第9讲 代数式-举一反三

小升初应用题重点考查内容（三）浓度问题(★★)现有浓度为20%的盐水100克，加入相同质量的盐和水后，变成浓度为30%的盐水，请问：加了多少克盐？【举一反三】在900克浓度为20%的糖水中加入多少克糖，才能将其配成浓度为40%的糖水？(★★★)两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，将这两个杯子倒在一起混合后盐水浓度为30%，若再加入300克20%的盐水，浓度为25%，请问原有40%的盐水多少克？(★★★★)甲种酒精4千克，乙种酒精6千克混合成的酒精含纯酒精62%；如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精溶液含纯酒精61%。

甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？(★★★★)甲、乙两种酒精溶液纯酒精含量分别为72%与58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精都比原来多取15升，混合后酒精含量为63.25%。

第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？(★★★★★)小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每只定价9元。

由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，黑笔按定价80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．现有浓度为20%的糖水350克，要把它变成浓度为30%的糖水，需加糖多少克？A．40 B．50 C．60 D．1002．两个瓶子里分别装有浓度为50%和20%的酒精溶液，将这两个瓶子倒在一起混合后酒精浓度为30%，若再加入150g浓度为20%的酒精溶液，浓度为25%，请问原有50%的酒精溶液多少克？A．45 B．46 C．47 D．503．甲种盐水5千克，乙种盐水7千克混合成的盐水溶液浓度为60%，如果甲种盐水和乙种盐水一样多，混合成的盐水溶液浓度为59%，甲、乙两种溶液的含盐率分别为多少？A．53%、65% B．50%、65% C．56%、66% D．53%、69%4．A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%、18%和16%，它们混合后得到100克浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30克，那么A瓶糖水有多少克？A．50 B．40 C．45 D．605．学校到商店买红蓝两种笔共78支，红笔每支4元，蓝笔每支7元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔案定价的85%付钱，蓝笔按定价的80%付钱。

中学生数学解题能力训练第9讲 寻找解题途径-恒等变形-符号与数应知：恒等变形是转化思想中的一种。

应会：①符号变换、②数的变形。

你能不能把问题的已知条件或待求（或证）的结论加以转化，或是把整个问题进行转化，使问题较易解决？常用的转化策略有：类似转化、恒等转化、传递转化、数形转化、主从转化、特殊一般转化、整体局部转化、抽象具体转化、视角转化等等。

常用的恒等变形有①符号变换、②数的变形、③代数式的变形（拆成和、积、幂，分母、分子有理化，配方，去绝对值符号，对数式与指数式互换）、④等式的变形。

一．代数部分 1．符号变换例. （初一）化简222b a aba b b b a a ----+ 。

解：原式b a ba ba b a b a ab b a b b a a +-=--=---++=22222)(2 。

点评：本题利用了符号变换：)(a b b a --=-2．数的变形用得最多的是“1”的变形，常用的有下面一些： 1=1n1=05lg 2lg log log log a a a b a b a =+==⋅ 1=)0()1)(1(≥-+++a a a a a1=!00=n C1=)(2sin 2cos Z k k i k ∈+ππ例. （高一）解不等式 1)21()54(log log 2513<-x。

分析：为了应用指数函数的增减性，可用同底的幂代替右边的”1”,即用0)21(代替1。

解：原不等式化为 0)54(log log )21()21(2513<-x ，∴ 0)54(log log 2513>-x ，而 1log 03= ，∴ 1log )54(log log 32513>-x ，∴ 1)54(log 251>-x ，即 51log )54(log log 512513>-x ，∴ 51542<-x ， 再考虑到函数的定义域 0542>-x ，∴ 原不等式的解为 521-<<-x 或152<<x 。

第9讲：周期问题
练习一
1，23个3相乘，积的个位数字是几？
2，100个2相乘，积的个位数字是几？
3，50个7相乘，积的个位数字是几？
练习二
1，abcd abcd abcd ……
123 123 123……
上表中每一列两个符号组成一组，如第一组“a1”，第二组“b2”……问第25组是什么？
2，小丁把同样大小的红、白、黑珠子共120个，按先3个红的、后2个白的、再1个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，白珠共多少个？第68个珠子是什么颜色？
3，课外活动上，有4个同学在进行报数游戏，他们围成一圈，甲报“1”、乙报“2”、丙报“3”、丁报“4”，每人报的数总比前一个人多1，问45是谁报的？
练习三
1，一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？
2，有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？
3，有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？
练习四
1，2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？
2，2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？
3，2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？。

