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状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。
1.已知条件p:x >2,条件q:x >0,则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项.【详解】由于p q ⇒，q p ¿所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.2.“a b =是“直线y x =+与圆22()()1x a y b -+-=相切的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出a ，b 的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=， 则圆心(),a b到直线0x y -+=得距离1d ==，即a b -+=a b -+=a b -+=即0a b -=或a b -=-即a b =是“直线y x =与圆22()()1x a y b -+-=相切的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．3.设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．4.设m R ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个充分不必要条件是 A. 0m > B. 1m >C. 2m >D. 2m ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当m ＜0时，不等式m+4m＞4不成立，当m ＞0时，m+4m ，当且仅当m=4m ，即m=2时，取等号， A ．当m=2时，满足m ＞0，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，B ．当m=2时，满足m ＞1，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件， C ．当m ＞2时，不等式m+4m＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件． D ．当m=2时，满足m ≥2，但不等式m+4m＞4不成立，不是充分条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．5.若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{0,1,2}A B =U ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由题得{0,1,2A B ⋃=}所以1m =±，所以“1m =”是“{}0,1,2A B ⋃=”的 充分不必要条件，选A.6.设m α⊂，α，β是两个不同的平面，则“αβ∥”是“m βP ”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】若m α⊂，αβ∥，则m βP ；反之，若m α⊂，m βP ，则αβ∥或α与β相交． 所以“αβ∥”是“m βP ”的充分不必要条件．选A ．7.已知(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，则2x =是//a b 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】已知()1,1a x =-，()1,3b x =+。
2018-2019学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，B＝{x|x＜﹣1}，则A∪B＝（）A．{x|x≥﹣1}B．（x|x＞﹣l}C．{x|x≤0}D．?2．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．（）x＜（）yC．x＜y D．sinx＞siny3．（5分）如果函数y＝f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f（a）?f（b）＜0”是“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）二项式（2x﹣）6展开式中的常数项为（）A．﹣960B．﹣160C．160D．9605．（5分）已知α∈（，π），tan（α+）＝，则sinα+cosα＝（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（）C．y＝cos D．y＝cos2x7．（5分）构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设BD＝2AD，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．8．（5分）某校有6名志愿者在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言“、“欢乐世园共绘展板“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，“3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（）A．30种B．60种C．120种D．180种9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝ksinx+2x+1（k∈R），当k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f （x）在（0，2π）内的极值点的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分答案写在答题卡上11．（5分）8+log26﹣log23＝．12．（5分）函数f（x）＝1﹣x﹣（x＞0）的值域为．13．（5分）若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级A的概率均为，且三门课程的成绩是否取得等级A互不影响，则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A的概率为．14．（5分）在△ABC中，bsinAsinB+acos2B＝b，则＝15．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3），设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H（单位：m），由以下量所决定：简车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω（单位：rad/s），盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t （单位：s）．已知r＝3m，h＝2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向） 1.5圈，点P0距离水面的高度为 3.5m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过s就可到达最高点；若将点P 距离水面的高度H 表示为时间t 的函数，则此函数表达式为．16．（5分）已知函数f （x ）＝其中k ≥0．①若k ＝2，则f （x ）的最小值为；②关于x 的函数y ＝f （f （x ））有两个不同零点，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（14分）已知函数f （x ）＝sinxcosx+cos 2x ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若f （x ）在[0，m]上单调递增，求m 的最大值．18．（14分）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加．如表是中国从2009～2018年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据．年份网民人数互联网普及率手机网民人数手机网民普及率2009 3.828.9% 2.317.5%2010 4.534.3% 3.022.9%2011 5.138.3% 3.627.0%2012 5.642.1% 4.231.6%2013 6.245.8% 5.036.9%2014 6.547.9% 5.641.3%2015 6.950.3% 6.245.2%20167.353.2%7.051.0%20177.755.8%7.554.4%20188.359.6%8.258.9%（互联网普及率＝（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率＝（手机网民人数/人口总数）×100%）（Ⅰ）从2009～2018这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X为手机网民普及率超过50%的年数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若记2009～2018年中国网民人数的方差为s12，手机网民人数的方差为s22，试判断s12与s22的大小关系，（只需写出结论）19．（14分）设函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．20．（14分）已知函数f（x）＝e x+（a﹣e）x﹣ax2（a≤0）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）证明：当a＜0时，函数f（x）在区间（0，1）内存在唯一零点．21．（14分）设集合M＝{x1，x2，…，x3n}?N*（n∈N*），如果存在M的子集A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…，b n}，C＝{c1，c2，…，c n}|同时满足如下三个条件：①M＝A∪B∪C；②A，B，C两两交集为空集；③a i+b i＝c i（i＝1，2，3…，n），则称集合M具有性质Ω．（I）已知集合E＝{1，2，5，6，7，9}，F＝{1，2，3，4，5，6}，试判断集合E，F是否具有性质Ω，并说明理由；（Ⅱ）设集合M m＝{1，2，…，3m}（m∈N*），求证：具有性质Ω的集合M m有无穷多个．2018-2019学年北京市朝阳区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，B＝{x|x＜﹣1}，则A∪B＝（）A．{x|x≥﹣1}B．（x|x＞﹣l}C．{x|x≤0}D．?【分析】可求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1≤x≤0}；∴A∪B＝{x|x≤0}．故选：C．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．2．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．（）x＜（）yC．x＜y D．sinx＞siny【分析】由函数在（0，+∞）上单调递减，知当x＞y＞0时（）x＜（）y．【解答】解：∵函数在（0，+∞）上单调递减，∴当x＞y＞0时，（）x＜（）y，故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质和利用函数的单调性比较大小，属基础题．3．（5分）如果函数y＝f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么“f（a）?f（b）＜0”是“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数y＝f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）?f（b）＜0”?“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：函数y＝f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）?f（b）＜0”?“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“，反之不成立．∴“f（a）?f（b）＜0”是“函数y＝（x）在（a，b）内有零点“的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的判定方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）二项式（2x﹣）6展开式中的常数项为（）A．