江西省南昌市第二中学2017-2018学年高一上学期第二次考试数学试题 Word版含答案

2017-2018学年江西省南昌二中高一（上）第三次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C2．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．化简的结果是（）A．cos160°B．﹣cos160° C．±cos160° D．±|cos160°|4．函数的周期、振幅、初相分别是（）A．B． C．D．5．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线对称6．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数9．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．10．当x∈[0，2π]时，不等式tanx＜sinx的解集是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=，又α，β为锐角三角形两锐角则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）12．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为4s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体10s时刻的路程为cm．14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的解析式为．15．已知函数在区间（0，1）内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=tanx﹣sinx，下列中正确的是（写出所有正确的序号）①f（x）在（﹣，）上有3个零点；②f（x）的图象关于点（π，0）对称；③f（x）的周期为2π；④f（x）在（，π）上单调递增．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知2sinα﹣cosα=0，求值：（1）；（2）．18．已知sinα+cosα∈[﹣，]，且满足4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin3α+cos3α的值．19．有两个函数，它们的最小正周期之和为3π，且满足，求这两个函数的解析式，并求g（x）的对称中心坐标及单调区间．20．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求当时，f（x）的值域．21．已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）恒成立，且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值；（3）对于问（1）中的f（x），若对任意的m∈[﹣4，1]，恒有f（x）≥2x2﹣mx﹣14，求x 的取值范围．2015-2016学年江西省南昌二中高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C【考点】任意角的概念；集合的包含关系判断及应用．【分析】先明确第一象限角的定义，锐角的定义，小于的角的定义，结合所给的选项，通过举反例、排除等手段，选出应选的选项．【解答】解：∵A={第一象限角}={θ|2kπ＜θ＜2kπ+，k∈Z}，C={小于的角}={θ|θ＜}，B={锐角}=，∴B∪C=C，故选：B．2．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在【考点】三角函数值的符号．【分析】根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．【解答】解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2＞0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3＜0∵4弧度小于弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4＞0∴sin2cos3tan4＜0故答案选A3．化简的结果是（）A．cos160°B．﹣cos160° C．±cos160° D．±|cos160°|【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°故选B4．函数的周期、振幅、初相分别是（）A．B． C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】直接利用函数的解析式写出周期、振幅、初相即可．【解答】解：函数=的周期是=4π、振幅是2、初相是：．故选：D．5．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线对称【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数的图象与性质，对选项中性质进行分析、判断即可．【解答】解：∵函数，当x=0时，函数y=2sin=≠0，函数y的图象不关于原点对称，A错误；当x=时，函数y=2sin（2×+）=2sin=≠0，函数y的图象不关于点（，0）对称，B错误；当x=0时，函数y=2sin=≠2，函数y的图象不愿意y轴对称，C错误；当x=时，函数y=2sin（2×+）=2，函数y的图象关于x=对称，D正确．故选：D．6．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，∵sin2A+cos2A=1，∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B7．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】我们可以选设出平移量为A，根据函数图象平移变换法则“左加右减”，我们可以根据平移前后函数的解析式，构造关于A的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：设将y=cos（2x+）的图象，向右平移A个单位长度后，得到函数y=cos2x的图象则cos[2（x﹣A）+）]=cos（2x）易得A=故选B8．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．f（x+1）一定是偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数为偶函数．故选：D9．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=sinax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a（x+b）的单调性及图象特征，从而得出结论．【解答】解：由函数y=sinax+b（a＞0）的图象可得0＜b＜1，2π＜＜3π，即＜a＜1．故函数y=log a（x+b）是定义域内的减函数，且过定点（1﹣b，0），故选C．10．当x∈[0，2π]时，不等式tanx＜sinx的解集是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】由条件分类讨论求得不等式tanx＜sinx的解集．【解答】解：当x∈[0，）时，sinx＜x＜tanx，不满足tanx＜sinx；当x∈（，π）时，sinx＞0，tanx＜0，满足tanx＜sinx；x=π时，tanx=sinx=0，不满足tanx＜sinx；当x∈（π，）时，tanx＞0，sinx＜0，不满足tanx＜sinx；当x∈（，2π）时，cosx∈（0，1），tanx=＜sinx；当x=2π时，tanx=sinx=0，不满足tanx＜sinx．综上可得，不等式tanx＜sinx的解集为（，π）或（，2π），故选：D．11．已知函数f（x）=，又α，β为锐角三角形两锐角则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）【考点】三角函数线．【分析】先判断函数f（x）的单调性，由α，β为锐角三角形的两个锐角，可得α+β＞，进而β＞﹣α，且β，﹣α均为锐角，结合正弦函数的单调性和诱导公式5，可得结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象，则函数为单调递减函数，∵α，β为锐角三角形的两个锐角，∴α+β＞，∴β＞﹣α，且β，﹣α均为锐角，∴sinβ＞sin（﹣α）=cosα，cosβ＜cos（﹣α）=sinα，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：B．12．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】余弦函数的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质．【分析】根据函数图象的变化，分析可得函数y=log4（x+1）（x＞0）的图象过空点（0，0）和实点（3，1），结合题意，找到其关于原点对称的点，易得其对称的图象与有两个交点，即可得答案．【解答】解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，又由x＞0，则图象过空点（0，0）和实点（3，1），则与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象过（﹣3，﹣1），所以对称的图象与有两个交点，坐标分别为（0，0）（﹣3，﹣1），故关于原点的中心对称点的组数为2，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为4s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体10s时刻的路程为﹣3 cm．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】设该物体在ts时刻的位移为ycm，根据当t=0时y达到最大值3，可设y=3cosωt，由三角函数的周期公式算出ω=，得函数解析式为y=3cos t，再将t=10s代入即可得到该物体10s时刻的位移值．【解答】解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，∴当t=0时，y达到最大值3．因此，设y=3cosωt，∵函数的周期为4s，∴=4，解之得ω=，得函数解析式为y=3cos t，由此可得，该物体10s时刻的位移为3cos（•10）=3cos5π=﹣3cm．故答案为：﹣3．14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，再根据五点法作图求出ω的值，从而求得该函数的解析式．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=2，再根据图象过点（0，1），可得2sinφ=1，sinφ=，结合|φ|＜π，可得φ=．再根据五点法作图可得ω•+=π，求得ω=2，故，故答案为：f（x）=2sin（2x+）．15．已知函数在区间（0，1）内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a的取值范围是（7，13] ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】令t=x，则题目转化为函数y=sint在区间（0，）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，据正弦函数的图象即可求a的取值范围．【解答】解：函数y=sin x（a＞0）在区间（0，1）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，可以令t=x，则题目转化为复合函数y=sint在区间（0，）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，如图：y=sint在开区间（0，）内至少取得两次最小值，则＞π．y=sint在开区间（0，）内至多取得三次最大值，则≤．得到7＜a≤13．故答案为：（7，13]．16．已知函数f（x）=tanx﹣sinx，下列中正确的是②③④（写出所有正确的序号）①f（x）在（﹣，）上有3个零点；②f（x）的图象关于点（π，0）对称；③f（x）的周期为2π；④f（x）在（，π）上单调递增．【考点】的真假判断与应用．【分析】画出函数f（x）=tanx﹣sinx，据图所示，即可判断出．【解答】解：函数f（x）=tanx﹣sinx，如图所示，①f（x）在（﹣，）上有1个零点；②f（x）的图象关于点（π，0）对称，正确；③f（2π+x）=tan（2π+x）﹣sin（2π+x）=tanx﹣sinx=f（x），而f（π+x）=tan（π+x）﹣sin（π+x）=tanx+sinx≠f（x），∴f（x）的周期为2π，或由图象可以看出；④f（x）在（，π）上单调递增，正确．故答案为：②③④．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知2sinα﹣cosα=0，求值：（1）；（2）．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．【解答】解：由2sinα﹣cosα=0知，，（1）化简原式===；（2）原式=．18．已知sinα+cosα∈[﹣，]，且满足4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin3α+cos3α的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）令sinα+cosα=t换元，得到sinα•cosα，代入已知等式求得t，则sinα+cosα的值可求；（2）展开立方和公式，则sin3α+cos3α的值可求．【解答】解：（1）令sinα+cosα=t（），两边平方得，1+2sinαcosα=t2，∴4sinαcosα=2t2﹣2，代入4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，得2t2﹣2﹣5t=1，即2t2﹣5t﹣3=0．解得：t=3（舍），或t=﹣，即sinα+cosα=；（2）由（1）得，sinαcosα==．∴sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α﹣sinαcosα+cos2α）=（sinα+cosα）[（sinα+cosα）2﹣3sinαcosα]=×=．19．有两个函数，它们的最小正周期之和为3π，且满足，求这两个函数的解析式，并求g（x）的对称中心坐标及单调区间．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】根据题意列出方程组，求出k、a、b的值，写出函数f（x）、g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称中心坐标与单调区间．【解答】解：依题意可得：，解得：；故；令，得，故g（x）的对称中心坐标为，当时，g（x）单调递增，即当时，g（x）单调递增，无递减区间．20．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求当时，f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由已知求得，结合φ的范围求得φ，再由已知求得ω得答案；（2）直接由复合函数的单调性求得函数的增区间；（3）由x的范围求得相位的范围，进一步求得sin（）的范围得答案．【解答】解：（1）角φ的终边经过点，∴，∵，∴．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3．∴；（2）由，得，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（3 ）当时，即0≤x≤，则0≤3x≤π，∴，由函数单调性可得：，∴，∴函数f（x）的值域为．21．已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数的值域．【分析】（1）把代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f（x）的值域；（2）对a＞1和0＜a＜1分类讨论，由ax2﹣x+1在上得单调性及ax2﹣x+1＞0对恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案．【解答】解：（1）当时，恒成立，故定义域为R，又∵，且函数在（0，+∞）单调递减，∴，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1]；（2）依题意可知，i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2﹣x+1在上递增，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：a≥2；ii）当0＜a＜1时，同理必须ax2﹣x+1在上递减，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：．综上，实数a的取值范围为．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）恒成立，且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值；（3）对于问（1）中的f（x），若对任意的m∈[﹣4，1]，恒有f（x）≥2x2﹣mx﹣14，求x 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）先由题找到x∈[﹣1，1]，f（x）max=2，f（x）min=﹣4再利用a∈N*，b∈N和b＞2a，判断出函数在x∈[﹣1，1]上递增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，求出a，b，c，再利用配方法求出f（x）的最小值；（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立⇒△=（b﹣4）2﹣4ac≤0②，和f（x）≤2（x2+1）的结合求出a=1，c=1．（注意对二次项系数的讨论）；（3）问题转化为x2﹣（m+3）x﹣12≤0对∀m∈[﹣4，1]恒成立，根据二次函数的性质求出m的范围即可．【解答】解：（1）由b＞2a，得，又sinx∈[﹣1，1]故当sinx=﹣1时，f（sinx）Min=f（﹣1）=a﹣b+c=﹣4；…①当sinx=1时，f（sinx）Max=f（1）=a+b+c=2；…②由①式+②式，得b=3，又且a∈N*，∴a=1，带入①式，得c=﹣2∴f（x）=x2+3x﹣2，则；（2）由题意可知，当且仅当，即x=1时，4≤f（1）≤4，也即f（1）=4，得a+b+c=4，…③又f（x）=ax2+bx+c≥4x对∀x∈R恒成立，故△=（b﹣4）2﹣4ac≤0…④由③式知，4﹣b=a+c代入④式，得（a﹣c）2≤0，∴a=c…⑤又∵∃x0∈R，使得成立，也即有解由a∈N*，讨论如下：i）若a=1，由③，⑤式知，b=2，c=a=1，则显然有解，符合题意；ii）若a=2，由③，⑤式知，b=0，c=a=2，则，显然不存在，舍去；iii）若a＞2，由⑤式知，c=a＞2，又由③式，得b＜0，这与条件中b∈N矛盾，舍去．故a=1，也即c=1．（3）由（1）知，f（x）=x2+3x﹣2，则题意即为x2+3x﹣2≥2x2﹣mx﹣14，化简为：x2﹣（m+3）x﹣12≤0对∀m∈[﹣4，1]恒成立令g（m）=x2﹣（m+3）x﹣12，则只需成立，也即解得：﹣2≤x≤3故x的取值范围为[﹣2，3]．2016年8月23日。