列代数式（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解字母表示数的意义；能用字母表示简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值．【要点梳理】要点一、用字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba ．要点二、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a +等式子，它们都是数和字母用运算符号连接所成的式子，称为代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：含有等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式． 要点三、列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．要点四、代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．要点诠释：求代数式的值的步骤：（1）代入数值； （2）计算结果．【典型例题】类型一、用字母表示数1．填空：（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是 ；（2） 一个正方形的边长是a cm ，把这个正方形的边长增加1 cm 后所得到的正方形的周长是 ；（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．【思路点拨】（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可；（2）正方形的周长等于边长的4倍；（3）注意“多”、“少”、“倍”等词语对应的数学语言．【答案】（1）-a ； （2）（4a+4)cm ； （3）(2n+500).【解析】解：（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是﹣a ；（2）这个正方形的边长增加1cm 后所得到的正方形的边长为(a+1) cm ，所以周长为4（a+1）cm ，也即（4a+4)cm ；（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达(2n+500)元．【总结升华】原题中的数据有单位，写出的代数式的形式是“和（或差）”的形式的，一定要用括号把代数式括起来.举一反三：【变式1】试引进字母，用适当的代数式表示：（1）能被3整除的整数；（2）除以3余数是2的整数.【答案】（1）3n （n 为整数）；（2）32n + （n 为整数）.【变式2】小宁到银行存入p 元人民币，现行年利率为2.25%，问存期一年可得到的利息是多少？如果一年后把钱全部取出，本金和利息有多少元？【答案】解：存期一年可得到的利息是2.25%p ；一年后把钱全部取出，本金和利息共有(1 2.25%)p +元.类型二、列代数式2．用代数式表示：（1）一打铅笔有12支，总价为a 元，则每支铅笔的价格是 元；（2）某商品的进价是a 元，预期的利润率是20%，则此商品的售价应定为 元.【答案】（1）a 12. （2）(120%)a +. 【解析】基本关系式：（1）单价＝总价支数； （2）1⨯售价＝进价（+利润率）. 【总结升华】列代数式实质上就是把文字语言转化为数学符号语言，对数学符号组成的式子，最后结果一定要化为最简形式.举一反三：【变式1】（1）x 的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 .(2)操作电脑时，甲4小时打x 个字，乙5小时打y 个字，甲乙两人每小时共打 个字． （3）（海南）农民张大伯因病住院，手术费用为a 元，其他费用为b 元，由于参加农村合作医疗，手术费用报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此住院可报销 元 （用代数式表示）．【答案】（1）235x - （2）（45x y +） (3)(85%60%a b +) 【变式2】代数式38a 意义是什么？【答案】解：38a 可以看成一个大物体的体积是一个棱长为a 的小正方体体积的8倍.或也可以看成一个棱长为2a 的正方体的体积（答案不唯一）.类型三、代数式的的值3. 当13,22x y =-=-时,求223x y xy y +-的值. 【思路点拨】求代数式的值的步骤：（1）代入数值； （2）计算结果.【答案与解析】解：当13,22x y =-=-时, 223x y xy y +-22313133()()()()()22222=-⨯-+-⨯--- 3927888=--+158=【总结升华】（1）如果代数式中省略乘号，代入数值后需添上“×”号．如果字母取值是分数，作乘方运算时要加括号； (2)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢. 举一反三：【变式】当7,4,0x y z ===时，求代数：(23)x x y z -+的值．【答案】解: 当7,4,0x y z ===时，(23)x x y z -+7(27430)=⨯⨯-+⨯7(144)=⨯-70=．4．按下列程序计算x=3时的结果__________.【思路点拨】根据题目所给程序依次计算即可．【答案】15；【解析】当3x =时，则22(1)1(31)115x +-=+-=．【总结升华】本题考查了代数式求值，弄清运算程序是解题的关键．举一反三：【答案】97提示：22(5)3(55)397x +-=+-=．类型四、综合应用5．有一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字大5，用代数式表示这个两位数，并求当a ＝3时，这个两位数是多少？【答案与解析】解：（1）代数式表示这个两位数是10(5)a a ++.（2）把3a =代入代数式10(5)a a ++，得：103(35)38⨯++=.因此这个两位数是38 .【总结升华】代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a 不能为零且不能为负数和分数．举一反三：【变式1】一工厂有煤x(t),计划每天烧煤y(t).(1)列式表示计划可烧煤的天数.(2)若实际每天少烧煤0.5t,列式表示实际比计划多烧煤的天数.(3)当72,6x y ==时，求计划烧煤天数以及实际比计划多烧煤的天数. 【答案】解：（1）由题意得，计划烧煤天数为x y （天）； （2）实际烧煤天数为0.5x y -（天）， 实际比计划多烧煤的天数为0.5x x y y--. （3）72,6x y ==，计划烧煤天数72126x y ==（天）； 实际比计划多烧煤的天数为7272120.560.5611x x y y -=-=--（天）. 【变式2】（巴中）已知如图所示，正方形ABCD 的边长为1，以AB 为直径作半圆，以点A 为圆心，AD 为半径画弧．那么图中阴影部分的面积为 .【答案】π．8 =。

