高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题与详细讲解

第四节 定积分与微积分基本定理预习设计 基础备考◎知识梳理… 1．定积分的概念(1)定积分的定义和相关概念；①函数)(x f 定义在区[a ，b]上，用分点<<<= 10x x a b x x x n i i =<<⋅<-...1将区间[a ，b]等分成n 个小区间，其长度依次为),12,1,0(1-=-+=∆n i x x x i i i 记A 为这些小区间长度的最大者，当A 趋近于0时，所有小区间长度都趋近于O ，在每个小区间任取一点i ξ作和式iin i n x f I ∆=∑-=)(1ξ当0→λ时，如果和式极限存在，则称和式n I 的极限为函数)(x f 在区间[a ，b]上的定积分，记作 ，即=⎰dx x f bu)(②在dx x f bu)(⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式． (2)定积分的几何意义：①当函数)(x f 在区间[a ，b]上恒为正时，定积分dx x f ba)(⎰的几何意义是由直线0),(,==/==y b a b x a x 和曲线).(x f y =所围成的曲边梯形的面积（图①中阴影部分）．②一般情况下，定积分dx x f b a)(⎰的几何意义是介于x 轴、曲线)(x f 以及直线b x a x ==、之间的曲边梯形面积的代数和（图②中阴影所示），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的 (3)定积分的基本性质：=⎰dx x kf ba)(①=±⎰dx x f x fa)]()([21b②=⎰dx x f ba)(③2．微积分基本定理如果)()(1x f x F =且)(x f 在[a ，b]上可积，那么=⎰dx x f ba)( ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，常把)()(a F b F -记成 ，即=⎰dx x f a)( ).()(a F b F -=典题热身=-⎰dx x 5)42(.1( )5.A 4.B 3.c 2.D答案：A,2ln 3)12(.21+=+⎰adx xx 且a>l ，则a 的值为 ( ) 6.A 4.B 3.C 2.D答案：D3．已知自由落体的速度为,gt v =则落体从0=t 到0t t =所走的路程为( )2031.gt A 20gt B ⋅ 2021.gt c 2041.gt D 答案：C4．曲线)230(cos π≤≤=x x y 与两坐标轴所围成图形的面积为 答案：3 5．若,1)(,1)(120-==⎰⎰dx x f dx x f 则=⎰dx x f )(21答案：-2课堂设计 方法备考题型一定积分的计算【例1】求下列定积分：;)()1(12dx x x ⎰- ;2sin )2(222dx x⎰-ππ .|23|)3(21dx x ⎰-题型二利用定积分的几何意义求定积分 【例2】利用定积分的几何意义求)0(22>-⎰-a dx x a a a的值．题型三利用定积分求曲边梯形的面积【例3】求曲线,2x y =直线x y x y 3,==围成的图形的面积．题型四定积分在物理学中的应用【例4】列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度,/4.02s m a -=问：列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？ 技法巧点1．求定积分的一些技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和． (3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分． (4)若函数，(x)为偶函数，且在区间[-a ，a]上连续，则10)(2)(dx x f dx x f aaa ⎰⎰=-若)(x f 是奇函数，且在区间[-a ，a]上连续，则.0)(=⎰-dx x f aa2．几种典型的曲边梯形面积的计算方法(1)由三条直线x b a b x a x 、、)(<==轴，一条曲线=y ]0)()[(≥x f x f 围成的曲边梯形的面积（如图1）：.)(dx x f s ba⎰=(2)由三条直线x b a b x a x 、、)(<==轴、一条曲线)(x f y =]0)([≤x f 围成的曲边梯形的面积（如图2）：.)(|)(|bdx x f dx x f s baa⎰⎰-==(3)由两条直线、、)(b a b x a x <==两条曲线==y x f y 、)()]()()[(x g x f x g ≥围成的平面图形的面积（如图3）；dx x g x f S ba⎰-=)]()([失误防范1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．4 ．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷． 随堂反馈1．(2010．湖南高考)dx x ⎰421等于 ( )2ln 2.-A 2ln 2.B 2ln .-c 2ln .D答案：D2．已知⎩⎨⎧<<≤≤-=),10(1),01()(2x x x x f 则dx x f )(11⎰-的值为( )23.A 32.-B 32. c 34.D 答案：D3．(2011． 福建高考)dx x e x ⎰+1)2(等于 ( )1.A 1.-e B e c . 1.+e D答案：C4．(2011．湖南高考)由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为( )21.A 1.B 23.c 3.D答案：D5．（2011．陕西高考）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰,0,3,0,lg )(2ax dt t x x x x f 若,1)]1([=f f 则=a 答案：1高效作业 技能备考一、选择题1．(2011．威海模拟)曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是( ) 3.A 32.-B 32.π-⋅C 33.π-D答案：D2．（2010．洛阳质检）若,0)32(02=-⎰dx x x k则k 等于( )0.A 1.B C ．O 或1 D ．以上均不对答案：B3．（2011．潍坊期末）若函数dx x a f a⎰+=)sin 2()(则))2((πf f 等于( ) 1.A 0.B 1cos 32.++πC 1cos 1.-D答案：C4．（2010．佛山一模）一物体在变力25)(x x F -=（力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成.30方向作直线运动，则由1=x 运动到2=x 时)(x F 做的功为 ( )J A 3. J B 332. J c 334. J D 32.答案：C5．设⎩⎨⎧∈-∈=],2,1(,2],1,0[,)(2x x x x x f 则dx x f )(20⎰等于( )43.A 54.B 65.c D ．不存在答案：C 6．若)()1(92R a ax x ∈-展开式中9x 的系数是,221-则xdx a sin 0⎰等于( )2cos 1.-A 1cos 2.-B 12cos .-C 2cos 1.+D答案：A 二、填空题7．已知函数,123)(2++=x x x f 若ω(2)(11f dx x f =⎰-成立，则=a答案：311或- 8．（2011．漳州模拟）已知,)2()(122dx x a ax a f ⎰-=则)(a f 的最大值是答案：929．已知,)(sin 20dx sx x a ⎰∞+=π则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是答案：-192 三、解答题10．（2010．合肥模拟）若)(x f 是一次函数，且,5)(1=⎰dx x f ⋅=⎰617)(1dx x xf 求dx xx f ⎰21)(的值．11．（2010．日照模拟）如图，直线kx y =与抛物线2x x y -=与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．设函数bx ax x x f ++=23)(在点1=x 处有极值-2．(1)求常数a 、b 的值；(2)求曲线)(x f y -=与x 轴所固成的图形的面积，。

