高中数学 三角恒等变换综合讲义 新人教A版必修4

三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m ；（2）()sinsin cos cos sin αβαβαβ±=±；（3）()tan tan tan1tan tan αβαβαβ±±=m二、二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ （2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．（3）22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=． 知识点分类练习一、 公式的套用1.sin18∘cos12∘+cos18∘sin12∘=（ ） A. −√32B. −12C. √32D. 122. sin63∘cos18∘+cos63∘cos108∘= ______ ．3.计算sin140∘cos50∘+sin130∘cos40∘的值是（ ） A. 12B. −12C. 1D. −14. 化简sin50∘(1+√3tan10∘)的结果是______ ．5. tan23∘+tan22∘+tan23∘tan22∘= ______ ．6. 求值：cos 415∘−sin 415∘=______．7. sin10∘sin30∘sin50∘sin70∘= ______ ．8.若角α∈(−π,−π2)，则√1+cosα1−cosα−√1−cosα1+cosα=（ ）A. −2tanαB. 2tanαC. −2tanαD. 2tanα9.已知sinα−sinβ=1−√32，cosα−cosβ=12，则cos(α−β)=（ ）A. −√32B. −12C. 12D. √3210. 已知0<A <π2，且cos 2A =35，那么cos A 等于（ ）A. 425B. 45C. √55D.2√5511. 若cos(π2+α)=35，则cos2α=（ ）A. −725B. 725C. 一1625D. 162512. sin π12cos π12等于（ ）A. 12B. 14C. √32D. √3413.若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为（ ） A. −√72B. −12C. 12D. √7214. 若tanα>0，则（ ）A. sinα>0B. cosα>0C. sin2α>0D. cos2α>015. 已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α−π4)=______．16. 已知sin(x +π6)=14，则sin(5π6−x)+cos 2(π3−x)= ______ ． 二、知角（值）求角（值）17. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ）A. 725B. 15C. −15D. −72518. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为（ ）A. 1225B. 2425C. −2425D. −122519. 若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为（ ）A. 1718B. −1718C. 1819D. −181920. 已知tan(α+β)=25，tan(β+π4)=14，则tan(α−π4)的值为（ ）A. 16B. 2213C. 322D. 131821. 知sinα=√55,sin(α−β)=−√1010,α,β均为锐角，则β=（ ）A. 5π12B. π3C. π4 D. π622. 锐角α，β满足cosα=1213，cos(2α+β)=35，那么sin(α+β)=（ ）A. 6365B. 5365C. 3365D. 236523. 已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ−π4)=______．24. 若tan(α−β)=12，tan(α+β)=13，则tan2β等于（ ）A. 17 B. 43C. −17D. −43三、常用结论（1） sin cos x x 类型25. 已知sinα+cosα=15，则sin2α等于（ ）A. 2425B. 45C. −45D. −242526. 已知sinα−cosα=43，则sin2α=（ ）A. −79B. −29C. 29D. 7927. 已知sinθ+cosθ=13，则sin2θ=（ ）A. 89B. −89C. 49D. −4928. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ）A. 725B. 15C. −15D. −725（2）齐次式类型29. 若sinα+3sin(π2+α)=0，则cos2α的值为（ ）A. −35B. 35C. −45D. 4530. 若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为______ ．31. 已知tan(π4+α)=1，则2sinα+cosα3cosα−sinα= ． 32. 若sinα+cosαsinα−cosα=2，则tan2α=（ ）A. −34B. 34C. −43D. 43（3）用已知角表示要求角类型33. 若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为( )A.4−√26B.4+√26C. 718D. √2334. 已知cos(α−π3)=23，cos(β+π6)=−23，α是锐角，β是钝角，则sin(α−β)=（ ）A. −12B. −1C. −√36D. −√3335. 已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于（ ）A. 13B. ±13C. −19D. 1936. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为______． 四、三角恒等变换1.y=2cos 2 x-32. x x y 24cos sin +=3. 1cos cos 22y x x =-4. y =sin 2x+cos 2x5. 5y x x =+6. f x x x x ()cos sin cos =-2237.2sin()cos()36y x x ππ=--+8.)cos[2()]y x x ππ=-+9. y=sin 2 x-cos 2 x-sin 2x+110. y =sin 4 x+x cos x-cos 4 x11. y=4cos sin()16x x π+-12.2sin cos y x x x =-13. y=(1x )cos x14. f(x)=2sin 2(2x +π6)−sin(4x +π3) 15. f(x)=2cosx(sinx +cosx) 五、三角形内的问题37. 