专题1.4 代数式章末重难点题型【浙教版】【考点1 代数式的定义及书写】【方法点拨】（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“·”表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.【例1】（1）（2019秋•皇姑区校级期中）在下列各式中（1）3a ，（2）4+8＝12，（3）2a ﹣5b ＞0，（4）0，（5）s ＝πr 2，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，其中代数式的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（2）（2019秋•茂名期中）下列各式：①114x ；②2•3；③20%x ；④a ﹣b ÷c ；⑤m−n 3；⑥x ﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．【解答】（1）解：由题可得，属于代数式的有：（1）3a ，（4）0，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，共5个， 故选：C ．（2）解：①114x 中分数不能为带分数；②2•3数与数相乘不能用“•”； ③20%x ，书写正确；④a ﹣b ÷c ，除号应用分数线，所以书写错误； ⑤m−n 3书写正确；⑥x ﹣5应该加括号，所以书写错误； 符合代数式书写要求的有③⑤共2个． 故选：D ．【点评】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．（2）注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式． 【变式1-1】（2019秋•杨浦区校级月考）在以下各式中属于代数式的是（ ） ①S =12ah ②a +b ＝b +a ③a ④1a⑤0 ⑥a +b ⑦a+b abA ．①②③④⑤⑥⑦B ．②③④⑤⑥C ．③④⑤⑥⑦D ．①②【分析】根据代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式进行分析即可．【解答】解：③a ，④1a ，⑤0，⑥a +b ，⑦a+b ab是代数式，故选：C ．【点评】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的定义．【变式1-2】（2019秋•桥西区校级月考）在式子0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】直接利用代数式的定义，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式，进而判断即可．【解答】解：0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有0.5xy ﹣2，12（a +b ）共2个． 故选：B ．【点评】此题主要考查了代数式，正确把握定义是解题关键．【变式1-3】（2019秋•南昌期末）进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“•”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为 ． 【分析】根据代数式的写法表示即可． 【解答】解：代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为：4ac−b 24，故答案为：4ac−b 24．【点评】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的表示要求． 【考点2 列代数式（和差倍问题）】【方法点拨】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式 的书写规范.【例2】（2019秋•宿豫区期中）学校举行国庆画展，七（1）班交m 件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是 件．【分析】根据“2倍”即乘以2，“少6件”即再减去6即可得． 【解答】解：根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m ﹣6）件， 故答案为：2m ﹣6．【点评】本题主要考查列代数式，列代数式应该注意格式.【变式2-1】（2019秋•临沭县期中）某校报数学兴趣小组的有m 人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有 人．【分析】数学兴趣小组的人数的一半是：12m ，则根据“报书法兴趣小组的人比数学兴趣小组的人数的一半多3人”列出代数式．【解答】解：依题意知，美术兴趣小组的人数是：12m +3．故答案是：（12m +3）．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．【变式2-3】（2019秋•孝义市期中）某学校七年级有m 人，八年级人数比七年级人数的23多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m 的式子表示七八九三个年级的总人数为（ ） A ．3mB ．113m ﹣40 C ．3m ﹣40 D ．3m ﹣20【分析】根据题意分别表示出各年级的人数，进而利用整式的加减运算法则得出答案． 【解答】解：由题意可得，八年级的人数为：23m +10，九年级人数为：2（23m +10）﹣50，故七八九三个年级的总人数为：m +23m +10+2（23m +10）﹣50＝3m ﹣20．故选：D ．【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出各年级人数是解题关键．【变式2-3】（2019秋•九江期中）我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x 元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的34，用含x 的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．【分析】分别表示出乙、丙同学捐款总数进而得出答案．【解答】解：由题意可得，乙同学捐款（3x ﹣8）元，丙同学的捐款金额是：34（x +3x ﹣8）＝3x ﹣6（元），故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x +3x ﹣8+3x ﹣6＝7x ﹣14（元）．【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙、丙同学捐款总数是解题关键． 【考点3 列代数式（数字问题）】【方法点拨】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式 的书写规范.【例3】（2020春•香坊区校级期中）一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（ ） A ．11a ﹣20B ．11a +20C ．11a ﹣2D ．11a +2【分析】根据一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，可知个位数字为a ﹣2，然后即可用含a 的代数式表示出这个两位数． 【解答】解：由题意可得，这个两位数为：10a +（a ﹣2）＝11a ﹣2， 故选：C ．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式3-1】（2019春•新泰市期中）设a 是一个三位数，b 是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a 在左，b 在右），则这个五位数可以表示为 ．【分析】相当于把三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，相加即可． 【解答】解：∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变， ∴这个五位数可以表示为100a +b ． 