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北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基本概念的基础上进行讲解的，通过本节内容的学习，使学生能够熟练地建立平面直角坐标系，能够准确地确定点在坐标系中的位置，并能够利用坐标系解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了坐标系的基本概念，对于如何建立坐标系，如何确定点在坐标系中的位置有一定的了解。
但是，对于如何利用坐标系解决实际问题，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握平面直角坐标系的建立方法。
2.让学生能够准确地确定点在坐标系中的位置。
3.培养学生利用坐标系解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立方法，点在坐标系中的表示方法。
2.难点：如何利用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，发现平面直角坐标系的建立方法，以及如何确定点在坐标系中的位置。
同时，通过实例讲解，让学生学会如何利用坐标系解决实际问题。
六. 教学准备1.准备平面直角坐标系的图片，用于讲解。
2.准备一些实际问题，用于练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如地图上的路线、飞机的飞行轨迹等，引导学生思考这些实例与坐标系之间的关系。
2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及如何建立坐标系。
通过展示图片，让学生直观地理解坐标系的建立过程。
同时，讲解如何用坐标表示点在坐标系中的位置。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试利用坐标系解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（5分钟）挑选几组学生的实例，让学生上台演示如何利用坐标系解决问题。
其他学生观看并给予评价。
5.拓展（5分钟）讲解坐标系在实际生活中的应用，如航天、地理信息系统等。
第十节 函数的连续与间断客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述. 连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.分布图示★ 引言★ 函数的连续性★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 连续函数与连续区间 ★ 例6 ★ 函数的间断点 ★ 例7 ★ 例8★ 例 9★ 例 10 ★ 例11★ 例 12★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题1-10内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续.三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（E01）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续.证 ,01s i n lim 0=→xx x 又,0)0(=f ∴),0()(lim 0f x f x =→由定义2知，函数)(x f 在0=x 处连续.例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.证 设,)(lim 0A x f x x =→由于)(x f 单调增加，则当0x x <时，),()(0x f x f <),()(lim000x f x f A x x ≤=-→ 当0x x >时，),()(0x f x f >),()(lim000x f x f A x x ≥=+→由此可见，),(0x f A =即),()(lim 00x f x f x x =→因此)(x f 在0x 连续.例3 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=<+=1,410,10,00,2/1)(2x x x x x x x x f 在0=x 和1=x 处的连续性.解 如图所示（图示见系统），⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--→→21lim )(lim 00x x f x x 1= ()201lim )(lim x x f x x +=++→→1=因为)(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=1=，所以,1)(lim 0=→x f x 但是,0)0(=f ),0()(lim 0f x f x ≠→故)(x f 在0=x 处不连续.在1=x 处：)(lim 1x f x -→)1(lim 21x x +=-→2= )(l i m 1x f x +→)4(l i m 1x x -=+→3= 因为),(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠，所以)(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处不连续.例4（E02）已知函数⎩⎨⎧≥-<+=0,20,1)(2x b x x x x f 在点0=x 处连续，求b 的值.