在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA 等于（ ）A.3√1010B. √1010C. −√1010D. −3√101038. 在△ABC 中，cosA =35，且sinB =1213，则cosC =（ ）A. −3365B. 3365C. 6365D. 6365或336539. 在△ABC 中，tanA =12,cosB =3√1010，则tanC 的值是（ ）A. 1B. −1C. 2D. −240. 在锐角△ABC 中，B >π6，sin(A +π6)=35，cos(B −π6)=45，则sin(A +B)= ______ ． 六、综合应用41. （二次函数类型）函数f(x)=cos2x +6cos(π2−x)的最大值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 742. （二次函数类型）函数f(x)=sin 2x +√3cosx −34(x ∈[0,π2])的最大值是______ ． 43. 已知直线2x −y −3=0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ ）A. 14B. 34C. 45D. 2544.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P(x,√32)，则cos2α=（）A. 12B. −12C. −√32D. 145.已知x∈[0,π]，则函数y=√3sinx−cosx的值域为()A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. [0,2]46.已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数，且在[0,π4]上是增函数，则φ的一个可能值为（）A. π3B. 2π3C. 4π3D. 5π347.函数f(x)=sinπ6xcosπ6x−√3sin2π6x在区间[−1,a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是（）A. 8B. 9C. 11D. 1248.已知f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32，将f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图象.若对任意实数x，都有g(a−x)=g(a+x)成立，则g(a+π4)=（）A. 1+√22B. 1 C. 1−√22D. 049.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移______个单位长度得到．50.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为( C )A. 1B. 13C. 23D. 251.设常数a使方程sinx+√3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=______．52.方程sinx+√3cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．53.已知0<α<π2,0<β<π2,cosα=35,cos(β+α)=513．(I)求sinβ的值；(II)求sin2αcos2α+cos2α的值．54.已知函数y=4cos2x−4√3sinxcosx−1(x∈R)．(1)求出函数的最小正周期；(2)求出函数的最大值及其相对应的x值；(3)求出函数的单调增区间；(4)求出函数的对称轴．55.已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．56.已知函数f(x)=2sin2(x+π4)−√3cos 2x,x∈[π4,π2].(Ⅰ)求f(x)的值域；(Ⅱ)若不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．57.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．58.已知函数f(x)=cosx(√3sinx−cosx)+m(m∈R)，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间[π4,π3]内的最小值为√32．(1)求m的值；(2)在锐角△ABC中，若g(C2)=−12+√3，求sinA+cosB的取值范围．59.已知函数f(x)=sin(3x+π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值．60.已知函数f(x)=2sinxcosx−2√3cos2x+√3．(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(2)求函数y=f(x)的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．61.已知函数f(x)=4sin(x−π3)cosx+√3．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g(x)=f(x)−m在[0,π2]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1+x2)的值．62.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．人教版数学必修2知识点总结（教师版）第三章 三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； （2）()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； （3）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m二、二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ （2）2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． （3）22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=． 知识点分类练习一、 公式的套用1. sin18∘cos12∘+cos18∘sin12∘=( D )A. −√32B. −12C. √32D. 122. sin63∘cos18∘+cos63∘cos108∘= ______ ．【答案】√223. 计算sin140∘cos50∘+sin130∘cos40∘的值是( C )A. 12B. −12C. 1D. −14. 化简sin50∘(1+√3tan10∘)的结果是______ ．【答案】15. tan23∘+tan22∘+tan23∘tan22∘= ______ ．