第二篇 函数、导数及其应用专题2.14 定积分与微积分基本定理【考纲要求】1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义. 【命题趋势】定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 【核心素养】本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查. 【素养清单•基础知识】 1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x ；(3) ⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．4．定积分的几何意义定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S . ①S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；②S ＝－⎠⎛a b (x )d x ；③S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x ；④S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 【素养清单•常用结论】 1．常见被积函数的原函数 (1) ⎠⎛a bc d x ＝cx |b a ；(2)⎠⎛ab x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3) ⎠⎛ab sin x d x ＝－cos x |b a ；(4) ⎠⎛abcos x d x ＝sin x |b a ；(5) ⎠⎛ab 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6) ⎠⎛ab e x d x ＝e x |b a .2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 【真题体验】1．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121x d x ，s 3＝⎠⎛12e x d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1【答案】B【解析】 因为s 1＝13x 3∣21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x ∣21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x ∣21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4【答案】D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)， 所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4∣2 0＝4，故选D ．3.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__________.【答案】 2【解析】 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )∣t 1＝t 2＋t －2，从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.4.汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m ． 【答案】 25【解析】 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)∣50＝25(m)．【考法拓展•题型解码】 考法一 定积分的计算 答题模板：计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x . 【答案】见解析【解析】 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3∣10＋(x 2)∣10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )∣π0－sin x ∣π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x ∣21＋ln x ∣21 ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 考法二 定积分的几何意义及应用 归纳总结(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C【解析】作出曲线y ＝x 和直线y ＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x ∣40＝23×8－12×16＋2×4＝163. (2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程．【答案】见解析【解析】 (2)如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.,令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ．S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. 考法三 定积分在物理中的应用 归纳总结：定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4，t ＝－83(舍去)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )∣40＝4＋25ln 5(m)． (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__________J.【解析】由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ∣42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36 (J)． 【易错警示】易错点 定积分的几何意义理解错误【典例】 如图，函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A ．⎠⎛ab f (x )d xB ．⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC ．－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD ．－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x【错解】：A ，B ，C【错因分析】：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为x 轴上方的定积分减去x 轴下方的定积分．【正解】：如图所示，在[a ，c]上，f(x)≤0；在[c ，b]上，f(x)≥0，所以函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx ，故选D ．【跟踪训练】 (2019·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)dxC ．⎠⎛02(x 2－1)dxD ．⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx【答案】A【解析】 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下阴影部分的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx .1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】 令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4.2．计算：⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝__________.【答案】 0【解析】 因为y ＝x 3cos x 为奇函数，所以⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为__________．【答案】 43【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)． 所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝43.4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为__________．【答案】4π3【解析】 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )∣π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.5.物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是__________m ． 【答案】 130【解析】 设A ，B 两物体运动t s 后相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10tdt ＝5，所以t 3＋t －5t 2＝5，解得t ＝5，所以A 物体从出发到相遇时的运动距离为53＋5＝130(m)． 【考卷送检】 一、选择题1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)【答案】C【解析】 ⎠⎛01e x d x ＝e x ∣10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝( ) A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1【答案】C【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )∣e 1＝e 2，故选C ． 3.求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【答案】A【解析】 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2【答案】D【解析】 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x －2ln x ∣42＝4－2ln 2.5.若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【答案】B【解析】 S 1＝13x 3∣21＝73，S 2＝ln x ∣21＝ln 2，S 3＝e x ∣21＝e 2－e.因为ln 2<1<73，e 2－e ＝e(e －1)>e>73，故S 2<S 1<S 3，故选B ．6.如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A ．2πB ．1πC ．12D ．π－2π【答案】D【解析】 因为⎠⎜⎛0 π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7. ⎠⎜⎛0π2(cos x －sin x )d x ＝________.【答案】 0【解析】 ⎠⎜⎛0 π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π2＝0. 8.若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.【答案】 e 2＋12【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ∣e 1＝e 2＋12. 9.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________．【答案】 22－2【解析】 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)． 三、解答题 10.求下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .【答案】【解析】 (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22∣21－x 33∣21＋ln x ∣21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝,sin x ∣0－π＋e x ∣0－π＝1－1e π. 11.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积． 【答案】【解析】 因为(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，其与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． 所以y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3∣20＝4－83＝43. 12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式． 【答案】见解析【解析】 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x得x 2－8x －t (t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t .因为0≤t ≤2，所以直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t[(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2∣t 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x ∣2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 13.求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π4与x 轴围成的图形的面积． 【答案】见解析【解析】 当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，5π4时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－⎠⎜⎛π 5π4sin x d x ＝－cos x ∣π0＋cos x ⎪⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22.。

