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北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基本概念的基础上进行讲解的，通过本节内容的学习，使学生能够熟练地建立平面直角坐标系，能够准确地确定点在坐标系中的位置，并能够利用坐标系解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了坐标系的基本概念，对于如何建立坐标系，如何确定点在坐标系中的位置有一定的了解。
但是，对于如何利用坐标系解决实际问题，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握平面直角坐标系的建立方法。
2.让学生能够准确地确定点在坐标系中的位置。
3.培养学生利用坐标系解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立方法，点在坐标系中的表示方法。
2.难点：如何利用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，发现平面直角坐标系的建立方法，以及如何确定点在坐标系中的位置。
同时，通过实例讲解，让学生学会如何利用坐标系解决实际问题。
六. 教学准备1.准备平面直角坐标系的图片，用于讲解。
2.准备一些实际问题，用于练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如地图上的路线、飞机的飞行轨迹等，引导学生思考这些实例与坐标系之间的关系。
2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及如何建立坐标系。
通过展示图片，让学生直观地理解坐标系的建立过程。
同时，讲解如何用坐标表示点在坐标系中的位置。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试利用坐标系解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（5分钟）挑选几组学生的实例，让学生上台演示如何利用坐标系解决问题。
其他学生观看并给予评价。
5.拓展（5分钟）讲解坐标系在实际生活中的应用，如航天、地理信息系统等。
第十节 函数的连续与间断客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述. 连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.分布图示★ 引言★ 函数的连续性★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 连续函数与连续区间 ★ 例6 ★ 函数的间断点 ★ 例7 ★ 例8★ 例 9★ 例 10 ★ 例11★ 例 12★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题1-10内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续.三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（E01）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续.证 ,01s i n lim 0=→xx x 又,0)0(=f ∴),0()(lim 0f x f x =→由定义2知，函数)(x f 在0=x 处连续.例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.证 设,)(lim 0A x f x x =→由于)(x f 单调增加，则当0x x <时，),()(0x f x f <),()(lim000x f x f A x x ≤=-→ 当0x x >时，),()(0x f x f >),()(lim000x f x f A x x ≥=+→由此可见，),(0x f A =即),()(lim 00x f x f x x =→因此)(x f 在0x 连续.例3 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=<+=1,410,10,00,2/1)(2x x x x x x x x f 在0=x 和1=x 处的连续性.解 如图所示（图示见系统），⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--→→21lim )(lim 00x x f x x 1= ()201lim )(lim x x f x x +=++→→1=因为)(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=1=，所以,1)(lim 0=→x f x 但是,0)0(=f ),0()(lim 0f x f x ≠→故)(x f 在0=x 处不连续.在1=x 处：)(lim 1x f x -→)1(lim 21x x +=-→2= )(l i m 1x f x +→)4(l i m 1x x -=+→3= 因为),(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，所以)(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处不连续.例4（E02）已知函数⎩⎨⎧≥-<+=0,20,1)(2x b x x x x f 在点0=x 处连续，求b 的值.解 )(lim 0x f x -→)1(l i m 2+=-→x x ,1=)(lim 0x f x +→)2(l i m 0b x x -=+→,b -= 因为)(x f 点0=x 处连续，则=-→)(lim 0x f x ),(lim 0x f x +→即.1-=b例 5 设⎪⎩⎪⎨⎧=-≠≠+-++=,1,2,2,1,)2)(1()(4x x x x x b ax x x f 为使)(x f 在1=x 处连线，a 与b应如何取值？解 因为,2)1(=f 为使)(x f 在1=x 处连续，只要)(lim 1x f x →)2)(1(lim41+-++=→x x b ax x x 2= )(*而要使)2)(1(lim41+-++→x x b ax x x 存在，须,0)(lim 41=++→b ax x x 即,01=++b a 得),1(+-=b a 代入)(*)2)(1(lim41+-++→x x b ax x x )2)(1()1(lim41+-++-=→x x b x b x x )2)(1()1)(1(lim21+--++-=→x x b x x x x x)2()1(lim21+-++=→x b x x x x 33b -=2=⇒3-=b ⇒)13(+--=a ,2=即当,2=a 3-=b 时，)(x f 在1=x 连续.例6（E03）证明函数x y sin =在区间),(∞+-∞内连续. 证 ),,(+∞-∞∈∀x y ∆x x x sin )sin(-∆+=,2cos 2sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⋅∆=x x x12cos ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+x x ⇒<∆y 2sin 2x ∆,x ∆< ∴当0→∆x 时，.0→∆y 即函数x y sin =对任意),(+∞-∞∈x 都是连续的.例7（E04）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.解 因为),0(2)2(lim )(lim 00f x x f x x ==+=++→→),0(2)2(lim )(lim 0f x x f x x ≠-=-=--→→右连续但不左连续，故函数)(x f 在点0=x 处不连续.左右连续连续函数与连续区间例8 讨论函数⎩⎨⎧>+≤-=,0,1,0,)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.解 )00(-f )(lim 0x f x -→=,0=)00(+f )(lim 0x f x +→=,1=),00()00(-≠-f f ∴0=x 为函数的跳跃间断点.函数间断点及其分类例9（E05）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在1=x 处的连续性.解 ,1)1(=f ,2)01(=-f .2)01(=+f 2)(lim 1=→x f x ),1(f ≠∴1=x 为函数的可去间断点.例10（1）（E06）讨论函数⎩⎨⎧≤>=0,0,/1)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.解 ,0)00(=-f ,)00(+∞=+f ∴0=x 为函数的第二类间断点(无穷间断点).例10（2）（E07）讨论函数x x f 1sin )(=在0=x 处的连续性.解 在0=x 处没有定义，且xx 1sinlim 0→不存在.∴0=x 为第二类间断点.例11 a 取何值时,⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,cos )(x x a x x x f 在0=x 处连续.解 ,)0(a f = )(lim 0x f x -→x x cos lim 0-→=,1=)(lim 0x f x +→)(lim 0x a x +=+→.a =要使),0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→ 必须.1=a 故当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续.注：一个函数的间断点也可能有无穷多个. 例如，狄利克雷函数)(x D y =,,0,1⎩⎨⎧=是无理数时当是有理数时当x x在定义域R 内每一点处都间断，且都是第二类间断点.例12研究⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x x x x f x βα在0=x 的连续性.解 当且仅当)0()00()00(f f f =-=+时，)(x f 在0=x 处连续.因为,1)0(0ββ+=+=e f 而 )00(-f )(lim 0x f x -→=β+=-→xx e 0lim ,1β+=)00(+f )(lim 0x f x +→=x x ax 1sinlim 0+→=⎩⎨⎧≤>=0,0,0αα不存在所以，当0>α且,01=+β即1-=β时，)(x f 在0=x 处连续，当0≤α或1-≠β时，)(x f 在0=x 处间断.课堂练习1. 若)(x f 在连续, 则)(|)(|2x f x f 、在0x 是否连续 ?又若)(|)(|2x f x f 、在0x 连续,)(x f 在0x 是否连续?2. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤-<--<=2,11|1|0,11,1)(2x x x x x x x x f , 求)(x f 的间断点, 并判别出它们的类型.。
高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，15，16（重点）1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）习题1－2：1第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）习题1－3：1，2，3，45．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．第四节：无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明）习题1－4：1，6第五节：极限的运算法则（掌握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论)（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)习题1－5：1，2，3，4,5（重点）第六节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）P51(例1)习题1－6：1，2，4第七节：无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高无穷小的比较（重要）阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第八节：函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。
