2018高中物理第六章万有引力与航天4万有引力定律的拓展应用学案新人教版必修2

第六章第四节万有引力理论的成就[学习目标]1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用．2．会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路． 3．掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路． 任务一：仔细阅读课本，写出下列问题的答案。

一、天体的质量和密度的计算 1．天体质量的计算(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R 和表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G Mm R 2，解得天体质量为M ＝gR2G ，因g 、R 是天体自身的参量，故称“自力更生法”．(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ⇒M ＝4π2r 3GT 2，已知绕行天体的r 和T 可以求M. 2．天体密度的计算若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3，将M ＝4π2r 3GT 2代入上式可得ρ＝3πr3GT 2R 3.特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 可认为等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2.注意：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．要明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意R 、r 的区分．一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．若绕“近地”轨道运行，则有R ＝r.任务二：仔细阅读课本，完成下列问题。

二、天体运动的分析与计算1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系(1)G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r(2)mg ＝GMm R2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR 2＝GM ，该公式通常被称为黄金代换式．3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．(1)由G Mmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小．(2)由G Mmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小．(3)由G Mmr2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r得T＝2πr3GM，r越大，T越大．(4)由G Mmr2＝ma向得a向＝GMr2，r越大，a向越小．以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．任务三：完成下列例题，体会万有引力定律的应用。

6.3 万有引力定律C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D.使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4例7、半径为R,质量为M的均匀球体,在其内部挖去一个半径为R/2的小球,在距离大球圆心为L处有一个质量为为m的小球,求此两个球体之间的万有引力.【解析】：化不规则为规则——先补后割（或先割后补）,等效处理在没有挖去前，大球对m的万有引力为2LMmGF=，该力等效于挖去的直径为R的小球对m的力和剩余不规则部分对m的力这两个力的合力。

则设不规则部分对m的引力为xF，有2233)2()2(3434LMmGRLmRRMGFx=-⋅⋅+ππ【问题】：为什么我们感觉不到旁边同学的引力呢？【解析】：下面我们粗略地来计算一下两个质量为50kg，相距0.5m的人之间的引力F=GMm/R2=6.67×10-7N【答案】:那么太阳与地球之间的万有引力又是多大？【解析】：已知：太阳的质量为M=2.0×1030kg，地球质量为m=5.9×1024kg，日地之间的距离为R=1.5×1011m F=GMm/R2=3.5×1023N五、万有引力与重力：一、理论：万向F mg F =+：在赤道，向心力最大，重力最小；在两极，无向心力，重力最大；纬度越高，重力越大，g 越大。

二、计算中：因为物体自转向心加速度很小，与重力加速度相比可以忽略，即使是在赤道，向心加速度也只有0.034m/s 2，而重力加速度为9.8m/s 2。

22r GMg r GMm mg =⇒=，离地越高，g 越小。

【牢记】：实际计算中忽略地球自转影响，近似认为物体受到的重力就是地球对物体的万有引力。

[课堂练习]板 书6.3 万有引力定律1、万有引力：宇宙间任何有质量的物体之间的相互作用2、万有引力定律：宇宙间的一切物体都是相互吸引的．两个物体间的引力大小，跟他们之间质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．，式中所涉其它各量必须取国际单位制．2r Mm G F =2019-2020学年高考物理模拟试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，以19.6m/的水平初速v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为450的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是A ．1sB ．2sC ．3sD ．3s2．如图所示，理想变压器的原线圈两端接在交流电源上，电压有效值为U 。

第六章万有引力与航天）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成【变式训练1】据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ）A.月球表面的重力加速度B.月球对卫星的吸引力C.卫星绕月运行的速度D.卫星绕月运行的加速度考点2：同步卫星例2．据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。

关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 （ ）A ．运行速度大于7.9 km/sB ．离地面高度一定,相对地面静止C ．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D ．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【分析与解】【变式训练2】同步卫星离地球球心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度大小为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则 （ ）A ．a 1：a 2=R ：rB ．a 1：a 2=R 2：r2 C ．v 1：v 2= R 2：r 2 D ．r :R v :v 21考点3：卫星变轨问题例3．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ）A ．在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道Ⅱ上经过A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能C ．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D ．在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度【分析与解】【变式训练3】“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r ，运行速率为v ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ ）A ．r 、v 都将略为减小B ．r 、v 都将保持不变C ．r 将略为减小，v 将略为增大D ．.r 将略为增大，v 将略为减小第六章 万有引力与航天参考答案第1讲 万有引力定律与天体运动例1．B 。

