五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(B级)学生版

勾股定理与弦图课前预习华盛顿的傍晚友爱的小伴侣们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪慧又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在闲逛，观赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发觉四周的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争辩，时而小声探讨。

由于奇异心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，假如直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“假如两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思考地回答到：“那斜边的平方确定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法说明白，心里很不是味道。

加菲尔德不再闲逛，马上回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，最终弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下： 两个全等的Rt△ABC和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2课前预习勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

几何-直线型几何-勾股定理和弦图-5星题课程目标知识提要勾股定理和弦图• 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即：AB 2 + AC 2 = BC 2 • 勾股图与弦图(a +b)2−4ab 2=a 2+2ab +b 2−2ab =c 2，所以c 2=a 2+b 2 (a −b)2+4ab2=a 2−2ab +b 2+2ab =c 2，所以c 2=a 2+b 2精选例题勾股定理和弦图1. 如下列图所示，长方形ABCD 中被嵌入了6个相同的正方形．AB =22厘米．BC =20厘米，那么每一个正方形的面积为平方厘米．【答案】40【分析】如下列图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为x 厘米，短直角边为y 厘米，那么{3x +y =203x +2y =22，所以{x =6y =2，小正方形面积为62+22=40(平方厘米)． 2. 在下列图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影局部的面积是平方厘米．【答案】288【分析】如下左图，记AD =a ，由对称性知，DB =a ，BC =a ．取E 为DC 中点，连接BE ，将△ABC 分成直角三角形ABE 和等腰直角三角形BEC ． 四个△BEC 可以拼成一个边长a 的正方形．记BE=b，那么CE=b，DE=b．由AE=a+b，BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的正方形〔如下右弦图〕．题中阴影可看做8个△ABE再加上8个△BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC拼成边长为12的正方形，因此此题答案为122×2=288平方厘米．3. 如下列图所示，一块边长为180厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为40厘米的小正方形．现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来．剪出的正方形面积最大为平方厘米．【答案】18000【分析】如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两局部，中间局部的面积为1002= 10000平方厘米，四个长方形每个的面积为40×100=4000平方厘米，剪出的最大正方形为中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为10000+4000÷2×4=18000平方厘米．4. 平面上的五个点A，B，C，D，E满足：AB=16厘米，BC=8厘米，AD=10厘米，DE= 2厘米，AC=24厘米，AE=12厘米．如果三角形EAB的面积为96平方厘米，那么点A到CD的距离等于厘米．【答案】12013【分析】得三角形CAD是直角三角形，CD=26厘米，点A到CD的距离为10×2426=12013厘米．5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，那么S1:S2=．【答案】9:4【分析】连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，那么CE=CF=2,BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.因为EF2⋅BD2=8×18=144=122,所以EF⋅BD=12.由梯形蝴蝶定理，得S△GEF:S△GBD:S△DGF:S nBGE=EF2:BD2:EF⋅BD:EF⋅BD=8:18:12:12=4:9:6:6,所以，S△BGE=64+9+6+6S梯形BDFE=625S梯形BDFE.因为S△BCD=3×3÷2=92,S△CEF=2×2÷2=2,所以S 梯形BDFE =S △BCD −S △CEF =52, 所以， S △BGE =625×52=35. 由于△BGE 底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长，所以 CN =35×2÷1=65, ND =3−65=95, 所以AM:CN =DN:CN =3:2,那么S 1:S 2=AM 2:CN 2=9:4.6. 将矩形ABCD 分成四个全等的矩形，如下列图所示．假设AE =29厘米AF =41厘米，请问AC 的长度是多少厘米？【答案】71厘米【分析】设AD =a ，DE =EF =b ，所以a 2+b 2=292，a 2+(2b)2=412，由此得b 2=280．于是AC 2=a 2+(4b)2=(a 2+b 2)+15b 2=292+15×280=5041=712．所以AC =71厘米．7. 如下列图所示，长方形ABCD ，AB =24，BC =18，把AB 边对折到AC 上与AC 重合，把AD 边也对折到AC 上与AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】255【分析】如上图所示，把AB 对折到AC 上与AC 重合，把AD 对折到AC 上与AC 重合，得到四边形AECF ，由勾股定理，AC =30，设BE =EG =x ，S △ABC =S △BAE +S △AEC ，所以24×18÷2=24x ÷2+30x ÷2，那么x =8，设FH =DF =y ，S △ADC =S △ADF +S △AFC ，所以24×18÷2=18y ÷2+30y ÷2，那么y =9，S 四边形AECF =S △AEC +S △AFC =30×(8+9)÷2=255．8. 三角形ABC 中，线段AR ．