江西省南昌市第二中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N ∗||x|≤3}，B ={a,1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为( )A. 2B. 3C. 1或2或3D. 2或32. 下列等式恒成立的是( )A. sinαcosβ=sin(α+β)B. a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ +b ⃗C. e a ⋅e b =e a+bD. lna ⋅lnb =ln(a +b)3. 函数y =sin(2x −π3)在区间[−π2,π]的简图是( )A.B.C.D.4. 下列结论正确的是( )A. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的方向相同B. △ABC 中，D 是BC 中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. 向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 D. 若a ⃗ //b ⃗ ，则∃λ∈R 使a ⃗ =λb ⃗5. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行，则实数x 的值是( )A. −2B. 0C. 1D. 26. 若sin(π−α)=13，且π2<α<π，则sin2α的值为( )A. −4√29B. −2√29C. 2√29D. 4√297. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +3b ⃗ ，则( )A. A 、B 、C 三点共线B. A 、B 、D 三点共线C. A 、C 、D 三点共线D. B 、C 、D 三点共线8. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 12 B. −12 C. 1D. −19. 已知函数f(x)=x 2−2x 22x +1+3sinx +1，设f(x)在[−12,12]上的最大、小值分别为M 、N ，则M +N 的值为( )A. 2B. 1C. 0D. −110. 若cos 3θ−sin 3θ<7(sinθ−cosθ)，θ∈(0,2π)，则实数θ的取值范围( )A. (0,π4)B. (5π4,2π)C. (π4,5π4)D. (π2,3π2)11. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy 的取值范围是( )A. [19,49] B. [19,14] C. [29,12] D. [29,14]12. 已知向量m⃗⃗⃗ =(−sinx,sin2x)，n ⃗ =(sin3x,sin4x)，若方程m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a 在[0,π)有唯一解，则实数a 的取值范围( )A. (−1,1)B. [−1,1]C. {−1,1}D. {1}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知m⃗⃗⃗ =(5,12)，则与m ⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量是______ 14. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =60∘，则BD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 已知△ABC 的面积为24，P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABP 的面积为______；16. 已知函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数.当x ≥0时，f(x)={54sin(π2x)(0≤x ≤1)(14)x +1(x >1)，则f(1)=______，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0(a,b ∈R))，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 若角θ的终边在第三象限，且tan2θ=−2√2，求sin 2θ−sin(3π+θ)cos(π+θ)−√2cos 2θ.18. (1)已知向量a ⃗ =(−2,−1)，b ⃗ =(λ,1)，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，求λ的取值范围；(2)平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，|c |=1，求：|a ⃗ +b ⃗ +c |.19. 已知a ⃗ =(sinx,√3cosx)，b ⃗ =(cosx,−cosx)，函数f(x)=a ⋅b +√32．(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)=13在(0,π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1+x 2)的值．20. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinα−2,−cosα)，n ⃗ =(−sinα,cosα)，其中α∈R ． (1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求角α；(2)若|m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |=√2，求cos2α的值．21. 已知函数f(x)=2sinωx(cosωx +√3sinωx)−√3(ω>0)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,5π]上零点的和．22. 已知立方和公式：m 3+n 3=(m +n)(m 2−mn +n 2).(1)求函数f(x)=sin 3x+cos 3x 2−sin2x的值域；(2)求函数g(x)=sin 3x+cos 3x 1+sin2x，x ∈[0,π2]的值域；(3)若任意实数x ，不等式sin 6x +cos 6x +asinxcosx ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．江西省南昌市第二中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知集合A={x∈N∗||x|≤3}，B={a,1}，若A∩B=B，则实数a的值为()A. 2B. 3C. 1或2或3D. 2或3【答案】D【解析】解：∵集合A={x∈N∗||x|≤3}={1,2，3}，B={a,1}，A∩B=B，∴B⊆A，∴实数a的值为2或3．故选：D．求出集合A={x∈N∗||x|≤3}={1,2，3}，由B={a,1}，A∩B=B，得B⊆A，由此能求出实数a的值．本题考查实数值的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24.下列等式恒成立的是()A. sinαcosβ=sin(α+β)B. a⃗⋅b⃗ =a⃗+b⃗C. e a⋅e b=e a+bD. lna⋅lnb=ln(a+b)【答案】C【解析】解：对于A，sinαcosβ=sin(α+β)，右边展开是sinαcosβ+cosαsinβ，两边不一定相等；对于B，a⃗⋅b⃗ =a⃗+b⃗ ，左边是数量积，为实数，右边是向量线性运算，是向量，不相等，对于C，根据幂的运算法则知，e a⋅e b=e a+b，等式恒成立；对于D，根据对数的运算法制知，lna⋅lnb=ln(a+b)不成立．故选：C．根据两角和的正弦公式判断sinαcosβ=sin(α+β)不一定成立；根据平面向量的数量积运算与线性运算判断a⃗⋅b⃗ =a⃗+b⃗ 不成立；根据幂的运算法则判断e a⋅e b=e a+b恒成立；根据对数的运算法则判断lna⋅lnb=ln(a+b)不成立．本题利用命题真假的判断考查了三角恒等变换、平面向量的运算以及指数、对数的运算问题，是基础题．25.函数y=sin(2x−π3)在区间[−π2,π]的简图是()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：当x =−π2时，y =sin[(2×(−π2)−π3]=−sin(π+π3)=sin π3=√32>0，故排除A ，D ；当x =π6时，y =sin(2×π6−π3)=sin0=0，故排除C ； 故选：B ．根据函数解析式可得当x =−π2时，y =sin[(2×(−π2)−π3]>0，故排除A ，D ；当x =π6时，y =sin0=0，故排除C ，从而得解．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．26. 下列结论正确的是( )A. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的方向相同B. △ABC 中，D 是BC 中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C. 向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CD⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 D. 若a ⃗ //b ⃗ ，则∃λ∈R 使a ⃗ =λb ⃗ 【答案】B【解析】解：对于A ，若向量a ⃗ ，b ⃗ 共线，则向量a ⃗ ，b ⃗ 的方向相同或相反，A 错误； 对于B ，△ABC 中，D 是BC 中点，延长AD 至E ，使AD =DE ，连接CE 、BE ， 则四边形ABEC 是平行四边形，如图所示；所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，B 正确； 对于C ，向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上， 如平行四边形的对边是共线向量，但四点不共线；C 错误；对于D ，b ⃗ =0⃗ 时，满足a ⃗ //b ⃗ ，但不一定存在λ∈R ，使a ⃗ =λb ⃗ ，D 错误． 故选：B ．根据平面向量的线性运算与共线定理，对选项中的命题判断正误即可． 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题．27. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行，则实数x 的值是( )A. −2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】解：∵a⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,x)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(3,x +1)，4b ⃗ −2a ⃗ =(6,4x −2)， 由于a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行， 得6(x +1)−3(4x −2)=0， 解得x =2． 故选：D ．写出要用的两个向量的坐标，由a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X 的方程，解方程可得结果．本题也可以这样解：因为a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行，则存在常数λ，使a ⃗ +b ⃗ =λ(4b ⃗ −2a ⃗ )，即(2λ+1)a ⃗ =(4λ−1)b ⃗ ，根据向量共线的条件知，向量a ⃗ 与b ⃗ 共线，故x =2．28. 若sin(π−α)=13，且π2<α<π，则sin2α的值为( )A. −4√29B. −2√29C. 2√29D. 4√29【答案】A【解析】解：∵sin(π−α)=sinα=13，且π2<α<π，∴cosα=−√1−sin 2α=−2√23，则sin2α=2sinαcosα=−4√29， 故选：A ．由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．29. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +3b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a ⃗ +3b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +3b ⃗ ，则( )A. A 、B 、C 三点共线B. A 、B 、D 三点共线C. A 、C 、D 三点共线D. B 、C 、D 三点共线【答案】B【解析】解：∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +6b ⃗ =2(a ⃗ +3b ⃗ )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴A 、B 、D 三点共线． 故选：B ．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，属于基础题．30. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 12 B. −12 C. 1D. −1【答案】A【解析】解：由题意正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，可知：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CE ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 则λ+μ的值为：12． 故选：A ．利用向量转化求解即可．本题考查向量的几何意义，考查计算能力．31. 已知函数f(x)=x 2−2x 22x +1+3sinx +1，设f(x)在[−12,12]上的最大、小值分别为M 、N ，则M +N 的值为( )A. 2B. 1C. 0D. −1【答案】A【解析】解：函数f(x)=x 2−2x 22x +1+3sinx +1，=x 2(1−22x +1)+3sinx +1， 设g(x)=x 2⋅2x −12x +1+3sinx ，可得g(−x)=−g(x)，即g(x)在[−12,12]上为奇函数， 可得g(x)的最大值和最小值的和为0，即有f(x)=g(x)+1在[−12,12]上的最大值和最小值之和为2． 故选：A ．化简函数f(x)，设g(x)=x 2⋅2x −12x +1+3sinx ，判断奇偶性，可得g(x)的最值之和为0，即可得到M +N 的值．