初三中考数学 平面直角坐标系与函数的概念

中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。

平面直角坐标系及函数的图象易错清单1.能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?【例1】(山东济宁)函数中的自变量x的取值范围是().A. x≥0B. x≠-1C. x>0D. x≥0且x≠-1【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围.【答案】根据题意，得x≥0且x+1≠0，解得x≥0.故选A.【误区纠错】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.2.能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.【例2】(山东泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点，B(0，4)，则点B2014的横坐标为.【解析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案.【答案】∵，BO=4，故答案为10070.【误区纠错】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性.3.借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.【例3】(山东烟台)如图，点P是ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是().【解析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动，△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可.【答案】点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动，△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小.故选A.【误区纠错】本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.名师点拨1.会画出直角坐标系，能标识点在平面直角坐标系的位置.2.能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.3.理解函数的意义，会解释并区分常量与变量，能列简单的函数关系，会进行描点法画函数的图象.4.能列举函数的三种表示方法.5.会求出函数中自变量的取值范围，如保证分母不为零，使二次根式有意义等.6.能利用代入法求函数的值.7.能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.提分策略1.函数的概念及函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:(1)当函数关系式是整式时，自变量可取全体实数;(2)当函数关系式是分式时，考虑分式的分母不能为0;(3)当函数关系式是二次根式时，被开方数为非负数.此题就是第三种情形，考虑被开方数必须大于等于0.【解析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解.【答案】 C2.函数解析式的求法.具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.【例2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:方案一:从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元;方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元.(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案?并说明理由.【答案】(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用y1=4x.蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2=2.4x+16000.(2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x，由y1=y2，得16 000-1.6x=0，解得x=10000.∴当x<10000时，y1<y2.选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.∴当x>10000时，y1>y2.选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.∴当x=10000时，y1=y2.两种方案都可以，两种方案所需的费用相同.3.坐标系中的图形的平移与旋转.求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点:一是根据图形变换的性质，二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.【例3】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)，把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是.4.运用函数的图象特征解决问题.(1)由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x，y)中的坐标值x，y是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.(2)注意方程与函数的结合，抓住“方程(方程的解)——点的坐标——函数图象与性质”这个网，结合数学知识，用数形结合法来解题.【例4】小刚上午7:30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7:55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?(2)下午4:00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问:①小刚到家的时间是下午几时?②小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是(20，1100).点C的坐标是(50，1100)，点D的坐标是(60，0)，设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b，将点C，D的坐标代入，得所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.5.分段函数的应用自变量在不同的范围内取值时，函数y和x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数，解决分段函数的有关问题时，关键是弄清自变量的取值范围，选择适合的解析式解决问题.【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是().【答案】 B专项训练一、选择题1.(四川中江县一模)已知点A(a，1)与点A'(-5，b)是关于原点O的对称点，则a+b的值为().A. 1B. 5C. 6D. 42. (深圳模拟)已知点A(a+2，a-1)在平面直角坐标系的第四象限内，则α的取值范围为().A. -2<a<1B. -2≤a≤1C. -1<a<1D. -1≤a≤23.(宁夏银川外国语学校模拟)已知点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是().4. (内蒙古赤峰模拟)小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步回到家里.下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系的大致图象是().5.(2013·广东佛山模拟)在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是().A. 2B. 8C. -2D. -86.(2013·湖北宜昌调研)在正方形ABCD中，点P从点C出发沿着正方形的边依次经过点D，A向终点B运动，运动的路程为x(cm)，△PBC的面积为y(cm2)，y随x变化的图象可能是().7. (2013·河南南阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA，OB，使OA=OB;再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C.若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为().(第7题)A. m+2n=1B. m-2n=1C. 2n-m=1D. n-2m=1二、填空题8. (广西玉林模拟)在平面直角坐标系中，点(0，2)到x轴的距离是.9. (甘肃天水模拟)函数中，自变量x的取值范围10.(四川达州模拟)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为(用n表示).(第10题)11.(2013·北京房山区一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=-x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A31的坐标是.(第11题)三、解答题12. (四川峨眉山二模)如图所示，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长是1，把△ABC 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到△A'B'C'.在坐标系中画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点的坐标.(第12题)13.(2013·辽宁葫芦岛一模)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为(3，2)，(1，3).△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为;(2)点A1的坐标为;(3)在旋转过程中，点B经过的路径为的长为.(第13题)参考答案与解析1. D[解析]a=5，b=-1.2. A[解析]由a+2>0，a-1<0，得-2<a<1.4. C[解析]先慢步行走，再打了一会儿太极拳，最后原路跑步回到家里.只有C图能反映爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系6.A[解析]利用图象可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案.7. B[解析]根据题意可知OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为(m-1，2n)且在第一象限，点C到x轴、y轴距离为m-1，2n，根据角平分线上的点到角两边距离相等，可知m-1=2n，所以m-2n=1.8. 2[解析]点p(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|.9.x≥0且x≠1[解析]根据被开方数具有非负性且分母不等于零，得x≥0且x≠1.10. (2n，1)[解析]A4 (2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)，∴A4n (2n，0).11.[解析]根据31÷4=7……3，得出A31在直线y=x上，在第三象限，且在第8个圆上，求出OA31=8，通过解直角三角形即可求出答案.12.图略; 各顶点坐标为A'(2，2)，B'(3，-2)，C'(0，-6).。