简单已测：424次正确率：91.8 %1.定积的值是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：D 解析：，故选：．⼀般已测：3296次正确率：69.9 %2.计算（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：B解析：选⼀般已测：4642次正确率：87.5 %3.若,,则,,的⼤⼩关系为( )A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、定积分的常⽤结论答案：B解析：由于,,,且,所以，故选.⼀般已测：3883次正确率：75.3 %4.若,则( )2xdx ∫0212342xdx =x =4∫202∣∣∣∣20D (1−cos x )dx =∫− 2π2ππ+2π−2π−2(1−cos x )dx=(x −sin x )∫− 2π2π =π−2.∣∣∣∣ 2π− 2πB .S = x dx 1∫122S = dx 2∫12x 1S =e dx 3∫12x S 1S 2S 3S <S <S 123S <S <S 213S <S <S 231S <S <S321S = x dx = x ∣ = − = 1∫12231312383137S = dx =lnx ∣ =ln 22∫12x 112S = e dx =e ∣ =e −e 3∫12x x 122ln 2< <e −e 372S <S <S 213B f (x )=x +2 f (x )dx 2∫01 f (x )dx=∫01A.B.C.D.考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：被积函数的原函数、微积分基本定理答案：B解析：令(常数),则,所以,解得,故选:.中等已测：4750次正确率：71.2 %5.在如图所⽰平⾯直⻆坐标系中,正⽅形的边⻓为,曲线是函数图象位于正⽅形内的部分,直线恰好是函数在处的切线,现从正⽅形内任取⼀点,那么点取⾃阴影部分的概率等于（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：曲边梯形的⾯积、定积分的⼏何意义答案：D解析：正⽅形的边⻓为,由函数,得,则,得.⼜当时,,可得,曲线的解析式为,阴影部分⾯积.点取⾃阴影部分的概率等于.故选:.−1−31 311f (x )dx =m ∫01f (x )=x +2m 2m = f (x )dx =( x +2mx ) = +2m ∫01313∣∣0131m =− 31B OABC 1m y =a (x −1)+b 2AC y=a (x −1)+b 2x =0P P1213141 61∵OABC 1,∴S =1正方形OABC y =a (x −1)+b 2y =2a (x −1)′y ∣ =−2a =−1′x =0a =21x=0y =a +b =1b = 21∴m y = (x −1)+ 21221∴S = [ (x −1)+ −(−x +1)]dx = x dx = x ∣=∫0121221∫012126130161∴P 61D⼀般已测：4665次正确率：92.6 %6.已知,则⼆项式的展开式中的系数为（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的性质解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：C 解析：,的展开式的通项公式为,令得,,展开式中的系数为.⼀般已测：2948次正确率：92.5 %7.实数使得复数是纯虚数,则的⼤⼩关系是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、⽤所求定积分的⼏何意义求定积分知识点：定积分的概念、复数的概念答案：C解析：,它为纯虚数,所以,表⽰单位圆的四分之⼀的⾯积为,所以,应选.中等已测：3726次正确率：56.3 %8.若，则=（ ）A.B.a = dx ∫ e 1e x1(1− )x a 5x −316080−80−160∵a= dx =lne −ln =2∫ e 1e x 1e 1∴(1−)=(1−)xa 5x25T=C (−2)x r +15r r −r −r=−3r =3∴x −3C (−2)=−80533a1−i a +i b = xdx ,c= dx ∫01∫011−x 2a ,b ,c a <b <c a <c <b b <c <a c <b <a= = 1−i a +i1−i 1+i ()()a +i 1+i ()()2a −1+a +1i ()a =1,b = xdx = ∣ = ,c = dx ∫012x 20121∫011−x 2 4πb <c <a C f x + f x dx =x ()∫01() f x dx ∫01()41 21C.D.考点：⽤定义求定积分、利⽤定积分的性质解题知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：A 解析：由，则，则，，则，故选A ．⼀般已测：2708次正确率：72.5 %9.⼀个⼈骑⻋以⽶/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽⻋,当他离汽⻋⽶时，交通信号灯由红变绿,汽⻋开始做变速直线⾏驶(汽⻋与⼈的前进⽅向相同),若汽⻋在时刻的速度⽶/秒，那么此⼈（ ）．A.可在秒内追上汽⻋B.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶C.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶D.