第四节万有引力定律在天文学上的应用课时：一课时教师：教学目标：一、知识目标1.了解行星绕恒星运动及卫星绕行星运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力.2.了解万有引力定律在天文学上有重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量.二、能力目标通过万有引力定律在实际中的应用，培养学生理论联系实际的能力.三、德育目标利用万有引力定律可以发现未知天体，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点.教学重点:1.人造卫星、月球绕地球的运动；行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的.2.会用已知条件求中心天体的质量.教学难点:根据已有条件求中心天体的质量.教学方法:分析推理法、讲练法.教学过程学习目标:1.利用万有引力等于向心力求出中心天体的质量.2.了解万有引力定律在天文学上的应用.一、导入新课知识回顾:1、天体实际做何运动?而我们通常可认为做什么运动?2、描述匀速圆周运动的物理量有哪些?3、根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法?［教师总结］万有引力常量的测出,使万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用.这节课我们就共同来学习万有引力定律在天文学上的应用.二、新课教学(一)天体质量的计算A.基础知识请同学们阅读课文第一部分——天体质量的计算.同时考虑下列问题.1、万有引力定律在天文学上有何用处?2、应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么? 该思路是否属于动力学的两类基本问题之一？与牛顿运动定律的应用联系起来，就是“已知运动情况”，这里“运动情况”指的是什么？3、应用天体运动的动力学方程求出的天体质量有几种表达式?各是什么?各有什么特点?4、应用此方法能否求出环绕天体的质量?学生阅读课文第一部分,从课文中找出相应的答案.1.当测定出万有引力常量后,我们便可应用万有引力定律计算天体的质量.使以前看似不可能的事变为现实.2.应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是:根据环绕天体的运动情况,求出其向心加速度,然后根据万有引力充当向心力,进而列方程求解.3.从前面的学习知道,天体之间存在着相互作用的万有引力,而行星(或卫星)都在绕恒星(或行星)做近似圆周的运动,而物体做圆周运动时合力充当向心力,故对于天体所做的圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力,这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在.B.深入探究请同学们结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识,加以讨论、综合.然后思考下列问题.1.天体实际做何运动?而我们通常可认为做什么运动?2.描述匀速圆周运动的物理量有哪些?3.根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法?4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式?各是什么?各有什么特点?5.应用此方法能否求出环绕天体的质量?分组讨论,得出答案.1.天体实际运动是沿椭圆轨道运动的,而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道,即认为天体在做匀速圆周运动.2.在研究匀速圆周运动时,为了描述其运动特征,我们引进了线速度v,角速度ω,周期T三个物理量.3.根据环绕天体的运动状况,求解向心加速度有三种求法.即:v2a. a向=rb.a向=ω2·rc. a向=4π2r/T24.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程，即a.F 引=G 2r Mm =F 向=m a 向=m r v 2.即：G r v m r Mm22= ①b.F 引=G 2r Mm = F 向=ma 向=m ω2r即：G 2r Mm=m ω2·r ②c.F 引=G 2r Mm = F 向=ma 向=m 224T rπ 即：G 2r Mm =m 224T rπ③ 从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：a.M=v 2r/G.b.M=ω2r 3/G.c.M=4π2r 3/GT 2.上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v,角速度ω，周期T 时求解中心天体质量的方法. 以上各式中M 表示中心天体质量,m 表示环绕天体质量,r 表示两天体间距离,G 表示万有引力常量.5.从以上各式的推导过程可知,利用此法只能求出中心天体的质量,而不能求环绕天体的质量,因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边,已被约掉.C.教师总结从上面的学习可知,在应用万有引力定律求解天体质量时,只能求解中心天体的质量,而不能求解环绕天体的质量.而在求解中心天体质量的三种表达式中,最常用的是已知周期求质量的方程.因为环绕天体运动的周期比较容易测量.从前面的学习我们知道,当物体静止在地面上时,万有引力同时产生两个作用效果,一是物体的重力,一是物体随地自转的向心力,而随地自转的向心力非常小,故有:F 引mg 而当物体绕地球运转时,不再有随地自转的向心力.此时有：F 引=mg综上所述,我们可知,F 引=mg这也是这一章中,除动力学方程外的又一重要方程.既然万有引力可以充当向心力,且它又等于物体的重力,所以我们便可得到另一个重要的方程:mg=F向综合以上,在这一章中我们所用的方程总共有三个,即:F引= F向F引=mgmg= F向D.基础知识应用1.求解中心天体质量时,列方程的依据是________.2.把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道,平均半径为1.5×108 km,已知引力常量为:G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克?(结果取一位有效数字)参考答案:1.万有引力充当向心力2.2×1030 kg分析：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天.故：T=365×24×3600 s=3.15×107 s由万有引力充当向心力可得：G2rMm=m224Trπ故：M=2324GTr π=27113112)102.3(107.6)105.1(14.34⨯⨯⨯⨯⨯⨯-kg=2×1030 kg(二)发现未知天体A.基础知识请同学们阅读课文第二部分——发现未知天体，考虑以下问题：1.应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上起什么作用？2.应用万有引力定律发现了哪些行星？阅读课文，从课文中找出相应的答案：1.应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体.2.海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的.B.深入探究人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?人们在长期的观察中发现天王星的实际运动轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差,所以怀疑在天王星周围还可能存在有行星,然后应用万有引力定律,结合对天王星的观测资料,便计算出了另一颗行星的轨道,进而在计算的位置观察新的行星.C.教师总结万有引力定律的发现,为天文学的发展起到了积极的作用,用它可以来计算天体的质量,同时还可以来发现未知天体.D.基础知识应用1.太阳系的第八颗行星——海王星是________国的________于________(时间)发现的.2.太阳系的第九颗行星——冥王星是________(时间),应用万有引力定律发现的.参考答案:1.德;加勒;1846年9月23日2.1930年3月14日三、知识反馈1.根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的是( )A.若v与R成正比，则环是连续物B.若v2与R成正比，则环是小卫星群C.若v与R成反比，则环是连续物D.若v2与R成反比，则环是小卫星群2.已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为________.3.某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？4.一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.参考答案:1.AD2.3g/4πGR3.星球表面的重力加速度g=tv tv2 2=人造星体靠近该星球运转时：mg=G2RMm=mRv2'(M:星球质量.m:人造星体质量)所以v′=tvRgR2=4.设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动.G2RMm=m(Tπ2)2R所以M=2324GTRπ又v=34πR3所以ρ=23GTVMπ=四、小结学习本节的解题思路如下：F引=mg.mg=F向五、作业1.阅读本节内容：2.课本P110(1)3.思考题：已知地球的半径为R，质量为M地，月球球心到地球球心的距离r月地=60 R=3.8×108 m，月球绕地球运行周期T=27.3天，地球对物体的重力加速度g0=9.8 m/s2，试证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力.参考答案:月球绕地球做半径为r 月地的匀速圆周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地球对物体的引力是同性质的力，则由牛顿运动定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度a 月为：地球上物体的重力加速度g 为由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知：a 月′=ω2r 月地=(T π2)2·r 月地=(3600243.2714.32⨯⨯⨯)2×3.8×108 m/s 2=2.69644×10-3 m/s 2已知地球表面的重力加速度g 0=9.8 m/s 2由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比，跟由同性质的万有引力对它们提供的向心力所获得的向心加速度之比近似相等.所以，地球对月球的引力跟地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力.六、板书设计高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

万有引力定律的拓展应用一、考点突破 知识点 考纲要求题型 分值万有引力万有引力定律的拓展，并会证明会利用割补法的思想计算空腔中的万有引力问题选择题6分二、重难点提示重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。

难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为 0。

应用万有引力定律Mm FG 求物体间的引力时，因注意其适用条件，只有当两物体R2可视为质点时，才能认为 R 为两物体间的距离。

对于球壳类则不能视为质点，则必须采取其他的解决办法。

这里我们给出结论：一质点在均匀球壳空腔内任意一点受到球壳的万有引力为零。

如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球壳， 设球壳内有一个质量为 m 的质点，某时刻质点在 P 位置（任意位置）处，以质点（m ）所在 位置 P 为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面， 还可以视为质点。

mR2 11F1P mr1F2r2mR222设空腔内质点 m 到两圆锥底面中心的距离分别为r 、r ，两圆锥底面的半径为12底面面密度为。

根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：m m RmR 、R ，122F G G，11122r r111m m R m R R2F G G，根据相似三角形对应边成比例，有1222，222r r r r2212R21F r2111则两个万有引力之比，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力F R222r22F 1F20。

依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即F0例题1 证明：在匀质实心球体内部距离球心r处，质点受到该球体的万有引力就等于Mm，其中M表示同样材质、半径为r的匀质球半径为r的球体对其的引力，即F Gr2体的质量。

M'O RrM思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为M，半径为R；其内部半径为r的匀质球体的质量为M，与球心相距r处的质点m受到的万有引力，可以视为厚度为（R－r）的匀质球层和半径为r的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到Mm。

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4 万有引力理论的成就学习目标1。

了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2.了解“计算天体质量”的基本思路.3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路。

考试要求学考选考c c一、计算天体的质量1.称量地球的质量（1)思路:若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于地球对物体的万有引力.（2）关系式：mg＝G错误!。

（3)结果：M＝gR2G,只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。

2。

太阳质量的计算（1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力充当向心力。

(2)关系式：错误!＝m错误!r。

(3）结论：M＝4π2r3GT2，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。

（4）推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.二、发现未知天体1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

1846年9月23日,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

万有引力定律的拓展应用二、重难点提示重点：会用割补法转换研究对象解决疑难问题。

难点：匀质球层对球内任意位置的物体的引力为0。

如图所示，一个匀质球层可以等效为由许多厚度足够小的匀质球壳组成，任取一个球壳，设球壳内有一个质量为m 的质点，某时刻质点在P 位置（任意位置）处，以质点（m ）所在位置P 为顶点，作两个底面面积足够小的对顶圆锥，这时，两个圆锥底面不仅可以视为平面，设空腔内质点m 到两圆锥底面中心的距离分别为12r r 、，两圆锥底面的半径为12R R 、，底面面密度为ρ。

根据万有引力定律，两圆锥点面对质点的引力可以表示为：21112211m m R mF G Gr r πρ∆∆==， 22222222m m R mF G G r r πρ∆∆==，根据相似三角形对应边成比例，有1212R R r r =， 则两个万有引力之比21211222221R F r R F r ∆==∆，因为两万有引力方向相反，所以引力的合力211m R πρ∆=22120F F ∆+∆=。

依此类推，球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零，整个球壳对质点的合力为零，故由多个球壳组成的球层对质点的合引力为零，即0F =∑例题1 证明：在匀质实心球体内部距离球心r 处，质点受到该球体的万有引力就等于半径为r 的球体对其的引力，即2M mF G r''=，其中M '表示同样材质、半径为r 的匀质球体的质量。

思路分析：如图所示，设匀质球体的质量为M ，半径为R ；其内部半径为r 的匀质球体的质量为M '，与球心相距r 处的质点m 受到的万有引力，可以视为厚度为（R －r ）的匀质球层和半径为r 的匀质球体的引力的合力，根据匀质球层对质点的引力为零，所以质点受到的万有引力就等于半径为r 的匀质球体的引力，即2M mF Gr''=。

