平行四边形的判定(1)

18.1.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定课前预习1.平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别相等（或分别平行）的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【数学表述】（1）如图1，在四边形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC （或AB∥CD，AD∥BC），∴四边形ABCD是平行四边形；（2）如图1，在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D ，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）如图2，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；（4）如图1，在四边形ABCD中，∵AD=BC，AD∥BC（或AB=CD，AB∥CD），∴四边形ABCD是平行四边形.课堂练习知识点1 两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形1.如图，在四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且___AD___∥BC___时，这个四边形是平行四边形.2.在四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，那么当DC＝___3___ cm，AD＝___5___ cm时，四边形ABCD是平行四边形.3.在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，则应添加的条件是（D）A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形4.如图，已知∠B＝∠D，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要添加的一个条件是___∠A＝∠C___.5.在下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（D）A.∠A=∠C，∠B=∠DB.∠A=∠B=∠C=90°C.∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°D.∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形6.【核心素养·数学建模】小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（A）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形7.如图，将线段AB 平移得到线段DC ，连接AD ，BC ，则四边形ABCD 为___平行___四边形，其依据为___一组对边平行且相等的四边形是平行四边形___.8.（2020文山期末）如图，在四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE=DF ，AF=CE.求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEC=∠DFA=90°，在△BCE 和△DAF 中，,,,BE DF BEC DFA CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE≌△DAF（SAS ）.∴BC=AD，∠BCE=∠DAF.∴BC∥AD.∴四边形ABCD 是平行四边形.课时作业练基础1.（2020个旧期末）如图，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有哪几种，请一一写出___①③或②④或①②或③④___.2.在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O.（1）如果AC=10 cm，BD=8 cm，那么当AO=CO = 5___cm，DO=BO=___4___cm 时，四边形ABCD为平行四边形；（2）如果∠BAD=65°，∠ABC=115°，那么当∠BCD=___65___°，∠ADC=___115___°时，四边形ABCD为平行四边形.3.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，则图中平行四边形的个数一共有（B）A.3个B.4个C.5个D.6个4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构建平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（B）A.（3，1）B.（-4，1）C.（1，-1）D.（-3，1）5.有下列命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. 其中正确的个数为（ B ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.（2020盘龙区期末）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是AC 上的两点，且B F∥DE.（1）求证：△BFO≌△DEO；（2）求证：四边形BFDE 是平行四边形.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD，∵BF∥DE，∴∠OFB=∠OED.在△BFO 和△DEO 中，,,,OFB OED FOB EOD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFO≌△DEO（AAS ）；（2）∵△BFO≌△DEO，∴OF=OE.又∵OB=OD，∴四边形BFDE 是平行四边形.7.如图，E ，F 分别为 ABCD 中AD ，BC 的中点，分别连接AF ，BE 交于点G ，连接CE ，DF 交于点H.求证：EF 与GH 互相平分.证明：∵E 为AD 的中点，F 为BC 的中点， ∴AE=12AD ，CF=12BC. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∴AE∥CF，AE=CF.∴四边形AFCE 是平行四边形.∴AF∥CE，同理可证BE∥DF.∴四边形GFHE 是平行四边形.∴EF 与GH 互相平分.8.（2020昆明期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，且BF=DE.求证：（1）AE=CF ；（2）四边形AECF 是平行四边形.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.又∵BF=DE，∴BF -EF=DE-EF ，即BE=DF.在△ABE 和△CDF 中，,,,AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CDF（SAS ）.∴AE=CF；（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD.∴∠AEF=∠CFE.∴AE∥CF.∵AE=CF，∴四边形AECF 是平行四边形.9.如图，以△ABC 的三边为一边的BC 的同侧作等边三角形△ABE，△BCF，△ACG.求证：四边形AEFG 是平行四边形.证明：∵△ABE、△BCF 为等边三角形，∴AB=BE=AE，BF=BC ，∠ABE=∠CBF=60°.∴∠FBE=∠CBA.在△FBE 和△CBA 中，,,,BF BC FBE CBA EB AB =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△FBE≌△CBA(SAS).∴EF=AC.又∵△AGC 为等边三角形，∴CG=AG=AC.∴EF=AG.同理可得AE=GF.∴四边形AEFG 是平行四边形.提能力10.如果一个四边形ABCD 的边长依次是a ，b ，c ，d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=2ac+2bd ，那么这个四边形是 平行四边形.【解析】∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，∴（a2-2ac+c2）+（b2-2bd+d2）=0，即（a-c）2+（b-d）2=0.∴a-c=0，b-d=0.∴a=c，b=d.∴四边形ABCD是平行四边形.11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F，CE=BE，（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积.（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°.在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°.∴AD∥BC.∵E为AB的中点，∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC.∵CE=BE，∴∠BCE=∠EBC=60°.又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°.由等边△ABD得∠D=60°，∴∠AFE=∠D.∴FC∥BD.由AD∥BC知FD∥BC.∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，AB=3，AC=∴BC=12∴SBCFD。

