课件三：坐标系与函数

坐标系与函数一、平面直角坐标系和函数考点1平面直角坐标系坐标轴上的点x轴、y轴上的点不属于任何象限对应关系坐标平面内的点与有序实数对是________对应的平面内点P(x，y)坐标特征(1)各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限⇔________________点P(x,y)在第二象限⇔________________点P(x,y)在第三象限⇔________________点P(x,y)在第四象限⇔________________ (2)坐标轴上点的坐标的特征点P(x,y)在x轴上⇔__________________点P(x,y)在y轴上⇔__________________点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上⇔x，y 同时为零，即点P的坐标为(0,0)考点2平面直角坐标系内点的坐标特征平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数(2)平行于y轴平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数各象限的平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限的平分线上的点第一、三象限的平分线上的点的横、纵坐标____________(2)第二、四象限的平分线上的点第二、四象限的平分线上的点的横、纵坐标____________考点3点到坐标轴的距离到x轴的距离点P(a，b)到x轴的距离等于点P的__________________，即|b|到y轴的距离点P(a，b)到y轴的距离等于点P的_________________，即|a|考点4平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标用坐标表示平移点的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可以得到对应点________(或________)；将点(x，y)向上(或向下)平移b个单位长度，可以得到对应点________(或________)图形的平移对于一个图形的平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移某点的对称点的坐标关于x轴对称点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为________规律可简记为：谁对称谁不变，另一个变号，原点对称都变号关于y轴对称点P(x，y)关于y轴对称的点P2的坐标为________关于原点对称点P(x，y)关于原点对称的点P3的坐标为________考点5用坐标表示地理位置常用的方法有：(1)平面直角坐标系法；(2)方位角＋距离．考点6函数的有关概念常量与变量定义在某一变化过程中，始终保持________的量叫做常量，数值发生________的量叫做变量关系常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化过程中”．同一个量在不同的变化过程中可以是常量，也可以是变量，这要根据问题的条件来确定函数的概念函数定义一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数函数值对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变量y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值确定自变量的取值范围的依据(1)使关系式有意义；(2)使实际问题有意义防错提醒函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系考点7函数的表示方法表示方法列表法，图像法和表达式法使用指导表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法考点8函数图像的概念及画法一般地，对于一个函数，如果自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像．画法步骤：(1)列表；(2)描点；(3)连线．二、一次函数图像与性质考点1一次函数与正比例函数的概念一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．考点2一次函数的图像和性质(1)正比例函数与一次函数的图像正比例函数的图像正比例函数y＝kx(k≠0)的图像是经过点(0，0)和点(1，k)的一条直线一次函数的图像一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点(0，b)和－bk，0的____________图像关系一次函数y＝kx＋b的图像可由正比例函数y＝kx的图像平移得到，b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度图像确定因为一次函数的图像是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图像时，只要取两个点即可(2)正比例函数与一次函数的性质函数字母取值图像经过的象限函数性质y ＝kx (k ≠0)k >0________y 随x 增大而增大k <0________y 随x 增大而减小y ＝kx ＋b (k ≠0)k >0，b >0___________y 随x 增大而增大k >0，b <0____________k <0，b>0____________y 随x 增大而减小k <0，b <0,____________,考点3 两条直线的位置关系考点4 两直线的交点坐标及一次函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积分类求法一条直线与x 轴的交点坐标设y ＝0，求出对应的x 值一条直线与y 轴的交点坐标设x ＝0，求出对应的y 值一条直线与其他一次函数图像的交点坐标解由两个函数表达式组成的二元一次方程组，方程组的解即两个函数图像的交点坐标一条直线与坐标轴围成的三角形的面积直线y ＝kx ＋b 与x 轴的交点坐标为－b k，0，与y 轴的交点坐标为(0，b )，三角形面积为S △＝12|－bk |·|b |考点5 由待定系数法求一次函数的表达式因在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中有两个未知系数k 和b ，所以，要确定其表达式，一般需要两个条件，常见的是已知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，将其坐标代入得b 1＝a 1k ＋b ，b 2＝a 2k ＋b ，求出k ，b 的值即可，这种方法叫做___________．考点6 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式 (组)一次函数与一次方程一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的值为0时，相应的自变量的值为方程kx ＋b ＝0的根一次函数与一元一次不等式一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的值大于(或小于)0，相应的自变量的值为不等式kx ＋b >0(或kx ＋b <0)的解集一次函数与方程组两直线的交点坐标是两个一次函数表达式y ＝k 1x ＋b 1和y ＝k 2x ＋b 2所组成的关于x ，y 的方程组y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2的解三、一次函数的应用 考点1 一次函数的应用1．