﹣960B．﹣160C．160D．960【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：二项式（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝?26﹣r?（﹣1）r?x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得二项式（2x﹣）6展开式中的常数项为?23?（﹣1）＝﹣160，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（5分）已知α∈（，π），tan（α+）＝，则sinα+cosα＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式的左边利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，然后根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和cosα的值，进而求出sinα+cosα的值．【解答】解：∵＝＝，即8tanα＝﹣6，∴tanα＝﹣，又，∴cosα＝﹣＝﹣，∴sinα＝＝，则sinα+cosα＝+（﹣）＝﹣．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6．（5分）将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（）C．y＝cos D．y＝cos2x【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin2x的图象；再将所得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为y＝sin（2x+）＝cos2x，故选：D．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设BD＝2AD，则△DEF与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】设AD＝x，根据余弦定理表示出AB，分别求S△ABC，S△DEF，再计算面积比即可．【解答】解：设AD＝x，因为△ABC是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成，所以BD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2+BD2﹣2AD?BDcos120°代入可得AB2＝7x2，由三角形面积公式可得S△ABC＝AB2＝x2，同理S△DEF＝DE2＝x2，所以△DEF与△ABC的面积之比为＝．故选：D．【点评】本题考查了三角形面积计算问题，是基础题．8．（5分）某校有6名志愿者在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言“、“欢乐世园共绘展板“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，“3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（）A．30种B．60种C．120种D．180种【分析】先从6名志愿者选1人负责“征集留言”，再从剩下的5人中选2人负责“共绘展板”，最后剩下的“3人负责“发放彩绳”，根据分步计数原理可得．【解答】解：先从6名志愿者选1人负责“征集留言”，再从剩下的5人中选2人负责“共绘展板”，最后剩下的“3人负责“发放彩绳”，故有C61C52C33＝60种，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析函数f（x）的定义域、奇偶性以及当x＞0时，f（x）的符号，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，当x＞0时，有f（x）＞0，函数的图象在第一象限，分析选项可得：C符合；故选：C．【点评】本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数f（x）的奇偶性与值域，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝ksinx+2x+1（k∈R），当k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f （x）在（0，2π）内的极值点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点的个数即可．【解答】解：函数f（x）＝ksinx+2x+1（k∈R），f′（x）＝kcosx+2，y＝cosx的周期为：2π．当k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，kcosx+2＝0，可得在一个函数的周期内，有2个实数解，所以函数的极值点的个数为2个．故选：C．【点评】本题考查函数的导数的应用，三角函数的最值的判断，函数零点的公式以及函数极值的判断，是基本知识的考查．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分答案写在答题卡上11．（5分）8+log26﹣log23＝5．【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可．【解答】解：原式＝4+log22＝4+1＝5．故答案为：5．【点评】考查分数指数幂和对数的运算．12．（5分）函数f（x）＝1﹣x﹣（x＞0）的值域为（﹣∞，﹣1]．【分析】可知在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，从而得出g （x）≥2，即得出，从而可求出，即得出f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]．【解答】解：∵在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；∴g（x）≥g（1）＝2；即；∴；∴；∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】考查函数值域的定义及求法，不等式的性质，函数的单调性及值域．13．（5分）若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级A的概率均为，且三门课程的成绩是否取得等级A互不影响，则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A的概率为．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．【解答】解：∵小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级A的概率均为，且三门课程的成绩是否取得等级A互不影响，则小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A的概率为：p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）在△ABC中，bsinAsinB+acos2B＝b，则＝【分析】根据正弦定理，同角三角函数基本关系式结合题意即可求解．【解答】解：∵△ABC中，bsin Asin B+acos2B＝b，∴sin2BsinA+sinAcos2B＝sinB，可得：sinA＝sinB，∴由正弦定理可得：a＝，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．15．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3），设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H（单位：m），由以下量所决定：简车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω（单位：rad/s），盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t （单位：s）．已知r＝3m，h＝2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向） 1.5圈，点P0距离水面的高度为 3.5m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过s就可到达最高点；若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，则此函数表达式为H ＝3sin（t+）+2．【分析】求出∠P0Ox，角速度ω，得出H关于t的函数解析式．【解答】解：过P0向x轴作垂线，垂足为A，则P0A＝3.5﹣2＝1.5＝r，∴∠P0OA＝，筒车的角速度ω＝＝，∴H＝3sin（t+）+2，令t+＝可得t＝．故答案为：，H＝3sin（t+）+2．【点评】本题考查了函数解析式，函数的应用，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝其中k≥0．①若k＝2，则f（x）的最小值为﹣1；②关于x的函数y＝f（f（x））有两个不同零点，则实数k的取值范围是[0，1）．【分析】①k＝2时，，作出函数图象，则最小值可求；②问题转化为f（x）＝1有两个不同的零点，结合图象即可求解．【解答】解：①若k＝2，则，作函数f（x）的图象如下图所示，显然，当x＝0时，函数f（x）取得最小值，且最小值为f（0）＝﹣1．②令m＝f（x），显然f（m）＝0有唯一解m＝1，由题意，f（x）＝1有两个不同的零点，由图观察可知，k＜1，又k≥0，则实数k的取值范围为0≤k＜1．故答案为：﹣1；[0，1）．【点评】本题考查函数的最值及函数零点，考查换元法及数形结合的运用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（14分）已知函数f（x）＝sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在[0，m]上单调递增，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由题意利用正弦函数的单调性，求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函∵数f（x）＝sinxcosx+cos2x＝sin2x+?＝sin（2x+）+，∴函数f（x）的最小正周期为＝π．（Ⅱ）若f（x）在[0，m]上单调递增，则m＞0，且2m+≤，求得0＜m≤，故m的最大值为．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．18．（14分）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加．如表是中国从2009～2018年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据．