八年级数学平行四边形的判定（一）
复习引入：
1．平行四边形的定义是什么？
2．平行四边形还有哪些性质？
定理探索
定义：两组对边分别的四边形是平行四边形。

活动1：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD
求证：四边形ABCD是平行四边形.
得出：两组对边分别的四边形是平行四边形。

活动2
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, 且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
得出：一组对边的四边形是平行四边形.
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形.
A B C D E F A 1A 2A 4A 3A 6A 5
随堂练习：
1.如图：线段AD 是线段BC 经过平移所得到的，分别连接AB 、CD ．四边形ABCD 是平行四边形吗?为什
2.如图所示，AC=BD=16，AB=CD=EF=15，CE=DF=9，图中有哪些互相平行的线段？
3.如图所示，四个全等的三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由．
4.如图，AC ∥DE ，点B 在AC 上，且AB=DE=BC 。

找出图中的平行四边形，并说明理由。

5.已知：如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在AB 和CD 上，BE=DF 。

求证：四边形DEBF 是平行四边形。

6.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D ，∠1=∠2.
求证：四边形ABCD 是平行四边形。

2题 3题。

课题：§19.1.2 平行四边形的判定（1）导学案【学习目标】：1.探索并掌握判定四边形是平行四边形的条件．2.会运用平行四边形的判定定理和有关性质来解决问题．3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．【学习重难点】学习重点：平行四边形的判定定理及其应用．学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．【预习感知】：（课前完成）请你认真阅读课本P86-88内容，回答下面问题，并记下你的困惑和问题。

1、想一想：（1）平行四边形的定义是。

平行四边形的性质①平行四边形的对边。

②平行四边形的。

③平行四边形的。

（2）在P86-87探究中得到的两个四边形各有什么特征？根据探究你能得出什么结论？在例3的证明第4行中是如何得出EO=FO的？（3）平行四边形的判定定理1定理：的四边形是平行四边形。

条件：四边形的两组对边分别相等结论：已知：如图，在四边形ABCD中，求证：四边形ABCD是平行四边形证明：定理用符号语言表示为：∵∴（4）平行四边形的判定定理2定理：对角线的四边形是平行四边形条件：四边形的对角线互相平分结论：四边形为平行四边形已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证：四边形ABCD为平行四边形证明：定理用符号语言表示为：∵∴（4）平行四边形判定定理3定理： 条件：四边形的一组对边平行且相等结论：四边形为平行四边形已知：如图，在四边形ABCD 中， 求证：四边形ABCD 为平行四边形证明：定理用符号语言表示为：∵ ∴2．练一练：（1）推论：两组对角 的四边形是平行四边形条件：四边形的两组对角分别相等结论：四边形为平行四边形已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C, ∠B=∠D求证：四边形ABCD 为平行四边形证明：定理用符号语言表示为：∵ ∴（2）下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是 （ ）A ．一组对边相等.B ．两条对角线互相垂直.C ．一组对边平行.D ．两条对角线互相平分.（3）下列条件中,能说明四边形ABCD 是平行四边形的是 ( )A.. 120,120,60,60=∠=∠=∠=∠D C B A .B. 150,60,90,60=∠=∠=∠=∠D C B A .C. 120,110,70,60=∠=∠=∠=∠D C B A .D.150,30,150,30=∠=∠=∠=∠D C B A . （4）分别过△ABC 的三个顶点作对边的平行线,这些平行线两两相交,则构成的平行四边形有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(5)下列给出的条件中,能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( )A. BC AD CD AB =,//.B. CD CB AD AB ==,.C. BC AD CD AB ==,.D. D A C B ∠=∠∠=∠,.(6) 如图，在四边形ABCD 中，D B CD AB ∠=∠,//．四边形ABCD 的平行四边形吗？为什么？ A D（7）在四边形ABCD 中，DM ⊥AC 于点M ，BN ⊥AC 于点N ，DM=BN ，AM=CN ，四边形ABCD是平行四边形吗？说明理由．【共研释疑】（课内完成）1.组内交流“预习感知”中的疑难问题和困惑。