故答案是100a +b ．【点评】考查列代数式，得到新数中的a ，b 与原数中的a ，b 的关系是解决本题的关键．【变式3-2】（2019秋•温岭市期中）一个三位数为x ，一个两位数为y ，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M ，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N ，则M ﹣N ＝ （结果用含x ，y 的式子表示）．【分析】由于一个两位数为y ，一个三位数为x ，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M ，由此得到M ＝100x +y ，又把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N ，由此得到N ＝1000y +x ，然后就可以求出M ﹣N 的值． 【解答】解：依题意得，M＝100x+y，N＝1000y+x，∴M﹣N＝（100x+y）﹣（1000y+x）＝99x﹣999y．故答案为：99x﹣999y．【点评】此题主要考查了列代数式，解决此类题目的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出代数式，同时计算时熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．【变式3-3】（2019秋•临高县期中）用式子表示十位上的数是x，个位上的数是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？【分析】由十位上的数字乘10加上个位上的数字表示出两位数，再由个位与十位交换表示出新数，新数减去原来的数即可得到结果．【解答】解：依题意有（10y+x）﹣（10x+y）＝10y+x﹣10x﹣y＝9y﹣9x．故后来所得的数与原来的数的差是9y﹣9x．【点评】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系．【考点4 列代数式（销售问题）】【方法点拨】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.【例4】（2019秋•洪山区期中）一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x元，那么售价可表示为．【分析】直接利用成本与原价以及售价与打折的关系进而得出答案．【解答】解：由题意可得：（1+50%）x×0.8＝1.2x（元）．故答案为：1.2x元．【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解打折与售价的关系是解题关键．【变式4-1】（2019春•南岗区校级期中）某商店有一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？【分析】（1）根据一种商品每件成本a 元，按成本价增加20%定为售价，后来由于存积压降价，打八五折出售，可以用含a 的代数式表示出该商品减价后每件的售价为多少元； （2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出售完200件这种商品共盈利多少元． 【解答】解：（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a （1+20%）×0.85＝1.02a （元）， 即该商品减价后每件的售价为1.02a 元； （2）20%a ×80+（1.02a ﹣a ）×（200﹣80） ＝16a +0.02a ×120 ＝16a +2.4a ＝18.4a （元），答：售完200件这种商品共盈利18.4a 元．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式4-2】（2019秋•行唐县期中）小明经销一种服装，进货价为每件a 元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（ ） A ．比进货价便宜了0.52a 元 B ．比进货价高了0.2a 元 C ．比进货价高了0.8a 元D ．与进货价相同【分析】直接利用标价以及打折之间的关系得出关系式即可．【解答】解：由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a ×40%＝1.2a 元． 则1.2a ﹣a ＝0.2a （元） 比进货价高了0.2a 元． 故选：B ．【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出标价是解题关键．【变式4-3】（2019秋•海曙区期中）张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a 元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b 元的价格购进了30件乙种小商品（a ＞b ）．根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b 2元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（ ）A ．赚了（25a +25b ）元B ．亏了（20a +30b ）元C ．赚了（5a ﹣5b ）元D ．亏了（5a ﹣5b ）元【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b ，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚． 【解答】解：根据题意可知： 总进价为20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b∴25a +25b ﹣（20a +30b ）＝5a ﹣5b ， ∵a ＞b ，∴5a ﹣5b ＞0，那么售价＞进价， ∴他赚了． 故选：C ．【点评】此题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价． 【考点5 列代数式（增长率问题）】【方法点拨】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式 的书写规范.【例5】（2019秋•牡丹江期中）某校去年初一招收新生a 人，今年比去年增加x %，今年该校初一学生人数用式子表示为（ ） A ．（a +x %）人 B ．ax %人 C ．a(1+x)100人D ．a （1+x %）人【分析】根据今年招收的新生人数＝去年初一招收的新生人数+x %×去年初一招收新生人数，即可得出答案．【解答】解：∵去年初一招收新生a 人， ∴今年该校初一学生人数为：a （1+x %）人． 故选：D ．【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意今年比去年增加x %和今年是去年的x %的区别．【变式5-1】（2019秋•海淀区校级期中）某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a 亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（ ）A．a•（1+20%）B．a•（1+2×20%）C．a•（1+20%）2D．2a•（1+20%）【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出2021年应植树的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，2021应植树的面积为：a（1+20%）2，故选：C．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式5-2】（2019秋•开福区校级期中）某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（）A．x+（1﹣10%）x万元B．x+（1+10%）x万元C．（1﹣10%）x万元D．（1+10%）x万元【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．