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶考点：⼆次函数的单调性、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：微积分基本定理、基本积分公式答案：D解析：设该⼈骑⻋⾏驶距离和汽⻋⾏驶距离的差为，则，所以，所以该⼈不能追上汽⻋，但其间最近距离为⽶⼀般已测：391次正确率：82.7 %10.甲、⼄两⼈从同⼀起点出发按同⼀⽅向⾏⾛，已知甲、⼄⾏⾛的速度与⾏⾛的时间分别为，(如图)，当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻( )A.甲⼄两⼈再次相遇B.甲⼄两⼈加速度相同12fx +f x dx =x ()∫01()f x =x − f x dx ()∫01() fx dx = x − f x dx dx∫01()∫01(∫01())= xdx − f x dx dx = − f x dx ∫01∫01[∫01()]21∫01()∴ f x dx = − f x dx ∫01()21∫01() f x dx =∫01()41625t v (t )=t 716147S (t )S (t )= 6−t dt =6t −t ∫0t()212S (t ) =S (6)=36−18=18max 7v =甲t v =t 乙2C.甲在⼄前⽅D.⼄在甲前⽅考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：定积分的物理意义、变速运动问题答案：C解析：由，得，解得(舍)，或．由．．所以当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻甲在⼄前⽅．故选：．中等已测：1818次正确率：73.8 %11.已知，若函数满⾜，则称为区间上的⼀组``等积分''函数，给出四组函数：①②；③；④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在.其中为区间上的“等积分”函数的组数是( )A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、微积分基本定理答案：C解析：本题是新定义问题，主要考查对定义的理解和定积分的计算.对于①，⽽,所以①是⼀组“等积分”函数；对于②，,⽽,所以②不是⼀组``等积分''函数；对于③，函数的图像是以原点为圆⼼，为半径的半圆，故,⽽,所以③是⼀组``等积分''函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利⽤奇函数的图像关于原点对称和定积分的⼏何意义，可以求得函数的定积分,所以④是⼀组``等积分''函数.故选.简单已测：3293次正确率：86.3 %12..v =v 甲乙 =t t 2t =0t =1 dt = t ∣ = ∫01t 32 230132 t dt = t ∣= ∫0123130131C a <b f (x ),g (x ) f (x )dx = g (x )dx ∫a b∫a bf (x ),g (x )[a ,b ]f (x )=2∣x ∣,g (x )=x +1;f (x )=sinx ,g (x )=cosx f (x )=,g (x )= πx 1−x 2432f (x ),g (x )[−1,1][−1,1]1234f x dx = 2x dx = 2−x dx + 2xdx =2,∫−11()∫−11∣∣∫−10()∫01g x dx = x +x ∣ =2∫−11()(212)−11 f (x )dx = sinxdx =0∫−11∫−11 g x dx = cos xdx =2sin 1≠0∫−11()∫−11f (x )1 f x dx = dx = ∫−11()∫−111−x 22πg x dx = πx ∣ = ∫−11()413−112πf (x ),g (x )[−1,1] f (x )dx = g x dx =0∫−11∫−11()C (sinx +cosx )dx =∫− 2π2π考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、被积函数的原函数答案：解析：；故填.⼀般已测：4543次正确率：94.5 %13..考点：利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：解析：函数即：，表⽰以为圆⼼，为半径的圆在轴上⽅横坐标从到的部分，即四分之⼀圆，结合定积分的⼏何意义可得．故答案为．⼀般已测：2478次正确率：65.4 %14.⼀辆汽⻋在⾏驶中由于遇到紧急情况⽽刹⻋，以速度⾏驶⾄停⽌，在此期间汽⻋继续⾏驶的距离是.考点：定积分在求⾯积中的应⽤、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的物理意义、基本积分公式答案：解析：本题考查定积分的概念.令，化为,⼜,解得.汽⻋继续⾏驶的距离.⼀般已测：4698次正确率：91.6 %15.若正实数满⾜,则的最⼩值为.考点：利⽤基本不等式求最值、利⽤公式求定积分知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：解析：由题意得;即,所以(当且仅当时等号成⽴).所以,即的最⼩值为.简单已测：1192次正确率：87.8 %16.有⼀⾮均匀分布的细棒，已知其线密度为，棒⻓为，则细棒的质量.