年份网民人数互联网普及率手机网民人数手机网民普及率2009 3.828.9% 2.317.5%2010 4.534.3% 3.022.9%2011 5.138.3% 3.627.0%2012 5.642.1% 4.231.6%2013 6.245.8% 5.036.9%2014 6.547.9% 5.641.3%2015 6.950.3% 6.245.2%20167.353.2%7.051.0%20177.755.8%7.554.4%20188.359.6%8.258.9%（互联网普及率＝（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率＝（手机网民人数/人口总数）×100%）（Ⅰ）从2009～2018这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记X为手机网民普及率超过50%的年数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若记2009～2018年中国网民人数的方差为s12，手机网民人数的方差为s22，试判断s12与s22的大小关系，（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）列出2009～2018这十年网民人数统计表，得出从这十年中手机网民人数占网民总人数比值超过80%的年数，计算所求的概率值；（Ⅱ）由题意知网民人数超过6亿的年份和手机网民普及率超过50%的年数，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值；（Ⅲ）根据2009～2018年中国网民人数和手机网民人数的数据波动性大小，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）2009～2018这十年网民人数统计如下表，年份网民人数手机网民人数手机网民人数2009 3.8 2.361%2010 4.5 3.067%2011 5.1 3.671%2012 5.6 4.275%2013 6.2 5.081%2014 6.5 5.686%2015 6.9 6.290%20167.37.096%20177.77.597%20188.38.299%由统计表知，从这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率为P＝＝0.6；（Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有6年，其中手机网民普及率超过50%的有3年，从中任选两年，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；则X的分布列为；X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝1；（Ⅲ）2009～2018年中国网民人数分布在 3.8～8.3内，是逐渐递增的，数据波动性小，其方差s12小些；手机网民人数分布在 2.3～8.2内，也是逐渐递增的，数据波动性大，其方差s22大些；所以s12＜s22．【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是基础题．19．（14分）设函数f（x）＝ax 3﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，（Ⅱ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出．【解答】解：（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝x3﹣4x2+4x+1，∴f′（x）＝3x2﹣8x+4，∴f′（1）＝3﹣8+4＝﹣1，f（1）＝1﹣4+4+1＝2，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+3（Ⅱ）f′（x）＝ax2﹣2（a+1）x+4＝（ax﹣2）（x﹣2），①当a＝0时，f′（x）＝﹣2（x﹣2），当x＞2时，f′（x）＜0，当x＜2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝，②当0＜a＜1时，此时＞2，当x＜2或x＞时，f′（x）＞0，当2＜x＜时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，2），（，+∞）上单调递增，在（2，）上单调递减，③当a＝1时，此时＝2，此时f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，④a＞1时，此时＜2，当x＞2或x＜时，f′（x）＞0，当＜x＜2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，⑤当a＜0时，此时＜2，当x＞2或x＜时，f′（x）＜0，当＜x＜2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递减，在（，2）上单调递增．综上所述，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递减，在（，2）上单调递增．当a＝0时，f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，2），（，+∞）上单调递增，在（2，）上单调递减，当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a ＞1时，f （x ）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减．【点评】本题主要考查函数的导数的应用，单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．20．（14分）已知函数f （x ）＝e x+（a ﹣e ）x ﹣ax 2（a ≤0）．（Ⅰ）当a ＝0时，求f （x ）的最小值；（Ⅱ）证明：当a ＜0时，函数f （x ）在区间（0，1）内存在唯一零点．【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，利用导数可得f （x ）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，即可得f （x ）的最小值．（Ⅱ）当a ＜0时，f ′（x ）＝e x +a ﹣e ﹣2ax （a ≤0）．f ″（x ）＝e x﹣2a ＞0，可得存在x 0∈（0，1），使得f ′（x 0）＝0，且f （＝1＞0，f （1）＝0，即可证明f （x ）在（0，x 0）存在唯一零点．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝e x﹣ex ，f ′（x ）＝e x﹣e ，令f ′（x ）＝0，可得x ＝1，当x ＞1时，f ′（x ）＞0，当x ＜1时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f （x ）min ＝f （1）＝0．（Ⅱ）当a ＜0时，f ′（x ）＝e x+a ﹣e ﹣2ax （a ≤0）．f ″（x ）＝e x﹣2a ＞0，∴f ′（x ）单调递增，且f ′（0）＝1+a ﹣e ＜0，f ′（1）＝﹣a ＞0∴存在x 0∈（0，1），使得f ′（x 0）＝0，∴f （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，1）递增，且f （0）＝1＞0，f （1）＝0，∴f （x ）在（0，x 0）存在唯一零点．【点评】本题考查了导数的应用，属于中档题．21．（14分）设集合M ＝{x 1，x 2，…，x 3n }?N *（n ∈N*），如果存在M 的子集A ＝{a 1，a 2，…，a n }，B ＝{b 1，b 2，…，b n }，C ＝{c 1，c 2，…，c n }|同时满足如下三个条件：①M ＝A ∪B∪C ；②A ，B ，C 两两交集为空集；③a i +b i ＝c i （i ＝1，2，3…，n ），则称集合M 具有性质Ω．（I ）已知集合E ＝{1，2，5，6，7，9}，F ＝{1，2，3，4，5，6}，试判断集合E ，F 是否具有性质Ω，并说明理由；（Ⅱ）设集合M m＝{1，2，…，3m}（m∈N*），求证：具有性质Ω的集合M m有无穷多个．【分析】（I）按题设将集合E、F中的数按除3后余数的不同分为三个集合，能分出三个集合的具有，否则不具有；（Ⅱ）先证明集合M m＝{1，2，…，3m}（m∈N*），可以按除3后余数的不同分为三个集合，此三个集合就满足三个条件，再根据m是正整数，而正整数是无限的，以说明具有性质Ω的集合M m有无穷多个即可证明结论．【解答】解：（I）集合E＝{1，2，5，6，7，9}具有性质Ω，F＝{1，2，3，4，5，6}不具有性质Ω，理由如下：对于集合E，令A＝{1、5}，B＝{2、7}，C＝{6、9}，完全符合三个条件，所以具有性质Ω对于集合F，由于6＝1+5或2+4，若6＝1+5，而其余三数2，3，4不具有线性等量关系，若6＝2+4，则剩余三数1、3、5不具有线性等量关系，所以不能找到同时满足三个条件的组合，故不具有性质Ω（Ⅱ）证明：集合M m＝{1，2，…，3m}（m∈N*）中的数可以按除3余的数组成集合A，除3余2的数组成集合B，除3余0的数组成集合C，此时都满足性质Ω由于m∈N*，当m取不同的正整数时就会得到不同的集合M m，具有性质Ω由于正整数是无限的，所以具有性质Ω的集合M m有无穷多个．【点评】本题以集合让车背景考察新定义，解答本题的关键是理解定义中的性质Ω以及三个集合的结构与M集合的结构，透彻理解定义是正确解答本题的保证．本题易因为对定义本质不理解导致无法入手．。
北京市西城区2018—2019学年度第二学期期末试卷高二数学2019.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数21i-的共轭复数是（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再求共轭复数. 【详解】()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数21i-的共轭复数是1i -，故选B. 【点睛】本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题.2.已知()cos f x x =，则()f x '=（ ） A. cos x B. cos x - C. sin x D. sin x - 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的求导公式即可. 【详解】()cos sin x x '=-，故选D.【点睛】本题考查常见函数的求导，属于基础题.3.用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( ) A. 360 B. 300 C. 240 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】分为有0和没0两类求解.【详解】当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：45120A =种；当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：1335180A A =种,两类相加一共有300种，故选B.【点睛】本题考查排列组合与分类加法计数原理，考查分类讨论思想，属于基础题.4.曲线3y x x =+在点(0,0)处的切线方程为（ ） A. 2y x =- B. y x =- C. 2y x = D. y x = 【答案】D 【解析】 【分析】先求导求斜率，再求切线.【详解】231y x '=+，切线的斜率01x k y ='==，所以切线方程为y x =，故选D.【点睛】本题考查曲线的切线方程和导数的几何意义.b5.已知函数()f x 在R 上有导函数，()f x 图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）A. ()()()f a f b f c <''<'B. ()()()f b f c f a <''<'C. ()()()f a f c f b <''<'D. ()()()f c f a f b <''<' 【答案】A 【解析】 【分析】作出三点处的切线，比较斜率即可. 【详解】如图，分别作曲线,,x a x b x c ===三处的切线123,,l l l ， 设切线的斜率分别为123,,k k k ，易知123k k k <<，又123(),(),()f a k f b k f c k '''===，所以()()()f a f b f c '''<<. 故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线斜率的关系，属于基础题.6. 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A．14 B．24 C．28 D．48【答案】A.【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A7.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A. 0.15B. 0.105C. 0.045D. 0.21【答案】C【解析】【分析】若甲得冠军且丙得亚军，则甲、乙比赛甲获胜，丙、丁比赛丙获胜，决赛甲获胜.【详解】甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5， 甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件的概率等于概率之积，所以， 甲得冠军且丙得亚军的概率：0.30.50.30.045⨯⨯=. 故选C.【点睛】本题考查独立事件的概率，考查分析问题解决问题的能力.8.设01p <<，随机变量ξ的分布列为那么，当p 在(0,1)内增大时,()D ξ的变化是（ ） A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】B 【解析】 【分析】先求期望，再求方差，根据函数单调性求解. 【详解】32()0121333p p p E ξ-=⨯+⨯+⨯= ()()()222322()0111213333p p p p D ξ-=-⨯+-⨯+-⨯=则()D ξ是在R 上的递增函数， 所以()D ξ是在(0,1)上的递增，故选B.【点睛】本题主要考查随机变量及其分布列，考查计算能力，属于基础题.9.已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ）A. (),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线B. 对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立C. (),()f x g x 的图象有且只有一个交点D. (),()f x g x 的图象有且只有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解.【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