【解答】解：∵今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，∴2月份的产量为：（1﹣10%）x，故1月份和2月份的产值和是：[x+（1﹣10%）x]万元．故选：A．【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出2月份的产值是解题关键．【变式5-3】（2019秋•揭阳期末）裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（）A．50（1+m）万元B．50（1+m）2万元C．[50+50（1+m）]万元D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元【分析】根据裕丰商店一月份的利润及二、三月份的利润平均增长率，即可用含m的代数式表示出二、三月份的利润，再将三个月的利润相加即可得出结论．【解答】解：∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．故选：D．【点评】本题考查了列代数式，根据前三个月利润间的关系，用含m的代数式表示出二、三月份的利润是解题的关键．【考点6 列代数式（分段计费问题）】【方法点拨】解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.【例6】（2019秋•东西湖区期中）东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（）A．（10﹣0.7m）元B．（11.4+0.7m）元C．（8.6+0.7m）元D．（10+0.7m）元【分析】根据题意，可以用含m的代数式表示出需要付的车费，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，故选：C．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式6-1】（2019秋•玄武区期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是月份，实际用电量为度；（2）小刚家一月份应交纳电费元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．【解答】解：（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），故答案为：五，236；（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），故答案为：85；（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【变式6-2】（2019秋•金乡县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）价目表每月用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3请根据上表的内容解答下列问题：（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费元；3月份用水8m3，则应收水费元；（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据题意，可以计算出该居民二月份和三月份的水费；（2）根据题意，可以用a的代数式表示出4月份的水费；（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题．【解答】解：（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），故答案为：10，20；（2）由表格可得，该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，答：应交水费（8a﹣52）元；（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．【点评】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、利用分类讨论的的方法解答．【变式6-3】（2019秋•洪山区期中）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.45元/分钟0.4元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费元；（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元；（用含a、b的代数式表示，并化简）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；（3）根据题意计算出相差的车费即可．【解答】解：（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，1.8×9.5+0.45a﹣[1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0因此，小王和小张付费相同．【点评】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．【考点7 代数式求值（整体代入法）】【例7】（2019秋•福田区期中）已知代数式x﹣2y的值是3，则代数式4y+1﹣2x的值是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．0【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．【解答】解：∵x﹣2y＝3，∴4y+1﹣2x＝﹣2（x+2y）+1＝﹣6+1＝﹣5．故选：A．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．【变式7-1】（2019秋•郾城区期中）当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，求当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1值是（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】根据整体思想将已知条件用含p和q的代数式表示，再整体代入即可求解．【解答】解：当x＝2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2019，即8p+2q＝﹣2020．当x＝﹣2时，代数式的px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣（8p+2q）+1＝2020+1＝2021． 故选：D ．【点评】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是利用整体思想． 【变式7-2】（2019春•海阳市期中）已知1﹣a 2+2a ＝0，则14a 2−12a +54的值为（ ）A ．32B ．14C ．1D ．5【分析】1﹣a 2+2a ＝0经过整理得：a 2﹣2a ＝1，14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54，把a 2﹣2a ＝1代入代数式14（a 2﹣2a ）+54，计算求值即可．【解答】解：∵1﹣a 2+2a ＝0， ∴a 2﹣2a ＝1， ∴14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54=14×1+54=32，故选：A ．【点评】本题考查了代数式求值，正确掌握代数式变形，代入法，有理数混合运算法则是解题的关键． 【变式7-3】（2019秋•甘井子区期末）（1）【探究】若a 2+2a ＝1，则代数式2a 2+4a +4＝2（ ）+4＝2×（ ）+4＝ ．【类比】若x 2﹣3x ＝2，则x 2﹣3x ﹣5的值为 ．