BQ 分别是BC 、AC 边上的中线，且BQ 与AR 互相垂直．如下图，AC =8、BC =6．请问AB 2+BC 2+CA 2等于多少？【答案】120【分析】如右图所示，连接RQ ，AR 与BQ 交于O 点，设AO =c ，BO =a ，OR =d ，OQ =b ，因为c 2+b 2=AQ 2=14AC 2=16，a 2+d 2=BR 2=14BC 2=9， 又因为a 2+c 2=AB 2，b 2+d 2=QR 2=14AB 2，所以54AB 2=a 2+b 2+c 2+d 2=16+9=25．所以AB 2=20．所以AB 2+AC 2+BC 2=20+64+36=120．9. 如下列图所示，点E 是正方形ABCD 的CD 边上的一点，以BE 为一条直角边作等腰直角三角形BEF ，斜边BF 交AD 于G ，AG =5厘米，GD =15厘米．求三角形BEF 的面积．【答案】272平方厘米【分析】如下列图作辅助线，由于AG =5，而AB =20，令SF =a ，而SB =4a ．而MN =20+20−a =4a ．解之得a=8，那么FN=12，MN=32，NE=20，那么阴影局部面积为：(122+202)÷2= 272(平方厘米)．10. 下列图是由边长为3厘米和4厘米的两个正方形组成．请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成3块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？【答案】5厘米【分析】此题考査考生对弦图的认识．面积和=32+42=52，所以拼成大正方形边长为5．边长5厘米．拼法如下列图所示．11. 如下列图所示，对角线BD将矩形ABCD分割为两个三角形，AE和CF分別是两个三角形上的高，长度都等于6厘米，EF的长度为5厘米，求矩形ABCD的面积．【答案】78【分析】如下列图所示，将AE平移到AʹF，因为AE是三角形ABD的高，所以AE⊥BD，AʹF⊥BD，AAʹFE是矩形，并且Aʹ、F、C在同一条直线上面，再根据AAʹ⊥AʹF，运用勾股定理可以得到AC2=AAʹ2+AʹC2，其中AAʹ=EF=5厘米，AʹC=AE+FC=12厘米，由此根据勾股定理可求得矩形ABCD的对角线AC的长度为13厘米，由于BD也是矩形ABCD的对角线，所以BD 的长度也为13厘米，那么矩形ABCD的面积为三角形ABD和三角形BCD的面积之和，为13×6÷2×2=78(平方厘米)．12. 如下列图两个正方形的边长分别是a和b〔a>b〕，将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．【答案】见解析．【分析】拼成大正方形的面积应是a×a+b×b，设边长c，那么有等式c×c=a×a+b×b，又因为将边长为a的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图〔1〕，一定有MN×MN=a×a+b×b，而MH=a，那么：NH=b，所以AN=CM=BH=(a−b)÷2，由此可以确定MN，然后将MN绕中心O旋转90∘到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如图〔2〕与图〔3〕．这种分法同时确保图〔3〕的中间局部就是边长为b的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中心正方形的边长=[a−(a−b)÷2]−(a−b)÷2=a−(a−b)=b．因此，中间局部是边长为b的正方形．13. 如图，以AD为直径的半圆O内接一个等腰梯形ABCD，梯形的上底是60，下底是100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影局部的面积是多少？〔π取3.14〕【答案】2258【分析】由可得，阴影局部的面积为梯形面积加以AB、BC、CD为直径的半圆面积减去以AD 为直径的半圆面积，作OE垂直于BC，根据勾股定理可得梯形的高OE为40，那么AB2=BF2+ AF2=402+202=2000，阴影局部的面积为：1 2(AD+BC)⋅OE+12π(AB2)2+12π(CD2)2+12π(BC2)2−12π(AO2)2=2258.14. 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【答案】1.25平方米【分析】我们先按题目中的条件画出示意图〔如图a〕，我们先看图中剩下的长方形，它的面积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图〔如图b〕．图b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米．所以中间的小正方形的面积为0.5×0.5=0.25平方米那么大正方形的面积为5×4+0.25=20.25平方米因为4.5×4.5=20.25所以大正方形的边长等于4.5米．所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：(4.5+0.5)÷2=2.5米即原正方形的边长为2.5米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.5×0.5=1.25平方米15. 如下列图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．【答案】见解析．【分析】实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长方形的长为x 长度单位，宽为x 2长度单位，那么有x x 2=5,x 2=10，即x 2=32+12，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如下列图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．【总结】假假设沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90∘也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360∘÷4=90∘角的两边切开，得到整个图形的14，这个14的图形假设绕中心旋转90∘一定和另外的14的图形重合．对于一个正三角形来讲，如果从中心沿360∘÷3=120∘角的两边切开，得到整个图形的13，这个13的图形假设绕中心旋转120∘一定也和另外的13的图形重合．一般情况：对于一个正n 边形，如果从它的中心沿360∘n 的角的两边剪开，得到整个图形的1n ，这个1n 的图形假设绕中心旋转360∘n 角，一定也和另一个1n 图形重合． 16. 从一个正方形的木板上锯下宽1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6m 2，问锯下的长方形木条面积是多少？【答案】6m 2【分析】我们用构造“弦图〞的方法，取同样大小的4个剩下的长方形木板拼成一个大正方形〔如右下列图〕，同时中间形成了一个小正方形〔图中阴影局部〕．仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差〔1m 〕．那么，阴影小正方形的面积1×1=1(m 2)所以，整个大正方形的面积是1+4×6=25=5×5(m 2)求得大正方形的边长为5m ．那么，剩下的长方形木条的长−宽=1，长+宽=5，可得剩下的长方形木条的长为(5+1)÷2=3(m)宽为(5−1)÷2=2(m)所以，锯下的长方形木条面积是3×2=6(m2)。