绝密★启用前北京市丰台区2018-2019学年高二第二学期期末数学试题一、单选题1．已知复数134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】z 1+z 2=3-4i+（-2+3i ）=1-i ，则z 1+z 2在复平面内对应的点（1，-1）位于第四象限． 故答案为：D 。
2．已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项. 【详解】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若135a a +=，2q =，则4S 等于（ ） A ．7 B ．13C ．15D ．31【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求出1a ，即得4S 的值. 【详解】 由题得()2115a q+=，即11a=，则4124815S =+++=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算，考查等比数列的前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．已知关于x 的不等式20ax x c -+<的解集为{}|12x x -<<，则a c +等于（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由题得1-、2为方程20ax x c -+=的根，将1-代入20ax x c -+=，即得解. 【详解】由题得1-、2为方程20ax x c -+=的根， 将1-代入20ax x c -+=，得10a c ++=， 即1a c +=-， 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知函数()f x 的定义域为(,)m n ，导函数()f x '在(,)m n 上的图象如图所示，则()f x 在(,)m n 内的极小值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据极小值点的导数符号特征左负右正解答. 【详解】点A 的左右两边导数左负右正，所以A 是极小值点； 点O 的左右两边导数都正，所以O 不是是极小值点； 点B 的左右两边导数左正右负，所以B 是极大值点； 点C 的左右两边导数左负右正，所以C 是极小值点； 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的极值的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=，则28a a +等于（ ） A ．18 B ．30 C ．36 D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知求出518a =，再利用等差中项求出28a a +的值. 【详解】由题得5590a =，518a =， 所以285236a a a +==， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差中项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ） A ．1cm B ．2cm C ．3cm D ．4cm【答案】C 【解析】 【分析】设截去的小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x 的值得解. 【详解】设截去的小正方形的边长为x, 则铁盒的长和宽为18-2x,高为x,所以2(182)V x x =⋅-()249(09)x x x =-<<，所以12(3)(9)V x x =--'，所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减， 所以当x=3时，函数取最大值. 故选:C 【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理应用能力.8．已知数列{}n a 满足12a =，123(2)n n a a n n N *-=-+≥∈且，则下列说法错误的是（ ）A ．47a =-B ．41a -是21a -与61a -的等比中项C ．数列{}1n n a a +-是等比数列D ．在{}n a 中，只有有限个大于0的项【答案】D 【解析】 【分析】先求出数列{}n a 的通项，再逐一研究判断得解. 【详解】设()12n n a x a x -+=-+，解得1x =-，即1121n n a a --=--， 所以{1}n a -是一个以1为首项，以-2为公比的等比数列，所以111(2),(2)1n n n n a a ---=-∴=-+.（1）n =4时，47a =-，所以选项A 正确；（2）因为{1}n a -是一个以1为首项，以-2为公比的等比数列， 所以41a -是21a -与61a -的等比中项，所以选项B 正确；（3）1n n a a +-1=-3(2)n --（），所以数列{}1n n a a +-是等比数列，所以选项C 正确；（4）对于D ，偶数项为负，有无限个大于0的项，所以选项D 错误. 故选：D. 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列性质的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走的路程为（ ） A ．96里 B ．189里 C ．192里 D ．288里【答案】A 【解析】 【分析】设此人第一天走的路程为x,则111113782481632x x x x x x +++++=，求出x 即得解. 【详解】设此人第一天走的路程为x,则111113782481632x x x x x x +++++=， 解之得192x =， 所以962x=，所以第二天走的路程为96. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f -=，当0x <时，()()0xf x f x '+<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-?? C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()F x xf x =，先根据已知条件求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的图像和性质解不等式()0F x x>得解. 【详解】构造函数()()F x xf x =，因为()f x 为奇函数，所以()()F x xf x -=--=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数， 因为当0x <时，()()()'00xf x f x F x +<'<，即，()x 0F x 所以＜时，函数单调递减，x ＞0时，函数F(x)单调递增，因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0. 因为f(x)＞0，所以()0F x x>， 所以00()0()0x x F x F x ><⎧⎧⎨⎨><⎩⎩或， 所以x ＞1或-1＜x ＜0. 故选：B 【点睛】本题主要函数奇偶性的判断，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．复数(1)i i -的实部为_______. 【答案】1 【解析】试题分析：复数i （1﹣i ）=1﹣i ，复数的实部为：1． 故答案为：1．考点：复数代数形式的乘除运算． 12．已知0x >，则4x x+的最小值为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解. 【详解】由基本不等式得44x x+≥=，当且仅当2x =时取等. 所以4x x+的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13．已知函数3()f x x ax =+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是______ 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】由题得()230f x x a '=+≥在R 上恒成立，即a ≥-32x 恒成立，即得a 的取值范围.【详解】由题得()230f x x a '=+≥在R 上恒成立，即a ≥-32x 恒成立， 故0a ≥，所以a 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.【答案】7 【解析】 【分析】利用443a S S =-求解. 【详解】由题得4431697a S S =-=-=. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15．已知函数()x f x xe m =-，则()f x 的单调递减区间是____；若()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 【答案】(,1)-∞- 1(,)e-+∞ 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调减区间，利用函数的图像和性质得到1(1)0f m e-=--<，即得m 的取值范围. 【详解】()f x '()1xx e =+,令()1xx e +＜0，所以x ＜-1.故()f x 的单调递减区间为(),1-∞-；因为函数f(x)有两个不同零点，()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，增区间为（-1，+∞）. 所以1(1)0f m e-=--<， 所以1m e>-. 故答案为：(,1)-∞-；1(,)e-+∞. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知数列{}n a 的通项21n a n =-，把{}n a 中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形矩阵①数阵中第5行所有项的和为_______；②2019是数阵中第i 行的第j 列，则i j +=_______. 【答案】125 74 【解析】 【分析】①数阵中第5行所有项的和为2123252729125++++=; ②先利用等差数列求出i 和j,即得解. 【详解】①2123252729125++++=； ②212019n -=，1010n =，1+2+3++44=990⋅⋅⋅，故44145i =+=，2019991129j =-+=， 故74i j +=.故答案为(1). 125 (2). 74 【点睛】本题主要考查推理和等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17．已知函数3()36f x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[0,2]上的最大值与最小值，并写出相应的x 的值.【答案】(1) 当x=-1时，()f x 极大值为8，x=1时，f(x)极小值为4.（2）当x=1时，函数取最小值4，当x=2时，函数取最大值为8.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的极值；（2）比较端点函数值和极值点的函数值大小即得最值.【详解】(1) 由题得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，令()0f x '>，所以x ＞1或x ＜-1,令()0f x '<，所以-1＜x ＜1,所以函数的增区间为（-∞，-1）,(1,+∞),减区间为（-1,1）.