙江，19)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC ＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．7.(2019·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB ＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.8．(2019·全国Ⅰ理，18)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．9.(2019·全国Ⅱ理，17)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．10．(2019·全国Ⅲ理，19)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B—CG—A的大小．11．(2019·北京理，16)（14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，AD CD⊥，//AD BC，2PA AD CD===，3BC=．E为PD的中点，点F在PC上，且13 PFPC=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F AE P--的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且23PGPB=．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．12．(2019·天津理，17)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD ＝1，AE＝BC＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．。