本题考查函数的最值的求法，运用函数的奇偶性的性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．32. 若cos 3θ−sin 3θ<7(sinθ−cosθ)，θ∈(0,2π)，则实数θ的取值范围( )A. (0,π4)B. (5π4,2π)C. (π4,5π4)D. (π2,3π2)【答案】C【解析】解：由题意，∵cos 3θ−sin 3θ<7(sinθ−cosθ) ∴cos 3θ−sin 3θ<7sinθ−7cosθ则有cos 3θ+7cosθ<sin 3θ+7sinθ 即sin 3θ+7sinθ>cos 3θ+7cosθ． 设f(x)=x 3+7x ，0'/>，∴f(x)是(−∞,+∞)上的增函数． ∵原不等式可变形为f(sinθ)>f(cosθ)， ∴sinθ>cosθ， 又∵θ∈(0,2π)∴π4<θ<5π4则θ的取值范围是：(π4,5π4)，故选：C ．本题应将含有sinθ和cosθ的项各自移到等式的一边，然后用函数的思想来处理这类问题．本题如果从三角函数的知识去思考则有一定的难度，如果转化成函数再求导去解决则显得很容易，本题是一道较好的中档题．33. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy 的取值范围是( )A. [19,49] B. [19,14] C. [29,12] D. [29,14]【答案】D【解析】解：D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得x +y =1，x ，y ∈[13,23]， 则xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号， 并且xy =x(1−x)=x −x 2，函数的开口向下，对称轴为：x =12，当x =13或x =23时，取最小值， xy 的最小值为：29． 则xy 的取值范围是：[29,14]. 故选：D ．利用已知条件推出x +y =1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．34. 已知向量m⃗⃗⃗ =(−sinx,sin2x)，n ⃗ =(sin3x,sin4x)，若方程m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a 在[0,π)有唯一解，则实数a 的取值范围( )A. (−1,1)B. [−1,1]C. {−1,1}D. {1}【答案】D【解析】解：a =m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−sinxsin3x +sin2xsin4x =12(cos4x −cos2x)−12(cos6x −cos2x) =12(cos4x −cos6x) 设f(x)=sin2xsin4x −sinxsin3x =12(cos4x −cos6x)， 显然f(x)关于x =π2对称，因此f(x)=a 在[0,π)有唯一解的话，必然只能在x =0或π2时，当x =0为解时，此时a =0，方程化为sinxsin5x =0在[0,π)不止一解，故舍去， 当x =π2解时，此时a =1，方程化为sinxsin5x =1，因为在[0,π)上sin ≥0，所以只能是sinx =1，sin5x =1，即x =π2为唯一解． 综上所述，a =1． 即实数a 的取值范围是{1}， 故选：D ．根据向量数量积的定义求出a =m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，设函数f(x)=sin2xsin4x −sinxsin3x ，结合三角函数的图象和性质进行偶读求解即可．本题主要考查向量数量积的应用，结合三角函数的性质是解决本题的关键.综合性较强，难度较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35. 已知m ⃗⃗⃗ =(5,12)，则与m ⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量是______ 【答案】±(513,1213)【解析】解：设与m ⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量是a ⃗ ， 则a⃗ =λm ⃗⃗⃗ ， 则|a⃗ |=|λm ⃗⃗⃗ |， 即1=|λ|√52+122=13|λ|， 即|λ|=113，则λ=±113，则a⃗ =λm ⃗⃗⃗ =±113(5,12)=±(513,1213)， 故答案为：±(513,1213)根据向量共线以及向量模长公式进行求解即可．本题主要考查向量共线的应用，结合向量模长公式是解决本题的关键．36. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =60∘，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 【答案】6【解析】解：如图所示，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =60∘， ∴∠C =120∘，∴BD 2=22+22−2×2×2×cos120∘=12， ∴BD =2√3， 且∠BDC =30∘，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos30∘=2√3×2×√32=6． 故答案为：6．根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 本题考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，是基础题目．37. 已知△ABC 的面积为24，P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABP 的面积为______； 【答案】12【解析】解：设PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗ ，PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC ⃗⃗⃗⃗ ， 则PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 即点P 为△A 1B 1C 1的重心， 则S △PA 1B 1=S △PA 1C 1=S △PB 1C 1，又S △PAB =12S △PA 1B 1，S △PBC =16S △PB 1C 1， S △PAC =13S △PA 1C 1，所以S △PAB ：S △PBC ：S △PAC =3：1：2， 又S △PAB +S △PBC +S △PAC =24， 所以S △PAB =12， 故答案为：12由三角形的重心的向量表示得：点P 为△A 1B 1C 1的重心，则S △PA 1B 1=S △PA 1C 1=S △PB 1C 1，由三角形面积公式得：S △PAB =12S △PA 1B 1，S △PBC =16S △PB 1C 1，S △PAC =13S △PA 1C 1，所以S △PAB ：S △PBC ：S △PAC =3：1：2，又S △PAB +S △PBC +S △PAC =24，即S △PAB =12，得解．本题考查了三角形面积公式、三角形的重心及平面向量基本定理，属难度较大的题型．38. 已知函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数.当x ≥0时，f(x)={54sin(π2x)(0≤x ≤1)(14)x +1(x >1)，则f(1)=______，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0(a,b ∈R))，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是______．【答案】54 (−52,−94)∪(−94,−1) 【解析】解：f(1)=54sin(π2)=54， 作函数y =f(x)的图象如右图，设方程x 2+ax +b =0的两个根为x 1，x 2； ①若x 1=54，1<x 2<54， 故x 1+x 2=−a ∈(94,52)， 故a ∈(−52,−94)；②若0<x 1≤1，1<x 2<54， 故x 1+x 2=−a ∈(1,94)， 故a ∈(−94,−1)；故答案为：54，(−52,−94)∪(−94,−1)．可求得f(1)=54sin(π2)=54，作函数的图象，分类讨论即可．本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）39. 若角θ的终边在第三象限，且tan2θ=−2√2，求sin 2θ−sin(3π+θ)cos(π+θ)−√2cos 2θ. 【答案】解：角θ的终边在第三象限，tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−2√2， ∴tanθ=√2或 tanθ=−√22(舍去)， 则sin 2θ−sin(3π+θ)cos(π+θ)−√2cos 2θ=sin 2θ−sinθcosθ−√2cos 2θ=sin 2θ−sinθcosθ−√2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθ−√2tan 2θ+1=2−√2−√22+1=2−2√23． 【解析】由条件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．本题考查二倍角的正切公式，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．40. (1)已知向量a⃗ =(−2,−1)，b ⃗ =(λ,1)，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，求λ的取值范围； (2)平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，|c |=1，求：|a ⃗ +b ⃗ +c |. 【答案】解：(1)∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ <0，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线； ∴{−2+λ≠0−2λ−1<0； 解得λ>−12，且λ≠2；∴λ的取值范围为{λ|λ>−12,且λ≠2}；(2)∵a⃗，b⃗ ，c不共线，且两两所成的角相等；∴a⃗，b⃗ ，c两两所成的角为2π3；又|a⃗|=|b⃗ |=2,|c|=1；∴(a⃗+b⃗ +c)2=a⃗2+b⃗ 2+c2+2a⃗⋅b⃗ +2a⃗⋅c+2b⃗ ⋅c=4+4+1−4−2−2=1；∴|a⃗+b⃗ +c|=1．【解析】(1)根据a⃗,b⃗ 的夹角为钝角即可得出a⃗⋅b⃗ <0，且a⃗与b⃗ 不平行，从而得出{−2+λ≠0−2λ−1<0，解出λ的范围即可；(2)根据题意可得出a⃗,b⃗ ,c两两所成的角都为2π3，再根据|a⃗|=|b⃗ |=2,|c|=1即可得出(a⃗+b⃗ +c)2的值，进而求出|a⃗+b⃗ +c|．考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念，以及平行向量的坐标关系．41.已知a⃗=(sinx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,−cosx)，函数f(x)=a⋅b+√32．(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)=13在(0,π)上的解为x1，x2，求cos(x1+x2)的值．【答案】解：∵a⃗=(sinx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,−cosx)，∴f(x)=a⃗⋅b⃗ +√32=sinxcosx−√3cos2x=12sin2x−√3×1+cos2x2=sin(2x−13π)−√32(1)令2x−13π=12π+2kπ可得x=kπ+5π12，k∈z∴函数f(x)图象的对称轴方程x=kπ+5π12，k∈z(2)∵方程f(x)=13在(0,π)上的解为x1，x2，由正弦函数的对称性可知x1+x2=2kπ+5π6，∵x1，x2∈(0,π)，∴x1+x2=5π6∴cos(x1+x2)=−√3 2【解析】(1)先根据向量数量积的坐标表示求出f(x)结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；(2)由方程f(x)=13在(0,π)上的解为x1，x2，及正弦函数的对称性可求x1+x2，进而可求．本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，数基础试题．42. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinα−2,−cosα)，n ⃗ =(−sinα,cosα)，其中α∈R ． (1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求角α；(2)若|m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |=√2，求cos2α的值．【答案】解：(1)向量m⃗⃗⃗ =(sinα−2,−cosα)，n ⃗ =(−sinα,cosα)， 若m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即为−sinα(sinα−2)−cos 2α=0， 即sinα=12，可得α=2kπ+π6或2kπ+5π6，k ∈Z ；(2)若|m ⃗⃗⃗ −n ⃗ |=√2，即有(m⃗⃗⃗ −n ⃗ )2=2， 即(2sinα−2)2+(2cosα)2=2， 即为4sin 2α+4−8sinα+4cos 2α=2， 即有8−8sinα=2，可得sinα=34， 即有cos2α=1−2sin 2α=1−2×916=−18．【解析】(1)由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角α；(2)运用向量的平方即为模的平方，求得sinα，再由二倍角公式即可得到所求值．本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题．43. 已知函数f(x)=2sinωx(cosωx +√3sinωx)−√3(ω>0)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,5π]上零点的和．【答案】解：(1)∵函数f(x)=2sinωx(cosωx +√3sinωx)−√3=sin2ωx +2√3⋅1−cos2ωx2−√3=2sin(2ωx −π3)(ω>0)的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(2x −π3).令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，求得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，可得函数的增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z ． (2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得y =2sin2x 的图象； 再向上平移2个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x +2的图象． 令g(x)=0，求得sin2x =−1，2x =2kπ−π2，x =kπ−π4，k ∈Z ． 函数g(x)在区间[0,5π]上零点的和为3π4+7π4+11π4+15π4+19π4=55π4．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性，得出结论． (2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的零点的定义求出求函数g(x)在区间[0,5π]上零点的和．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的正弦函数的单调性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．44. 已知立方和公式：m 3+n 3=(m +n)(m 2−mn +n 2).(1)求函数f(x)=sin 3x+cos 3x 2−sin2x的值域；(2)求函数g(x)=sin 3x+cos 3x 1+sin2x，x ∈[0,π2]的值域；(3)若任意实数x ，不等式sin 6x +cos 6x +asinxcosx ≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)f(x)=sin 3x+cos 3x 2−sin2x =(sinx+cosx)(sin 2x−sinxcosx+cos 2x)2−2sinxcosx=(sinx+cosx)(1−sinxcosx)2(1−sinxcosx)=12(sinx +cosx)=√22sin(x +π4)， ∵−1≤sin(x +π4)≤1， ∴−√22≤√22sin(x +π4)≤√22， 故函数f(x)的值域为[−√22,√22]，(2)g(x)=sin 3x+cos 3x 1+sin2x=(sinx+cosx)(1−sinxcosx)(sinx+cosx)2=1−sinxcosx sinx+cosx，设sinx +cosx =t =√2sin(x +π4)， ∵x ∈[0,π2]， ∴x +π4∈[π4,3π4]，∴t ∈[1,√2]， ∵sinx +cosx =t ， ∴1+2sinxcox =t 2， ∴sinxcosx =t 2+12，∴g(x)=h(t)=1−t 2+12t =1−t 22t=12(1t−t)， 易知函数h(t)=12(1t −t)在[1,√2]上为减函数， ∵h(1)=0，h(√2)=−√24，∴函数g(x)的值域为[−√24,0]．(3)sin 6x +cos 6x =(sin 2x +cos 2x)(sin 4x +cos 4x −sin 2xcos 2x)=sin 4x +cos 4x −sin 2xcos 2x =(sin 2x +cos 2x)−3sin 2xcos 2x =1−3sin 2xcos 2x ， 设sinxcosx =t ，即t =12sin2x ，则−12≤t ≤12， ∵不等式sin 6x +cos 6x +asinxcosx ≥0恒成立， ∴1−3t 2+at ≥0，在t ∈[−12,12]恒成立， 即3t 2−at −1≤0在t ∈[−12,12]恒成立， ∴{3×(−12)2+12a −1≤03×(12)2−12a −1≤0，解得−54≤a ≤114，故a 的取值范围为[−54,114].【解析】(1)先化简f(x)=√22sin(x +π4)，再根据三角函数的性质即可求出，(2)化简g(x)=1−sinxcosxsinx+cosx，再设sinx +cosx =t =√2sin(x +π4)，可得t ∈[1,√2]，可得g(x)=h(t)=12(1t −t)，根据函数的单调性即可求出，(3)化简sin 6x +cos 6x =1−3sin 2xcos 2x ，设sinxcosx =t ，即t =12sin2x ，则−12≤t ≤12，则原不等式转化为3t 2−at −1≤0在t ∈[−12,12]恒成立，即可求出a 的范围本题考查了三角函数的化简以及三角函数的性质，二次函数的性质，函数的单调性，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．。