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分2(sinx +cosx )dx =−cosx +sinx ∣ ∫− 2π 2π()−2π2π=1+1=22 ( )dx ∫121−(x −1)2=4πy=1−(x −1)2(x −1)+y =1(x ≥1,y ≥0)22(1,0)1x 12 ( )dx = ×π×1=∫121−(x −1)24124π 4πv (t )=7−3t +1+t 254+25ln 5v (t )=7−3t + =01+t253t −4t −32=02t >0t =4S = (7−3t + )dt =(7t − t +25ln (1+t ))∣ =4+25ln 5∫041+t 2523204m ,n + = (x +)dx m 2n 1∫−22π14−x 2log (m +2n )22(x + )dx = dx = × π×2=2∫−22π14−x 2π1∫−224−x 2π1212 + =2m 2n 1m +2n =(m +2n )( + )= + +2≥2 +2=4m 12n 1m 2n 2n m × m 2n 2n m m =2n log m +2n ≥log 4=22()2log (m +2n )22ρx =x ()32M =(1)(2)知识点：定积分的物理意义、定积分的常⽤结论答案：解析：依题意有：.⼀般已测：3051次正确率：65.2 %17.在区间上给定曲线.试在此区间内确定点的值,使图中的阴影部分的⾯积与之和最⼩,并求最⼩值．考点：导数在最⼤值、最⼩值问题中的应⽤、定积分在求⾯积中的应⽤知识点：利⽤导数求函数的最值、微积分基本定理答案：时,最⼩,且最⼩值为解析：⾯积等于边⻓分别为与的矩形⾯积去掉曲线与轴、直线所围成的⾯积,即.的⾯积等于曲线与轴,,围成的⾯积去掉矩形边⻓分别为,⾯积,即.所以阴影部分的⾯积．令,得或.时,；时,；时,.所以当时,最⼩,且最⼩值为.⼀般已测：401次正确率：92.8 %18.已知．求的单调区间；求函数在上的最值．考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数求闭区间上函数的最值知识点：函数单调性和导数的关系、利⽤导数求函数的最值(1)答案：单调调增区间是,单调递减区间是．解析：依题意得,,定义域是．,令,得或； 令得,且函数定义域是,函数的单调增区间是,单调递减区间是．(2)答案：最⼤值是,最⼩值是．解析：由(1)知函数在区间上为减函数,区间上为增函数, 且,在上的最⼤值是,最⼩值是．4x dx= ∣ =4∫0234x 402[0,1]y =x 2t S 1S 2t=21S (t )41S 1t t 2y =x 2x x =t S =t ⋅t − x dx = t 12∫0t 2323S 2y =x 2x x =t x =1t 21−t S = x dx −t (1−t )= t −t + 2∫t 122323231S (t )=S +S = t −t + (0≤t ≤1)12343231S (t )=4t −2t =4t (t − )=0′221t =0t = 21t =0S (t )= 31t = 21S (t )= 41t =1S (t )= 32t = 21S (t )41F (x )= (t +2t −8)dt ,(x >0)∫0x2F (x )F (x )[1,3](2,+∞)(0,2)F (x )= (t +2t −8)dt =( t +t−8t )∣ = x +x −8x ∫0x 231320x 3132(0,+∞)(1)F (x )=x +2x −8′2F (x )>0′x >2x <−4F (x )<0,′−4<x <2(0,+∞)∴F (x )(2,+∞)(0,2)F (3)=−6F (2)=− 328F (x )(0,2)(2,3)F (1)=− ,F (2)=− ,F (3)=−6320328∴F (x )[1,3]F (3)=−6F (2)=− 328(1)(2)中等已测：3275次正确率：52.7 %19.已知⼆次函数，直线，直线(其中，为常数)，若直线,与函数的图象以及,、轴与函数的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所⽰.求,,的值；求阴影⾯积关于的函数的解析式.考点：求函数解析式的常⽤⽅法、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：⼆次函数的解析式、⼆次函数的图象(1)答案：, , 解析：由图形可知⼆次函数的图象过点，，并且的最⼤值为，则解得，函数的解析式为.(2)答案：解析：由得,,,,直线与的图象的交点坐标为由定积分的⼏何意义知：.f (x )=ax +bx +c 2l :x =21l :y =−t +8t 220≤t ≤2t l 1l 2f (x )l 1l 2y f (x )a b c S t S (t )a=−1b =8c =0(0,0)(8,0)f (x )16 ⎩⎨⎧c =0,a ⋅8+b ⋅8+c =02=164a 4ac −b 2 ⎩⎨⎧a =−1b =8c =0∴f (x )f (x )=−x +8x 2S (t )=− t +10t −16t + 3432340{ y =−t +8t 2y =−x +8x2x −8x −t (t −8)=02∴x =t 1x =8−t 2∵0≤t ≤2∴l 2f (x )(t ,−t +8t )2S (t )= −t +8t −−x +8x dx + [(−x +8x )−(−t +8t )]dx ∫0t [(2)(2)]∫t 222=[(−t +8t )x −(− +4x )]∣ +[(− +4x )−(−t +8t )x ]∣ 23x 320t 3x 322t 2=− t +10t −16t + 3432340。