所以当x=-1时，()f x 极大值为8，x=1时，f(x)极小值为4.(2)由题得(0)6,(2)8,(1)4f f f ===，所以当x=1时，函数取最小值4，当x=2时，函数取最大值为8.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．已知关于x 的不等式()(2)0x a x a -->的解集为M .（1）当1a =时，求M ；（2）当a R ∈时，求M .【答案】(1) {}|12x x x <>或 (2)见解析【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式得M;（2）对a 分类讨论解一元二次不等式.【详解】（1）由题得(1)(2)0x x -->，所以不等式的解集为{}|12x x x 或，故M= {}|12x x x 或.（2）①当0a =时，此时关于x 的不等式为20x >，{}|0M x x =≠；②当0a >时，此时{}|2M x x a x a =或；③当0a <时，此时{}|2M x x a x a =或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知等差数列{}n a 满足11a =，358a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1()3n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1) ()n a n n N *=∈ (2) 211()223n n n n S n N *++=-∈⋅ 【解析】【分析】（1）根据已知求出公差d,即得{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由题得1+2d+1+4d=8,所以d=1,所以()*1n 1n a n n N=+-=∈； （2）11=()33n a n n n b a n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()()2*11133111=1222313n n n n n n n S n N ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦=+-∈⋅-所以. 【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等差数列和等比数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．已知函数ln ()x f x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值.【答案】(1) 10x y --= (2) 1(,)2e +∞ (3) 1a = 【解析】【分析】（1）先利用导数求切线的斜率，再求切线方程；（2）原命题等价于2ln x a x<对()0,x ∈+∞恒成立，再令()2ln x h x x =求()max h x 即得解.（3）设切点为0x ，则000020ln 1ln 0x ax a x x a x ⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解之得解.【详解】（1）由题得21ln (),(1)1x f x k f x ''-=∴== 所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程y 0x 1-=-为10x y --=即；（2）由题得函数的定义域()0,+∞为. 即2ln x a x <对()0,x ∈+∞恒成立， 令()2ln x h x x =，所以()312ln x h x x -'=， 所以函数h(x)在(上单调递增，在)+∞上单调递减， 所以()max 12h x h e ==， 故a 的取值范围为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （3）由题得ln x y ax x =-，所以21ln x y a x-='- 设切点横坐标为0x ，则2ln1lnxax axxax⎧-=-⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得1a=.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和切线问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题。
1.复数的虚部为（）A. B. C. 1 D. -1【答案】C【解析】【分析】先化简复数，即得复数的虚部.【详解】由题得.所以复数的虚部为1.故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知随机变量，且，则（）A. 0．25B. 0．3C. 0．75D. 0．65【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的图像和性质求解即可.【详解】由题得，所以.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】试题分析：单调变化情况为先增后减、再增再减因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.4.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（）0.012.706A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】【分析】由，结合临界值表，即可直接得出结果.【详解】由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B【点睛】本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量观测值即可，属于基础题型.5.在平面直角坐标系中,方程表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线,类比到空间直角坐标系中,在轴、轴、轴上的截距分别为的平面方程为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是.【详解】由类比推理得：若平面在轴、轴、轴上的截距分别为，则该平面的方程为：，故选A.【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令，看是否为.6.若函数无极值点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，再利用导函数与极值的关系即得解.【详解】由题得，因为函数无极值点，所以，即.故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【详解】，因此，复数的虚部为，故选：A.【点睛】本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题.2.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A. 假设、、都偶数B. 假设、、都不是偶数C. 假设、、至多有一个偶数D. 假设、、至多有两个偶数【答案】B【解析】【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.一工厂生产某种产品的生产量（单位：吨）与利润（单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，与线性相关，且回归方程为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据计算出和，再将点的坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【详解】由题意可得，，由于回归直线过样本中心点，则有，解得，故选：C.【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知，，，，若（、均为正实数），根据以上等式，可推测、的值，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于的等式，再令可得出和的值，由此可计算出的值.【详解】，，，由上可归纳出，当时，则有，，，因此，，故选：B.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.5.甲射击时命中目标的概率为，乙射击时命中目标的概率为，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件的概率.【详解】记事件甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，则事件甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标，由独立事件的概率乘法公式得，，故选：D.【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.6.定积分（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找出函数的原函数，然后微积分定理可求出的值.【详解】，所以，，故选：C.【点睛】本题考查简单复合函数定积分的计算，解题的关键就是要找到被积函数的原函数，考查计算能力，属于中等题.7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种【答案】A【解析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．8.的展开式中，的系数为（）A. B. C. 30 D.【答案】B【解析】【分析】将二项式表示为，利用二项展开式通项，可得出，再利用完全平方公式计算出展开式中的系数，乘以可得出结果.【详解】，其展开式通项为，由题意可得，此时所求项为，因此，的展开式中，的系数为，故选：B.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.一台机器在一天内发生故障的概率为，若这台机器一周个工作日不发生故障，可获利万元；发生次故障获利为万元；发生次或次以上故障要亏损万元，这台机器一周个工作日内可能获利的数学期望是（）万元．（已知，）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设获利为随机变量，可得出的可能取值有、、，列出随机变量的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望.【详解】设获利为随机变量，则随机变量的可能取值有、、，由题意可得，，则.所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为，故选：C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题.10.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )A. (2，＋∞)B. (－∞，－2)C. (1，＋∞)D. (－∞，－1)【答案】B【解析】【分析】求导后讨论、、时的单调性，结合函数只有一个零点，求出参量取值范围【详解】函数则，令则⑴当时，，存在两个零点，不符合题意，故⑵当时，，在，上单调递增，在上单调递减是的极小值点，是的极大值点，且，当趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷此时函数必有一负零点，不符合题意⑶当时，，在，上单调递减，在上单调递增是的极小值点，是的极大值点，要使函数仅有一正零点，结合函数图像，可知，代入可得：，解得综上，则的取值范围为故选【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数单调区间和零点，在计算过程中需要对参量进行分类讨论，有一定的计算量，属于中档题。