三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。

弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。

一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。

广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。

勾股与弦图定 义：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么a b ，c ．222a b c +=中， ,则Rt ABC △90C ∠=︒222a b c +=直角三角形中常用数：⑴ 整数边：；；；；；()345，，()6810，，()51213，，()72425，，()81517，，等；()94041，，⑵ 如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k 为正数） ()a b c ，，()ak bk ck ，，勾股定理的使用常常会联系弦图，如下图分别为外弦图和内弦图：外弦图内弦图cba C B A【例1】如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．【例2】如图，以三角形ABC的三边为边长向外作三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积.【例3】如图，是由一个直角边都是1的直角三角形向外作直角三角形得到，形成一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边是多少？【例4】如图所示，三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，最大正方形的边长是7，问：除最大正方形外的所有正方形的面积之和是多少？【例5】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为 ．【例6】下图是学校一个正方形花圃的设计图，图中阴影部分是花圃，空白部分是草坪。

求花圃的面积是多少平方米？【例7】 如图，是由四个完全相同的长方形拼成，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是16平方分米，则每个长方形的面积是多少平方分米，长方形的短边是多少分米？【例8】如图，CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米，求三角形ADE 的面积.【例9】如下图所示，两个正方形ABCD 和DEFG 的边长都是整数厘米，点E 在线段CD 上，且CE<DE,线段CF=5厘米，则五边形ABCFG 的面积等于多少平方厘米？FGDECB A【例10】如下图所示，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO距离为8厘米，那么点C距离地面的高度是多少厘米？。

直角三角形的斜边长度是_____。第_____个直角三角形的斜边长
度是17。
11
1
1
1
1
1 1
…………… 1
【例3】（★★★） 根据图中所给的条件，求梯形ABCD的面积。
AD
15 12 13
BE
C
10
【例4】（★★☆） 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）。
A
D
8
6
B
C
15
1
【例5】（★★★） 如图，在四边形ABCD中，AB＝30 ， AD＝48，BC＝14 ，CD＝ 40，∠ADB＋∠DBC＝90°。请问：四边形ABCD的面积是多少？
课前热身
B c
a
C
b
勾股定理与弦图
勾股定理 △ABC为直角三角形
A
a2 b2 c2
神奇的无字证明
【例1】（★） 求下面各三角形中未知边的长度。
B
5
c
B
a
5
C
12 A C
A 4
6 26
b 24
【例2】（★★☆）
有一个直角边为1和1的直角三角形，以它的斜边和1为直角边，
向外作另一个直角三角形。重复以上操作，如下图。求第1023个

【例7】（★★★★） 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的 那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平 方分米？
2
A
D
B
C
弦图
⑴大正方形边长为：a＋b ⑵中正方形边长为：c ⑶小正方形边长为：b－a
【例6】（★★★） 图中有三个大小不同的正方形，其中大正方形的周长比小正方形 的周长大8，大正方形的面积比中正方形的面积大12，大正方形 的面积是多少？