（2）【应用】当x ＝1时，代数式px 3+qx +1的值是5，求当x ＝﹣1时，px 3+qx +1的值；（3）【推广】当x ＝2020时，代数式ax 5+bx 3+cx ﹣5的值为m ，当x ＝﹣2020时，ax 5+bx 3+cx ﹣5的值 为 （含m 的式子表示）【分析】（1）把代数式2a 2+4a +4＝2（a 2+2a ）+4，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算x 2﹣3x ﹣5的值；（2）先用已知条件得到p +q ＝4，而当x ＝﹣1时，px 3+qx +1＝﹣p ﹣q +1＝﹣（p +q ）+1，然后利用整体代入的方法计算；（3）利用当x ＝2020时，代数式ax 5+bx 3+cx ﹣5的值为m 得到20205a +20203b +2020c ＝m +5，而当x ＝﹣2020时，ax 5+bx 3+cx ﹣5＝﹣20205a ﹣20203b ﹣2020c ﹣5，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵a 2+2a ＝1，∴2a 2+4a +4＝2（a 2+2a ）+4＝2×（1）+4＝6； 【类比】若x 2﹣3x ＝2，则x 2﹣3x ﹣5＝2﹣5＝﹣3；故答案为a2+2a，1，6；﹣3；、（2）∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3；（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，∴20205a+20203b+2020c﹣5＝m，即20205a+20203b+2020c＝m+5，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝（﹣2020）5a+（﹣2020）3b+（﹣2020）c﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5＝﹣（20205a+20203b+2020c）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣5﹣5＝﹣m﹣10．故答案为﹣m﹣10．【点评】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．也考查了整体代入的方法．【考点8 代数式求值（程序框图）】【例8】（2019秋•九龙坡区校级期中）根据以下程序，当输入x＝﹣2时，输出结果为（）A．﹣5B．﹣16C．5D．16【分析】首先求出当x＝﹣2时，9﹣x2的值是多少，然后把所得的结果和1比较大小，判断是否输出结果即可．【解答】解：当x＝﹣2时，9﹣x2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1，当x＝5时，9﹣x2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1，∴当输入x＝﹣2时，输出结果为﹣16．故选：B．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．【变式8-1】（2019秋•巴南区期中）根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（）A．4B．2C．1D．﹣1【分析】把x＝﹣1代入程序中计算即可得到结论．【解答】解：当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，故选：D．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】（2019春•沙坪坝区校级期中）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（）A．x＝5，y＝﹣1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝﹣1D．x＝﹣2，y＝3【分析】把x与y的值代入检验即可．【解答】解：A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-3】（2019秋•南岸区期中）如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（）A ．1，2B ．﹣1，0C ．﹣1，2D ．0，﹣1【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果． 【解答】解：A ．当a ＝1，b ＝2时，输出结果为3，不符合题意； B ．当a ＝﹣1，b ＝0时，输出结果为1，不符合题意； C ．当a ＝﹣1，b ＝2时，输出结果为﹣1，符合题意； 根据筛选法C 选项正确． 故选：C ．【点评】本题考查 了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序． 【考点9 单项式的系数与次数】【方法点拨】解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字 母的指数的和叫做这个单项式的次数 【例9】（2019秋•海淀区校级期中）4πx 2y 4z9的系数是 ，次数是 ．【分析】直接利用单项式的系数与次数确定方法得出答案． 【解答】解：4πx 2y 4z9的系数是：4π9，次数是：7．故答案为：4π9，7．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 【变式9-1】（2019秋•淅川县期中）单项式﹣3πxa +1y 2与−102x 2y 39的次数相同，则a 的值为 ．【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a 的一元一次方程，求解即可．【解答】解：因为−102x 2y 39的次数是5，又因为单项式﹣3πx a +1+y 2与−102x 2y 39的次数相同所以a +1+2＝5 解得a ＝2 故答案为：2．【点评】本题考查了单项式次数的定义及一元一次方程的解法．通过单项式的次数相等列出关于a的方程是解决本题的关键．注意单项式的次数不包含数字和π的次数【变式9-2】（2019秋•永吉县期末）若单项式﹣x3y n+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为．【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可．【解答】解：根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，解得：m＝﹣1，n＝1，则m+n＝﹣1+1＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查的是单项式的定义，掌握单项式的系数和次数的概念是概念是解题的关键．【变式9-3】（2019秋•鄂城区期中）已知（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，求m2﹣2m+2＝．【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【解答】解：∵（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，∴3+|m|+1＝7且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，∴m2﹣2m+2＝9+6+2＝17．故答案为：17．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．【考点10 多项式的项与次数】【方法点拨】解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．【例10】（2019秋•北碚区校级期中）关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（）A．三次项系数为3B．常数项是﹣2C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2D．这个多项式是四次四项式【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【解答】解：A、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的项为5x4y，﹣3x2y，4xy，﹣2，错误，故本选项不符合题意；。