专题11 点的坐标、函数及其概念?解读考点
知识点名师点晴
点的坐标及坐标特征
1.平面直角坐标系会建立合适的平面直角坐标系。

2.点的坐标的概念会正确书写点的坐标。

3.各象限内点的坐标的特征会准确判断各象限内点的坐标符号。

4.坐标轴上的点的特征能区分x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。

5.两条坐标轴夹角平分线上的点
的坐标的特征
知道第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标分别相等，第
二、四象限角平分线上的点的横纵坐标分别互为相反数。

6.和坐标轴平行的直线上点的坐
标的特征
知道平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的
直线上的点的横坐标相同。

7.关于x轴、y轴或原点对称的点
的坐标的特征
能准确区别三种情况下点的坐标符号特征。

与点有关
的距离
8.点到坐标轴及原点的距离能准确判断点到坐标轴的距离与点的坐标的关系。

函数及其图象1.函数定义知道函数和自变量的对应关系。

2.函数的解析式能准确判断函数自变量的取值。

3.函数的三种表示方法及作图
象的步骤
知道三种表示方法的优点和相互转化，会准确作出图象。

?2年中考
【2015年题组】
1．如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．
5
【答案】C．
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2014年中考数学一轮复习讲义：函数概念与平面直角坐标系【考纲要求】1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．2．掌握坐标平面内点的坐标特征．3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【命题趋势】函数作为基础知识，在各地的中考试题中主要以填空题、选择题的形式来考查函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象.【知识梳理】知识点一：1、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

3、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x4、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。

5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝，　，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝，　，　，，　3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。