若已知匀质球体的总质量为M ，则33M r M R '=，33r M M R'=， 故23M m MmF G G r r R''==当r =0时，有0M '=，0F '=；当r =R 时，有2MmF G R'=。

6.4万有引力理论的成就(1)教学 目标（一）知识与技能1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2、行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量。

3、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

（二）过程与方法1、培养学生归纳总结建立模型的能力与方法。

（三）情感、态度与价值观1、体会万有引力定律在人类认识自然界奥秘中的巨大作用，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点。

重点 难点 重点：万有引力定律和圆周运动知识在天体运动中的应用 难点：用已知条件求中心天体的质量教具准备多媒体课时安排1课时教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情引入：天体之间的作用力主要是万有引力，万有引力常量一经测出，使万有引力定律有了其实际的意义 一、测量天体的质量 1、称量地球质量物体m 在纬度为θ的位置，万有引力指向地心，分解为两个分力：m 随地球自转围绕地轴运动的向心力和重力 。

通常情况下，只有赤道和两极的重力才严格指向地心。

但因为地球自转的并不快，所以向心力是一个很小的值。

在运算要求不是很准确的条件下，我们可以粗略的让万有引力等于重力。

即：向心力远小于重力，万有引力大小近似等于重力。

例：设地面附近的重力加速度g=9.8m/2s ，地球半径R =6.4×106m ，引力常量2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-，试估算地球的质量。

引导学生认识重力和万有引力的关系2019-2020学年高考物理模拟试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．甲、乙两列完全相同的横波分别从波源A 、B 两点沿x 轴相向传播，0t =时的波形图像如图所示，若两列波的波速都是1m/s ，下列说法正确的是（ ）A ．甲乙两列波的频率都是4HzB ．1s t =时，甲乙两波相遇C ．3s t =时，6m x =处质点的位移为负方向最大D ．0s t =时，2m x =处质点与10m x =处质点的振动方向相反2．5G 是“第五代移动通信网络”的简称，目前世界各国正大力发展 5G 网络．5G 网络使用的无线电波通信频率在3.0 GHz 以上的超高频段和极高频段（如图所示），比目前4G 及以下网络（通信频率在0.3GHz ～3.0GHz 间的特高频段）拥有更大的带宽和更快的传输速率．未来5G 网络的传输速率（指单位时间传送的数据量大小）可达10G bps （bps 为bits per second 的英文缩写，即比特率、比特/秒），是4G 网络的50-100倍．关于5G 网络使用的无线电波，下列说法正确的是A ．在真空中的传播速度更快B ．在真空中的波长更长C ．衍射的本领更强D ．频率更高，相同时间传递的信息量更大3．如图所示，OA 是水平放置的弹性薄钢片，左端固定于O 点，右端固定有一个软铁圆柱体，P 为套在钢片上的重物。

2017-2018学年高中物理第6章万有引力与航天第3节万有引力定律学案新人教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中物理第6章万有引力与航天第3节万有引力定律学案新人教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第3节万有引力定律学习目标核心提炼1.了解万有引力定律得出的过程和思路.1种方法--月—地检验1个定律——万有引力定律1个常量——万有引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg22.理解万有引力定律内容、含义及适用条件。

3。

知道任何物体间都存在万有引力，且遵循相同的规律.一、月—地检验阅读教材第39～40页“月—地检验”部分，知道计算结果与预期结果相符合这一检验的过程。

1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力,同样遵从“平方反比”的规律。

2．推理：根据牛顿第二定律,物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的错误!.3．结论：自由落体加速度和月球的向心加速度与我们的预期符合得很好.这表明：地面物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力,与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。

思维拓展月球受到地球的引力作用，但没有被吸到地球表面上，是因为月球受力平衡吗?图1答案不是.是因为地球对月球的引力提供了月球绕地球运动的向心力,使月球做匀速圆周运动。

二、万有引力定律阅读教材第40～41页“万有引力定律”和“引力常量"部分，知道万有引力定律的内容及表达式，了解引力常量的测定。

新人教版必修2高中物理第六章万有引力与航天《万有引力定律》学案导学第六章万有引力与航天第三节万有引力定律【学习目的】知识与技艺在开普勒第三定律的基础上，推导失掉万有引力定律，使先生对此规律有初步了解。

进程与方法经过牛顿发现万有引力定律的思索进程和卡文迪许扭秤的设计方法，浸透迷信发现与迷信实验的方法论教育。

情感态度与价值观引见万有引力恒量的测定方法，添加先生对万有引力定律的理性看法。

【教学重点】万有引力定律的推导进程，既是本节课的重点，又是先生了解的难点，所以要依据先生反映，调理解说速度及方法。

【教学难点】由于普通物体间的万有引力极小，先生对此缺乏理性看法，又无法停止演示实验，故应增强举例。

【教学课时】2课时【探求学习】引入新课前面我们曾经学习了有关圆周运动的知识，我们知道做圆周运动的物体都需求一个向心力，而向心力是一种效果力，是由物体所受实践力的合力或分力来提供的。

另外我们还知道，月球是绕地球做圆周运动的，那么我们想过没有，月球做圆周运动的向心力是由谁来提供的呢？我们再来看一个实验：我把一个粉笔头由运动释放，粉笔头会下落到空中。

实验：粉笔头自在下落。

同窗们想过没有，粉笔头为什么是向下运动，而不是向其他方向运动呢？同窗能够会说，重力的方向是竖直向下的，那么重力又是怎样发生的呢？地球对粉笔头的引力与地球对月球的引力是不是一种力呢？这个效果也是300多年前牛顿苦思冥想的效果，牛顿的结论也是：是。

既然地球对粉笔头的引力与地球对月球有引力是一种力，那么这种力是由什么要素决议的，是只要地球对物体有这种力呢，还是一切物体间都存在这种力呢？这就是我们明天要研讨的万有引力定律。

新课解说1．万有引力定律的推导首先让我们回到牛顿的年代，从他的角度停止一下思索吧。

事先〝日心说〞已在迷信界基本否认了〝地心说〞，假设以为只要地球对物体存在引力，即地球是一个特殊物体，那么势必会退回〝地球是宇宙中心〞的说法，而以为物体间普遍存在着引力，可这种引力在生活中又难以观察到，缘由是什么呢？(先生能够会答出：普通物体间，这种引力很小。

6.4万有引力理论的成就1学习目标〗1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用，会用牛顿第二定律和万有引力定律计算天体（行星和太阳）质量和密度。

2、体会万有引力定律在人类认识自然界奥秘中的巨大作用，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点.〖重点难点〗1、地面物体、月球和行星的运动都遵守牛顿运动定律。

2、会用牛顿运动定律、万有引力定律和已知条件求中心天体的质量和密度。

〖目标导学〗I、知识回顾（1）____________________________ 万有引力公式F= ______________ ，引力的方向。

（2）匀速圆周运动的向心力公式_______ F= _________ = =n、合作探究一、计算行星质量和平均密度问题1、应用牛顿运动定律和万有引力定律如何推导出地球的质量和平均密度的表达式?方法一：方法二：1检测1〗、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（）A. 地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离rB. 月球绕地球运行的周期T和地球的半径rC. 月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD. 月球绕地球运动的周期T和轨道半径r1检测2〗、宇航员在某星球表面，将一小球从离地面h高处以初速v0水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移S,若该星球的半径为R,万有引力恒量为G,求该星球的质量。

二、计算太阳的质量和平均密度问题2、应用牛顿运动定律和万有引力定律如何推导出太阳的质量和平均密度的表达式?〖检测3〗、如果某恒星有一颗卫星，此卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T,则此恒星的平均密度表达式为__________________ 。