【答案】16. 求值：cos 415∘−sin 415∘=______．【答案】√327. sin10∘sin30∘sin50∘sin70∘= ______ ．【答案】1168. 若角α∈(−π,−π2)，则√1+cosα1−cosα−√1−cosα1+cosα=( C ) A. −2tanα B. 2tanαC. −2tanαD. 2tanα9. 已知sinα−sinβ=1−√32，cosα−cosβ=12，则cos(α−β)=( D ) A. −√32B. −12C. 12D. √3210. 已知0<A <π2，且cos 2A =35，那么cos A 等于( D )A. 425B. 45C. √55D. 2√5511. 若cos(π2+α)=35，则cos2α=( B )A. −725B. 725C. 一1625D. 162512. sin π12cos π12等于( B )A. 12B. 14C. √32D. √3413. 若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为( C )A. −√72B. −12C. 12 D. √7214. 若tanα>0，则( C )A. sinα>0B. cosα>0C. sin2α>0D. cos2α>015. 已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cos(α−π4)=______．【答案】3√1010【解析】∵α∈(0,π2)，tanα=2，∴sinα=2cosα， ∵sin 2α+cos 2α=1，解得sinα=2√55，cosα=√55， ∴cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010．故答案为3√1010． 16. 已知sin(x +π6)=14，则sin(5π6−x)+cos 2(π3−x)= ______ ．【答案】516二、 知角（值）求角（值）17. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=( D )A. 725B. 15C. −15D. −725【解析】22()24ππαα=--18. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π3)的值为( B )A. 1225B. 2425C. −2425D. −1225【解析】22()36ππαα+=+ 19. 若cos(π8−α)=16，则cos(3π4+2α)的值为( A )A. 1718B. −1718C. 1819D. −1819【解析】(3π4+2α)=[π−(π4−2α)]20. 已知tan(α+β)=25，tan(β+π4)=14，则tan(α−π4)的值为( C )A. 16B. 2213C. 322D. 1318【解析】(α−π4)=(α+β)−(β+π4)21. 知sinα=√55,sin(α−β)=−√1010,α,β均为锐角，则β=( C ) A. 5π12B. π3C. π4D. π6【解析】β=α−(α−β)22. 锐角α，β满足cosα=1213，cos(2α+β)=35，那么sin(α+β)=( C )A. 6365B. 5365C. 3365D. 2365【解析】α+β=(2α+β)−α23. 已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ−π4)=______．【答案】−43【解析】()442πππθθ-=++24. 若tan(α−β)=12，tan(α+β)=13，则tan2β等于( C )A. 17B. 43C. −17D. −43【解析】2β=(α+β)−(α−β)三、 常用结论（1） sin cos x x ±类型25. 已知sinα+cosα=15，则sin2α等于( D )A. 2425B. 45C. −45D. −242526. 已知sinα−cosα=43，则sin2α=( A )A. −79B. −29C. 29D. 7927. 已知sinθ+cosθ=13，则sin2θ=( B )A. 89B. −89C. 49D. −4928. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=( D )A. 725B. 15C. −15D. −725【解析】∵cos(π4−α)=√22(sinα+cosα)=35，∴12(1+sin2α)=925，∴sin2α=2×925−1=−725，故选：D ．（2）齐次式类型29. 若sinα+3sin(π2+α)=0，则cos2α的值为( C )A. −35B. 35C. −45D. 45【解析】由sinα+3sin(π2+α)=0，则sinα+3cosα=0，可得：tanα=sinαcosα=−3； 则cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−91+9=−45．故选：C30. 若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为______ ．【答案】5 31. 已知tan(π4+α)=1，则2sinα+cosα3cosα−sinα= ．【答案】13 32. 若sinα+cosαsinα−cosα=2，则tan2α=( A )A. −34B. 34C. −43D. 43（3）用已知角表示要求角类型33. 若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为( A )A. 4−√26B. 4+√26C. 718D. √23【解析】()44ππαα=+-34. 已知cos(α−π3)=23，cos(β+π6)=−23，α是锐角，β是钝角，则sin(α−β)=( B )A. −12B. −1C. −√36 D. −√33【解析】α−β=(α−π3)−(β−π6)35. 已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于( B )A. 13B. ±13C. −19D. 19【解析】22()(2)63ππθπθ+=-- 36. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为______．【答案】17√250【解析】2α+π12=2（α+π6）−π4四、 三角恒等变换16. y=2cos 2 x-3 答案：原式=cos 2x-217. x x y 24cos sin += 答案：原式=422213sin sin 1(sin )24x x x -+=-+ 18. 1cos cos 22y x x =-答案：原式2213(cos )24x =--+19. y =sin 2x+cos 2x 答案：原式)4x π+20. 5y x x =+ 答案：原式=)53x π++21. f x x x x ()cos sin cos =-223 答案：原式=2sin(2)6x π-22. 