南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试高一数学试卷命题人：徐 欢 审题人：江 露一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知α为第二象限角，则3α的终边不可能位于（ ） A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 将300-化为弧度为（ ）A ．－43πB ．－53πC ．－76πD ．－74π 3.若cos α=，且角α的终边经过点(,2)P x ，则x =( )A． B．± C．- D．-4.实数a =0.2b =，0.2c =的大小关系正确的是 ( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<5. 已知函数1()(4)()2(1)(4)xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f =( )A ．119B ．124C ．111D ．2386. 函数3121)(++-=x x f x的定义域为（ ） A ．(]-3,0B ．(]-31，C ．()(]--3-30∞⋃，，D ．()(]--3-31∞⋃，，7. 1(0,1)xy a a a a=-≠≠函数且的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 8. 函数1log 2)(5.0-=x x f x的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9. 设()g x 为R 上的不恒为0的奇函数，)1,0(),(11)(≠>⎪⎭⎫⎝⎛+-=a a x g b a x f x为偶函数，则常数b 的值为（ ） A ．2B ．1C ．21D ．与a 的值有关10．函数2()log ()a f x ax x =-在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112a <<或1a > B ．1a > C ．114a << D ．108a <<11. 已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x ,若有)()(b g a f =,则b 的取值范围为（ ）A ．]3,1[B ． )3,1(C ．]22,22[+-D ．)22,22(+-12. 给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数1-=x y ，21x y =，2)1(-=x y ，3x y = 中有三个是增函数；②若03log 3log <<n m ，则10<<<m n ；③若函数)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图像关于点A (1,0)对称；④若函数323)(--=x x f x，则方程0)(=x f 有两个实数根．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知圆心角为3的弧所对的弦长为3，则圆心角所对的弧长是 .14. 函数)12(log )(2.0+=xx f 的值域为 .15. 已知定义在R 上的函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠都有0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围为 .16. 如图所示，用长为l 的铁丝弯成下部分为矩形，上部分为半圆形的框架，则此框架围成的封闭图形的面积的最大值为 .三、解答题（共70分） 17. (本小题满分10分)计算：（Ⅰ）2sin(2)sin()2cos()sin()cos ()22a ππαπαπααπ-+----+ ；（Ⅱ）已知01()2m =-1420.25n -=⨯，求值：lg lg 111lg 0.36lg8n n m n m+++18.（本题满分12分）设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =B ．（I ）求A B ；（II ）若{}|121C x m x m =-<<+，C B ⊆，求实数m 的取值范围．19．（本题满分12分）已知函数221()log (2)2f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知2()log (41)()xf x kx k R =+-∈．（I ）若()f x 是偶函数，求实数k 的值； （II ）若偶函数()f x 与函数24()log (2)3xg x a a =⋅-的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．21.（本题满分12分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==,（I ）求()f x 的解析式；（I ）若()f x 在区间[3,1]a a +上不单调，求实数a 的取值范围；（III ）在区间[1,3]-上，()y f x =的图像恒在221y x m =++的图像上方，试确定实数m 的取值范围．22.（本题满分12分）已知函数)0,0,,,(1)(2>>∈++=b a Rc b a c bx ax x f 是奇函数，当0>x 时，)(x f 有最小值2，且N b f ∈<,25)1(.(I)求函数)(x f 的解析式；(II)问函数)(x f 图像上是否存在关于点)0,1(A 对称的两点？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由；(III)若实数,0,m n >且11,4m n mn +=≤，求()()f m f n 的最小值.南昌二中2016—2017学年度上学期第二次考试高一数学试卷参考答案一、选择题 1—12 CBDCB ADBCB DC二、填空题13.23sin 2914.()0-，∞ 15.12(,)(,)33-∞+∞ 16.)4(22π+l三、解答题17. (1)原式2sin (sin )2sin (sin )(sin )ααααα=----- 222sin2sin sin 0ααα=-+-=(2)∵1(2)3m =--=，40.50.542n =⨯=⨯=∴lg lg 2lg 2lg3lg 4lg311111lg 0.6lg 21lg 0.36lg81lg 0.36lg823n n m n m +++==++++++ lg12lg12lg1211lg1.2lg10lg1.2lg12====++18.（1）要使函数()f x 有意义，则220x x -->，解得2x >或1x <-，即{}|21A x x x =><-或．要使()g x 有意义，则3||0x -≥，解得33x -≤≤，即{}|33B x x =-≤≤．∴{}{}|21|33AB x x x x x =><--≤≤或{}|3123x x x =-≤<-<≤或．（2）若C =∅，则2m ≤-，C B ⊆恒成立；若2m >-时，要使C B ⊆成立， 则2,13,213,m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得21m -<≤． 综上，1m ≤，即实数m 的取值范围是(],1-∞．19.令21()22u x x mx =-+，要使()f x 在[1,)x ∈+∞单调递增，又因2log y x =在(0,)+∞上递增，由复合函数的单调性知，必须()u x 在[1,)x ∈+∞单调递增，且满足()0u x >在[1,)x ∈+∞上恒成立∴有对称轴1x m =≤且min ()(1)0u x u =>即111202m m ≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩，解得34m <， 故实数m 的取值范围为3(,)4-∞.20.（I ）∵2()log (41)()xf x kx k R =+-∈是偶函数， ∴()()f x f x -=对任意x R ∈恒成立，即22log (41)2log (41)x xx kx kx +-+=+-恒成立，∴1k =．（II ）由（I ）知，2()log (41)xf x x =+-∵函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3xxx a a +-=⋅-有且只有一解，又4102x x+>， 即方程414223x xxa a +=⋅-有且只有一解． 令2x t =，则0t >，且原方程化为24(1)103a t bt ---=（*），①当1a =时，解得3(0,)4t =-∉+∞，不合题意；②当1a ≠时，方程（*）的两根异号或有两相等正根．由0∆=得34a =或3-；但当34a =时，2t =-，不合，舍去；而3a =-时，12t =，适合．由方程（*）的两根异号得101a -<-，解得1a >． 综上所述，所求a 的取值范围为{13}a a a >=-或．21.（1）设()(0)(2)3f x a x x =--+ 则2()23f x ax ax =-+，∴2124314a a a a-=-= ∴2a = ∴2()243f x x x =-+． （2）由（1）知()f x 图象的对称轴为直线1x =，∴3111a a <⎧⎨+>⎩ 即103a <<．（3） ]3,1[-∈x 时，2243221x x x m -+>++恒成立， 即231m x x <-+在]3,1[-∈x 时恒成立。

南昌二中2017-2018学年度上学期第一次考试高三数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,4}，B ＝{1,4}，则(∁U A )∪B 为( ) A ．{1} B ．{1,5}C ．{1,4}D ．{1,4,5}2. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ） A.1 B.2C.3D.43. 下列判断正确的是( )A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C. “1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D. 命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x x ∃∈≤R ”4. 已知AB ＝(－1，－2)，BC ＝(－3，－4)，则CA ＝( ) A. (4,6) B. (－4，－6) C. (2,2)D. (－2，－2)5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．6. 若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7．已知lg lg 0a b +=,则函数xa x f =)(与x x gb log )(-=的图象可能是（ ）A B C D 8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos y x ω= 的图象 ( )A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位 9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A. π12B. π6C. π4D. π3 10．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使 C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得∠BDC=45°，则塔 AB 的高是（ ）（单位：m ） A ．10B ．10C ．10D ．1011．已知函数()sin cos f x a x b x =-（0ab ≠, x R ∈）在4x π=处取得最大值，则函数()4y f x π=-是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点(,0)π对称B ．奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 C ．偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且它的图象关于点 (,0)π对称12．已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A. 121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121()0,()2f x f x <>-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数2log ,0,()2,0xx x f x x >⎧=⎨<⎩，则1()4f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 14. 已知向量(1,2)a =，5a b ⋅=，25a b -=，则||b = .15．已知函数()3sin f x x x x =--+，不等式()()sin cos20f m f θθ++>对任意02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都成立，则实数m 的取值范围 .16. 已知函数()cos sin 2f x x x =，下列命题中，其中正确命题的序号为（把你认为正确的序号都填上）_______．①()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称; ②()y f x =的图像关于直线③()f x 的最大值为; ④()f x 既是奇函数，又是周期函数三、解答题:本大题共6小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数)(x f 12x π⎛⎫-⎪⎝⎭，x∈R. (I)求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(II) 在平面直角坐标系中，以Ox 为始边作角θ，它的终边与单位圆相交于点P18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3π=C .设向量),,(b a =)sin ,(sin A B n =， )2,2(--=a b p .(I) 若∥，求B ；(II) 若,⊥ABC ∆的面积为3，求边长c .19. （本小题满分12分）已知函数c bx ax x f ++=3)(在点2=x 处取得极值16-c . (I)求b a ,的值;(II)若)(x f 在[]3,3-上有两个零点，求c 的范围.20. （本小题满分12分）如图，在AOB ∆中，,,4,26AOB BAO AB D ππ∠=∠==为线段BA 的中点．AOC ∆由AOB ∆绕直线AO 旋转而成，记,0,2BOC πθθ⎛⎤∠=∈ ⎥⎝⎦．（I ）证明：2COD AOB πθ=⊥当时，平面平面；（II ）当三棱锥D BOC -的体积为1时，求三棱锥A BOC -的全面积．21. （本小题满分12分）已知()2()2cos()cos 2sin 1026f x x x x ππωωωω⎛⎫=-++-> ⎪⎝⎭，直线12y =与()f x 的图像交点之间最短距离为π.(I) 求()f x 的解析式及单调递增区间；(II)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数（其中常数），(是圆周率) .（I ）当时，求函数的单调递增区间；（II ）当时，求函数在上的最小值，并探索：是否存在满足条件的实数，使得对任意的，恒成立。