【培优奥数专题】五年级下册数学-勾股定理（解析版）一、知识点1、历史三千多年前，周朝数学家商高提出“勾三股四弦五”最早由公元前3世纪中我汉代数学家赵爽在《周髀算经》注解时给出相传，公元前550年，古希腊毕达哥拉斯首先发现，但其证明方法已失传2、概念直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方例如：两直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则a²＋b²＝c²3、勾股数组概念：指满足算式a²＋b²＝c²的三个正整数常见的勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）变形的勾股数组：将上面四组勾股数组中任意一组的三个数同时扩大或缩小相同的倍数之后仍然是勾股数组4、勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形二、学习目标1.我能够了解勾股定理的概念。

2.我能够理解勾股定理的逆定理，并能准确判断一个三角形是否为直角三角形。

3.我能够运用勾股定理解决简单的实际问题。

三、课前练习1.计算下列各题，并牢牢记住答案。

11²＝12²＝13²＝14²＝15²＝16²＝17²＝18²＝19²＝20²＝21²＝22²＝23²＝24²＝25²＝【解答】1211441691962252562893243614004414845295766252.画出下面图形的对称轴，并说一说你有什么发现？【解答】略四、典型例题思路点拨如何判断三角形为直角三角形如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角。

例题11.下列各组数中能恰好作为直角三角形三边长的是。

A.（4，5，6）B.（16，12，10）C.（10，24，26）D.（5，14，17）【解答】根据两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形发现只有C符合10²＋24²＝26²。

专项九勾股定理与弦图（二）课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是 100 平方分米，小正方形的面积是 16 平方分米，求每 个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？
16
【分析】⑴长方形的面积是 (100 16) 4 21 (平方分米)．
六年级暑假 第 7 讲（B 版）
3
⑵因为100 10 10 ，16 4 4 ．所以大正方形的边长是 10 分米，小正方形的边长为 4 分米，那么 长方形的短边是 (10 4) 2 3 (分米)．
3 3072
动手试试看，用有刻度的直尺和铅笔能画出多少个面积为整数且在 1 cm2 到 20 cm2 之间的正方形.
10
六年级暑假第 7 讲（B 版）
2、（1）赵爽的“勾股圆方图”（又称为赵爽“弦图”），即外弦图 如右图以 a、b 为直角边（b>a），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形
的面积等于 1 ab .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，四边形 ABCD 是一个边长为 c 的正 2
方形，∴四边形 EFGH 是一个边长为 b-a 的正方形。
【分析】（1）构成风车外围的较长边由勾股定理可知为 13，较短边为 6，各有 4 条，故周长为 (13 +6) 4=76
（2）由内弦图可知：S1+S2=1，S3+S4=3，故面积总和为 4
如右图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积是 5 和 11，则 b 的面积为___________.
46 6 4
Hale Waihona Puke 2、用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2 的大正方形，每个长方形的周长是多少厘米？
【分析】根据1010 100 知这个大正方形的边长是 10cm，即长加宽是 10 cm， 长方形的周长是：10×2=20 cm．

(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：,“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下： 两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即（AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2课前预习 专项十 勾股定理与弦图（三）化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．%而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

【导语】数学应⽤之⼴泛，⼩⾄⽇常⽣活中柴⽶油盐酱醋茶的买卖、利率、保险、医疗费⽤的计算，⼤⾄天⽂地理、环境⽣态、信息络、质量控制、管理与预测、⼤型⼯程、农业经济、国防科学、航天事业均⼤量存在着运⽤数学的踪影。

以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。

【篇⼀】 关于勾股定理，我们已经谈过很多了。

中国、希腊、埃及这些⽂明古国，处于不同的地区，然⽽却都很早地，独⽴地发现了勾股定理。

那么，勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以⾃豪地说：是我们中国⼈最先发现的。

证据就是《周髀算经》中的记载。

《周髀算经》⼀开始，就记载了我国周朝初年的⼤政治家周公旦与当时的数学家商⾼的⼀段话。

在这段话中，周公和商⾼讨论了关于直⾓三⾓形的⼀些问题。

其中就说到了“勾三股四弦五”的问题。

周公问商⾼：“我听说您很精通于数，请问数是从哪⾥来的呢?” ⼩学⽣经典数学故事《谁最先发现了勾股定理》：商⾼回答说：“数的艺术是从研究圆形和⽅形中开始的，圆形是由⽅形产⽣的，⽽⽅形是由折成直⾓的矩尺产⽣的。