（万有引力恒量为G）三、发现未知天体（自读填空）问题3、18世纪，人们发现太阳系的第七个行星一一天王星的运动轨道有些古怪：根据________________ 计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差•据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________________________ 使其轨道产生了偏离.________________ 和__________________________ 确立了万有引力定律的地位.川、总结提升应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：1、不考虑地球（行星）自转的影响，行星地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球（行星）间的 ____________ ，即_______________ = mg 即_______ = g於。

第三节万有引力定律讲堂研究研究一对万有引力定律的理解问题导引如图甲所示，两个挨得距离很近的人之间的万有引力是否是很大呢？如图乙所示，假想将一个小球放到地球的中心，小球遇到的万有引力又是多少呢？提示：两个挨得很近的人，不可以看作质点，不可以依据万有引力定律求他们间的万有引力；物体放到地球的中心，万有引力定律已不合用。

地球的各部分对物体的吸引力是对称的，物体受的万有引力是零。

名师精讲m1m21．对公式F＝ G r2的说明(1)引力常量 G： G＝6.67×10－11N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是 1 kg 的质点相距 1 m 时的吸引力。

(2)距离 r ：公式中的 r 是两个质点间的距离，关于平均球体，就是两球心间的距离。

2．公式的合用条件m1m2严格说F＝ Gr也可用该公2只合用于计算两个质点的互相作用，但关于下述几种状况，式计算。

(1) 两质量散布平均的球体间的互相作用，可用公式计算，此中r是两个球体球心的距离。

(2) 一个质量散布平均球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。

(3) 两个物体间的距离远大于物体自己的大小时，公式也合用，r为两物体中心间的距离。

3．万有引力的特征特色内容万有引力定律是广泛存在于宇宙中任何有质量的物体( 大到天体小到微观粒广泛性子 ) 间的互相吸引力，它是自然界的物体间的基真互相作用之一互相性两个物体互相作用的引力是一对作使劲与反作使劲，切合牛顿第三定律往常状况下，万有引力特别小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它宏观性的存在才有宏观的物理意义。

在微观世界中，粒子的质量都特别小，粒子间的万有引力很不明显，万有引力能够忽视不计特别性两个物体间的万有引力，只与它们自己的质量、它们之间的距离相关，和所在的空间的性质没关，和四周有无其余物体的存在没关特别提示(1) 任何物体间的万有引力都是同种性质的力；(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般状况下，质量较小的物体之间万有引力忽视不计，只考虑天体间或天体对邻近或表面的物体的万有引力。

6.4万有引力理论的成就(2)高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单项选择题1．如图所示，质量均为1kg的小球a、b在轻弹簧A、B及外力F的作用下处于平衡状态，其中A、B两个弹簧劲度系数均为，B弹簧上端与天花板固定连接，轴线与竖直方向的夹角为，A弹簧竖直，g取则以下说法正确的是A．A弹簧伸长量为3cmB．外力C．B弹簧的伸长量为4cmD．突然撤去外力F瞬间，b球加速度为02．在刚结束的韩国平昌冬奥会上，我国选手贾宗洋在自由式滑雪空中技巧比赛中获得银牌．假设他在比赛过程中的运动轨迹如图所示，其中a为运动起点，b为ac间的最低点，c为腾空跃起的最高点，d是腾空后的落地点，最后停在e点．空气阻力可以忽略，雪地与滑雪板之间的摩擦力不可忽略．贾宗洋整个运动过程中，下列说法正确的是（）A．从a点向b点运动过程中，重力势能全部转化为动能B．在a点和c点速度都为零，因此重力势能相等C．从c点下落到d点过程中，减少的重力势能全部转化为动能D．在a点和e点都处于静止状态，因此机械能相等3．关于电容器，下列说法正确的是（）A．在充电过程中电流恒定B．在放电过程中电容减小C．能储存电荷，但不能储存电能D．两个彼此绝缘又靠近的导体可视为电容器4．如图所示为小朋友喜欢的磁性黑板，下面有一个托盘，让黑板撑开一个安全角度（黑板平面与水平面的夹角为θ），不易倾倒，小朋友不但可以在上面用专用画笔涂鸦，磁性黑板擦也可以直接吸在上面。

图中就有小朋友把一块质量m为黑板擦吸在上面保持静止，黑板与黑板擦之间的动摩擦因数μ，则下列说法正确的是（）A．黑板擦对黑板的压力大小为mgcosθB．黑板斜面对黑板的摩擦力大小为μmgcosθC．黑板对黑板擦的摩擦力大于mgsinθD．黑板对黑板擦的作用力大小为mg5．如图所示，放在水平转台上的小物体C、叠放在水平转台上的小物体A、B能始终随转台一起以角速度ω匀速转动。

第六章第四节万有引力理论的成就[学习目标]1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用．2．会用万有引力定律计算天体质量，了解“称量地球质量”“计算太阳质量”的基本思路． 3．掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路． 任务一：仔细阅读课本，写出下列问题的答案。

一、天体的质量和密度的计算 1．天体质量的计算(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R 和表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G Mm R 2，解得天体质量为M ＝gR2G ，因g 、R 是天体自身的参量，故称“自力更生法”．(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ⇒M ＝4π2r 3GT 2，已知绕行天体的r 和T 可以求M. 2．天体密度的计算若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3，将M ＝4π2r 3GT 2代入上式可得ρ＝3πr3GT 2R 3.特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 可认为等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2.注意：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．要明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意R 、r 的区分．一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．若绕“近地”轨道运行，则有R ＝r.任务二：仔细阅读课本，完成下列问题。

二、天体运动的分析与计算1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． 2．常用关系(1)G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r(2)mg ＝GMm R2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR 2＝GM ，该公式通常被称为黄金代换式．3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．(1)由G Mmr2＝mv2r得v＝GMr，r越大，v越小．(2)由G Mmr2＝mω2r得ω＝GMr3，r越大，ω越小．(3)由G Mmr2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r得T＝2πr3GM，r越大，T越大．(4)由G Mmr2＝ma向得a向＝GMr2，r越大，a向越小．以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．任务三：完成下列例题，体会万有引力定律的应用。