【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。

平面直角坐标系与函数的概念◆【课前热身】1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）．A ．(m ＋2，n ＋1)B ．(m －2，n －1)C ．(m －2，n ＋1)D ．(m ＋2，n －1)2.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠=°，B 的坐标为（ ）A． B．C．11)，D．1)3.点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ． (3,5)-- B ． (5,3) C ．(3,5)- D ． (3,5) 4.函数y =x 的取值范围是（ ）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤5.在函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13x >【参考答案】 1. D 2. C 3.D（第2题）4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，a 的范围是0a ≥；∴y =x 的范围由20x +≥得2x ≥-.5. C◆【考点聚焦】〖知识点〗平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题；2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题；3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系.3.平面直角坐标系：①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，•到y轴距离为│a│，③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P•在第一象限⇔a>0且b>0，P在第二象限⇔a<0，b>0，P在第三象限⇔a<0，b<0，P在第四象限⇔a>0，b<0；④点P（a，b）：若点P在x轴上⇔a为任意实数，b=0；P在y轴上⇔a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=0；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b；⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称⇔x1=x2，y1=－y2；A、B关于的y轴对称⇔ x1=－x2，y1=y2；A，B关于原点对称⇔x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴⇔y1=y2且x1≠x2；AB∥y轴⇔x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．4.变量与函数：①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．②在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，•它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．这三种表示法各具特色，在应用时，•通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线．◆【考点链接】1. 坐标平面内的点与______________一一对应．2. 根据点所在位置填表（图）3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.4. P(x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________.5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．7. x y =有意义，则自变量x 的取值范围是 . xy 1=有意义，则自变量x 的取值范围是 . ◆【典例精析】例1. 已知点A （a ，－5），B （8，b ）根据下列要求，确定a ，b 的值． （1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于原点对称；（3）AB ∥x 轴；（4）A ，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上． 【分析】（1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．【答案】解：（1）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于y 轴对称时有：85A B A Bx x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（2）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于原点对称时有85A BA B x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩ （3）当AB ∥x 轴时，有85A BA B x x a y y b ≠≠⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩ （4）当A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：x A =y B 且x A =y B 即a=－5，•b=8．【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．例2.如图所示，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt △ABO 的内心的坐标．【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．【答案】解：∵A （0，6），B （－8，0），∴OA=6，OB=8， 在Rt △ABO 中，AB 2=OA 2+OB 2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）． 设Rt △ABO 内切圆的半径为r ， 则由S △ABO =12×6×8=24，S △ABO =12r （AB+OA+OB ）=•12r ，知r=2， 而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）． 【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．例3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，•她9•点离开家，15点回到家，请根据图象回答下列问题：（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00到12：00她骑了多少千米？（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？ （6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？ （7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段CD 和EF 与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题．【答案】解：（1）由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km ；（2）由线段CD平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时；（3）第一次休息时离家17km；（4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（30－17=13）；（5）由图象知，9：00～10：00共走了10km，速度为10km/h，10：00～10：30•共走了7km，速度为14km/h；（6）她在12：00～13：00时停止前进并休息用午餐；（7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）；（8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h．【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，•表示路程s与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，•③代表物体反向运动直至回到原地．(a) (b)◆【迎考精练】一、选择题1.（2009年河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A.（2，2）B.（2，4）C.（4，2）D.（1，2）2.（2009年北京市）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D.E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）3.（2009年天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ）A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--， 4.（2009年重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发， 沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）5.(2009年黑龙江牡丹江)如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）D C P BA第4题A ．B．C ．D ．6.（2009年浙江杭州）两个不相等的正数满足2=+b a ，1-=t ab ，设2)(b a S -=，则S 关于t 的函数图象是（ ）A ．射线（不含端点）B ．线段（不含端点）C ．直线D ．抛物线的一部分7.（2009年山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，，()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，8.（2009年山东青岛）一艘轮船从港口O 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B ．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B 所在位置的坐标是（ ）． A．5030)，B．(3050)， C．D．(30，9.（2009年山东东营）如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A .B .C .D .（第9题图）A.（0，0）B.（22，22-） C.（－21，－21） D.（－22，－22） 10.(2009年陕西省)如果点P(m ，1-2m)在第四象限，那么m 的取值范围是 ( )A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m 11.(2009年四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12.（2009年山东威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513.（2009年湖北襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()01-，B ．()11，C ．()21-，D ．()11-，14．（2009年浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，P ⊙与x 轴相切于原点O ，平行于y轴的直线交P ⊙于M ，N 两点．若点M 的坐标是（21-，），则点N 的坐标是（ ）A ．(24)-，B. (2 4.5)-，C.(25)-，D.(2 5.5)-，)x15.（2009年浙江杭州） 已知点P （x ，y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 16.(2009年广东肇庆)函数y =x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <C ．2x ≥D ．2x ≤17.（2009年浙江杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当2k ≥时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）A ．（5，2009）B ．（6，2010）C ．（3，401）D （4，402） 二、填空题1.（2009年湖北荆门）将点P 向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P '（1-，3），则点P 的坐标是______．2.（2009年吉林省）如图，点A 关于y 轴的对称点的坐标是 ．3.（2009年山东泰安）如图所示，△A ’B ’C ’是由△ABC 向右平移5个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到的（其中A ’、B ’、C ’的对应点分别是A 、B 、C ），点A ’的坐标是（4，4）点B ’的坐标是（1，1），则点A 的坐标是 。

中考知识点平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，用于描述平面上的点的位置。

它的引入使得平面几何和代数联系起来，方便我们进行各种计算和分析。

本文将介绍中考数学中涉及到的平面直角坐标系的知识点，包括定义、坐标表示、距离公式、斜率和直线方程等内容。

一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y 轴。

它们的交点称为原点O，x轴和y轴上的单位长度分别称为x轴单位和y轴单位。

平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点到y轴的有向距离，y表示点到x轴的有向距离。

这样，每个点都可以唯一确定。

二、平面直角坐标系中的点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都有唯一的坐标表示。

以x轴和y轴的单位长度为1，以O为原点，我们可以通过测量点到坐标轴的垂直距离来确定一个点的坐标。

点的横坐标表示其到y轴的有向距离，纵坐标表示其到x轴的有向距离。

例如，点A的坐标表示为(Ax, Ay)。

三、平面直角坐标系中两点间的距离公式在平面直角坐标系中，我们可以通过求两点间的距离来计算它们之间的距离。

设点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)，则点A 和点B之间的距离d可以用以下公式表示：d = √((Bx - Ax)² + (By - Ay)²)四、斜率的概念及计算方法在平面直角坐标系中，我们可以通过斜率来描述一条直线的倾斜程度。

直线的斜率定义为直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。

设直线上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则直线的斜率k可以用以下公式表示：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)五、直线的方程在平面直角坐标系中，我们可以用方程来表示直线。