定积分与微积分基本定理复习讲义备考方向要明了考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．归纳·知识整合1．定积分1 定积分的相关概念：在错误!错误!f x d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,f x叫做被积函数,x叫做积分变量,f x d x叫做被积式．2 定积分的几何意义①当函数f x在区间a,b上恒为正时,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是由直线x＝a,x＝b a≠b,y＝0和曲线y＝f x所围成的曲边梯形的面积左图中阴影部分．②一般情况下,定积分错误!错误!f x d x的几何意义是介于x轴、曲线f x以及直线x＝a,x＝b之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示 ,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3 定积分的基本性质：①错误!错误!kf x d x＝k错误!错误!f x d x.②错误!错误!f1x±f2x d x＝错误!错误!f1x d x±错误!错误!f2x d x.③错误!错误!f x d x＝错误!错误!f x d x＋错误!错误!f x d x.探究 1.若积分变量为t,则错误!错误!f x d x与错误!错误!f t d t是否相等提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗提示：一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算．3．定积分错误!错误!f x－g x d x f x >g x的几何意义是什么提示：由直线x＝a,x＝b和曲线y＝f x ,y＝g x所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理：如果f x是区间a,b上的连续函数,并且F′ x＝f x ,那么错误!错误!f x d x＝F b－F a ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便,常把F b－F a记成F x错误!错误!,即错误!错误!f x d x＝F x错误!错误!＝F b－F a．课前预测：错误!错误!d x等于A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 22．教材习题改编一质点运动时速度和时间的关系为V t＝t2－t＋2,质点作直线运动,则此物体在时间 1,2 内的位移为3．教材习题改编直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．4．教材改编题错误!错误!错误!d x＝________.5．由y＝错误!,直线y＝－x＋错误!所围成的封闭图形的面积为________考点一利用微积分基本定理求定积分例1 利用微积分基本定理求下列定积分：1 错误!错误! x 2＋2x ＋1 d x ；2 错误!错误! sin x －cos x d x ；3 错误!错误!x x ＋1 d x ；4 错误!错误!错误!d x ；5 20π⎰ sin 2错误!d x . ——————————————————— 求定积分的一般步骤：1 把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；3 分别用求导公式找到一个相应的原函数；4 利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5 计算原始定积分的值．强化训练：1．求下列定积分： 1 错误!错误!|x －1|d x ； 2 20π⎰错误!d x .考点二 利用定积分的几何意义求定积分例2 错误!错误!错误!d x ＝________.变式：在本例中,改变积分上限,求错误!错误!错误!d x 的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法1 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分．2 利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．强化训练：2． 2014·福建模拟 已知函数f x ＝错误!错误! cos t －sin t d t x >0 ,则f x 的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积例3 2014·山东高考由曲线y＝错误!,直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.错误!B．4 D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”,将“y轴”改为“x轴”,如何求解———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤1 画出曲线的草图．2 借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限．3 将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．4 计算定积分,写出答案．强化训练：3． 2014·郑州模拟如图,曲线y＝x2和直线x＝0,x＝1,y＝错误!所围成的图形阴影部分的面积为考点四：定积分在物理中的应用例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a＝－ m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t ≥0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为错误!错误!v t d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v t v t≤0 ,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－错误!错误!v t d t.2．变力做功问题物体在变力F x的作用下,沿与力F x相同方向从x＝a到x＝b所做的功为错误!错误!F x d x.强化训练：4．一物体在力F x＝错误!单位：N 的作用下沿与力F x相同的方向运动了4米,力F x做功为A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质1 常数可提到积分号外；2 和差的积分等于积分的和差；3 积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题1 若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量；2 定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；3 面积非负, 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点典例 2013·上海高考已知函数y＝f x的图象是折线段ABC,其中A 0,0 ,B错误!,C 1,0 ．函数y＝xf x0≤x≤1 的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题：1 熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；2 准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2,y＝x3围成的封闭图形面积为2． 2014·山东高考设a>0.若曲线y＝错误!与直线x＝a,y＝0所围成封闭图形的面积为a2,则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分错误!错误!d x＝A．ln x＋错误!ln2x－12．2012·湖北高考已知二次函数y＝f x的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为3．设函数f x＝ax2＋b a≠0 ,若错误!错误!f x d x＝3f x0 ,则x0等于A．±1 C．±错误!D．24．设f x＝错误!则错误!错误!f x d x＝D．不存在5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v＝40－10t2,则此物体达到最高时的高度为m m m m6．2013·青岛模拟由直线x＝－错误!,x＝错误!,y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为B．1二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7．设a ＝错误!错误!sin x d x ,则曲线y ＝f x ＝xa x ＋ax －2在点 1,f 1 处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中,首项a 1＝错误!,a 4＝错误!