第四节 万有引力理论的成就[学习目标] 1.了解重力等于万有引力的条件． 2.会用万有引力定律求中心天体的质量． 3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用．[学生用书P 46]一、“科学真是迷人”(阅读教材P 41～P 42)1．依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G Mm R2.2．结论：M ＝gR 2G，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．拓展延伸►———————————————————(解疑难)1．利用M ＝gR 2G“称量”地球质量的方法可以推广到其他天体(如月球)质量的确定．其中R 应是该天体的半径，g 应是该天体表面的重力加速度．2．GM ＝gR 2是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”．1.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，重力加速度g 取9.8 m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则可知地球质量的数量级是( )A ．1018 kgB ．1020kgC ．1022 kgD ．1024kg提示：选D.依据万有引力定律有：F ＝G mM R2①而在地球表面，物体所受重力约等于地球对物体的吸引力：F ＝mg ②联立①②解得g ＝G M R 2.所以M ＝gR 2G ＝9.8×6.4×106×6.4×1066.67×10－11kg ＝6.02×1024kg ， 即地球质量的数量级是1024kg.故正确答案为D. 二、计算天体的质量(阅读教材P 42) 1．太阳质量的计算(1)依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝4π2mrT2.(2)结论：M ＝4π2r3GT2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量．2．行星质量的计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M ，公式是M ＝4π2r3GT2.拓展延伸►———————————————————(解疑难)1．在求天体质量时，只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量．因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．2．由太阳质量M ＝4π2r 3GT 2和开普勒第三定律r 3T 2＝k 得：k ＝GM4π2，可见k 只与太阳质量有关，而与行星无关．3．应掌握地球的公转周期、地球的自转周期、月球绕地球运行的周期等，在估算天体质量时，可作为已知条件．2.已知引力常量G，利用下列数据，可以计算出地球质量的是( )A．已知地球的半径R和地面的重力加速度gB．已知地球绕太阳做匀速圆周运动的半径r和周期TC．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度vD．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T提示：选ACD.设相对地面静止的某一物体的质量为m，则G Mm R2＝mg，得M＝gR2G，所以选项A正确．设地球质量为m，由万有引力提供向心力，GMmr2＝m4π2rT2，得M＝4π2r3GT2，M为中心天体太阳的质量，无法求出地球的质量，所以选项B错误．设卫星的质量为m，则由万有引力提供向心力，GMmr2＝mv2r，得M＝v2rG，所以选项C正确．设卫星的质量为m，则由万有引力提供向心力，GMmr2＝m4π2rT2，又T＝2πrv，消去r，得M＝v3T2πG，所以选项D正确．三、发现未知天体(阅读教材P42～P43)1．“笔尖下发现的行星”是指海王星．2．海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位．3.(1)天王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的．( )(2)海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的．( )(3)哈雷彗星的“按时回归”证明了万有引力定律的正确性．( )(4)牛顿被称作第一个称出地球质量的人．( )提示：(1)×(2)√(3)√(4)×天体质量和密度的计算[学生用书P46]1．计算天体的质量以地球质量的计算为例，介绍两种计算天体质量的方法：(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力．即mg＝GM地·mR2，解得地球质量为M地＝gR2G.(2)万有引力提供卫星绕地球做圆周运动的向心力．GMmr2＝⎩⎪⎨⎪⎧m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r⇒M4π2r3GT2，已知r和T可以求M；mv2r⇒M＝rv2G，已知r和v可以求M；mω2r⇒M＝r3ω2G，已知r和ω可以求M.2．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3将M ＝gR 2G 代入上式得：ρ＝3g 4πGR将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得：ρ＝3πr 3GT 2R3当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT2.特别提醒：(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意区分R 、r .R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R ＝r .——————————(自选例题，启迪思维)设“嫦娥二号”卫星距月球表面的高度为h ，做匀速圆周运动的周期为T .已知月球半径为R ，引力常量为G .求：(1)月球的质量M ；(2)月球表面的重力加速度g ； (3)月球的密度ρ.[解析] (1)万有引力提供“嫦娥二号”做圆周运动的向心力，则有G Mm R ＋h 2＝m 4π2T2(R ＋h )，得M ＝4π2R ＋h 3GT2. (2)在月球表面，万有引力等于重力，则有G Mm 1R 2＝m 1g ，得g ＝4π2R ＋h3R 2T 2.(3)由ρ＝M V ，V ＝43πR 3，得ρ＝3πR ＋h3GT 2R 3.[答案] (1)4π2R ＋h 3GT 2 (2)4π2R ＋h 3R 2T 2 (3)3πR ＋h3GT 2R 3天文学家发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为( )A ．1.8×103 kg/m 3B ．5.6×103 kg/m 3C ．1.1×104 kg/m 3D ．2.9×104 kg/m 3[思路点拨] (1)根据系外行星与地球的体积、质量关系可求出两者密度之比． (2)根据近地卫星(r ＝R 地)可求地球密度． [解析] 由万有引力提供向心力得： GM 地R 2地＝4π2T 2地·R 地①地球体积：V 地＝43πR 3地②密度公式：ρ地＝M 地V 地③ 解①②③得：ρ地＝3πGT 2又ρ行∶ρ地＝M 行·V 地M 地·V 行所以ρ行＝M 行·V 地M 地·V 行ρ地代入数据计算得ρ行＝2.9×104 kg/m 3，故D 正确．[答案] D已知万有引力常量G ，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )A ．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H 和时间tB ．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期TC ．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D 和月球绕地球运行的周期TD ．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H 和卫星的周期T[解析] 根据选项A 的条件，可求出月球上的重力加速度g ，由g ＝GMR2可以求出月球质量和月球半径的二次方比，M R 2＝g G ，无法求出密度，选项A 不正确；根据选项B 的条件，由GMm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可求出月球质量和月球半径的三次方比，M R 3＝4π2GT 2，而月球密度为ρ＝M 43πR3＝3M 4πR 3＝3πGT2，选项B 正确；根据选项C 的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，选项C 不正确；根据选项D 的条件，由GMm R ＋H 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(R ＋H )，可求出M R ＋H 3＝4π2GT 2，虽然知道H 的大小，但仍然无法求出月球质量和密度．[答案] B[名师点评] 求天体的密度，关键在于求天体的质量，而求天体质量时主要利用万有引力定律处理天体运动的两条思路，同时要注意对题目隐含条件的挖掘，如绕星体表面运行时有r ＝R 星以及地球的公转周期、自转周期、月球的周期等．应用万有引力定律解决天体运动问题[学生用书P 47]1．解决天体运动问题的两条思路 (1)万有引力提供向心力G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝mω2r ＝mωv ＝m 4π2T2r .(2)黄金代换在天体表面上，天体对物体的万有引力近似等于物体的重力，即GMmR 2＝mg ，从而得出GM ＝R 2g .2．常用的几个关系式设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r ＝ma n ，可推导出：⎭⎪⎬⎪⎫v ＝GMr ω＝ GMr 3T ＝2π r 3GM a n ＝G M r 2 ⇒当r 增大时{ v 减小ω减小T 增大a n 减小即：对于r 、v 、ω、T 、a n 五个量“一定四定”，“一变四变”．特别提醒：应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s 2等．——————————(自选例题，启迪思维)(2015·高考北京卷)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )A ．地球公转的周期大于火星公转的周期B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度[解析] 选根据G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝m v 2r ＝ma n ＝mω2r 得，公转周期T ＝2π r 3GM，故地球公转的周期较小，选项A 错误；公转线速度v ＝GMr，故地球公转的线速度较大，选项B 错误；公转加速度a n ＝GM r 2，故地球公转的加速度较大，选项C 错误；公转角速度ω＝ GMr 3，故地球公转的角速度较大，选项D 正确．[答案] D(2013·高考广东卷)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙大D ．甲的线速度比乙大[思路点拨] 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．[解析] 根据G Mm r2＝ma 得a ＝GM r 2，故甲卫星的向心加速度小，选项A 正确；根据G Mm r2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，得T ＝2πr 3GM ，故甲的运行周期大，选项B 错误；根据G Mm r 2＝mω2r ，得ω＝GM r 3，故甲运行的角速度小，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mv 2r ，得v ＝ GMr，故甲运行的线速度小，选项D 错误．[答案] A(2015·南京高一检测)据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是行星的连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度的大小和该层至行星中心的距离R ，以下判断中正确的是( )A ．若v 与R 成正比，则环是连续物B ．若v 与R 成反比，则环是连续物C ．若v 2与R 成反比，则环是卫星群D ．若v 2与R 成正比，则环是卫星群[思路点拨] (1)若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，则v ∝R .(2)若环是行星的卫星群，则由G Mm R 2＝m v 2R 可得v 2＝G M R ，则v 2∝1R.[解析] 若环是行星的连续物，则其角速度与行星自转的角速度相同，故v 与R 成正比，A 对，B 错．若环是行星的卫星群，则由G Mm R 2＝m v 2R 可得v 2＝G M R，即v 2与R 成反比，C 对，D错．[答案] AC[学生用书P 48]物理模型——宇宙中的双星系统1.双星模型如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”．2．双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点． (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供． (3)两星的运动周期、角速度都相同．