2sin()cos()36y x x ππ=--+ 答案：原式=3sin()3x π-23. )cos[2()]y x x ππ=-+ 答案：原式=42x -24. y=sin 2 x-cos 2 x-sin 2x+1 答案：原式=)14x π++25. y=sin 4 x+x cos x-cos 4 x答案：原式=(sin 2 x+cos 2 x )·(sin 2 x-cos 2 x )sin 2x-cos 2x=2sin(2)6x π-26. y=4cos sin()16x x π+- 答案：原式=2sin (2)6x π+27. 2sin cos y x x x =- 答案：原式=sin(2)3x π+-28. y=(1tan x )cos x答案：原式=cos x=21cos 2x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2=2sin ()6x π+ 29. f(x)=2sin 2(2x +π6)−sin(4x +π3) 答案：原式=1−√2sin(4x +7π12) 30. f (x )=2cosx (sinx +cosx )答案：原式=2sinxcosx +2cos 2x =sin2x +1+cos2x =√2sin(2x +π4)+1，五、 三角形内的问题37. 在△ABC 中，B =π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA 等于( C )A. 3√1010B. √1010 C. −√1010D. −3√101038. 在△ABC 中，cosA =35，且sinB =1213，则cosC =(D )A. −3365B. 3365C. 6365D. 6365或3365【解析】在△ABC 中，∵cosA =35>0，A 为三角形的内角， ∴A 为锐角，可得：sinA =√1−cos 2A =45，又∵sinB =1213，B 为三角形的内角，∴cosB =±√1−sin 2B =±513，则cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−35×(±513)+45×1213=6365或3365．39. 在△ABC 中，tanA =12,cosB =3√1010，则tanC 的值是( B ) A. 1 B. −1C. 2D. −240. 在锐角△ABC 中，B >π6，sin(A +π6)=35，cos(B −π6)=45，则sin(A +B)= ______ ．【答案】2425六、 综合应用41. （二次函数类型）函数f(x)=cos2x +6cos(π2−x)的最大值为( B )A. 4B. 5C. 6D. 7【解析】函数f(x)=cos2x +6cos(π2−x)=1−2sin 2x +6sinx ， 令t =sinx(−1≤t ≤1)，可得函数y =−2t 2+6t +1=−2(t −32)2+112，由32∉[−1,1]，可得函数在[−1,1]递增，即有t =1，x =2kπ+π2，k ∈Z 时，函数取得最大值5．42. （二次函数类型）函数f(x)=sin 2x +√3cosx −34(x ∈[0,π2])的最大值是______ ．【答案】1【解析】f(x)=sin 2x +√3cosx −34=1−cos 2x +√3cosx −34， 令cosx =t 且t ∈[0,1]，则f(t)=−t 2+√3t +14=−(t −√32)2+1，当t =√32时，f(t)max =1，即f(x)的最大值为1，故答案为1．43. 已知直线2x −y −3=0的倾斜角为θ，则sin2θ的值是（ C ）A. 14B. 34C. 45D. 25【解析】由直线2x−y−3=0方程，得直线2x−y−3=0的斜率k=2，∵直线2x−y−3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=2，∴sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ=2×21+22=45．故选：C．44.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P(x,√32)，则cos2α=( B )A. 12B. −12C. −√32D. 1【解析】∵角α的终边与单位圆x2+y2=1的交点为P (x ,√32)，∴sinα=√32，则cos2α=1−2sin2α=1−2⋅34=−12，故选：B．45.已知x∈[0,π]，则函数y=√3sinx−cosx的值域为( B )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. [0,2]【解析】由题意可得：y=√3sinx−cosx=2sin(x−π6)，因为x∈[0,π]，所以x−π6∈[−π6,5π6]，所以−12≤sin(x−π6)≤1，所以：−1≤y≤2．故选B．46.已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为偶函数，且在[0,π4]上是增函数，则φ的一个可能值为(C)A. π3B. 2π3C. 4π3D. 5π347.函数f(x)=sinπ6xcosπ6x−√3sin2π6x在区间[−1,a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是(A )A. 8B. 9C. 11D. 1248.已知f(x)=sinxcosx+√3cos2x−√32，将f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图象.若对任意实数x，都有g(a−x)=g(a+x)成立，则g(a+π4)=( B )A. 1+√22B. 1 C. 1−√22D. 049.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移______个单位长度得到．【答案】2π350.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为( C )A. 1B. 13C. 23D. 251.设常数a使方程sinx+√3cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=______．【解析】sinx+√3cosx=2(12sinx+√32cosx)=2sin(x +π3)=a ，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0,2π]上，当a =√3时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin(x +π3)=√32，x +π3=2kπ+π3，即x =2kπ，或x +π3=2kπ+2π3，即x =2kπ+π3， ∴此时x 1=0，x 2=π3，x 3=2π， ∴x 1+x 2+x 3=0+π3+2π=7π3．故答案为：7π3 52. 