错误! 1＋2x d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________．9． 2013·孝感模拟 已知a ∈错误!,则当错误!错误! cos x －sin x d x 取最大值时,a ＝________.三、解答题 本大题共3小题,每小题12分,共36分10．计算下列定积分： 1 20π⎰ sin 2x d x ； 2 错误!错误!错误!2d x ； 3 120⎰e 2x d x . 11．如图所示,直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值．12．如图,设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A 2,4 移动,直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2,若S 1＝S 2,求点P的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在错误! s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ；2 错误!错误!错误!d x . 3．求曲线y ＝错误!,y ＝2－x ,y ＝－错误!x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：m/s 与时间t 单位：s 满足函数关系式v t ＝错误!某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一 定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.错误! ４.错误!π ５.错误!－2ln 2 例１： 1 错误!. 2 2. 3 错误!. 4 错误!e 4－错误!e 2＋ln 2. 5 错误!.变式１：解： 1 |x －1|＝错误!故错误!错误!|x －1|d x ＝错误!错误! 1－x d x ＋错误!错误! x －1 d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＝1. 2 20π⎰错误!d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ cos x －sin x d x ＋24ππ⎰ sin x －cos x d x ＝ sin x ＋cos x 40π＋ －cos x －sin x 24ππ＝错误!－1＋ －1＋错误! ＝2错误!－2.例２： 自主解答 错误!错误!错误!d x 表示y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝错误!得 x －1 2＋y 2＝1 y ≥0 ,又∵0≤x ≤1,∴y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆,其面积为错误!. ∴错误!错误!错误!d x ＝错误!.互动：解：错误!错误!错误!d x 表示圆 x －1 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以 错误!错误!错误!d x ＝错误!.变式２. 错误!－1 例３.Ｃ 互动：错误!. 变式３.Ｄ 例４： 自主解答 a ＝－ m/s 2,v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v ＝20－.令v ＝0,即20－ t ＝0得t ＝50 s ．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s ＝错误!错误!v d t ＝错误!错误! 20－d t ＝ 20t －错误!错误!＝20×50－×502＝500 m ,即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46典例： 解析 由题意可得f x ＝错误!所以y ＝xf x ＝错误!与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰ 10x －10x 2 d x ＝错误!x 3120＋错误!112错误!＝错误!. 答案 错误! 变式5. １.Ａ ２. 错误!检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.错误! ９.错误!10.解： 1 错误!. 2 错误!＋ln 错误!. 3 错误!e －错误!.11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0,x 2＝1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝错误!错误! x －x 2 d x ＝错误!错误!错误!＝错误!. 又错误! 由此可得,抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0,x 4＝1－k ,所以,错误!＝错误!错误! x －x 2－kx d x ＝错误!错误!错误!＝错误! 1－k 3.又知S ＝错误!,所以 1－k 3＝错误!,于是k ＝1－ 错误!＝1－错误!.12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ,点P 的坐标为 x ,y ,则错误!错误! kx －x 2 d x ＝错误!错误! x 2－kx d x ,即错误!错误!错误!＝错误!错误!错误!,解得错误!kx 2－错误!x 3＝错误!－2k －错误!,解得k ＝错误!,即直线OP 的方程为y ＝错误!x ,所以点P 的坐标为错误!. 备选题：1.解析：由题图可知,v t ＝错误!因此该物体在错误! s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v t d t ＝112⎰2t d t ＋错误!错误!2d t ＋错误!错误!错误!d t ＝t 2112＋2t |错误!＋错误!错误!错误!＝错误! m ． 答案：错误! m 2.解： 1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1 d x ＝ x 3－x 2＋x 31-＝24.2 错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!x d x ＋错误!错误!错误!d x ＋错误!错误!错误!d x＝错误!x2错误!错误!＋ln x错误!错误!－错误!错误!错误!＝错误! e2－1 ＋ ln e－ln 1 －错误!＝错误!e2－错误!＋错误!.3.解：由错误!得交点A 1,1 由错误!得交点B 3,－1 ．故所求面积S＝错误!错误!错误!d x＋错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.4.解：由变速直线运动的路程公式,可得s＝错误!错误!t2d t＋错误!错误! 4t＋60 d t＋错误!错误!140d t＝错误!t3错误!错误!＋ 2t2＋60t错误!错误!＋140t错误!错误!＝7 133 错误! m <7 676 m ．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b[答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，137[答案] A [解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．6[答案] A [解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1[答案] B[解析] ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π[答案] A [解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F (x )＝⎠⎛0x φ(t )d t 的导数F ′(x )＝φ(x )．7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)[答案] D[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC＝22π＝1π. 9．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.12[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13. 二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．[答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得， 4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0， 由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，S min ＝14.。