(4)两星的运动半径之和等于它们之间的距离，即r 1＋r 2＝L . [范例] 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起．设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距为L .求：(1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比； (3)双星的角速度．[解析] 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两星间距离L 不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同．如图所示，两者轨迹圆的圆心为O ，圆半径分别为R 1和R 2.由万有引力提供向心力，有：G m 1m 2L2＝m 1ω2R 1①Gm 1m 2L2＝m 2ω2R 2② (1)由①②两式相除，得：R 1R 2＝m 2m 1.(2)因为v ＝ωR ，所以v 1v 2＝R 1R 2＝m 2m 1.(3)由几何关系知R 1＋R 2＝L ③联立①②③式解得ω＝G m 1＋m 2L 3. [答案] (1)m 2∶m 1 (2)m 2∶m 1 (3) G m 1＋m 2L 3[名师点评] (1)解决双星问题的关键是明确其运动特点，两星做匀速圆周运动的向心力由彼此间的引力提供，可由牛顿运动定律分别对两星列方程求解．(2)万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同)．银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G .由此可求出S 2的质量为( )A.4π2r 2r －r 1GT 2B.4π2r 31GT2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2解析：选D.设S 1、S 2两星体的质量分别为m 1、m 2，根据万有引力定律和牛顿定律，对S 1有G m 1m 2r2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1，解之可得m 2＝4π2r 2r 1GT2，则D 正确，A 、B 、C 错误．[学生用书P 49][随堂达标]1．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，只需要( ) A ．测定飞船的运行周期 B ．测定飞船的环绕半径 C ．测定行星的体积 D ．测定飞船的运行速度解析：选A.取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT2，A 对，故选A.2．(2015·舟山高一检测)天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运动周期，若知道比例系数G ，由此可推算出( )A ．行星的质量B ．行星的半径C ．恒星的质量D ．恒星的半径解析：选C.恒星对行星的引力为行星绕恒星运动提供向心力，即G Mm r 2＝mr 4π2T2，故M ＝4π2r3GT 2，恒星的质量M 可求出，选项C 正确，其他的几个物理量无法根据行星的轨道半径和运动周期求出，A 、B 、D 错误．3．(2015·高考江苏卷)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110 B ．1 C ．5 D ．10解析：选B.行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，则M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．4.(2015·郑州四中质检)如图所示，假设“火星探测器”贴近火星表面做匀速圆周运动，测得其周期为T .若“火星探测器”在火星上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m 的仪器重力为P .已知引力常量为G ，由以上数据可以求得( )A ．火星的自转周期B ．火星探测器的质量C ．火星的密度D ．火星表面的重力加速度解析：选CD.由G Mm R 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，V ＝43πR 3，ρ＝MV 可得火星的密度，选项C 正确；由用测力计测得质量为m 的仪器重力为P 可以求得火星表面的重力加速度g ＝Pm，选项D 正确．5．(选做题)甲、乙两恒星相距为L ，质量之比m 甲m 乙＝23，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知( )A ．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动B.甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3C ．甲、乙两恒星的线速度之比为3∶2D ．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2解析：选AD. 根据题目描述的这两颗恒星的特点可知，它们符合双星的运动规律，即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动，选项A 正确．它们的角速度相等，选项B 错误．由m 甲a 甲＝m 乙a 乙，所以a 甲a 乙＝m 乙m 甲＝32，选项D 正确．由m 甲ω甲v 甲＝m 乙ω乙v 乙，所以v 甲v 乙＝m 乙m 甲＝32，选项C 错误．[课时作业]一、选择题1．科学家们推测，太阳系可能存在的一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可能推知( )A ．这颗行星的公转周期与地球相等B ．这颗行星的自转周期与地球相等C ．这颗行星质量等于地球的质量D ．这颗行星的密度等于地球的密度解析：选A.由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面．2．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )A.14倍 B ．4倍 C ．16倍 D ．64倍解析：选 D.由G Mm R 2＝mg ，得M ＝gR 2G ，ρ＝M V ＝gR 2G43πR3＝3g 4πGR ，所以R ＝3g 4πGρ，则R R 地＝gg 地＝4，根据M ＝gR 2G ＝4g 地·4R 地2G＝64g 地R 2地G＝64M 地，所以D 项正确．3．地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，则可用下列哪一式来估算地球的密度( )A.3g 4πRGB.3g 4πR 2GC.g RG D.g R 2G解析：选A.对于地面上的物体，有mg ＝GMm R 2，又知M ＝43πR 3ρ，整理得ρ＝3g 4πRG. 4．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－g g 0B.3πGT 2g 0g 0－gC.3πGT 2D.3πGT 2g 0g解析：选 B.物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，地球质量M ＝43πR 3·ρ，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2g 0－g.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．5．据报道，美国发射的“凤凰号”火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 为某个常量)( )A ．ρ＝kTB ．ρ＝k TC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝k T2解析：选D.根据万有引力定律得G Mm R 2＝mR 4π2T 2，可得火星的质量M ＝4π2R3GT 2，又火星的体积V ＝43πR 3，故火星的平均密度ρ＝M V ＝3πGT 2＝kT2，选项D 正确．6．(2013·高考福建卷)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视为r 的圆．已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r 3T 2B ．GM ＝4π2r2T2C ．GM ＝4π2r2T3D ．GM ＝4πr3T2解析：选A.由G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，可得描述该行星运动的上述物理量满足GM ＝4π2r 3T 2，选项A 正确．7．通常我们把太阳系中行星自转一周的时间称为“1天”，绕太阳公转一周的时间称为“1年”．与地球相比较，金星“1天”的时间约是地球“1天”时间的243倍．由此可知( )A ．金星的半径约是地球半径的243倍B ．金星的质量约是地球质量的243倍C ．地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍D ．地球表面的重力加速度约是金星表面重力加速度的243倍解析：选C.金星自转一周的时间为“243天”，由ω＝2πT，则地球的自转角速度约是金星自转角速度的243倍，选项C 正确；星球的半径、质量、表面重力加速度等无法计算，选项A 、B 、D 错误．8．(多选)欧洲天文学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星，命名为“葛利斯581c”，该行星的质量约是地球的5倍，直径约是地球的1.5倍．现假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．“葛利斯581c”的平均密度比地球平均密度小B ．“葛利斯581c”表面处的重力加速度小于9.8 m/s 2C ．飞船在“葛利斯581c”表面附近运行时的速度大于7.9 km/sD ．飞船在“葛利斯581c”表面附近运行时的周期要比绕地球表面运行的周期小解析：选CD.由M ＝ρ×43πR 3知“葛利斯581c”的平均密度比地球平均密度大，A 错；由G Mm R2＝mg 知“葛利斯581c”表面处的重力加速度大于9.8 m/s 2，B 错；由v 1＝GM R 知飞船在“葛利斯581c”表面附近运行时的速度大于7.9 km/s ，C 对；由T ＝2πR 3GM知飞船在“葛利斯581c”表面附近运行时的周期要比绕地球表面运行的周期小，D 对．9．(多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v .引力常量为G ，则( )A ．恒星的质量为v 3T2πGB ．行星的质量为4π2v3GT 2C ．行星运动的轨道半径为vT2πD ．行星运动的加速度为2πvT解析：选ACD.对行星：GMm r 2＝mr 4π2T 2，T ＝2πrv，解得：M ＝v 3T 2πG ，r ＝vT 2π，a ＝v 2r ＝2πv T，选项A 、C 、D 正确． ☆10.冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的( )A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍解析：选A.做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即F 万＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，故A 正确；双星运动的角速度相同，故B 错误；由v ＝ωr 可知冥王星的线速度为卡戎的17，故C 错误；两星间的向心力为两者间的万有引力且等值反向，故D 错误．二、非选择题11．土星和地球均可近似看做球体，土星的半径约为地球半径的9.5倍，土星的质量约为地球质量的95倍，已知地球表面的重力加速度g 0＝10 m/s 2，地球密度约为ρ0＝5.5×103kg/m 3，试计算：(1)土星的密度；(2)土星表面的重力加速度．解析：(1)星体的密度ρ＝M V ＝M43πR 3 ρρ0＝M ·R 30M 0·R 3＝959.53＝0.11， 故土星的密度约为ρ＝0.11ρ0＝0.61×103 kg/m 3.(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力， mg ＝G Mm R 2，g ＝GM R 2， 则g g 0＝M ·R 20M 0·R 2＝959.52＝1.05 所以土星表面的重力加速度g ＝1.05g 0＝10.5 m/s 2.答案：(1)0.61×103 kg/m 3 (2)10.5 m/s 212．(2015·西安高一检测)借助于物理学，人们可以了解到无法用仪器直接测定的物理量，使人类对自然界的认识更完善．现已知太阳光经过时间t 到达地球，光在真空中的传播速度为c ，地球绕太阳的轨道可以近似认为是圆，地球的半径为R ，地球赤道表面的重力加速度为g ，地球绕太阳运转的周期为T .试由以上数据及你所知道的物理知识推算太阳的质量M 与地球的质量m 之比M m为多大(地球到太阳的间距远大于它们的大小)． 解析：设地球绕太阳公转轨道半径为r ，由万有引力定律得：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ① 在地球表面：G mm ′R 2＝m ′g ② r ＝ct ③由①②③可得：M m ＝4π2c 3t 3gT 2R 2. 答案：4π2c 3t 3gT 2R 2。