方程sinx +√3cosx =1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．【答案】7π3【解析】∵sinx +√3cosx =1，∴12sinx +√32cosx =12，即sin(x +π3)=12，可知x +π3=2kπ+π6，或x +π3=2kπ+5π6，k ∈Z ， 又∵x ∈[0,2π]，∴x =11π6，或x =π2，∴11π6+π2=7π3故答案为：7π3． 53. 已知0<α<π2,0<β<π2,cosα=35,cos(β+α)=513．(I)求sinβ的值；(II)求sin2αcos 2α+cos2α的值．【解析】(I)∵0<β<π2，0<α<π2，0<α+β<π，cosα=35， ∴sinα=45，sin(α+β)=1213，那么：sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1665； (II)由(I)sinα=45，cosα=35，那么sin2α=2sinαcosα=2425，cos 2α=925， cos2α=1−2sin 2α=−725，∴sin2αcos 2α+cos2α=2425925−725=12．54. 已知函数y =4cos 2x −4√3sinxcosx −1(x ∈R)．(1)求出函数的最小正周期；(2)求出函数的最大值及其相对应的x 值； (3)求出函数的单调增区间；(4)求出函数的对称轴． 【解析】y =4cos 2x −4√3sinxcosx −1=4×1+cos2x2−2√3sin2x=2cos2x −2√3sin2x +2=−4sin(2x −π6)+2 (1)函数的最小正周期T =2π2=π；(2)当sin(2x −π6)=−1时，函数取最大值为：6，此时2x −π6=−π2+2kπ(k ∈Z)，解得x =−π6+kπ(k ∈Z)； (3)由π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ(k ∈Z)得，π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k ∈Z)，∴函数的单调增区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z)；(4)由2x−π6=π2+kπ(k∈Z)得，x=π3+kπ2(k∈Z)，∴函数的对称轴方程是x=π3+kπ2(k∈Z)．55.已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．【解析】(1)f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，下面分为单调增区间和单调减区间进行求解，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．(2)若把函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin(2(x−π6)+π6)=2sin(2x−π6)的图象，∵x∈[−π2,0]，∴2x−π6∈[−7π6,−π6]，∴sin(2x−π6)∈[−1,12]，∴g(x)=2sin(2x−π6)∈[−2,1]．故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．56.已知函数f(x)=2sin2(x+π4)−√3cos 2x,x∈[π4,π2].(Ⅰ)求f(x)的值域；(Ⅱ)若不等式|f(x)−m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(Ⅰ)∵f(x)=2sin2(x+π4)−√3cos 2x=[1−cos(π2+2x)]−√3cos2x=1+sin2x−√3cos2x=1+2sin(2x−π3)，又∵x∈[π4,π2]，∴π6≤2x−π3≤2π3，即2≤1+2sin(2x−π3)≤3，∴f(x)∈[2,3]．(Ⅱ)∵|f(x)−m|<2，可得：f(x)−2<m<f(x)+2，又∵x∈[π4,π2]，∴m>f(x)max−2且m<f(x)min+2，∴1<m<4，即m的取值范围是(1,4)．57.已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，求m的最小值．【解析】(Ⅰ)函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx =1−cos2x2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12，f(x)的最小正周期为T =2π2=π；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，可得2x −π6∈[−5π6,2m −π6]，即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3，则m 的最小值为π3．58. 已知函数f(x)=cosx(√3sinx −cosx)+m(m ∈R)，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位后得到g(x)的图象，且y =g(x)在区间[π4,π3]内的最小值为√32．(1)求m 的值；(2)在锐角△ABC 中，若g(C 2)=−12+√3，求sinA +cosB 的取值范围．【解析】：(1)f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +m =√32sin2x −12cos2x +m −12=sin(2x −π6)+m −12，∴g(x)=sin[2(x +π6)−π6]+m −12=sin(2x +π6)+m −12， ∵x ∈[π4,π3]，∴2x +π6∈[2π3,5π6]，∴当2x +π6=5π6时，g(x)取得最小值12+m −12=m ，∴m =√32． (2)∵g(C 2)=sin(C +π6)+√32−12=−12+√3，∴sin(C +π6)=√32， ∵C ∈(0,π2)，∴C +π6∈(π6,2π3)，∴C +π6=π3，即C =π6． ∴sinA +cosB =sinA +cos(5π6−A)=sinA −√32cosA +12sinA =32sinA −√32cosA =√3sin(A −π6).∵△ABC 是锐角三角形， ∴{0<A <π20<5π6−A <π2，解得π3<A <π2， ∴A −π6∈(π6,π3)，∴12<sin(A −π6)<√32，∴√32<√3sin(A −π6)<32，∴sinA +cosB 的取值范围是(√32,32). 59. 已知函数f(x)=sin(3x +π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值． 