第4讲复数最新考纲 1.理解复数的基本概念;2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋b i(a∈R，b∈R）的数叫复数,其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋b i为实数；若a＝0且b≠0,则a＋b i为纯虚数复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R）共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）续表复平面用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴,y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设错误!对应的复数为z＝a＋b i，则向量错误!的长度叫作复数z＝a＋b i的模｜z|＝|a＋b i|＝错误!2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a，b）（a,b∈R)．（2）复数z＝a＋b i(a，b∈R）平面向量错误!.3．复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R)，则（1)加法:z1＋z2＝（a＋b i）＋（c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2)减法:z1－z2＝（a＋b i）－（c＋d i）＝（a－c）＋(b－d）i；（3）乘法：z1·z2＝（a＋b i)·（c＋d i）＝（ac－bd)＋(ad＋bc）i；（4）除法：错误!＝错误!＝错误!＝错误!（c＋d i≠0)．诊断自测1．判断正误（在括号内打“√”或“×”）精彩PPT展示（1）复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i。
（)(2）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．（)(3）原点是实轴与虚轴的交点．（)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(）解析（1）虚部为b;（2)虚数不可以比较大小答案（1)×(2）×（3）√（4)√2．（2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2 C．2 D．3解析因为(1＋2i)(a＋i）＝a－2＋（2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3,故选A。
2018-2019学年北京市大兴区高二第二学期期末检测数学试题一、单选题1．双曲线22134x y -=的实轴长为（ ）A ．1B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】由双曲线的标准方程中正项的分母确定． 【详解】由题意a =2a =．故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，由标准方程求实轴长．属于基础题． 2．0123444444C C C C C ++++=（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16【答案】D【解析】由二项式系数性质计算． 【详解】0123444444C C C C C ++++=4216=．故选：D ． 【点睛】本题考查二项式系数的性质．掌握二项式系数性质是解题关键．二项式系数性质：012n nn n n C C C +++=L ．3．复数(1)i i a i +=+，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】由复数乘法运算把已知等式左边化为代数形式，然后由复数相等的定义求得a ． 【详解】由已知(1)1a i i i i +=+=-+，所以1a =-．故选：B ． 【点睛】本题考查复数相等的定义，考查复数的乘法运算．掌握复数相等定义是解题关键． 4．设随机变量()2~,X Nμσ，则()P X μ≤=（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【解析】根据正态分布的性质得结论． 【详解】由正态分布的性质知1()2P X μ≤=． 故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的性质，若()2~,X Nμσ，则其正态分布曲线关于X μ=对称．5．甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.6，则恰有一人投中的概率为（ ） A ．0.44 B ．0.48C ．0.88D ．0.98【答案】A【解析】恰有一人投中这个事件是由甲投中乙不中和甲不中乙投中组成，由此可求概率． 【详解】记甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，恰有一人投中为事件C ， 由题意()0.8,()0.6P A P B ==，()()()0.8(10.6)(10.8)0.60.44P C P AB P AB =+=⨯-+-⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查互斥事件和相互独立事件的概率，解题关键是确定恰有一人投中这个事件是由哪些事件组成的．6．已知直线2()y kx k R =+∈与椭圆2219x y t+=恒有公共点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(0,4]B ．[4,9)C ．(9,)+∞D ．[4,9)(9,)+∞U【答案】D【解析】直线与椭圆恒有公共点，则直线所过定点在椭圆内部或椭圆上，由此可得． 【详解】直线2y kx =+过定点(0,2)，由题意0419t +≤，解得4t ≥，又方程2219x y t+=表示椭圆，所以9t ≠，所以4t ≥且9t ≠． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，直线过椭圆内的点或椭圆上时，直线必与椭圆有公共点．还要注意椭圆标准方程中22,x y 的系数不相同．7．已知MN 是平面α的斜线段，M 为斜足，若动点P α∈，且MNP △的面积为定值，则动点P 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】A【解析】由三角形面积为定值，从而得点P 到直线MN 的距离为定值，P 在以MN 为轴的圆柱侧面上，从而P 点轨迹是圆柱侧面与平面α的交线．由平面与圆柱侧面相交的性质可得． 【详解】因为MNP ∆的面积为定值，MN 的长为定值，所以点P 到直线MN 的距离为定值，点P 在以MN 为轴的圆柱侧面上，动点P α∈，所以P 在圆柱侧面与平面α的交线上，而MN 是平面α的斜线段，所以这个交线是椭圆． 故选：A ． 【点睛】本题考查平面与圆柱侧面相交的性质，注意平面与圆柱轴的不同位置关系，交线的形状也不相同．8．已知F 为抛物线2 : 2(12)C x py p =<<的焦点，F 关于原点的对称点为F '，点M 在抛物线C 上，给出下列三个结论：①使得MFF 'V 为等腰三角形的点M 有且仅有6个②使得||||1MF MF '+=u u u u r u u u r的点M 有且仅有2个③使得||2||MF MF '=u u u u ru u u r的点M 有且仅有4个其中正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】根据抛物线的性质对四个选项分别判断． 【详解】MFF '∆为等腰三角形，若MF FF '=，这样的M 点有两个，若MF FF ''=，这样的M 点有两个，满足MF MF '=的点M 有一个但不能构成三角形．故M 点只有4个，①错；由12p <<，而FF p '=，MF MF FF p ''+≥=，所以满足||||1MF MF '+=u u u u r u u u r的点M 不存在，②错；如图，作MN 垂直于抛物线的准线（准线显然过点F '），垂足为N ，则MF MN =，若||2||MF MF '=u u u u r u u u r则||2||MF MN '=，所以45MF N '∠=︒，又(0,)2p F '-，设直线l 的倾斜角为45︒，其方程为2py x =-，代入抛物线方程整理得：2220x px p -+=，12x x p ==，此方程是两个相等实根，即直线l 与抛物线只有一个公共点，根据对称性，满足||2||MF MF '=u u u u r u u u r的点M 有两个，③错．故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，掌握抛物线的定义是解题关键．二、填空题9．椭圆22143x y +=的离心率为________．【答案】12【解析】由标准方程求出,a b ，再得c ，然后可得离心率． 【详解】由题意2a =，b =1c ==，离心率为12c e a ==． 故答案为：12． 【点睛】本题考查椭圆的离心率，由标准方程求得,a b 后得c ，得离心率，属于基础题． 10．在7(1)x -的展开式中，3x 的系数为________． 【答案】35-【解析】由二项展开式通项公式求得3x 的项数，然后可得系数． 【详解】二项展开式通项公式为71771()(1)r r r r r rr T C x C x -+=-=-，3r =， 所以3x 的系数为337(1)35C -=-．故答案为：35-． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．11．与双曲线212x y -=有共同渐近线的一个双曲线方程是________．【答案】22142x y -=（不唯一）． 【解析】设所求双曲线方程为22x y k -=，k 任取一个不等于0和1的实数即可．【详解】与双曲线212x y -=有共同渐近线的双曲线方程22x y k -=，0k ≠，如取2k =，则方程为22142x y -=．故答案为：22142x y -=（不唯一）． 【点睛】本题考查双曲线地标准方程，与22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程为：2222(0)x y k k a b-=≠． 12．随机变量,ζη的分布列如图所示，则()D ζ和()D η的大小关系是________．【答案】()()D D ηζ>【解析】根据01分布计算出方差即可得． 【详解】 根据题意()D ζ122339=⨯=，()D η111224=⨯=，所以()()D D ηζ>．故答案为：()()D D ηζ>． 【点睛】本题考查01分布的方差，掌握方差计算公式即可．13．5位同学排成一排照相，若甲与乙相邻，则不同的排法有________种． 【答案】48【解析】把甲乙捆绑作为一个元素与其他人进行排列．【详解】由题意不同的排法有242448A A =．故答案为：48． 【点睛】本题考查相邻元素的排列问题，解题方法是捆绑法．14．如图，AB α⊂，AC α⊥，AB BD ⊥，且1AB =，3BD =，5AC =，15CD =．①||CA AB BD ++=u u u r u u u r u u u r________；②线段BD 与平面α所成角的正弦值为________． 1523【解析】①由向量的加法法则计算后可得；②过D 作平面α的垂线DM ，垂足为M ，DBM ∠就是直线BD 与平面α所成角，设DM h =，求出h 即可得．【详解】①由题意CA AB BD ++u u u r u u u r u u u r CD =u u u r，所以||CA AB BD ++=u u u r u u u r u u u r 15CD =u u u r ；②如图，作DM α⊥，垂足为M ，连接,,MB MA DA ，则,DM BM DM AM ⊥⊥， 因为AC α⊥，所以//AC MD ，MDCA 是直角梯形．设DM h =， 又1AB =，3BD =，5AC =，15CD =2210AD AB BD +=22210AM AD DM h =--，在直角梯形MDCA 中，222()AC DM AM CD -+=，即222(5)(10)15h h -+-=，2h =，所以在DBM ∆中，2sin 3DM DBM DB ∠==．故答案为：15；23．【点睛】本题考查空间向量的加法运算，考查求直线与平面所成的角．求直线与平面所成的角一般要过直线上一点作平面的垂线，得直线在平面上的射影，从而得直线与平面所成的角．再在三角形中求解．三、解答题15．已知复数1z a i =+，21z i =-，a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求12z z ⋅的值； （Ⅱ）若12z z -是纯虚数，求a 的值；（Ⅲ）若12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2i ；（Ⅱ）1；（Ⅲ）(1,1)-．【解析】（Ⅰ）写出共轭复数2z ，由复数乘法法则计算； （Ⅱ）由复数的概念可求； （Ⅲ）计算出12z z 的代数形式，得对应点坐标，由点在第二象限可得a 的范围． 