3 万有引力定律[学习目标] 1.了解万有引力定律得出的过程和思路.2.理解万有引力定律内容、含义及适用条件.3.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题.一、月—地检验1.猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律.2.推理：根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度的1602.3.结论：地球上物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(“相同”或“不同”)的规律. 二、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比.2.表达式：F ＝G m 1m 2r2，G 为引力常量：由卡文迪许测得G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2. [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(√) (2)引力常量是牛顿首先测出的.(×)(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比.(×)(4)根据万有引力表达式可知，质量一定的两个物体若距离无限靠近，它们间的万有引力趋于无限大.(×)2.两个质量都是1 kg 的物体(可看成质点)，相距1 m 时，两物体间的万有引力F ＝________ N ，一个物体的重力F ′＝________ N ，万有引力F 与重力F ′的比值为________.(已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，重力加速度g ＝10 m/s 2).答案 6.67×10－1110 6.67×10－12一、月—地检验[导学探究] (1)已知地球半径R 地＝6 400 km ，月球绕地球做圆周运动的半径r ＝60R 地，运行周期T ＝27.3天＝2.36×106s ，求月球绕地球做圆周运动的向心加速度a 月； (2)地球表面物体自由下落的加速度g 一般取多大？，a 月与g 的比值是多大？(3)根据万有引力公式及牛顿第二定律推算，月球做匀速圆周运动的向心加速度是地面附近自由落体加速度g 的多少倍？比较(2)、(3)结论说明什么？ 答案 (1)根据向心加速度公式，有：a 月＝r ω2＝r4π2T 2即a 月＝4×3.142()2.36×1062×3.84×108 m/s 2≈2.72×10－3 m/s 2(2)g ＝9.8 m/s 2，a 月g ＝2.72×10－3 m/s 29.8 m/s 2≈13 600. (3)根据万有引力定律F ＝Gm 1m 2r 2，F ∝1r2，所以月球轨道处的向心加速度约是地面附近自由落体加速度的1602.说明地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力.[知识深化] 月—地检验的推理与验证1.月—地检验的目的：检验维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是否为同一种性质的力，是否都遵从“平方反比”的规律.2.推理：月心到地心的距离约为地球半径的60倍，如果月球绕地球运动的力与地面上使物体下落的力是同一性质的力，则月球绕地球做圆周运动的向心加速度应该大约是它在地面附近下落时加速度的1602.3.验证：根据已知的月地距离r ，月球绕地球运动的周期T ，由a 月＝4π2T2r ，计算出的月球绕地球的向心加速度a 月，近似等于g602，则证明了地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力.例1 “月－地检验”的结果说明( )A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力C.地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即G ＝mgD.月球所受地球的引力只与月球质量有关 答案 A解析 地面上的物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一种性质的力. 二、万有引力定律[导学探究] 如图1所示，天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的.图1(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？为什么通常两个物体间感受不到万有引力，而太阳对行星的引力可以使行星围绕太阳运转？(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？答案 (1)任意两个物体间都存在着万有引力.但由于地球上物体的质量一般很小(相比较天体质量)，地球上两个物体间的万有引力是远小于地面对物体的摩擦力，通常感受不到，但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用. (2)相等.它们是一对相互作用力. [知识深化]1.万有引力定律表达式F ＝Gm 1m 2r2，式中G 为引力常量.G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由英国物理学家卡文迪许在实验室中比较准确地测出.测定G 值的意义：(1)证明了万有引力定律的存在；(2)使万有引力定律有了真正的实用价值. 2.万有引力定律的适用条件(1)在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝Gm 1m 2r 2计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离.②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离.③一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r 指质点到球心的距离.(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F ＝G m 1m 2r2得出r →0时F →∞的结论而违背公式的物理含义.因为，此时由于r →0，物体已不再能看成质点，万有引力公式已不再适用.(3)当物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力. 例2 (多选)下列说法正确的是( ) A.万有引力定律F ＝Gm 1m 2r 2适用于两质点间的作用力计算B.据F ＝Gm 1m 2r 2，当r →0时，物体m 1、m 2间引力F 趋于无穷大 C.把质量为m 的小球放在质量为M 、半径为R 的大球球心处，则大球与小球间万有引力F ＝G Mm R2 D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F ＝G m 1m 2r 2计算，r 是两球体球心间的距离 答案 AD解析 万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力.故A 、D 项正确；当r →0时，两物体不能视为质点，万有引力定律不再适用，B 项错误；大球M 球心周围物体对小球m 的引力合力为零，故C 项错误.万有引力的特点：(1)万有引力的普遍性.万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引力.(2)万有引力的相互性.两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用于两个物体上.(3)万有引力的宏观性.在通常情况下，万有引力非常小，只是在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义.例3 如图2所示，两球间的距离为r ，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m 1、m 2，半径大小分别为r 1、r 2，则两球间的万有引力大小为( )图2A.Gm 1m 2r 2B.Gm 1m 2r 12 C.G m 1m 2(r 1＋r 2)2D.G m 1m 2(r 1＋r 2＋r )2 答案 D解析 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为G m 1m 2(r 1＋r 2＋r )2，故选D.三、“挖补”法分析质点和球壳之间的引力例4 有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m的质点.现从M 中挖去半径为12R 的球体，如图3所示，则剩余部分对m 的万有引力F 为()图3A.7GMm36R2 B.7GMm 8R 2 C.GMm 18R2 D.7GMm32R2 答案 A解析 质量为M 的球体对质点m 的万有引力F 1＝GMm (2R )2＝G Mm 4R2 挖去的球体的质量M ′＝43π(R 2)343πR 3M ＝M8质量为M ′的球体对质点m 的万有引力F 2＝GM ′m (R ＋R 2)2＝G Mm18R 2 则剩余部分对质点m 的万有引力F ＝F 1－F 2＝GMm 4R 2－G Mm 18R 2＝7GMm 36R2.故选项A 正确.1.万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2的适用条件是质点或质量均匀的球体，只有把挖去的小球补上才成为质量均匀的球体.2.注意本题的基本思想—挖—补—挖.求剩余部分对质点的作用力即是大球(补全)对m 的作用力减去小球对m 的作用力.1.(对万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A.不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力B.只有能看做质点的两物体间的引力才能用F ＝Gm 1m 2r 2计算 C.由F ＝Gm 1m 2r 2知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大 D.万有引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且约等于6.67×10－11N·m 2/kg 2答案 CD解析 任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A 错；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F ＝Gm 1m 2r 2来计算，B 错；物体间的万有引力与它们间距离r 的二次方成反比，故r 减小，它们间的引力增大，C 对；引力常量G 是由卡文迪许精确测出的，D 对. 2.