常见的直线方程有斜截式、截距式和一般式。

其中斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点的纵坐标。

截距式方程表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线与x轴的交点的纵坐标。

中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x ；点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x ； 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x ； 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x ；点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数；点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数；点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）. 3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数. 4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5.关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ′关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点P 与点p ′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数. 6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ； （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +.要点诠释：（1）注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限； （2）平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x 、y,如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法. 4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来. 要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质） 1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的正比例函数． （2）正比例函数y=kx （ k ≠0)的图象： 过（0，0），（1，K ）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx （k ≠0)的性质①当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； ②当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小 . 2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数． （2）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b （k ≠0)的图象的性质一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过(0，b )点和)0,(kb点的一条直线．①当k>0时，y 随x 的增大而增大； ②当k<0时，y 随x 的增大而减小．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质 （1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数. 三种形式：ky x=(k ≠0)或kx y =1-(k ≠0)或xy=k(k ≠0). （2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y ，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； ②比例系数0≠k ；③自变量x 的取值为一切非零实数； ④函数y 的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）； 描点（由小到大的顺序）； 连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是x y =和x y -=）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）. ④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为k .（4）反比例函数性质：反比例函数 )0(≠=k xky k 的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x 的增大而减小.①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x 的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky=中的两个变量必成反比例关系. 要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1．已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.(1)A，B两点关于y轴对称；(2)A，B两点关于原点对称；(3)AB∥x轴；(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数；（2）关于原点对称，x变为相反数，y变为相反数；（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可；（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a，b．【答案与解析】(1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5．(2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5．(3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5．(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8．【总结升华】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．举一反三：【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．(1)如果B为x轴上一点，且10AB=，求B点的坐标；(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，5AD=，求D点的坐标．【答案】(1)设B (x ，0)，由勾股定理得22(2)(01)10AB x =+++=．解得x 1＝-5，x 2＝1． 经检验x 1＝-5，x 2＝1均为原方程的解．∴ B 点的坐标为(-5，0)或(1，0)．(2)设C (0，y )，∵ OC ＝3，∴ C 点的坐标为(0，3)或(0，-3)． ∴ 由勾股定理得22(2)(31)25AC =-++=；或22AC =．(3)设D (x ，2x -1)，AD ＝5，由勾股定理得22(2)(211)5x x ++-+=．解得115x =，21x =-． 经检验，115x =，21x =-均为原方程的解． ∴ D 点的坐标为(15，35-)或(-1，-3)．2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x 的取值范围和函数y 的取值范围；(2)求当x ＝0时，y 的对应值； (3)求当y ＝0时，x 的对应值； (4)当x 为何值时，函数值最大； (5)当x 为何值时，函数值最小；(6)当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围； (7)当y 随x 的增大而减小时，求x 的取值范围． 【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论. 【答案与解析】(1)x 的取值范围是-4≤x ≤4，y 的取值范围是-2≤y ≤4； (2)当x ＝0时，y ＝3；(3)当y ＝0时，x ＝-3或-1或4； (4)当x ＝1时，y 的最大值为4； (5)当x ＝-2时，y 的最小值为-2；(6)当-2≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大；(7)当-4≤x ≤-2或1≤x ≤4时，y 随x 的增大而减小． 【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力． 举一反三：【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y 与时间x 的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D项符合题意．答案：D【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：406069关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )．【答案】C.类型二、一次函数3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y （km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路点拨】观察图形理解每一段图象的内涵.