第九讲代数式进阶1.常值代换法常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值.2.化简代入法：化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简，然后再代入求值.3.整体代入法：当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入，实现降次、归零、约分，快速求得其值.4.倒数法：倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法.5.主元代换法：所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元），再代入求值的一种方法.6.特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单.1.常值代换法例1 当12,2x y==时，求代数式22112x xy y+++的值。

2.化简代入法：例2 已知3613211⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯÷-=x，求代数式1199719981999+++++xxxxΛ的值。

3.整体代入法：例3 已知114a b-=，则2227a ab ba b ab---+的值等于（）.A．6 B．－6 C．215D ．27-4.倒数法例4若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为（ ）. A ．1 B ．－1 C ．－17 D ．155.主元代换法：例5已知230a b c ++=，350a b c ++=，则2222222322a b c a b c -+--的值______.6.特殊值法例6 若()32301232x a a x a x a x -=+++，则()()220213a a a a +-+的值为_______.一、填空题：1、当x =－2时，代数式2x －1的值是.2、当 x =5,y =4时，代数式x －2y 的值是. 3、明明步行的速度是5千米／小时，当他走了t 时的路程为千米；当他走了2时的路程为千米.二、选择题：4、把21,211==b a 代入()223b a -,正确的结果是（ ） A 、2212-2131⎪⎭⎫ ⎝⎛ B 、22121-213⎪⎭⎫ ⎝⎛ C 、2212-213⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯ D 、2212-2113⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯5、设三角形的底边长为a ，高为h ，面积为S ，若a=2,h=3，则S=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、66、当a=0.25,b=0.5时，代数式21b a-的值是（ ） A 、3.75 B 、4.25 C 、0 D 、－217、当a=3，b=1时，代数式0.5（a －2b ）的值是（ ）A 、1B 、0.5C 、0D 、258、代数式22+x 的值（ ）A 、大于2B 、等于2C 、小于2D 、大于或等于2三、求代数式的值1．当17a =，13b =时，求22a ab b ++的值。