2017-2018学年江西省南昌二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题包含12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）cos（﹣300°）=（）A．B．C．D．2．（5分）已知向量，若，则m=（）A．﹣1B．﹣4C．4D．13．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）是奇函数C．f（x）在（0，+∞）是增函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）4．（5分）在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（）A．5B．﹣5C．D．5．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=﹣2sin（2x+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2cos（2x+）D．y=﹣2os（2x+）6．（5分）已知向量与的夹角为120°，，则=（）A．B．2C．D．47．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）在平面内用如图的方式放置两个相同的直角三角板，直角板一个角为30°，则下列结论不成立的是（）A．=0B．与的夹角为60°C．+与+共线D．在上的投影等于在上的投影9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1 10．（5分）已知=，则的值是（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆圆心为O，则•=（）A．9B．10C．11D．1212．（5分）设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）A．f（）=0B．点（，0）是函数f（x）的一个对称中心C．f（x）在（0，）上是增函数D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点二、填空题（本题包含4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知=（，1），则与垂直的一个单位向量的坐标为．15．（5分）已知tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tanβ=．16．（5分）设，为非零向量，||=1，|+2|=1，则|+|+||的最大值为．三、解答题（本题包含6个大题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=．（I）化简f（α）；（II）若f（α+）=2f（α），求f（α）•f（﹣α）的值．18．（12分）已知向量与的夹角为60°，||=3，||=2，=2﹣3，=3+k．（I）若，求实数k的值；（II）是否存在实数k，使得∥？说明理由．19．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+sin2ωx．（I）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈（0，2]，求函数f（x）的单调递增区间；（II）在（I）的条件下，当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．20．（12分）如图，D为BC边上的中点，G是△ABC的重心，E点为边AC上靠近点C的三等分点．，（I）若=m，求m的值；（II）AD与BE交于点F，设=，=，请用，表示向量．21．（12分）如图（1）所示，用两块宽分别为+1cm和1cm的矩形钢板（|PQ|=+1，|MN|=1），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．（I）设∠POA=x，请问下料时x应取多少度？（II）如图（2）所示，在以O为圆心，OA为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG，其中动点F在扇形的弧上，求矩形DEFG面积的最大值．22．（12分）设二次函数y=f（x）的图象过点（0，0），且满足3x2+1≥f（x）≥﹣6x﹣2恒成立．（I）求f（x）的解析式；（II）若对任意的x∈（0，），不等式p•f（sinx）f（cosx）+cos4x﹣1＜0恒成立，求实数p的取值范围．2017-2018学年江西省南昌二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题包含12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）cos（﹣300°）=（）A．B．C．D．【解答】解：cos（﹣300°）=cos（﹣360°+60°）=cos60°=，故选：D．2．（5分）已知向量，若，则m=（）A．﹣1B．﹣4C．4D．1【解答】解：∵；∴1•m﹣（﹣2）•2=0；∴m=﹣4．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是周期函数B．f（x）是奇函数C．f（x）在（0，+∞）是增函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【解答】解：当x≤0时，函数具备周期性，当x＞0时，函数单调递增，函数不具备周期性．故A错误；∵f（1）=1，f（﹣1）=﹣sin1，∴f（﹣1）≠﹣f（1），且f（﹣1）≠f（1），即函数f（x）为非奇非偶函数．故B错误；当x≤0函数f（x）不单调，故C错误；当x≤0时，﹣1≤sinx≤1，当x＞0时，函数单调递减，此时f（x）＞0，综上f（x）≥﹣1，即f（x）的值域为[﹣1，+∞），故D正确．故选：D．4．（5分）在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（）A．5B．﹣5C．D．【解答】解：∵，则∵∠C=90°∴故选：A．5．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=﹣2sin（2x+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2cos（2x+）D．y=﹣2os（2x+）【解答】解：函数y=2sin（2x+），其周期T=，图象向左平移个最小正周期后，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos（2x+）故选：C．6．（5分）已知向量与的夹角为120°，，则=（）A．B．2C．D．4【解答】解：根据题意，=（1，0），则||=1，又由||=2，且向量与的夹角为120°，则•=2×1×（﹣）=﹣1，则有（2+）2=42+4•+2=4，则=2；故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据==﹣求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=可得φ=，故选：D．8．（5分）在平面内用如图的方式放置两个相同的直角三角板，直角板一个角为30°，则下列结论不成立的是（）A．=0B．与的夹角为60°C．+与+共线D．在上的投影等于在上的投影【解答】解：在平面内用如图的方式放置两个相同的直角三角板，直角板一个角为30°，在A中，AC⊥BD，∴=0，故A正确；在B中，∵∠BCD=60°+60°=120°，∴与的夹角为60°，故B正确；在C中，∵+=，+=，∴+与+共线，故C正确；在D中，在上的投影为：||•cos＜＞，在上的投影为：||•cos＜＞，∴在上的投影不等于在上的投影，故D错误．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωπx）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．≤ω＜1【解答】解：由于f（x）=sin（ωπx）在当x＞0时，第一个最大值出现在ωπx=，第一个最小值出现在ωπx=，第二个最大值出现在ωπx=，由于函数f（x）（ω＞0）在（0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，也就是≤2且＞2，解得：ω≥且ω＜，故ω的取值范围是[，）．故选：C．10．（5分）已知=，则的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=1﹣sin2α=（1+sinα）（1﹣sinα），∴，又=，∴=．故选：B．11．（5分）△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆圆心为O，则•=（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：•=（﹣）=•﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得•﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故选：B．12．（5分）设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）A．f（）=0B．点（，0）是函数f（x）的一个对称中心C．f（x）在（0，）上是增函数D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点【解答】解：函数f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），sinφ，周期T=2π．由题意么x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么就是相邻的对称中点，∴点（，0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在（0，）是减函数．故选：D．二、填空题（本题包含4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（0，2] ．【解答】解：1﹣log2x≥0，log2x≤1=log22，故0＜x≤2．故答案为：（0，2]14．（5分）已知=（，1），则与垂直的一个单位向量的坐标为（，﹣）、（﹣，）．【解答】解：已知=（，1），则与垂直的一个单位向量的坐标为=（x，y），由，求得，或，故答案为：（，﹣）、（﹣，）．15．（5分）已知tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tanβ=2．【解答】解：tanα=，tan（α﹣β）=﹣，可得：=﹣．，解得：tanβ=2．故答案为：2．16．（5分）设，为非零向量，||=1，|+2|=1，则|+|+||的最大值为．【解答】解：∵||=1，|+2|=1，∴+4•+4=1，∴（+）•=0，∴|+|||是斜边长为1的直角三角形的两直角边可令|+|=cosθ，||=sinθ，∴|+|+||=cosθ+sinθ=cos（θ﹣）≤，故答案为：．三、解答题（本题包含6个大题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=．（I）化简f（α）；（II）若f（α+）=2f（α），求f（α）•f（﹣α）的值．【解答】解：（I）函数f（x）===﹣cosα．（II）∵f（α+）=2f（α），∴﹣cos（α+）=﹣2cosα，即sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2．故f（α）•f（﹣α）=﹣cosα•[﹣cos（﹣α）]=sinαcosα===﹣．18．（12分）已知向量与的夹角为60°，||=3，||=2，=2﹣3，=3+k．（I）若，求实数k的值；（II）是否存在实数k，使得∥？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）向量与的夹角为60°，||=3，||=2，=2﹣3，=3+k，∴•=（2﹣3）•（3+k）=6||2﹣3k||2+（2k﹣9）•||•||•cos60°=54﹣12k+3（2k﹣9）=0，解得k=；（Ⅱ）∵∥，∴存在实数λ可得（2﹣3）=λ（3+k），∴，解得k=﹣．19．（12分）已知函数f（x）=sinωx•cosωx+sin2ωx．（I）若函数f（x）的图象关于直线x=对称，且ω∈（0，2]，求函数f（x）的单调递增区间；（II）在（I）的条件下，当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）=sinωx•cosωx+sin2ωx=sin2ωx+=sin（2ωx ﹣），∵函数f（x）的图象关于直线x=对称，∴ω﹣=+kπ，k∈Z，即ω=1+k，∵ω∈（0，2]，∴当k=0时，ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则有kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以，f（x）的递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（II）当0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，即0≤sin（2x﹣）≤，所以函数f（x）的值域是[0，]．20．（12分）如图，D为BC边上的中点，G是△ABC的重心，E点为边AC上靠近点C的三等分点．，（I）若=m，求m的值；（II）AD与BE交于点F，设=，=，请用，表示向量．【解答】解：（Ⅰ）由题意有，GE∥DC且，所以，所以，，所以：m=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，=，所以：，==，=，=．21．（12分）如图（1）所示，用两块宽分别为+1cm和1cm的矩形钢板（|PQ|=+1，|MN|=1），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．（I）设∠POA=x，请问下料时x应取多少度？（II）如图（2）所示，在以O为圆心，OA为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG，其中动点F在扇形的弧上，求矩形DEFG面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过A作AX、AY分别垂直OP、ON于X、Y，则在Rt△OAX与Rt△OAY中，OA==，∴=，∴（+1）sin（60°﹣x）=sinx，∴sinx=cosx∴x=45°，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OF=OA=（+1）×=+，设∠BOF=θ，EF=O Fsinθ=（+）sinθ，DE=OE﹣OD=OE﹣=（+）cosθ﹣sinθ=（+）（cosθ﹣sinθ），=EF•DE=（+）2sinθ（cosθ﹣sinθ）=（+）2[（sin2θ+cos2θ）∴S矩形DEFG﹣]，=（+）2[sin（2θ+φ）﹣]，≤（+）2（﹣），=2+∴矩形DEFG面积的最大值为2+22．（12分）设二次函数y=f（x）的图象过点（0，0），且满足3x2+1≥f（x）≥﹣6x﹣2恒成立．（I）求f（x）的解析式；（II）若对任意的x∈（0，），不等式p•f（sinx）f（cosx）+cos4x﹣1＜0恒成立，求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（0）=0，即c=0．由3x2+1=﹣6x﹣2，得x=﹣1，∴f（﹣1）=a﹣b=4，∴ax2+bx=（b+4）x2+bx≤3x2+1在R上恒成立，∴（b+1）x2+bx﹣1≤0在R上恒成立，∴△=b2+4（b+1）=（b+2）2≤0，得b=﹣2，a=2．∴f（x）=2x2﹣2x；（Ⅱ）p•f（sinx）f（cosx）+cos4x﹣1＜0⇔p•2sinx（sinx﹣1）2cosx（cosx﹣1）+cos4x﹣1＜0⇔4psinxcosx（sinx﹣1）（cosx﹣1）＜2sin22x⇔4psinxcosx（sinx﹣1）（cosx﹣1）＜8sin2xcos2x⇔p（sinx﹣1）（cosx﹣1）＜2sinxcosx（0＜x＜）⇔p＜（0＜x＜）⇔p＜（0＜x＜）．令t=sinx+cosx=，则t∈（1，]．且sinxcosx=．故p ＜（0＜x ＜）⇔p ＜=．令g （t ）=2（1+），该函数在（1，]上递减，∴． 由题意可得，p ＜6+．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。