解 )(lim 0x f x -→)1(l i m 2+=-→x x ,1=)(lim 0x f x +→)2(l i m 0b x x -=+→,b -= 因为)(x f 点0=x 处连续，则=-→)(lim 0x f x ),(lim 0x f x +→即.1-=b例 5 设⎪⎩⎪⎨⎧=-≠≠+-++=,1,2,2,1,)2)(1()(4x x x x x b ax x x f 为使)(x f 在1=x 处连线，a 与b应如何取值？解 因为,2)1(=f 为使)(x f 在1=x 处连续，只要)(lim 1x f x →)2)(1(lim41+-++=→x x b ax x x 2= )(*而要使)2)(1(lim41+-++→x x b ax x x 存在，须,0)(lim 41=++→b ax x x 即,01=++b a 得),1(+-=b a 代入)(*)2)(1(lim41+-++→x x b ax x x )2)(1()1(lim41+-++-=→x x b x b x x )2)(1()1)(1(lim21+--++-=→x x b x x x x x)2()1(lim21+-++=→x b x x x x 33b -=2=⇒3-=b ⇒)13(+--=a ,2=即当,2=a 3-=b 时，)(x f 在1=x 连续.例6（E03）证明函数x y sin =在区间),(∞+-∞内连续. 证 ),,(+∞-∞∈∀x y ∆x x x sin )sin(-∆+=,2cos 2sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+⋅∆=x x x12cos ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+x x ⇒<∆y 2sin 2x ∆,x ∆< ∴当0→∆x 时，.0→∆y 即函数x y sin =对任意),(+∞-∞∈x 都是连续的.例7（E04）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.解 因为),0(2)2(lim )(lim 00f x x f x x ==+=++→→),0(2)2(lim )(lim 0f x x f x x ≠-=-=--→→右连续但不左连续，故函数)(x f 在点0=x 处不连续.左右连续连续函数与连续区间例8 讨论函数⎩⎨⎧>+≤-=,0,1,0,)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.解 )00(-f )(lim 0x f x -→=,0=)00(+f )(lim 0x f x +→=,1=),00()00(-≠-f f ∴0=x 为函数的跳跃间断点.函数间断点及其分类例9（E05）讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在1=x 处的连续性.解 ,1)1(=f ,2)01(=-f .2)01(=+f 2)(lim 1=→x f x ),1(f ≠∴1=x 为函数的可去间断点.例10（1）（E06）讨论函数⎩⎨⎧≤>=0,0,/1)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.解 ,0)00(=-f ,)00(+∞=+f ∴0=x 为函数的第二类间断点(无穷间断点).例10（2）（E07）讨论函数x x f 1sin )(=在0=x 处的连续性.解 在0=x 处没有定义，且xx 1sinlim 0→不存在.∴0=x 为第二类间断点.例11 a 取何值时,⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,cos )(x x a x x x f 在0=x 处连续.解 ,)0(a f = )(lim 0x f x -→x x cos lim 0-→=,1=)(lim 0x f x +→)(lim 0x a x +=+→.a =要使),0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→ 必须.1=a 故当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续.注：一个函数的间断点也可能有无穷多个. 例如，狄利克雷函数)(x D y =,,0,1⎩⎨⎧=是无理数时当是有理数时当x x在定义域R 内每一点处都间断，且都是第二类间断点.例12研究⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x x x x f x βα在0=x 的连续性.解 当且仅当)0()00()00(f f f =-=+时，)(x f 在0=x 处连续.因为,1)0(0ββ+=+=e f 而 )00(-f )(lim 0x f x -→=β+=-→xx e 0lim ,1β+=)00(+f )(lim 0x f x +→=x x ax 1sinlim 0+→=⎩⎨⎧≤>=0,0,0αα不存在所以，当0>α且,01=+β即1-=β时，)(x f 在0=x 处连续，当0≤α或1-≠β时，)(x f 在0=x 处间断.课堂练习1. 若)(x f 在连续, 则)(|)(|2x f x f 、在0x 是否连续 ?又若)(|)(|2x f x f 、在0x 连续,)(x f 在0x 是否连续?2. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤-<--<=2,11|1|0,11,1)(2x x x x x x x x f , 求)(x f 的间断点, 并判别出它们的类型.。