(万有引力公式的简单应用)两个密度均匀的球体，两球心相距r ，它们之间的万有引力为10－8N ，若它们的质量、球心间的距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为( ) A.10－8N B.0.25×10－8N C.4×10－8 N D.10－4N答案 A解析 原来的万有引力为：F ＝G Mmr2 后来变为：F ′＝G 2M ·2m (2r )2＝G Mm r 2即：F ′＝F ＝10－8N ，故选项A 正确.3.(万有引力定律的简单应用)两个完全相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F .若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( ) A.2F B.4F C.8F D.16F 答案 D解析 两个小铁球之间的万有引力为F ＝G mm (2r )2＝G m 24r 2.实心小铁球的质量为m ＝ρV ＝ρ·43πr 3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m ′与小铁球的质量m 之比为m ′m ＝r ′3r3＝81.故两个大铁球间的万有引力为F ′＝G m ′m ′r ′2＝16F .故选D. 4.(万有引力定律的简单应用)设地球表面重力加速度为g 0，物体在距离地心4R (R 是地球的半径)处，由于地球的引力作用而产生的加速度为g ，则g g 0为( ) A.1B.19C.14D.116答案 D解析 地球表面处的重力加速度和离地心高4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：地面上：G mM R2＝mg 0① 离地心4R 处：GmM(4R )2＝mg ② 由①②两式得g g 0＝(R 4R )2＝116，故D 正确.课时作业一、选择题(1～10为单项选择题，11～12为多项选择题) 1.第一次通过实验较准确测出万有引力常量G 的科学家是( ) A.卡文迪许 B.开普勒 C.第谷 D.牛顿答案 A2.某实心匀质球半径为R ，质量为M ，在球外离球面h 高处有一质量为m 的质点，则其受到实心匀质球的万有引力大小为( ) A.G MmR 2 B.G Mm(R ＋h )2 C.G Mm h2 D.GMmR 2＋h 2答案 B解析 万有引力定律中r 表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r ＝R ＋h .3.两辆质量均为1×105kg 的装甲车相距1 m 时，它们之间的万有引力相当于( ) A.一个人的重力量级 B.一个鸡蛋的重力量级 C.一个西瓜的重力量级 D.一头牛的重力量级 答案 B 解析 由F ＝Gm 1m 2r 2得F ＝0.667 N ，相当于一个鸡蛋的重力量级. 4.依据牛顿的理论，两物体之间万有引力的大小，与它们之间的距离r 满足( )A.F 与r 成正比B.F 与r 2成正比 C.F 与r 成反比 D.F 与r 2成反比答案 D解析 万有引力定律的表达式为F ＝Gm 1m 2r2，所以F 与r 2成反比，选项D 正确，A 、B 、C 错误. 5.2015年7月14日，“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星，如图1所示.在此过程中，冥王星对探测器的引力( )图1A.先变大后变小，方向沿两者的连线指向冥王星B.先变大后变小，方向沿两者的连线指向探测器C.先变小后变大，方向沿两者的连线指向冥王星D.先变小后变大，方向沿两者的连线指向探测器 答案 A解析 根据万有引力定律F ＝G mM r2，万有引力与物体之间的距离的二次方成反比，故在探测器飞掠冥王星的过程中，随着它与冥王星间的距离r 先减小后增大，那么冥王星对探测器的引力先变大后变小，而引力的方向沿两者的连线指向冥王星，选项A 正确，B 、C 、D 错误. 6.某物体在地面上受到地球对它的万有引力为F .若此物体受到的引力减小到F4，则此物体距离地面的高度应为(R 为地球半径)( ) A.2R B.4R C.R D.8R答案 C解析 根据万有引力定律F ＝G Mm R2， 有14F ＝G Mm (R ＋h )2，则解得h ＝R ，选项C 正确. 7.要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不正确的是( )A.使两物体的质量各减小一半，距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变C.使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变D.两物体的质量和距离都减小到原来的14答案 D解析 万有引力定律的表达式为F ＝G Mmr2，根据该公式可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的14，A 正确；使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变，则万有引力变为原来的14，B 正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的14，C 正确；两物体的质量和距离都减小到原来的14，则万有引力大小不变，D 错误.8.某未知星体的质量是地球质量的14，直径是地球直径的14，则一个质量为m 的人在未知星体表面受到的引力F 星和地球表面所受引力F 地的比值F 星F 地为( ) A.16 B.4 C.116 D.14答案 B解析 根据万有引力定律F ＝G Mm R 2∝M R2故F 星F 地＝M 星M 地·R 地 2R 星 2＝14×(41)2＝4.B 项正确. 9.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( ) A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1答案 C解析 设月球质量为m ，则地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距月球为r ′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则Gmm 0r ′2＝G 81mm 0(r －r ′)2，所以r －r ′r ′＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，故选项C 正确.10.如图2所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F .如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r ＝R2，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为( )图2A.F 2B.F 8C.7F 8D.F 4答案 C解析 利用填补法来分析此题.原来物体间的万有引力为F ，挖去半径为R2的球体的质量为原来球体的质量的18，其他条件不变，故剩余部分对质点P 的万有引力为F －F 8＝78F .11.下列关于万有引力的说法，正确的有( )A.物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力B.万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的C.地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力D.F ＝Gm 1m 2r 2中，G 是一个比例常数，没有单位 答案 BC解析 物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，选项A 错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，选项B 正确；地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，选项C 正确；国际单位制中质量m 、距离r 、力F 的单位分别是kg 、m 、N ，根据牛顿的万有引力定律F ＝G m 1m 2r 2，得到G 的单位是N·m 2/kg 2，选项D 错误. 12.关于引力常量G ，下列说法中正确的是( ) A.G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值B.引力常量G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C.引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力D.引力常量G 是不变的，其数值大小由卡文迪许测出，与单位制的选择无关 答案 AC解析 牛顿提出了万有引力之后的100年中由于G 值没有测出，而只能进行定性分析，而G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，选项A 正确；引力常量是一个常数，其大小精品资料 值得拥有11 与质量以及两物体间的距离无关，选项B 错误；根据万有引力定律可知，引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力，选项C 正确；引力常量是定值，其数值大小由卡文迪许测出，但其大小与单位制的选择有关，选项D 错误.二、非选择题13.火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的19.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg ，则在火星上其质量为多少？重力为多少？(设地面上重力加速度g ＝9.8 m/s 2，星球对物体的引力等于物体的重力).答案 100 kg 436 N解析 质量是物体本身的属性，在不同的星球上物体质量不变，还是100 kg.由G 重＝G Mm R 2得，在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比G 重火G 重地＝M 火M 地·R 地 2R 火 2＝19×221＝49 所以物体在火星上的重力G 重火＝49×100×9.8 N≈436 N. 14.一个质量均匀分布的球体，半径为2r ，在其内部挖去一个半径为r 的球形空穴，其表面与球面相切，如图3所示.已知挖去小球的质量为m ，在球心和空穴中心连线上，距球心d ＝6r 处有一质量为m 2的质点，求：图3(1)被挖去的小球对m 2的万有引力为多大？(2)剩余部分对m 2的万有引力为多大？答案 (1)G mm 225r 2 (2)G 41mm 2225r 2 解析 (1)被挖去的小球对m 2的万有引力为F 2＝G mm 2(5r )2＝G mm 225r 2 (2)将挖去的小球填入空穴中，由V ＝43πr 3可知，大球的质量为8m ，大球对m 2的引力为 F 1＝G 8m ·m 2(6r )2＝G 2mm 29r 2 m 2所受剩余部分的引力为F ＝F 1－F 2＝G41mm 2225r 2.。