南昌二中2017—2018学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 直线tan706x y π+-=的倾斜角是（ ） A. π6- B.π6 C. 2π3 D. 5π62. 焦点在x 轴上的椭圆221(0)3x y m m+=>的焦距为 ）A. 11B. 33C.D. 3. 直线(1)10k x ky +-+=（k ∈R ）与圆22(2)(1)3x y ++-=的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k 的值有关 4. 已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =（ ） A. 12- B. 12 C. -2D. 2 5. 点(0,2)k 为圆22:8280C x y x y +-+-=上一点，过点K 作圆切线为,l l 与'l ：420x ay -+=平行，则'l 与l 之间的距离是（ ） A. 85 B. 45 C. 285 D. 1256. 曲线1(2)y x =≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ） A. 53(,]124 B. 53(,)124 C. 13(,)34 D. 5(0,)127. 若圆22:(1)(2)25C x y -++=上有四个不同的点到直线4:33a l y x =--的距离为2，则a 的取值范围是( )A. (－12，8)B. (－8，12)C. (－13，17)D. (－17，13) 8. 两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +最小值为( )A. 49B. 109C. 1D. 39. 已知圆22:230C x y x +--=，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C 于点A ，B ，D ，E ，则四边形ABDE 面积的最大值为( )A. 4B. 7C. 4D. 410. 一束光线从点()1,1A -出发，经x 轴反射到圆()()22:231C x y -+-=上的最短路程是 A. 321 B. 26 C. 4 D. 511. 椭圆221259x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF 的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）A. 5B. 103C. 203D. 5212. 设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是①存在一个圆与所有直线不相交②存在一个圆与所有直线相切③M 中所有直线均经过一个定点④存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑤M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等A. 1B. 2C. 3D. 4填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 经过点()4,2A ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的3倍的直线l 的方程的一般式为__________．14. 22192x y +=焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________. 15. 直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .16. 已知椭圆C 的方程为＋＝1，A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上不同于A 、B 的动点，直线x ＝4与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点；若D(7，0)，则过D 、M 、N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17. 已知MNQ ∆的三个顶点分别为()2,3M ,()1,2N --，()3,4-Q ，求（1）NQ 边上的中线MD 所在的直线方程的一般式；（2）求MNQ ∆的面积18. 已知直线l 过点(21)，且与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，0120AOB ∠=.求直线AB 方程的一般式.19. 求与圆A:2220x y x +-=外切且与直线l:30x y +=相切于点(3,3M -的圆B 的方程．20. 已知直线:(1)2530()l k x y k k R --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点(4,0)A 和点P ，且圆心直线-2 10x y +=上.（1）求定点P 的坐标与圆C 的方程；（2）已知点P 为圆C 直径的一个端点，若另一个端点为点Q ，问：在y 轴上是否存在一点(0, )M m ，使得PMQ ∆为直角三角形，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.21. 已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．22. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,四点1234((1,1),(0,1)P P p p ---- 中恰有三点在椭圆C 上 （1）求椭圆C 方程. （2）经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD x ⊥轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且()*()0AB EB DB AD -+= 求证：B ， D E ， 三点共线.。

江西省南昌市第二中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则实数a的值为A. 2B. 3C. 1或2或3D. 2或3 【答案】D【解析】【分析】求出集合A＝{1，2，3}，由B＝{a，1}，A∩B＝B，得B⊆A，由此能求出实数a的值．【详解】解：集合2，，，，，实数a的值为2或3．故选：D．【点睛】本题考查实数值的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.下列等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两角和的正弦公式判断sinαcosβ＝sin（α+β）不一定成立；根据平面向量的数量积运算与线性运算判断•不成立；根据幂的运算法则判断e a•e b＝e a+b恒成立；根据对数的运算法则判断lna•lnb＝ln（a+b）不成立．【详解】解：对于A，，右边展开是，两边不一定相等；对于B，，左边是数量积，为实数，右边是向量线性运算，是向量，不相等，对于C，根据幂的运算法则知，，等式恒成立；对于D，根据对数的运算法则知，不成立．故选：C．【点睛】本题利用命题真假的判断，考查了三角恒等变换、平面向量的运算以及指数、对数的运算问题，是基础题．3.函数在区间的简图是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式可得当x时，y＝sin[（2]＞0，故排除A，D；当x时，y＝sin0＝0，故排除C，从而得解．【详解】解：当时，，故排除A，D；当时，，故排除C；故选：B．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作图，特值法，属于基础题．4.下列结论正确的是A. 若向量，共线，则向量，的方向相同B. 中，D是BC中点，则C. 向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上D. 若，则使【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理，对选项中的命题判断正误即可．【详解】解：对于A，若向量，共线，则向量，的方向相同或相反，A错误；对于B，中，D是BC中点，延长AD至E，使，连接CE、BE，则四边形ABEC是平行四边形，如图所示；所以，B正确；对于C，向量与向量是共线向量，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，如平行四边形的对边是共线向量，但四点不共线；C错误；对于D，时，满足，但不一定存在，使，D错误．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题．5.已知向量，，若与平行，则实数x值是A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A【解析】试题分析：,,因为与平行,所以,解得,故选A.考点：1.向量坐标运算；2.两向量平行的条件.6.若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【详解】解：，且，，则，故选：A．【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．7.已知向量，，，则A. A、B、C三点共线B. A、B、D三点共线C. A、C、D三点共线D. B、C、D三点共线【答案】B【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】解：，即、B、D三点共线．故选：B．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了运算能力，属于基础题．8.如图所示，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】试题分析：，又,所以,又,那么.故本题选A．考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.9.已知函数，设在上的最大、小值分别为M、N，则M+N 的值为A. 2B. 1C. 0D.【答案】A【解析】分析】化简函数f（x），设g（x）＝x2•3sin x，判断奇偶性，可得g（x）的最值之和为0，即可得到M+N的值．【详解】解：函数，设，可得，即在上为奇函数，可得的最大值和最小值的和为0，即有在上的最大值和最小值之和为2．故选：A．【点睛】本题考查函数的最值的求法，运用函数的奇偶性的性质是解题的关键，考查推理能力与运算能力，属于中档题．10.若，，则实数的取值范围A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题应将含有sinθ和cosθ的项各自移到等式的一边，然后用函数的思想来处理这类问题．【详解】解：由题意，，则有,即．设，是上的增函数．原不等式可变形为，，又则的取值范围是：，故选：C．点睛】本题如果从三角函数的知识去思考则有一定的难度，如果转化成函数的单调性去解决则显得很容易，本题是一道较好的中档题．11.已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】利用已知条件推出x+y＝1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，，则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：故选：D．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．12.已知向量，，若方程在有唯一解，则实数a 的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的定义求出a•，设函数f（x）＝sin2x sin4x﹣sin x sin3x，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【详解】解：, 设，显然关于对称，因此在有唯一解的话，必然只能在或时，当解时，此时，方程化为在不止一解，故舍去，当解时，此时，方程化为，因为在上，所以只能是，，即为唯一解．综上所述，．即实数a的取值范围是，【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，结合三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则与方向相同的单位向量是______【答案】【解析】【分析】根据向量共线以及向量模长公式进行求解即可．【详解】解：设与方向相同的单位向量是，则，则，即，即，则，则，故答案为：【点睛】本题主要考查向量共线的应用，结合向量模长公式是解决本题的关键．14.已知菱形ABCD的边长为2，，则______．【答案】6【解析】【分析】选取为基底，则，然后根据向量数量积的定义求解．【详解】如图，以为基底，则．∴．【点睛】计算向量数量积的方法有三种：定义法、坐标运算法、数量积的几何意义，解题时要灵活选用方法，对于和图形有关的问题不要忽视数量积的几何意义的应用．15.已知的面积为24，P是所在平面上的一点，满足，则的面积为____；【答案】12【解析】【分析】由三角形的重心的向量表示得：点P为△A1B1C1的重心，则S S S，由三角形面积公式得：S△PAB S，S△PBC S，S△PAC S，所以S△PAB：S△PBC：S△PAC＝3：1：2，又S△PAB+S△PBC+S△PAC＝24，即S△PAB＝12，得解．【详解】解：设，，，则，即点P为的重心，则，又，，，所以：：：1：2，又，所以，故答案为：12【点睛】本题考查了三角形面积公式、三角形的重心及平面向量基本定理，属难度较大的题型．16.已知函数是定义域为R的偶函数当时，，则______，若关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】可求得f（1）sin（），作函数的图象，分类讨论即可．【详解】解：，作函数的图象如右图，设方程的两个根为，；若，，故，故；若，，故，故；故答案为：，．【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若角的终边在第三象限，且，求【答案】【解析】【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【详解】解：角的终边在第三象限，，或舍去，则，．【点睛】本题考查二倍角的正切公式，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．18.已知向量，，若与的夹角为钝角，求的取值范围；平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，若，，求：【答案】(1)；（2）1【解析】【分析】（1）根据的夹角为钝角即可得出，且与不平行，从而得出，解出λ的范围即可；（2）根据题意可得出两两所成的角都为，再根据即可得出的值，进而求出．【详解】解：与的夹角为钝角；，且与不共线；；解得，且；的取值范围为；，，不共线，且两两所成的角相等；，，两两所成的角为；又；；．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念，以及平行向量的坐标关系．19.已知，，函数．求函数图象的对称轴方程；若方程在上的解为，，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出,利用二倍角公式与辅助角公式化简，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程在（上的解为，及正弦函数的对称性可求，进而可得结果．【详解】解：，，令可得，函数图象的对称轴方程，方程在上的解为，，由正弦函数的对称性可知，，，.【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20.已知向量，，其中．若，求角；若，求的值．【答案】（1）或，；（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角α；（2）运用向量的平方即为模的平方，求得sinα，再由二倍角公式即可得到所求值．【详解】解：向量，，若，则，即为，即，可得或，；若，即有，即，即为，即有，可得，即有．【点睛】本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题．21.已知函数的最小正周期为．求函数的单调递增区间；将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上零点的和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性，得出结论；（2）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的零点的定义求出求函数g（x）在区间[0，5π]上零点的和．函数【详解】解：再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．令，求得，，，．函数在区间上零点的和为．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的正弦函数的单调性，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．22.已知立方和公式：求函数的值域；求函数，的值域；若任意实数x ，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先化简f（x）sin（x），再根据三角函数的性质即可求出，（2）化简g（x），再设sin x+cos x＝t sin（x），可得t∈[1，]，可得g（x）＝h（t）（t），根据函数的单调性即可求出，（3）化简sin6x+cos6x＝1﹣3sin2x cos2x，设sin x cos x＝t，即t sin2x，则t，则原不等式转化为3t2﹣at﹣1≤0在t∈[，]恒成立，即可求出a的范围【详解】解：，，，，故函数的值域为，，设，，，，，，，，易知函数在上为减函数，，，函数的值域为．，，设，即，则，不等式恒成立，，在恒成立，即在恒成立，，解得，故a的取值范围为【点睛】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的性质，二次函数的性质，函数的单调性，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．。