高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）第一章函数与极限(7天)（考小题）学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看）习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，15，16（重点）1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看）习题1－2：1第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看）习题1－3：1，2，3，45．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．第四节：无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明）习题1－4：1，6第五节：极限的运算法则（掌握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论)（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6)习题1－5：1，2，3，4,5（重点）第六节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看）P51(例1)习题1－6：1，2，4第七节：无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高无穷小的比较（重要）阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法（定理1,2的证明理解）P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第八节：函数的连续性与间断点（重要，基本必考小题）函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。
第十节连续函数的运算与性质分布图示★连续函数的运算★反函数的连续性★复合函数的连续性★例1 ★例2 ★例3 ★例4★初等函数的连续性★例5★幂指函数（例6）★最大值和最小值定理★零点定理与介值定理★例7 ★例8 ★例9 ★例10★一致连续的概念★例11 ★例12★内容小结★课堂练习★习题 1- 10 ★返回内容要点一、连续函数的算术运算定理1若函数在点处连续, 则在点处也连续.二、反函数与复合函数的连续性定理2若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数也在对应的区间 ,上单调增加（或单调减少）且连续.定理3若, 函数在点a出连续, 则有. (10.1)定理4设函数在点连续, 且, 而函数在点连续, 则复合函数在点也连续.三、初等函数的连续性：定理5基本初等函数在其定义域内是连续的.定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.注：定理6的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的. 从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景.四、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理有界性定理零点定理介值定理五、一致连续性的概念：一致连续性定理注: 一致连续性表明: 不论在区间I上的任何部分, 只要自变量的两个数值接近到一定的程度, 就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.例题选讲反函数与复合函数的连续性例1 (E01)求 .解例2 (E02)求 .解例3求解令则易见当时 , 所以例4 (E03)求 .解因为所以初等函数的连续性例5 (E04)求 .解因为是初等函数，且是其定义区间内的点，所以在点处连续，于是例6(E05)求 .解闭区间上连续函数的性质例7 (E06)证明方程在区间(0, 1)内至少有一个根.证令则在上连续 .又由零点定理 ,使即方程在内至少有一个实根例8 (E07)设函数在区间[a, b]上连续, 且证明: 存在, 使得证令则在上连续 .而由零点定理 , 使即例9 证明方程有分别包含于(1, 2), (2, 3) 内的两个实根.证当用乘方程两端，得设则由零点定理知，在与内至少各有一个零点，即原方程在与内至少各有一个实根 .例10 设在上连续, 且证明: 在上至少有一点, 使证只要能找到一点使便可对在上应用零点定理，得到所需的结论.因故对存在当时，有即取实数这样而由零点定理知：在内至少有一点使由于也就是说在内至少有一点使一致连续性例11(E08)证明函数在内是一致连续的.证因为所以对于任给只要取对内的任意两点当时，就有因此在内是一致连续的 .注：由一致连续的定义可以知道，如果函数在区间上一致连续，则在区间上必定连续 .但是反过来不一定成立 .例12 (E09)试说明函数在区间上是连续的,但不是一致连续的.证因为函数是初等函数，它在区间上有定义，所以在上是连续的 .假设在上一致连续，应该使得对于上的任意两个值当时，就有现在取原点附近的两点显然因故只要取得足够大，总能使但这时有不符合一致连续的定义，所以在上不是一致连续的 .课堂练习1. 设, 试研究复合函数与的连续性.2. 估计方程的根的位置.。