【答案与解析】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）.在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）.（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，把点B（1，10）代入得b1=﹣10.∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①.设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（43，0）代入得b2=﹣80.∴直线DE解析式为y=60x﹣80②.联立①②，得x=1.75，y=25.∴交点F（1.75，25）.答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km.（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10得：，∵∴∴m=30．方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：∴n=5∴从家到乙地的路程为5+25=30（km）．【总结升华】考查一次函数图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：406069关联的位置名称（播放点名称）：例6】【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．【答案】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1；(3)y＝2x-2．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )A．23 B．24 C．25 D．26【答案】解析：设图中直线解析式为y ＝kx+b ， 将(10，18)，(15，15)代入解析式得1018,1515,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得 3,524,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴3245y x =-+．由题意知，324105x -+<，解得1233x >，∴送水号数应为24． 答案：B类型三、反比例函数4．已知函数2y x=和y ＝kx+1(k ≠0)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 【思路点拨】（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a ），所以x=1，y=a 是方程组 21y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩的解，代入可得a 和k 的值；（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组 21y xy kx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩有解，即 21kx x =+有解， 根据判别式△即可求出K 的取值范围．【答案与解析】(1)∵ 两函数的图象都经过点(1，a)，∴ 2,11,a a k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ∴ 2,1.a k =⎧⎨=⎩ (2)将2y x=代入1y kx =+，消去y ，得 220kx x +-=，∵ k ≠0，∴ 要使得两函数的图象总有公共点， 只要△≥0即可．∴ 1+8k ≥0，解得18k ≥-．∴ 18k ≥-且k ≠0．【总结升华】判断反比例函数与一次函数交点问题，要把反比例函数与一次函数联立转化成一元二次方程，再通过根的判别式来判断． 举一反三：【变式】已知正比例函数y kx =（k 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数5ky x-=（k 为常数，0k ≠）的图象有一个交点的横坐标是2． （1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点11()A x y ，，22()B x y ，是反比例函数5ky x-=图象上的两点，且12x x <，试比较12y y ，的大小． 【答案】（1）由题意，得522kk -=， 解得1k =．所以正比例函数的表达式为y x =，反比例函数的表达式为4y x=． 解4x x=，得2x =±．由y x =，得2y =±．所以两函数图象交点的坐标为（2，2），(22)--，．（2）因为反比例函数4y x=的图象分别在第一、三象限内， y 的值随x 值的增大而减小，所以当120x x <<时，12y y >． 当120x x <<时，12y y >．当120x x <<时，因为1140y x =<，2240y x =>，所以12y y <．类型四、函数综合应用5．如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线xky =（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =.（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和.【思路点拨】（1）根据直线的解析式求得点D 的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P 的横坐标，进而根据双曲线的解析式求得点P 的纵坐标；（2）①要求双曲线的解析式，只需求得xy 值，显然根据△POD 的面积等于1，即可求解；②由①中的解析式可以进一步求得点B 的纵坐标，从而求得直线的解析式，然后求得点B 的坐标，即可计算△COA 与△BOD 的面积之和． 【答案与解析】（1）C （0，b ），D （b ，0） ∵PO ＝PD∴22b OD x P ==，b ky P 2=∴P （2b ，bk2）（2）∵1=∆POD S ，有1221=⋅⋅bkb ，化简得：k ＝1∴xy 1=（x ＞0）（3）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由AOB COD BOD COA S S S S ∆∆∆∆-=+得：34212121221-=+b by bx ，又b x y +-=22得38)(221-=+-+b b x b bx ， 即38)(12=-x x b 得，再由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y bx y 1得012=+-bx x ，从而b x x =+21，121=x x ，从而推出0)12)(4)(4(2=++-b b b ，所以4=b . 故348-=+∆∆BOD COA S S【总结升华】利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法.求两函数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组. 举一反三：【变式1】如图所示是一次函数y 1＝kx+b 和反比例函数2my x=的图象，观察图象写出y 1＞y 2时x 的取值范围________．【答案】利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函数的函数值就大，当y 1＞y 2时，-2＜x ＜0或x ＞3． 答案：-2＜x ＜0或x ＞3 【变式2】已知函数232(21)my m x -=-，m 为何值时，(1)y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大? (2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线? 【答案】(1)要符合题意，m 需满足2210,32 1.m m ->⎧⎨-=⎩ 解得1,21.m m ⎧>⎪⎨⎪=±⎩ ∴ m ＝1．(2)欲符合题意，m 需满足2210,32 1.m m -<⎧⎨-=-⎩ 解得1,23.3m m ⎧<⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩∴ 33m =-．6．已知直线11:n n l y x n n+=-+(n 是不为零的自然数)．当n ＝1时，直线1:21l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1，设△A 1OB 1(其中O 是平面直角坐标系的原点)的面积为S 1；当n ＝2时，直线231:22l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2，设△A 2OB 2的面积为S 2，…，依此类推，直线n l 与x轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，设△A n OB n 的面积为S n ．(1)求11A OB △的面积S 1；(2)求S 1+S 2+S 3+…+S 6的面积．【思路点拨】此题是一道规律探索性题目，先根据函数解析式的通项公式得出每一个函数解析式，画出图象，总结出规律，便可解答． 【答案与解析】解：直线1:21l y x =-+，∴ 11OB =，112OA =．（1）111111112224S OB OA =⨯⨯=⨯⨯=． （2）由11n y x n n +=-+得，A 12123611A (0),(0,).n+1n11,,n+1n 1111,2n n+12(1)11,,212223111121222323426711111()21223346711(1)273.7n n n n n n OB B OA OB S n n S S S S S S ===⨯⨯=+==⨯⨯⨯⨯++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++++⨯⨯⨯⨯=-=△，【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测．。