【解析】(1)∵函数f(x)=sin(3x +π4)，令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈Z ， 求得2kπ3−π4≤x ≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k ∈Z ．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α， ∴sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，即sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos 2α−sin 2α)，∴sinαcos π4+cosαsin π4=45(cosαcos π4−sinαsin π4)(cosα−sinα)(cosα+sinα)即(sinα+cosα)=45⋅(cosα−sinα)2(cosα+sinα)， 又∵α是第二象限角，∴cosα−sinα<0，当sinα+cosα=0时，tanα=−1，sinα=√22，cosα=−√22，此时cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，此时cosα−sinα=−√52．综上所述：cosα−sinα=−√2或−√52．60. 已知函数f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3．(1)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；(2)求函数y =f(x)的图象与直线y =1相邻两个交点间的最短距离．【解析】(1)f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 当x ∈[0,π2]时，2x −π3∈[−π3,2π3]，所以f(x)的值域为[−√3,2]．(2)令f(x)=2sin(2x −π3)=1，∴sin(2x −π3)=12，故2x −π3=2kπ+π6或2x −π3=2kπ+5π6，k ∈Z ，∴当函数y =f(x)的图象和直线y =1时的两交点的最短距离为π3．61. 已知函数f(x)=4sin(x −π3)cosx +√3．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g(x)=f(x)−m 在[0,π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1+x 2)的值． 【解析】函数f(x)=4sin(x −π3)cosx +√3．化简可得：f(x)=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −2√3(12+12cos2x)+√3=sin2x −√3cos2x=2sin(2x −π3)(1)函数的最小正周期T =2π2=π，由2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2时单调递增，解得：kπ−π12≤x ≤kπ+5π12 ∴函数的单调递增区间为[：kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ．(2)函数g(x)=f(x)−m 所在[0,π2]匀上有两个不同的零点x 1′，x 2′，转化为函数f(x)与函数y =m 有两个交点令u=2x−π3，∵x∈[0,π2]，∴u∈[−π3,2π3]可得f(x)=2sin(u)的图象(如图)．从图可知：m在[√3,2)，函数f(x)与函数y=m有两个交点，其横坐标分别为x1′，x2′.故得实数m的取值范围是m∈[√3,2)，由题意可知x1，x2是关于对称轴是对称的：那么函数在[0,π2]的对称轴x=5π12∴x1+x2=5π6那么：tan(x1+x2)=tan5π6=tan(π−π6)=−tanπ6=√22．62.已知函数f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．【解析】(1)∵f(x)=4tanxsin(π2−x)cos(x−π3)−√3．∴x≠kπ+π2，即函数的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，则f(x)=4tanxcosx⋅(12cosx+√32sinx)−√3=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3=sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x =2sin(2x−π3)，则函数的周期T=2π2=π；(2)由2kπ−π2<2x−π3<2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12<x<kπ+5π12，k∈Z，即函数的增区间为(kπ−π12,kπ+5π12)，k∈Z，当k=0时，增区间为(−π12,5π12)，k∈Z，∵x∈[−π4,π4]，∴此时x∈(−π12,π4]，由2kπ+π2<2x−π3<2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+5π12<x<kπ+11π12，k∈Z，即函数的减区间为(kπ+5π12,kπ+11π12)，k∈Z，当k=−1时，减区间为(−7π12,−π12)，k∈Z，∵x∈[−π4,π4]，∴此时x∈[−π4,−π12)，即在区间[−π4,π4]上，函数的减区间为∈[−π4,−π12)，增区间为(−π12,π4].。

人教版必修四 简单三角恒等变换专题讲义一、引言（一）本节的地位：三角函数恒等变换是高中教学的重要知识之一，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求．（二）考纲要求：通过本节的学习要掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等证明．重点是应用公式进行三角函数式的化简、求值和恒等证明．（三）考情分析：一般考查对公式理解与熟练运用，以及考查运算能力、逻辑推理能力，在历年的高考中，常常要考查，考试类型有应用公式化简求值、恒等变形、与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．二、考点梳理1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；正切公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=．2．二倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα=； 二倍角的余弦公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；二倍角的正切公式：22tan tan 21tan ααα=-． 3．