函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．1、函数的概念（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；（2）在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x允许的取值范围内，变量y随着x变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量.函数用记号()y f x=表示，()f a表示x a=时的函数值；（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念正比例函数知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析2.函数的定义域和函数值（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例1】 （1）在正方形的周长公式4l a =中，a 是自变量，_______是_________的函数，______是常量；（2）面积是2()S cm 的正方形地砖边长为a （cm ），S 与a 之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．（3）圆的周长C 与半径r 之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．【例2】 在匀速运动中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么式子s vt =，下列说法中正确的是（ ）A ．s 、v 、t 三个量都是变量B ．s 与v 是变量，t 是常量C ．v 与t 是变量，s 是常量D ．s 与t 是变量，v 是常量【例3】 下列各式中，x 是自变量，y 表示对应的值，判断y 是否是x 的函数？为什么？ （1）2y x =； （2）|3|y x =；（3） （4） （5）【例4】 下列各式中，不是函数关系式的是（ ）A ．y x =B ．y x =-例题解析x 1 2 3 4y1122y 1 2 3 4 x1122C ．y =D ．y【例5】 判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：（1） 长方形的宽a （cm ）固定，其面积S 与长b ； （2） 长方形的长a 固定，面积S 与周长c ；（3） 三角形一边上的高为4，三角形的面积y 与这边长x ； （4） 等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ．【例6】 填空：（1） 函数232y x =-+，当x =___________，函数y 的值等于0； （2） 若函数y =x 的取值范围是一切实数，则c 的取值范围是________．【例7】 求下列函数的定义域：（1）1||4y x =-（2）22x y x=；（3）y ； （4）y =【例8】 将2132y x y -=+写成()y f x =的形式，并求13(0)(3)()(0)2f f f a a a -≠≠，，，， 1(1)3f a a +≠-（）的值． 【难度】★★【例9】 A 、B 两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A 地驶向B 地，写出汽车距离B 地的路程S （千米）与行驶的时间t （小时）之间的函数关系式． 【难度】★★【例10】 已知水池的容量为1003m ，每小时灌水量为Q 3m ，灌满水池所需时间t 小时，求t 关于Q 的函数关系式，当每小时的灌水量为53m 时，灌满水池需多少时间?【例11】 如图，△ABC 与正方形BDEF ，其中∠C =90°，AC=BC =BD =8，且BC 与BD 均在直线L 上，将△ABC 沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t ，△ABC 与正方形BDEF 在移动的过程中重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并写出定义域?【例12】 已知等腰三角形周长为24cm ，（1） 若腰长为x ，底边长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2） 若底边长为x ，腰长为y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．ACBDEF【例13】 如图，在△ABC 中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D 、E 分别是边BC 、BA 上的动点（不与端点重合），且DE ⊥BC ，设BD x =，将△BDE 沿DE 进行折叠后与梯形ACDE 重叠部分的面积是y ：（1） 求y 和x 的函数关系式，并写出定义域；（2） 当x 为何值时，重叠部分的面积是△ABC 面积的14．1．正比例函数的概念(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x =，或表示为y kx=（x 不等于0），k 是不等于零的常数.(2)解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式知识精讲模块二 正比例函数ABCDEABC备用图A BC备用图A BC备用图2.正比例函数的图象(1)一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；(2)图像画法：列表、描点、连线． 3．正比例函数的性质(1)当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．(2)当0k <时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的 值则随着逐渐减小．【例14】 下列各变量成正比例函数关系的是（ ）A ．圆的面积与它的半径B ．长方形的面积一定时，长与宽C ．正方形的周长与边长D ．三角形面积和高【例15】 下列函数中，是正比例函数的是（ ）A ．3(0)y k k=≠ B ．(2)(2)y k x k =+≠-C ．1(0)y k kx=≠D ．