建模思想：解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图像与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．2．一次函数的最大(小)值：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)自变量x 的取值范围是全体实数，图像是直线，因此没有最大值与最小值．3．实际问题中的一次函数自变量的取值范围一般受到限制，其图像可能是线段或射线，根据函数图像的性质，就存在最大值或最小值．常见类型：(1)求一次函数的表达式．(2)利用一次函数的图像与性质解决某些问题，如最值等．四、反比例函数考点1 反比例函数的概念定义：形如________(k ≠0，k 为常数)的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数，表达式：y ＝k x(k ≠0)或y ＝kx －1(k ≠0)或xy ＝k (k ≠0)．防错提醒：(1)k ≠0；(2)自变量x ≠0；(3)函数y ≠0.考点2 反比例函数的图像与性质函数图像所在象限性质y ＝k x(k ≠0)k >0第一、三象限(x ，y 同号)在每个象限内，y 随x 增大而减小k <0第二、四象限(x ，y 异号)在每个象限内，y 随x 增大而增大(3)反比例函数比例系数k 的几何意义：推导：如图，过双曲线上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，所得的矩形PMON 的面积S ＝PM ·PN ＝|y |·|x |＝|xy |.∵y ＝k x，∴xy ＝k ，∴S ＝|k |.k 的几何意义：反比例函数图像上的点(x ，y )具有两坐标之积(xy ＝k )为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k |.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴，原点所围成的三角形的面积为常数12|k |.考点3 反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数表达式，其步骤是：①根据两变量之间的反比例关系，设y ＝k x；②代入图像上一个点的坐标，即x ，y 的一对对应值，求出k 的值；③写出表达式．2．求直线y ＝kx ＋b (k ≠0)和双曲线y ＝k x的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方程组．五、二次函数的图像与性质 考点1 二次函数的概念考点2 二次函数的图像及画法图像二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像是以_________为顶点，以直线________为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的步骤(1)用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；(2)确定图像的开口方向、对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图一般地，形如______________(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数称为二次函数．概念点拨：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2. (2)二次项系数a≠0.考点3二次函数的性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)a>0a<0图像开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴直线x＝－b2a直线x＝－b2a顶点坐标－b2a ，4ac－b24a－b2a，4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y最大值＝4ac－b24a增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减二次项系数a的特性|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即当x＝0时，y＝c考点4用待定系数法求二次函数的表达式方法适用条件及求法1.一般式若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a，b，c的值2.顶点式若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将关系式化为一般形式3.交点式若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般形式六、二次函数与一元二次方程考点1二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴的交点个数判别式Δ＝b2－4ac的符号方程ax2＋bx＋c＝0有无实根的情况2个Δ>0__________的实数根1个Δ＝0__________的实数根没有Δ<0__________实数根考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图像的特征a a>0开口向上a<0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab>0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号)对称轴在y轴右侧c c＝0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2－4ac b2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac>0与x轴有两个不同交点b2－4ac<0与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0考点3二次函数图像的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图[注意]确定抛物线平移后的函数表达式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图像的平移．七、二次函数的应用考点1二次函数的应用二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．考点2建立平面直角坐标系，用二次函数的图像解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键．。