平行四边形的判定（第一课时）1. 什么是平行四边形？平行四边形指的是有四个边，且对边两两平行的四边形。

即使边长不同，形状可以不一样，只要对边是平行的，这个四边形就可以被称为平行四边形。

2. 平行四边形的性质平行四边形具有以下性质：•对边是平行的：平行四边形的两对相对边是平行的。

可以用符号表示为ABǁCD和ADǁBC，其中ǁ表示平行。

•对边长度相等：平行四边形的对边长度是相等的，即AB = CD，AD = BC。

•对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD互相平分。

•相对角相等：平行四边形的相对角是相等的，即∠B = ∠D，∠A = ∠C。

3. 判定平行四边形的方法判定一个四边形是否为平行四边形，可以使用以下方法：方法一：边的平行性判定判定四边形的两对边是否平行，可以通过观察边的斜率。

如果两条边的斜率相等，则可以判定这两条边是平行的。

具体的判定方法如下：1.计算两条边的斜率，例如斜率为m1和m2。

2.如果m1 = m2，则可以判定这两条边是平行的。

3.如果m1 ≠ m2，则这两条边不是平行的，这个四边形不是平行四边形。

方法二：角度的相等性判定判定四边形的相对角是否相等，可以通过观察角的度数。

如果四个角的度数相等，则可以判定这个四边形是平行四边形。

具体的判定方法如下：1.使用直角器或者角度测量器测量四个角的度数，例如得到的度数为α、β、γ和δ。

2.如果α = γ 且β = δ，则可以判定这四个角是相等的，这个四边形是平行四边形。

3.如果α ≠ γ 或者β ≠ δ，则这四个角不是相等的，这个四边形不是平行四边形。

4. 示例考虑以下四边形ABCD：A/ \\/ \\/ \\/_________\\D CB•已知ABǁCD，ADǁBC，我们可以判定该四边形为平行四边形。

•观察角度，我们得到∠A = ∠C 和∠B = ∠D，因此该四边形满足相对角相等的条件。

综上所述，四边形ABCD是一个平行四边形。

平行四边形的判定(一)内容解析“平行四边形的判定”是初中数学几何部分重要的内容之一，这主要体现在知识技能和思想方法两个方面。

从知识技能上讲，它既是对前面所学的全等三角形和平行四边形性质的一个回顾和延伸，又是以后学习特殊平行四边形的基础，同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力；从思想方法上讲，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了化归思想。

本节课是在学生前面学段已经学过的平行四边形知识、本学段学过的四边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上作进一步较系统的整理和研究。

本章内容的学习反复运用了平行线和三角形的知识，从这个角度来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的应用和深化一、教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想的思维方法来研究问题．二、重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．教学过程:温故知新1.什么是平行四边形?A Array2.如图,在ABCD 中：若AB=2,BO=4, CO=5，∠ABD=120°则：CD=_____,D0=____, BD=______.∠ADC=____., 3.如何判定一个四边形ABCD是否为平行四边形？探究新知：活动1，用手中两块相等的三角板拼出四边形，拼出的各个四边形的两组对边分别相等吗？它们都是平行四边形吗？结论： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

推理格式：∵ AD=____, AB=_______.∴ 四边形ABCD 是平行四边形。

活动2， 请在草稿纸上画出两条线段AC,BD ，且相交于O 点，然后依次连接点A,B,C,D.请问当交点O 在什么位置时，四边形ABCD 为平行四边形吗？猜测：对角线互相平分的四边形为平行四边形。