2(0)y kx k =≠【例16】 （1）已知函数23(2)my m x -=-是正比例函数，则m =_________；（2）当a _________时，函数(1)y a x =+是正比例函数．例题解析【例17】 （1）已知函数y 与x 成正比例关系，且当122x y =-=时，，当3x y ==时，_________；（2）已知13y x -与成正比例，且当14x y =-=时，，则y 与x 之间的函数关系式是__________．【例18】 （1）若点B （b ，-9）在函数 3y x =的图像上，则b = _________；（2）若将点P （5，3）向下平移1个单位后，落在直线(0)y kx k =≠的图像上， 则k =_________．【例19】 （1）如果正比例函数21xy m =-的图像经过第二、四象限，那么m 的取值范围是_________；（2）函数(1)y k x =-的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围_________．【例20】 （1）已知y 与x 之间的函数关系式是21y x =-，那么y 与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；（2）已知39y x =-，y 与_____________成正比例关系，k =___________．【例21】 （1）已知2345y x -+与 成正比例，且当115x y ==时，，求y 与x 的函数关系式； （2）已知2(2)6y k x k k =-++-为正比例函数，求k 的值及函数解析式．【例22】 若431(23)t y t x +=-是正比例函数，又2712y x =-，当x 取何值时12y y >．【例23】 已知y 是x 的正比例函数，且当3x =时，1y =-：（1） 求出这个函数的解析式；（2） 在直角坐标平面内，画出这个函数的图像； （3） 如果点P （a ，4）在这个函数图像上，求a 的值； （4） 试问：点(62)A -，关于原点对称的点B 是否在这个图像上?【例24】 已知正比例函数的图像过第四象限且过(23)a -，和(6)a -，两点，求此正比例函数的解析式．【例25】 点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm 的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm ，设蜡烛点燃x 分钟后，剩余长度ycm ，求y 与x 的函数解析式及x 的取值范围 ．【例26】 已知三角形ABC 的底边AB 的长为3，AB 边上的高为x ，面积为y ，（1） 写出y 和x 之间的函数关系式； （2） 画出函数的图像．【例27】 （1）已知直线y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数(21)y m x =+的值随x 的增大而减小，且函数(13)y m x =-的值随着x 的增大而增大，求m 的取值范围．【例28】 正比例函数的解析式为2(1)y k x =-，（1） 当11k -<<时，y 的值随x 值的增大是增大还是减小？ （2） 若正比例函数的图像经过第一、三象限，k 的取值范围是什么？【例29】 已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，（1） 求这个函数解析式； （2） 当6x =时，求y 的值； （3） 当4y =时，求x 的值；（4） 当24x -≤≤时，求y 的取值范围； （5） 当66y -≤≤时，求x 的取值范围．【例30】 m 取何值时，y 关于x 的函数21(3)4m y m x x +=++是正比例函数．【例31】 已知直角三角形ABC 中，∠C =90°AC =6，AB =12，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与三角形ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为点H ，设CE=x ，BF=y ，求y 与x 之间的函数关系式．【例32】 已知一正比例函数y mx =图像上的一点P 的纵坐标是3，作PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，三角形OPQ 的面积是12，求此正比例函数的解析式．x【例33】 如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP 与线段AB 相交于点P ， （1） 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；（2）若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面 积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．【习题1】 下列图像中，是函数图像的是（）．【习题2】 在函数y x x =+-中，自变量x 的取值范围是（）．A ．0x ≥B ．0x ≤C ．0x =D ．任意实数【习题3】 下列各点，不在函数23y x =-图像上的是（）．A ．（1，23-）B ．（3，-2）C ．(23-，13)D ．（-6，4）【习题4】 （1）若函数22()m y m m x =-是正比例函数，则m 的值是_________________；（2）已知y kx =是正比例函数，且当x =2时y =3，则比例系数是_____________．随堂检测A B C D【习题5】 求下列函数的定义域：（1）23xy x =-；（2）y =（3）12y x =+（4）y =．