在研究矩形前需要知道九九⼝诀，设想把⼀个矩形沿对⾓线切开，使得短直⾓边(勾)的长度为3，长直⾓边(股)的长度为4，斜边(弦)长则为5，并⽤四个上述直⾓三⾓形⼀样的半矩形把它围起来拼成⼀个⽅形盘，从它的总⾯积49中减去由勾股弦均分别为3、4、5的四个直⾓三⾓形构成的两个矩形的⾯积24，便得到最初所作正⽅形的⾯积25，这种⽅法称为‘积矩’。

” 商⾼对“勾三股四弦五”的描述，已经具备了勾股定理的所有条件。

⽽我们已经讲过的毕达哥拉斯发现勾股定理的年代是⽐周朝的商⾼要晚的，所以证明，我国的数学家商⾼是最早发现勾股定理的⼈。

⽽“勾股定理”⼀开始也叫“勾股弦定理”，这也形象地点明了这⼀定理的具体内容。

【篇⼆】 1.如果直⾓三⾓形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有()A.0个B.1个C.2个D.3个 答案：C 说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2;②若a为直⾓边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2，所以a的取值可以有2个，答案为C. 2.⼩明搬来⼀架2.5⽶长的⽊梯，准备把拉花挂在2.4⽶⾼的墙上，则梯脚与墙脚的距离为()⽶A.0.7B.0.8C.0.9D.1.0 答案：A 说明：因为墙与地⾯的夹⾓可看作是直⾓，所以利⽤勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为===0.7，答案为A. 3.⼀个直⾓三⾓形的斜边长⽐直⾓边长⼤2，另⼀直⾓边长为6，则斜边长为()A.6B.8C.10D.12 答案：C 说明：设直⾓边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C.【篇三】 ⼀、等量代换法 已知三⾓形ABC的⾯积为56平⽅厘⽶，是平⾏四边形DEFC的2倍。

第一讲 勾股定理模块1、常见勾股数及辅助线例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是 、 、 。

（2）如图，下列图形的面积分别是 、 、 。

解：（1）应用勾股定理：第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。

（2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，所以三角形的面积是186242⨯⨯=； 第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是11.20.50.32⨯⨯=； 第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5，斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S 2=12.567.52⨯⨯=， 于是面积等于S 1+S 2=9.例2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积为 ；?581.22222（2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为 。

解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，于是周长=20+10+16+22=68，面积=116(1022)2562⨯⨯+=； 第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=11.2(0.62) 1.562⨯⨯+=。

（2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9， 在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15， 解得BC =BE −CE =15−3=12。

知识要点勾股定理：直角三角形中的两直角边的平方和等于斜边的平方。

222a b c += 关键词：直角三角形勾股定理的逆定理：若一个三角形的某两条边的平方和等于剩余的一条边的平方，则这个三角形一定是直角三角形。

关键词：判定直角三角形直角三角形的性质：hcbaDCBA在直角三角形ABC 中，AB 为斜边，AC 为直角边，BC 为直角边，CD 是斜边上的高。

a 、b 、c 分别是边BC 、AC 、AB 的边长。

勾股定理：222a b c +=。

222h BD a +=；222h AD b += 其他性质：a b c h ⨯=⨯，DCB A ∠=∠,ACD B ∠=∠勾股定理面积计算【例1】如图所示，以直角三角形ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ,且14S =,28S =,则3S =?S 3S 2S 1CBA【例2】证明：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积，即：A B C S S S +=C BA【例3】 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为2______cm 。

ABCD7cm【例4】如图，大正方形由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成。

若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。

【例5】如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和②’，……，依此类推，若正方形①的边长为64，则正方形⑦的边长为______。

②'③'④'④③②①【例6】园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB =米，4BC =米，12CD =米，13DA =米，且AB BC ⊥,这块草坪的面积是（ ）CABD【例7】四边形ABCD 中，90B ∠=o ，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，求四边形ABCD 的面积。

华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下： 两个全等的Rt △ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．课前预习勾股定理与弦图而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。

数学公式中常写作a^2+b^2=c^2目录概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理展开编辑本段概述定义在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方。

勾股定理(6张)简介勾股定理是余弦定理的一个特例。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。

（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。

他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。