降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=．4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．三、典型问题选讲（一）化简（求值）问题例1 求下列各式的值： ⑴︒︒︒80cos 40cos 20cos ；⑵︒⋅︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan ； ⑶︒+︒10tan 31(50sin ）.分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．解析：⑴[法一]原式=8120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 220sin 2133=︒︒=︒︒︒⋅︒⋅︒．2[法二]原式=8180sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒⋅︒︒⋅︒︒．⑵原式=tan(7050)(1tan 70tan 50)50tan 70︒+︒-︒⋅︒︒⋅︒70tan 50=︒︒-370tan 50tan 3-=︒︒．⑶原式=︒︒+︒︒=︒︒+︒10cos )10sin 310(cos 50sin )10cos 10sin 31(50sin2sin 50(cos60cos10sin 60sin10)2sin 50cos50cos10cos10︒︒︒+︒︒︒⋅︒==︒︒sin100cos101cos10cos10︒︒===︒︒． 归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当βα±是特殊角时，使用tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±化简式子．例2 化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222．分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2αααα以及取值范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244παπαπ=-++，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．解：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以， 又因2sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α．（2）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2=12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπα．归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=． 例3 已知正实数a ，b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+． 分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b程，从而可求出ab，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解．解法一：由题设得8sincos sin 55158cos sin cos 5515b a b a ππππππ+=-，则 .33tan 5158cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin158cos 5cos 158sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅+⋅⋅-⋅=πππππππππππππa b解法二：sincos555a b πππϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为，cossintan 5558tan tan .51585153tan tan tan 33b a b a k k b k a πππϕϕππϕππϕππϕπππϕπ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，其中，由题设得所以，即，故4解法三：tan 85tan 151tan 5b a b a πππ+=-原式可变形为：，()()tantan 85tan tan tan 5151tantan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即()()tan tan 85tan tan tan 5151tan tan58,5153tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故 归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，tan b a ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，或sin cos a b αα+()tan a b αϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．例4 已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值．分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值．解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()()()()()()22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式 ()()()()222tan 3tan 1213113tan 111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++．解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，，所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()34k k Z αβππ+=+∈于是有，223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式．归纳小结：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”．（2）运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如()()()()()()()()。