【习题6】 若211y x y +=-，用含x 的式子表示y ；若()y f x =，试求(1)f ，(0)f ，(1)(3)f a a -≠，()(2)f x x -≠-的值．【习题7】 已知正比例函数23(1)ky k x -=-的值随自变量x 的增大而减小，求k 的值及函数解析式．【习题8】 （1）已知32y x -+与成正比例，当x =3时，y =7，求y =9时，x 的值；（2）正比例函数(0)y kx k =≠的图像过A （1，a ）、B （a +1，6），求函数的解析式．【习题9】 已知122y y y =-，21y x 与成正比例，231y x +与成正比例．且当15x y ==时，当13x y =-=时，求y 关于x 的函数关系式．【习题10】 已知正比例函数的图像过点(323)-，． （1） 若点(2)a ，-，(3)b ，在图像上，求a 、b 的值；（2） 过图像上一点P 作y 轴 的垂线，垂足为Q (015)，-，试求三角形OPQ 的面积．【习题11】 在直角三角形ABC 中，AC =12，BC =16，AB =20，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，在CD 上取一点P （不与C 、D 重合），设三角形APB 的面积是y ，CP 的长为x ，求y 和x 的函数关系式，并写出函数的定义域．PABCD【习题12】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD =5，AD =7，BC =13，40ABCD S =梯，P 是一动点，沿AD 、DC 由A 经D 点向C 点移动，设P 点移动的路程是x ．（1） 当P 在AD 上运动的时候，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；（2） 当点P 继续沿DC 向C 移动时，设PAB S y ∆=，求y 与x 之间的函数关系式．ABCDP【作业1】 三角形ABC 中∠A=90°，AB =4，BC =5，P 是AC 边上一动点，点P 不与A 、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x ，设BPC S y ∆=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【作业2】 下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．（1） 正方形的面积和它的周长； （2）长方形的面积和它的周长； （3）(0)y x x =±≥；（4）||y x =；（5）(0)y x x =<【作业3】 （1）已知()2(2)6f x x f a =-=，，则a 的值是_____________；（2）已知2231()21()2(1)()()42f x xg x x f g =-=-+-+=，，则___________．【作业4】 （1）函数|3|y x =+的定义域为______________；（2） 函数011x y x =--的定义域为______________；课后作业（3） 函数0(3)2x x y x --=-的定义域为________________．【作业5】 23y x -与成正比例，当x =2时，y =11，求y 与x 之间的函数关系．【作业6】 （1）已知直线22(3)9k y m x m =++-是正比例函数，求mk 的值；（2）已知2215(4)my m m x -=-是正比例函数，求m 的值；（3）已知直线2(2)5y k x k k =-+-经过原点，且y 的值随x 的值的增大而减小，求k 的值．【作业7】 等腰钝角三角形ABC 中，底边长为8，面积是S ，底边上高AD 为h ，试求出S与h 的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．ABCD【作业8】 （1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3.5元，求买水笔余下的钱y 与买水笔的数量x 之间的函数关系式；（2）靠墙（墙长为18cm ）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm ，求养鸡场的一边长为y （cm ）与另一边长x （cm ）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【作业9】 已知直线y kx =过点（12- ，3），A 为y kx =图像上的一点，过点A 向x 轴引垂线，垂足为点B ，5AOB S ∆= （1） 求函数的解析式；（2） 在平面直角坐标系内画出函数的图像； （3） 求点A 、B 的坐标．【作业10】 过正比例函数图像上的一点Q (35)a a --，在第二象限，（1）化简22441025a a a a -++-+的值；（2）若a 的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点()k k -，在不在函数图像上．xy墙【作业11】 已知正比例函数过点A （4，-2），点P 在正比例函数图像上，B （0，4）且10ABP S ∆=，求点P 的坐标．。
初中数学章节目录首先，认真备课。
不仅是学生，教材和教法都准备好了，根据教材和学生实际，设计课型，拟定采用的教学方法。
对教学过程的程序和时间安排做了详细记录，认真编写教案。
每节课都要“预习”。
每节课课前都要充分准备，制作各种有趣的教具，吸引学生的注意力。
课后要及时评课，写好教学后记，认真收集每册书的知识点，归纳成一套。
第二，增强课堂技能，提高教学质量。
使解释清楚、准确、有序、感性、生动，使线索清晰、层次分明、简洁明了。