江西省南昌二中2017-2018学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（12&#215;5分=60分）1．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C． D．2．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位所得函数的解析式为（）A．y=cos2x﹣2 B．y=﹣cos2x﹣2 C．y=sin2x﹣2 D．y=﹣cos2x+23．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．104．等差数列{a n}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．S n为{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1105．已知向量、的夹角为60°，，若，则=（）A．B．C．D．6．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）A．B．C．D．7．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于（）A．B．C．D．8．若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞） B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）9．下列程序图中，输出的B是（）A．﹣B．﹣C．0 D．10．已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b，c∈{0，1，2，3}，记“该方程有实数根x1，x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足a1=1，|a n﹣a n﹣1|=（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10=（）A．6﹣B．6﹣C．11﹣D．11﹣12．如图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中x，y∈R），则满足x+y≥的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（4&#215;5分=20分）13．已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于．14．安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有．15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．16．如果一个实数数列{a n}满足条件：（d为常数，n∈N*），则称这一数列“伪等差数列”，d称为“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{a n}的结论：①对于任意的首项a1，若d＜0，则这一数列必为有穷数列；②当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，可以是这一数列中的一项；n∈N*⑤若这一数列的首项为0，第三项为﹣1，则这一数列的伪公差可以是．其中正确的结论是．三、解答题（共70分）17．设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．18．已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值．19．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．20．某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销（每人至多抽奖一次），设了金奖和银奖，奖券共2000张．在某一时段对30名顾客进行调查，其中有的顾客没有得奖，而得奖的顾客中有的顾客得银奖，若对这30名顾客随机采访3名顾客．（1）求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率；（2）求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率．21．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．（Ⅰ）求q的值和{a n}的通项公式；（Ⅱ）若下图所示算法框图中的a i即为（I）中所求，回答以下问题：（1）若记b所构成的数列为{b n}，求数列{b n}的前n项和S n（2）求该框图输出的结果S和i．22．已知数列{a n}满足a1=a（a∈N*）．a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0（p≠0，p≠﹣1）n∈N*）．（1）数列{a n}的通项公式；（2）对每一个正整数k，若将a k+1，a k+2，a k+3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为d k．求p的值及相应的数列{d k}．江西省南昌二中2017-2018学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12&#215;5分=60分）1．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C． D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T=，正切型最小正周期为T=，进而分别求得四个选项中的函数的最小正周期即可．解答：解：正弦、余弦型最小正周期为T=，正切型最小正周期为T=故A，C中的函数的最小正周期为π，B项中最小正周期为，D中函数的最小正周期为，故选B点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了学生对三角函数周期公式的灵活掌握．要求对周期公式能够顺向和逆向使用．2．把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位所得函数的解析式为（）A．y=cos2x﹣2 B．y=﹣cos2x﹣2 C．y=sin2x﹣2 D．y=﹣cos2x+2考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x 的图象；再向下平移2个单位，可得函数的图象对应的解析式为y=﹣cos2x﹣2，故选：B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．解答：解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选D．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．4．等差数列{a n}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．S n为{a n}的前n项和，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比关系求出数列的公差，然后求解S10的值．解答：解：设等差数列的公差为d，a3，a7，a9成等比数列．可得：（20+6d）2=（20+2d）（20+8d），解得d=﹣2，或d=0（舍去）．S10=20×10+=110．故选：D．点评：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，等差数列的求和，考查计算能力．5．已知向量、的夹角为60°，，若，则=（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出2展开，利用数量积计算即可．解答：解：因为向量、的夹角为60°，所以=2，所以=（2）2==16+4+8=28，所以=；故选D点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的模；一般的，没有坐标表示的向量求模，先求其平方的值，然后开方求模．6．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：设甲、乙两人各自跑的路程，列出不等式，作出图形，再列出相距不超过50米，满足的不等式，求出相应的面积，即可求得相应的概率．解答：解：设甲、乙两人各自跑的路程为xm，ym，则，表示的区域如图所示，面积为90000m2，相距不超过50米，满足|x﹣y|≤50，表示的区域如图阴影所示，其面积为（90000﹣62500）m2=27500m2，∴在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是=故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的使用条件，以及几何概率模型的计算公式．7．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出甲、乙所选的课程都相同的概率，再根据互斥事件的概率公式计算即可．解答：解：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，共有C42×C42=36种选法，甲、乙所选的课程都相同的共有C42=6种，故甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率P=1﹣=，故选：D．点评：本题考查了互斥事件的概率公式，关键是求出甲、乙所选的课程都相同的种数．8．若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞） B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用分离常数法得出不等式a＞﹣x在x∈[1，5]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，5]上的单调性，求出a的取值范围．解答：解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解，即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立；又函数f（x）=﹣x在x∈[1，5]上是单调减函数，且f（x）min=f（5）=﹣5=﹣，∴a＞﹣；即实数a的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．9．下列程序图中，输出的B是（）A．﹣B．﹣C．0 D．考点：程序框图．专题：图表型；三角函数的图像与性质．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期，故当i=2015时，B=0，当i=2016时不满足条件i≤2015，退出循环，输出B 的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得A=，i=1A=，B=﹣，i=2，满足条件i≤2015，A=π，B=0，i=3，满足条件i≤2015，A=，B=，i=4，满足条件i≤2015，A=，B=﹣，i=5，满足条件i≤2015，A=2π，B=0，i=6，满足条件i≤2015，…观察规律可知，B的取值以3为周期，由2015=3×671+2，故有B=﹣，i=2015，满足条件i≤2015，B=0，i=2016，不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．10．已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b，c∈{0，1，2，3}，记“该方程有实数根x1，x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题；概率与统计．分析：基本事件总数n=4×4=16．①当b=0时，满足条件的基本事件有3个；②当b=1时，满足条件的基本事件有4个；③当b=2时，满足条件的基本事件有4个；④当b=3时，满足条件的基本事件有3个．由此能求出事件A发生的概率．解答：解：基本事件总数n=4×4=16．①当b=0时，c=0，2x2=0成立；c=1，2x2=1，成立；c=2，2x2=2，成立；c=3，2x2=3，不成立．满足条件的基本事件有3个；②当b=1时，c=0，2x2﹣x=0，成立；c=1，2x2﹣x=1，成立；c=2，2x2﹣x﹣2=0，成立；c=3，2x2﹣x﹣3=0，成立．满足条件的基本事件有4个；③当b=2时，c=0，2x2﹣2x=0，成立；c=1，2x2﹣2x﹣1=0，成立；c=2，2x2﹣2x﹣2=0，成立；c=3，2x2﹣2x﹣3=0，成立．满足条件的基本事件有4个；④当b=3时，c=0，2x2﹣3x=0，成立；c=1，2x2﹣3x﹣1=0，成立；c=2，2x2﹣3x﹣2=0，成立；c=3，2x2﹣3x﹣3=0，不成立．满足条件的基本事件有3个．∴满足条件的基本事件共有：3+4+4+3=14个．∴事件A发生的概率为p==．故选C．点评：本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．11．已知数列{a n}满足a1=1，|a n﹣a n﹣1|=（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10=（）A．6﹣B．6﹣C．11﹣D．11﹣考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的单调性和|a n﹣a n﹣1|=，由不等式的可加性，求出a2n﹣a2n﹣1=和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的偶数项对应的通项公式，则12a10可求．解答：解：由|a n﹣a n﹣1|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，且a2n+2﹣a2n＞0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，即a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＜0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n，又|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=，当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，…，，，这2m﹣1个等式相加可得，a2m﹣a1=﹣（）+（），∴=．∴12a10=．故选：D．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．12．如图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中x，y∈R），则满足x+y≥的概率为（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：常规题型；计算题．分析：根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则由得x，y的值，从而求得x+y，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求解答：解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣）设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）∵=（x，0）+（﹣，）=（cosα，sinα）．∴∴∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．当x+y≥时，可得sin（α+30°）∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°，∴满足x+y≥的概率P==故选B点评：本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．二、填空题（4&#215;5分=20分）13．已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．解答：解：∵||=又∵即：∴故答案为：2点评：本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．14．