【详解】（Ⅰ）由题意12z z ⋅2(1)(1)122i i i i i =++=++=；（Ⅱ）由题意12(1)2z z a i -=-+为纯虚数，则10a -=，所以1a =；（Ⅲ）212()(1)111(1)(1)222z a i a i i a ai i i a a i z i i i ++++++-+====+--+，对应点11(,)22a a -+，它是第二象限点，则102102a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得11a -<<．故a 的范围是(1,1)-．【点睛】本题考查考查的乘法和除法运算，考查复数的概念，共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．16．从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数． （Ⅰ）求可以组成多少个大于500的三位数； （Ⅱ）求可以组成多少个三位数；（Ⅲ）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数． 【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）48；（Ⅲ）78．【解析】（Ⅰ）只要首位不小于5，后面随便排数即可； （Ⅱ）首位不排0，后两位排任意数；（Ⅲ）分类选了9和没选9，选9的这张可作9也可作6用． 【详解】（Ⅰ）由题意大于500的三位数的个数为123434336A A =⨯⨯=；（Ⅱ）所有三位数个数为124444348A A =⨯⨯=； （Ⅲ）12123333(48)278A A A A +-⨯=．【点睛】本题考查排列的应用，数学排列问题，注意首位不能为0．17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同．（Ⅰ）从中不放回的任取3个，记X 表示取到的肉粽个数，求X 的分布列和()E X ； （Ⅱ）从中有放回的任取3个，记Y 表示取到的肉棕个数，求(2)P Y ≥； （Ⅲ）比较()E X 与()E Y 的大小（只需写出结论）． 【答案】（Ⅰ）见解析，()1E X =；（Ⅱ）727；（Ⅲ）()()E X E Y =． 【解析】（Ⅰ）X 的取值分别为0,1,2，分别求出其概率可得分布列，再由期望公式计算期望；（Ⅱ）(2)P Y ≥(2)(3)P Y P Y ==+=，由此可得；（Ⅲ）Y 的取值分别为0,1,2,3，分别计算概率后可得期望． 【详解】（Ⅰ）由题意X 的取值分别为0,1,2，34361(0)5C P X C ===，1224363(1)5C C P X C ===，14361(2)5C P X C ===，X 的分布列为：期望为131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=； （Ⅱ）2233242(2)69C P Y ⨯⨯===，3321(3)627P Y ===， 所以217(2)(2)(3)92727P Y P Y P Y ≥==+==+=， （Ⅲ）又3348(0)627P Y ===，1233244(1)69C P Y ⨯⨯===， 所以421()12319927E Y =⨯+⨯+⨯=． 所以()()E X E Y = 【点睛】本题考查随机变量的分布列与数学期望，掌握概率公式是解题基础．18．已知斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点． （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点(4,0)M ，证明：直线AM 与直线BM 不垂直． 【答案】（Ⅰ）8；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）写出直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，直接求出两交点坐标，然后求线段长度；（Ⅱ）证明1AM BM k k ≠-即可．【详解】（Ⅰ）由题意抛物线的焦点为(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，由214y x y x =-⎧⎨=⎩得2610x x -+=，322222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩或322222x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即(322,222)A --，(322,222)B ++， 所以22(42)(42)8AB =+=．（Ⅱ）由(4,0)M 得222106273224AM k --==--，222106273224BM k ++==+-， 1062106241777AM BM k k -+=⨯=≠-，所以,AM BM 不垂直． 【点睛】 本题考查求直线与抛物线相交弦长，考查两直线位置关系．本题方法是直接法，直接求出直线与抛物线的交点坐标，计算线段长，计算斜率得出结论．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，CA CB ⊥，1112CA CB CC ===，D ，E 分别是1AA ，11A B 的中点．（Ⅰ）求证：1C E BD ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小；（Ⅲ）线段1C E 上是否存在点F ，使1//A F 平面1C BD ？若存在，求11C F C E的值：若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6π；（Ⅲ）存在点F ，使1//A F 平面1C BD ，而过113C F C E 2=． 【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用向量证明垂直；（Ⅱ）求出两平面的法向量，由法向量夹角得二面角；（Ⅲ）假设存在，设11C Fk C E=，即11C F kC E =u u u u r u u u u r ，由此求出1A F u u u u r ，由1A F u u u u r 与平面1C BD 的法向量垂直可得．【详解】（Ⅰ）由于1CC ⊥底面ABC ，CA CB ⊥，以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,0,2),(0,1,2)C A B C A B ，11(1,0,1),(,,2)22D E ， 111(,,0)22C E =u u u u r ，(1,1,1)BD =-u u u r ，所以10CE BD ⋅=u u u u r u u u r ，1C E BD ⊥u u u u r u u u r ，即1C E BD ⊥；（Ⅱ）由（Ⅰ）1(1,0,1)C D =-u u u u r ，设平面1C BD 的一个法向量为111(,,)n x y z =r ，则11111100n C D x z n BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u u v v u u u v v ，以11x =，则111,2z y ==，(1,2,1)n =r ， 设平面1A BD 一个法向量是222(,,)m x y z =u r ，1(0,0,2)AA =u u u r ， 则22212020m BD x y z m AA z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩u u u v v u u u v v ，取21x =，则(1,1,0)m =u r ， 222223cos 2121110m n m n m n ⋅<⋅>===⋅++⨯++u r r u r r u r r ，6m n π<⋅>=u r r ． 所以二面角11A BD C --的大小为6π； （Ⅲ）假设存在点F ，使1//A F 平面1C BD ，设11C F k C E=，即11C F kC E =u u u u r u u u u r ，1111111A F AC C F AC kC E =+=+u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，又11(1,0,0)AC =-u u u u r ，所以111(1,,0)22A F k k =-u u u u r ， 由11102A F n k k ⋅=-+=u u u u r r ，得23k =． 所以存在点F ，使1//A F 平面1C BD ，而过113C F C E 2=． 【点睛】本题考查用空间向量证明线线垂直，求二面角，解决线面平行问题，解题关键是建立空间直角坐标系． 20．已知椭圆22:12x C y +=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，设M ，N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两动点，且直线1MF 与直线2NF 平行，2MF 与1NF 交于点D ．（Ⅰ）求1F 和2F 的坐标； （Ⅱ）求12MF NF ⋅的最小值； （Ⅲ）求证：12DF DF +是定值．【答案】（Ⅰ）1(1,0)F -，2(1,0)F ；（Ⅱ）12；（Ⅲ）见解析． 【解析】（Ⅰ）由椭圆方程得,a b 后可得c ，即得焦点坐标；（Ⅱ）设直线1MF 与椭圆的另一焦点是P ，由椭圆的对称性得12PF NF =，设1122(,),(,)M x y P x y ，设直线1MF 方程是1x my =-，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理可得1212,y y y y +，用弦长公式求得11,MF PF ，计算11MF PF ⋅并代入1212,y y y y +得关于m 的函数，可得最小值．（Ⅲ）由（Ⅱ）得2BF ，再由21//MF NF ，由平行线性质求得1DF 和2DF ，相加即证．【详解】（Ⅰ）由题意a =1b =，所以1c =，焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ； （Ⅱ）设直线1MF 与椭圆的另一焦点是P ，因为21//MF NF ，所以由椭圆的对称性得12PF NF =，设1122(,),(,)M x y P x y ，设直线1MF 方程是1x my =-，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，212212MF NF MF PF y y ==221221(1)2m m y y m +=+=+2112m =-+， 所以当0m =时，21MF NF 取得最小值为12． （Ⅲ）因为21//MF NF ，且,M N 在椭圆上，所以111121212)MF MF DF NF NF MF NF MF NF =⨯=⨯++同理22112)NF DF MF MF NF =⨯+，所以12DF DF +=12122MF NF MF NF =+， 由（Ⅱ）212212m MF NF m +=+，121212MF NF y y +==-=221)2m m +==+， 所以12DF DF+2==为定值． 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题方法是设而不求的思想，即设设交点坐标1122(,),(,)M x y P x y ，设直线1MF 方程是1x my =-，与椭圆方程联立后应用韦达定理得1212,y y y y +，再把此结论代入弦长表达式中化简即可．本题还考查了学生的运算求解能力，属于中档题．。