特别注意调动学生在课堂上的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主观能动性，让学生轻松、简单、快乐地学习；注意言简意赅，老师上课尽量少说话，学生尽量多用嘴和脑；同时，在每堂课上，要充分研究各个层次学生的学习需求和学习技能，让各个层次的学生都得到提高。
第三，虚心请教其他老师。
在教学中，当你有疑问时，你必须问。
在每章的学习中，要积极征求其他老师的意见，学习他们的方法。
同时要多听优秀老师的课，边听边学习别人的优点，克服自己的缺点，经常邀请其他老师来听课，征求他们的意见，改进我的工作。
第四、认真批改作业，作业做到精读和简洁。
有针对性和层次性。
同时，及时认真地批改学生的作业，对学生的作业情况进行分析记录，对作业过程中出现的问题进行分类识别，进行透彻的评价，并根据相关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。
第五、做好课后辅导，注重分层教学。
课后对不同层次的学生进行相应的辅导，满足不同层次学生的需求，避免一刀切的弊端，同时加强对后进生的辅导。
第六、推进素质教育。
现在的考试模式还是比较传统的，这就决定了老师的教学模式应该停留在应试教育的水平。
为此，我在教学中注重学生能力的培养，把传授知识技能与开发智力和能力结合起来，在知识层面注入思想情感教育的因素，充分发挥学生的创新意识和创新能力。
让学生的各种素质得到有效的发展和培养。
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节课主要让学生了解平面直角坐标系的定义、特点及应用，掌握坐标轴、坐标点、坐标值等基本概念，并能够利用坐标系解决一些实际问题。
教材通过引入实际情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的空间观念和数学思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、一次函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和探究能力。
但部分学生对坐标系的概念和应用可能还比较陌生，因此在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过具体实例和操作活动，帮助他们理解和掌握平面直角坐标系的相关知识。
三. 教学目标1.了解平面直角坐标系的定义、特点及应用。
2.掌握坐标轴、坐标点、坐标值等基本概念。
3.能够利用坐标系解决一些实际问题。
4.培养学生的空间观念和数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义、特点及应用。
2.难点：坐标轴、坐标点、坐标值等基本概念的理解和运用。
五. 教学方法1.情境导入：通过实际情境引发学生对坐标系的兴趣，激发学生的学习热情。
2.自主探究：引导学生通过观察、操作、思考，自主发现和总结坐标系的基本概念和性质。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相启发，共同进步。
4.实例分析：通过具体实例，让学生体会坐标系在解决实际问题中的应用价值。
5.练习巩固：设计适量练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美、清晰的课件，辅助教学。
2.教学素材：准备一些实际问题和相关图片，用于实例分析。
3.练习题：设计一些具有针对性的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际情境，如商场购物时的优惠券坐标系，引导学生关注坐标系在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
提问：你们知道坐标系是什么吗？坐标系有什么作用？2.呈现（10分钟）呈现平面直角坐标系的定义、特点及应用，引导学生初步认识坐标系。
初中数学说课稿10分钟【精选5篇】说课稿是教师对教学环境的创设和调整，它能够合理安排课堂布置、师生互动、学习氛围等方面，提高课堂的互动性和学习效果。
这里给大家分享一些关于初中数学说课稿10分钟，供大家参考学习。
初中数学说课稿10分钟（篇1）《平面直角坐标系》是人教版九年义务教育七年级数学下册第六章第一节第二次课的内容,它是在学习了数轴和有序数对后安排的一次概念性教学,也是初中生与坐标系的第一次亲密接触。
平面直角坐标系的建立架起了数与形之间的桥梁,是数形结合的具体体现。
这一节课主要是让学生认识平面直角坐标系,了解点与坐标的对应关系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,能由点的位置写出点的坐标。
因此,本节课的学习,是今后进一步学习面直角坐标系的有关知识和借助平面直角坐标系学习一次函数、二次函数的一个基础,它在整个初中数学教材体系中有着举足轻重的作用。
说目标与重难点1、知识与能力目标:使学生认识平面直角坐标系,理解并掌握横轴、纵轴、原点及点的坐标,了解点与坐标的对应关系;能准确地在平面直角坐标系中描出点的位置和根据点的位置写出点的坐标,培养学生思维的准确性和深刻性。
2、过程与方法目标：通过自主阅读，用游戏活动和动手实践的方式，让学生认识平面直角坐标系，掌握用“坐标”表示平面内点的位置的方法，培养学生自主获取知识的能力。
3、情感态度价值观目标：利用游戏、观察、实践、归纳等方法，积淀学生的数学文化涵养，鼓励学生去发现、去思考，使学生认识到数学的科学价值和应用价值，培养热爱数学，勇于探索的精神。
其中认识平面直角坐标系，能正确地画出平面直角坐标系是本节课的教学重点。
会用“坐标”表示平面内点的位置和坐标轴上的点的特征是本节课的教学难点。
说学情：七年级的学生具有活泼好动，好奇的天性，他们正处于独立思维发展的重要阶段，对数学的求知欲较强，具有初步的自主、合作探究的学习能力，对数轴有一定的认识，因此，对于平面直角坐标系的构成和建立较为容易理解。