安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有42．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据义工A，B有条件限制，可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析，A照顾老人乙时，再从除B外的4人中选1人；A不照顾老人乙时，老人乙需从除A、B外的4人中选2人，甲从除A外的剩余3人中选2人．解答：解：当A照顾老人乙时，共有C41C42C22=24种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有C42C32C22=18种不同方法．∴安排方法有24+18=42种，故答案为：42．点评：本题考查有条件限制排列组合问题，关键是正确分类，是基础题．15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．16．如果一个实数数列{a n}满足条件：（d为常数，n∈N*），则称这一数列“伪等差数列”，d称为“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{a n}的结论：①对于任意的首项a1，若d＜0，则这一数列必为有穷数列；②当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，可以是这一数列中的一项；n∈N*⑤若这一数列的首项为0，第三项为﹣1，则这一数列的伪公差可以是．其中正确的结论是①③④．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过=a n+d会随着n的增大而减小，易知①正确；通过a n+1=±可知②不正确；不妨取伪公差d=0即得这一数列是周期数列故③正确；通过代入计算可知④正确；通过首项及平方≥0即得⑤不正确．解答：解：①∵伪公差d＜0，（d为常数，n∈N*），∴=a n+d会随着n的增大而减小，易知这一数列必为有穷数列，故正确；②当d＞0，a1＞0时，∵a n+1=±，∴这一数列不是单调递增数列，故不正确；③易知当伪公差d=0时，这一数列是周期数列，故正确；④∵a1=1，d=3，∴a 2=±=±2，∴当a 2=2时a3=±，故正确；⑤∵a1=0，a3=﹣1，∴=a1+d=d，∴d≥0，而＜0，故不正确；综上所述：①③④正确，②⑤不正确，故答案为：①③④．点评：本题考查考查数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共70分）17．设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．考点：一元二次不等式的解法；基本不等式．分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；解答：解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，∵a＞0，b＞0∴（a+b）（）=5+=5+2≥9∴的最小值是9点评：此题考查了不等式的解法，属于基础题18．已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f（x）的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；（2）通过函数f（x）的图象经过点成等差数列，求出A以及列出abc的关系，利用，求出bc的值，通过余弦定理求a的值．解答：解：=…（3分）（1）最小正周期：，…（4分）由可解得：，所以f（x）的单调递增区间为：；…（6分）（2）由可得：∴，…（8分）又∵b，a，c成等差数列，∴2a=b+c，…（9分）而，∴bc=18 …（10分）∴，∴．…（12分）点评：本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，基本知识的考查．19．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5．（1）求图1中a的值；（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S；（3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图．专题：图表型；概率与统计；算法和程序框图．分析：解：（1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值．（2）由频率分布直方图可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框图可得S=A2+A3+A4，代入即可求值．（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）．解答：解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1解得：a=0.005（2）A1=0.005×10×20=1，A2=0.040×10×20=8，A3=0.030×10×20=6，A4=0.020×10×20=4，A5=0.005×10×20=1故输出的S=A2+A3+A4=18（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3），（x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种所以可得：P（A）==．即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为点评：本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题．20．某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销（每人至多抽奖一次），设了金奖和银奖，奖券共2000张．在某一时段对30名顾客进行调查，其中有的顾客没有得奖，而得奖的顾客中有的顾客得银奖，若对这30名顾客随机采访3名顾客．（1）求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率；（2）求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出个奖项的人数，再根据互斥事件的公式计算即可；（2）设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x，y，z，得到选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件：B0：x=0和B1：x=1，y=1，z=1或x=1，y=2，z=0，分别求出P（B0），P（B1），问题得以解决．解答：解：（1）依题意得，在接受采访的30人中，没有得奖的人数为，得奖人数为10，得银奖人数为，得金奖人数为4，设三人中至少一人得金奖为事件A，则，∴，（2）设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x，y，z，∵x≤y，x+y+z=3，∴选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件：B0：x=0和B1：x=1，y=1，z=1或x=1，y=2，z=0，∴，P（B1）==，∴．点评：本题考查了互斥事件的概率公式，以及古典概型的概率问题，关键是对于排列组合的应用，属于中档题．21．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．（Ⅰ）求q的值和{a n}的通项公式；（Ⅱ）若下图所示算法框图中的a i即为（I）中所求，回答以下问题：（1）若记b所构成的数列为{b n}，求数列{b n}的前n项和S n（2）求该框图输出的结果S和i．考点：程序框图；数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．分析：（I）由a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，可解得即a4﹣a2=a5﹣a3，即a2（q﹣1）=a3（q﹣1）．又q≠1，解得a3=a2=2，从而解得q=2，分情况讨论即可得解{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（I）得b．设{b n}的前n项和为S n，则可求S n，S n，错位两式相减，整理得S n=4﹣，又，n∈N*恒成立，既得数列{S n}单调递增，结合，从而得解．解答：解：（I）由已知，有2（a3+a4）=（a2+a3）+（a4+a5），即a4﹣a2=a5﹣a3，所以a2（q﹣1）=a3（q﹣1）．又因为q≠1，故a3=a2=2，由a3=qa1，得q=2．当n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=2k﹣1=2；当n=2k（k∈N*）时，a n=a．所以，{a n}的通项公式为a n=．（Ⅱ）由（I）得b．设{b n}的前n项和为S n，则S n=1×，S n=1×，上述两式相减，得S n=1=﹣=2﹣﹣，整理得，S n=4﹣．所以，数列{b n}的前n项和为4﹣，n∈N*，又，n∈N*恒成立所以数列{S n}单调递增，又．所以输出的结果：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，数列通项公式及数列求和的解法，综合性较强，属于基本知识的考查．22．已知数列{a n}满足a1=a（a∈N*）．a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0（p≠0，p≠﹣1）n∈N*）．（1）数列{a n}的通项公式；（2）对每一个正整数k，若将a k+1，a k+2，a k+3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为d k．求p的值及相应的数列{d k}．考点：数列递推式；等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数列的递推关系利用作差法结合等比数列的定义即可求数列{a n}的通项公式；（2）求出a k+1，a k+2，a k+3的表达式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解即可．解答：解：（1）因为a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0，所以n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1﹣pa n=0，两式相减，得，故数列{a n}从第二项起是公比是的等比数列．又当n=1时，a1﹣pa2=0，解得，从而．（2）由（1）得，，．若a k+1为等差中项，则2a k+1=a k+2+a k+3，即或，解得，此时，，注意到（﹣2）k﹣1与（﹣2）k异号，所以；若a k+2为等差中项，则2a k+2=a k+1+a k+3，即，此时无解；若a k+3为等差中项，则2a k+3=a k+1+a k+2，即或，解得，此时，，注意到与同号，所以．综上所述，，或，．点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用等差数列和等比数列的定义和通项公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．。

南昌二中2017-2018学年度上学期第二次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合{|lg(2)0}M x x =-≤，{|13}N x x =-≤≤，M N =（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|23}x x <<C ．ND ．R2．若0sin 2cos t xdx π=-⎰，其中()0,t π∈，则t =（ ）A.3πB.2πC.23πD.π3．已知132()3a =，122()3b =，123()5c =，则下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则下列一定为真的是（ ） A ．x R ∀∈，()()f x f x -≠B ．x R ∀∈，()()f x f x -≠-C ．0x R ∃∈，00()()f x f x -≠D ．0x R ∃∈，00()()f x f x -≠-5．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5,当()5,0∈x 时，()25f x x x =-，则()=2016f （ ） A.-12B. -16C. -20D. 06．设322()log (1)f x x x x =+++，则对任意实数a ，b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ．既非充分也非必要条件7．函数sin (cos 3sin )(0)2y x x x x π=-≤≤的值域为（ ）A ．3[3,1]2+B ．33[,1]22-- C ．[0,1]D ．3[3,1]2--8．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a ＝32，c ＝22，bcB A 2tan tan 1=+，则C ＝（ ） A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°9. 已知()f x 是定义在(0,)+∞的函数，且()0f x >. 满足2()()0f x xf x '+>，则下列不等式正确的是（ ）A. )2015(2015)2016(2016f f >B. )2015(2015)2016(2016f f <C. )2016(2016)2015(201533f f <D. )2016(2016)2015(201533f f >10．如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x ＝（ ）A.1()sin()63f x x π=+ B.1()sin()23f x x π=+ C.()sin()23f x x ππ=+ D.()sin()26f x x ππ=+11．已知函数()|1|x f x e =-，0a b >>，()()f a f b =，则(2)a b e -的最大值为（ ） A ．1eB ．1C ．2D ．e12．设函数)cos (sin )(x x e x f x -= (02016)x π≤≤,则函数)(x f 的各极小值之和为（ ）A ．220162(1)1e e e πππ---B ．21008(1)1e e e πππ--- C ．210082(1)1e e e πππ---D ．220142(1)1e e e πππ---二、填空题（每小题5分，共20分） 13．220(4)x x dx -+⎰的值等于 .14．已知，且，则l g (8s i n 6c o s )l g (4s i n c o s )αααα+--= ．15. 若函数()2,02lg ,0xkx x f x x x x ⎧+≤⎪=-⎨⎪>⎩有且只有2个不同零点，则实数k 的取值范围是 .16．函数()|cos |(0)f x x x =≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则2(1)sin 2θθθ+= ．三、解答题（本大题共6小题，请写出必要的解题步骤和文字说明） 17.（本小题满分10分）设函数22()log (2)log 16xf x x =⋅. （1）解方程()60f x +=； （2）设不等式23224x xx +-≤的解集为，求函数()f x （x M ∈）的值域.(0,)2πα∈3)4tan(=+παM18.（本小题满分12分）已知函数1)22cos()62cos()62cos()(++--++=πππx x x x f .（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数)(x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后，得到的函数)(x g 的图象关于直线4π=x 对称，求实数m 的最小值.19.（本小题满分12分）（1）已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos sin cos sin αααα+-的值； （2）已知α，β均为锐角，且()5cos 5αβ+=，()10sin 10αβ-=，求β．20.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在正实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然对数底数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；21.（本小题满分12分）如图,在△ABC 中,3π=B ,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE⊥AC,E 为垂足.（1）若△BCD 的面积为33,求CD 的长; （2）若ED=26,求角A 的大小.22.（本小题满分12分）设函数x a bx x x f ln )(2-+=（1）若x=2是函数f(x)的极值点，1和0x 是函数)(x f 的两个不同零点，且N n n n x ∈+∈),1,(0，求n 。