北京市西城区2018-2019学年下学期期末考试高二文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，求得，利用集合的交集的运算，即可得到答案.详解：由题意可得，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合和准确把握集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.下列函数中，定义域为的单调递减函数是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据基本初等函数的性质，逐一判定即可得到答案.详解：由题意，函数在上不是单调函数，所以A不正确；函数在是单调递减函数，在上不是单调函数，所以B不正确；函数在上是单调递减函数，所以C正确；函数的定义域为，所以D不正确，综合可知，只有函数在上是单调递减函数，故选C.点睛：本题主要考查了函数的单调性的判定，其中熟记基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：利用复数的运算法则，求解，再根据复数的表示，即可得到答案.详解：由题意，复数，所以在复平面内对应点的坐标为，所以复数对应的点位于第三象限，故选C.点睛：本题主要考查了复数的运算与复数的表示，其中熟记复数的四则运算法则和复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.如果，那么下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据幂函数的单调性，即可判定得到答案.详解：当时，此时，但，且，所以A、C不正确；由函数为单调递增函数，当时，，所以D不正确，由函数是上的单调递增函数，所以当时，成立，所以B是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.5.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的属于( )..A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，执行循环结构的程序框图，根据二次函数的性质，求解函数的值域，即可得到结果.详解：由题意，根据给定的程序框图可知：输入，不满足判断条件，计算，满足条件，计算的值域，输出，故选D.点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．6.已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因函数的定义域是,故,是充分条件；反之,若,则函数不一定是奇函数,不是必要条件,如函数,应选A.考点：充分必要条件.7.若，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据对数及其对数的运算的性质，利用作差比较法，即可得到的大小关系.详解：由题意，，则，所以，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了对数式的比较大小问题，其中熟记对数的运算及对数函数的图象与性质，合理采用作差比较法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想方法的应用.8.某电影院共有个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么的可能取值有( )A. 12个B. 11个C. 10个D. 前三个答案都不对【答案】A【解析】分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则，依次验证即可得到答案.详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则，当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上；当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上；当时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上；所以当有取法，即有12个取值，故选A.点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知命题，则__________.【答案】.【解析】分析：根据全称命题和存在性命题的关系，即可作出命题的否定.详解：由题意，根据全称命题与存在性命题的关系可知：命题：“”的否定：“”.点睛：本题主要考查了命题的否定，其中熟记全称命题存在性命题的关系是正确作出改写的关键，着重考查了推理与论证能力.10.曲线在处切线的斜率为__________.【答案】.【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.11.当时，函数的最小值为__________.【答案】3.【解析】分析：由题意，函数化为，利用基本不等式的求解，即可得到答案.详解：由题意，函数，当且仅当，即取得等号，所以函数的最小值为.点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件和合理对函数作出化简，构成基本不等式的使用条件是解答的关键，利用着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12.已知实数满足，则__________.【答案】4.【解析】分析：由题意得出，再利用对数的运算公式化简，即可得到结果.详解：由题意满足，则，则.点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算和对数的运算的综合应用，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.13.若函数则__________；使得方程有且仅有两解的实数的取值范围为__________．【答案】 (1). 0. (2). .【解析】分析：要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解.详解：由题意，函数，则，要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，如图所示，结合图象可知，要使的方程有且仅有两解，只需，即实数的取值范围是.点睛：本题考查了分段的求值和分段函数的图象的应用，其中解答中把使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，是解答的关键，着重考查了数形结合思想和转化思想方法的应用.14.某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序必须要在工序完成后才能开工，则称为的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.【答案】8.【解析】分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数，且.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)写出能够说明“任给，”是假命题的一组的值.【答案】(1)-1.(2) 答案不唯一，如.【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，解得，确定函数的解析式，即可求解；(Ⅱ)根据对数函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，即可得出其中一组解.详解：（Ⅰ）解：由题意，所以，即.则.(Ⅱ)解：答案不唯一，如.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质以及对数的基本运算，其中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.已知函数，其中.(Ⅰ)若，解不等式；(Ⅱ)记不等式的解集为，若，求的取值范围.【答案】(1) ，或.(2) .【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，当时，得不等式，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集；(Ⅱ) 由不等式的解集为，且，得，即，分类讨论，即可求解实数的取值范围.详解：（Ⅰ）解：由题意，得不等式，解得，或.所以不等式的解集为，或.(Ⅱ)解：因为不等式的解集为，且，所以，即当时，不等式不成立；当时，不等式等价于，解得.综上，的取值范围是.点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次函数的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和一元二次函数的图像与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力和转化思想方法的应用.17.设，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）求满足的关系；（Ⅱ）求证:.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)求导，得，由题意可得，即可得到答案；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得函数，求得，分类讨论得出函数的单调性，即可证得结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.即(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得，即.所以，.当时，得当时，，此时，函数在上单调递增，这与题意不符.当时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.因为函数在区间上点掉递增，在区间上单调递减，所以时符合题意.综上，.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中熟记导函数与原函数的关系，准确运算是解答此类问题的关键，同时注意转化思想方法和数形结合思想的应用.18.现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.（Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人收的税；（Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数；（Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）【答案】(1) （元）.(2) .(3) 丙的月工资收入为11275元.【解析】分析：(Ⅰ)根据题意，利用表格中的要求，即可计算甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税；(Ⅱ)根据题意，借助表格总的要求，分别计算收入在不同的范围内的应用的函数解析式，最后利用分段函数表示应纳个人所得税与的函数关系式；（Ⅲ）由（2）中的函数的解析式，即可得到丙的月工资收入.详解：(Ⅰ)解：甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税为（元）.(Ⅱ)解：当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.所以（Ⅲ）丙的月工资收入为11275元.点睛：本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，根据题设的要求，找出合适的等量关系，建立函数解析式是解答的挂念，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.设函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.【答案】(1) 存在极小值，不存在极大值.(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)由题意得，因为，所以，进而得出函数的单调性，求解函数的极值；(Ⅱ)由方程，得，由，得，得出函数的单调性与极值，即可判定函数至多在区间存在一个零点，得出结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得，因为，所以，所以当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数.故当时，存在极小值，不存在极大值.(Ⅱ)证明：解方程，得.由，得.随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，所以函数至多在区间存在一个零点；所以，当时函数不可能存在两个零点.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.【答案】(1) .(2) .(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.（Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明. 即的图象在图象的下方.详解：解：（Ⅰ）求导，得，又因为所以曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）设函数，求导，得，因为函数在区间上为单调函数，所以在区间上，恒成立，或者恒成立，又因为，且，所以在区间，只能是恒成立，即恒成立.又因为函数在在区间上单调递减，，所以.(Ⅲ）证明：设.求导，得.设，则（其中）.所以当时，（即）为增函数.又因为，所以，存在唯一的，使得且与在区间上的情况如下：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，，所以，所以，即的图象在图象的下方.点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法. 将的图象在图象的下方，通过构造新函数，转化恒成立是解题关键.。