高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》教案章节：第一章定积分的概念教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义和性质。

2. 学会计算简单的定积分，并能应用定积分解决实际问题。

教学内容：1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法4. 定积分的应用教学步骤：1. 引入定积分的概念，引导学生思考如何求解曲线下的面积。

2. 讲解定积分的定义，解释定积分的几何意义和物理意义。

3. 引导学生通过图形和实例理解定积分的性质，如线性性、保号性等。

4. 教授定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等。

5. 提供实际问题，让学生应用定积分解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲线路的距离等。

教学练习：a. 定积分表示曲线下的面积。

b. 定积分具有线性性。

c. 定积分可以大于曲线下的面积。

a. 定积分的几何意义是曲线下的面积。

b. 定积分的物理意义是曲线下的质量。

c. 定积分的计算方法有牛顿-莱布尼茨公式和分部积分法。

a. ∫(从0到1) x^2 dxb. ∫(从1到2) e^x dx教学评价：1. 学生能够理解定积分的概念和性质。

2. 学生能够掌握定积分的计算方法。

3. 学生能够应用定积分解决实际问题。

教案章节：第二章微积分的基本定理教学目标：1. 理解微积分的基本定理，掌握微积分的基本定理的内容和应用。

2. 学会计算不定积分和定积分，并能应用微积分的基本定理解决实际问题。

教学内容：1. 微积分的基本定理的定义2. 微积分的基本定理的内容3. 微积分的基本定理的应用教学步骤：1. 引入微积分的基本定理，引导学生思考如何求解曲线的原函数。

2. 讲解微积分的基本定理，解释微积分的基本定理的意义和应用。

3. 引导学生通过图形和实例理解微积分的基本定理的应用，如计算曲线的面积、求解曲线与坐标轴的交点等。

4. 教授不定积分和定积分的计算方法，如基本积分表、换元积分法等。