第9讲 设数法解题一、知识要点在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。

二、精讲精练【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。

练习1：1、已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。

2、五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与戊谁高，高几厘米？【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加51，问一张门票降价多少元？练习2：1、某班一次考试，平均分为70分，其中43及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平均分是多少分？2、游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加了20％，小学生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？【例题3】小王在一个小山坡来回运动。

先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。

练习3：1、小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。

2、张师傅骑自行车往返A 、B 两地。

去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多51，女孩平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？练习4：1、某班男生人数是女生的32，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘米。

问：女生平均身高是多少厘米？2、某班男生人数是女生的54，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？【例题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。

高中数学代数式化简技巧与应用在高中数学学习中，代数式化简是一个重要的内容，它不仅能够帮助我们更好地理解代数式的性质，还能够提高我们解题的效率。

本文将介绍一些常见的代数式化简技巧，并通过具体的例题来说明其应用。

一、合并同类项合并同类项是代数式化简的基础，也是其他化简技巧的前提。

合并同类项就是将具有相同字母的项进行合并，例如：化简表达式：3x + 2y + 5x - 4y首先，我们可以将3x和5x合并，得到8x；然后，将2y和-4y合并，得到-2y。

因此，化简后的表达式为：8x - 2y。

这个例子说明了合并同类项的基本原则，即合并时保留字母和它们的系数。

二、分配律的应用分配律是代数式化简中常用的技巧之一，它可以帮助我们将一个因式与一个括号中的多个项相乘。

例如：化简表达式：3(x + 2y) - 2(3x - y)首先，我们可以使用分配律将3与括号中的每一项相乘，得到3x + 6y；然后，将-2与括号中的每一项相乘，得到-6x + 2y。

因此，化简后的表达式为：3x + 6y -6x + 2y。

这个例子说明了分配律的应用，即将一个因式与括号中的每一项相乘，并保留各项之间的正负关系。

三、因式分解与合并分数因式分解与合并分数是代数式化简中的高级技巧，它们能够将复杂的代数式化简为简单的形式。

例如：化简表达式：(x^2 - 4) / (x + 2)首先，我们可以将分子进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)；然后，我们可以将分母进行因式分解，得到(x + 2)。

因此，化简后的表达式为：(x - 2)。

这个例子说明了因式分解与合并分数的应用，即将代数式进行因式分解，并合并相同的因式。

四、应用举一反三在实际解题中，我们可以通过掌握代数式化简的技巧，灵活运用于不同类型的题目。

例如：例题1：化简表达式：(2x - 3y)^2 - (2x + 3y)^2解析：首先，我们可以将表达式进行因式分解，得到[(2x - 3y) + (2x + 3y)][(2x - 3y) - (2x + 3y)]；然后，我们可以利用差的平方公式进行化简，得到(-6y)(-6y)；最后，我们可以将乘法进行计算，得到36y^2。

小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。

通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。

根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。

像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。

练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。

（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。

三年级奥数举一反三第0910周之乘法速算、添运算符号第9讲乘法速算一、知识要点我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。

其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。

计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再扩整”。

两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。

比如两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。

”二、精讲精练【例题1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？（1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。

（1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717练习1：很快算出下面各题的结果。

（1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44（5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11（9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11【例题2】下面的乘法计算有规律吗？（1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25【思路导航】因为25×4=100，因此，一个数与25相乘，我们就看这个数里有几个4，有几个4就有几个100，余1就加25，余2就加50，余3就加75。