2017-2018学年高中物理第六章万有引力与航天习题课2变轨问题双星问题教学案新人教版必修2

高一物理 期中考复习三（万有引力与航天）第一类问题：涉及重力加速度“g ”的问题解题思路：天体表面重力（或“轨道重力”）等于万有引力，即2RMmGmg = 【题型一】两星球表面重力加速度的比较1、一个行星的质量是地球质量的8倍，半径是地球半径的4倍，这颗行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的多少倍？【题型二】轨道重力加速度的计算2、地球半径为R ，地球表面重力加速度为0g ，则离地高度为h 处的重力加速度是（ ）A ．202)(h R g h +B ．22)(h R g R + C ．20)(h R Rg + D ．20)(h R hg +【题型三】求天体的质量或密度3、已知下面的数据，可以求出地球质量M 的是（引力常数G 是已知的）（ ）A ．月球绕地球运行的周期T 1及月球到地球中心的距离R 1B ．地球“同步卫星”离地面的高度C ．地球绕太阳运行的周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2D ．人造地球卫星在地面附近的运行速度v 和运行周期T 34、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，已知其周期为T ，引力常量为G ，那么该行星的平均密度为（ ）A.π32GTB.24GT πC.π42GT D.23GT π第二类问题：圆周运动类的问题解题思路：万有引力提供向心力，即r m rv mr T m ma r Mm G n 222224ωπ==== 【题型四】求天体的质量或密度5、继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。

这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。

破解神秘的万有引力定律1. （南京模拟）宇宙空间中任何两个有质量的物体之间都存在引力，在实际生活中，为什么相距较近的两个人没有吸在一起？其原因是（ ）A. 他们两人除万有引力外，还有一个排斥力B. 万有引力太小，只在这一个力的作用下，还不能把他们相吸到一起C. 由于万有引力很小，地面对他们的作用力总能与之平衡D. 人与人之间没有万有引力2. （济南模拟）第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折，牛顿在他们研究的基础上，得出了科学史上最伟大的定律之一—万有引力定律。

下列有关万有引力定律的说法中正确的是（ ）A. 开普勒通过研究观测记录发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆B. 太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星C. 库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G 的数值D. 牛顿在发现万有引力定律的过程中，应用了牛顿第三定律的知识3. 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了引力常量G ，G 在国际单位制中的单位是（ ）A. N•m 2/kg2B. N•m/kg2C. N•m 2/kg D. N•m/kg4. 为了验证地面上的物体受到的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做过著名的“月－地”检验，基本想法是：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，那么它们都与距离的二次方成反比关系。

由于月心到地心的距离是地球半径的60倍，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度应该是地面重力加速度的（ ）A.36001 B. 3600倍 C. 601D. 60倍5. 要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不可采用的是（ ）A. 使两物体的质量各减少一半，距离不变B. 使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变 C. 使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变 D. 使两物体间的距离和质量都减为原来的146. 一颗运行中的人造地球卫星，到地心的距离为r 时，所受万有引力为F ；到地心的距离为2r 时，所受万有引力为（ ） A .FB .3FC .41F D .31F 7. 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1480，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的（ ）A. 轨道半径之比约为360480 B. 轨道半径之比约为3260480 C. 向心加速度之比为3260480⨯ D. 向心加速度之比为3460480⨯8.（1）关于万有引力恒量G 的较为准确的测量实验，最早是由英国物理学家 _________ 所做扭秤实验得到的。

专题课人造卫星问题1．(多选)人造卫星绕地球做匀速圆周运动，离地心越远的卫星( )A．线速度越大B．角速度越小C．周期越大D．向心加速度越小2．2008年9月27日16时30分左右，“神舟七号”航天员翟志刚出舱活动，中国人实现了首次太空行走．事前采访翟志刚时，他说最担心的便是永远成为太空人．假设翟志刚出舱后和飞船脱离，则翟志刚将( )A．做自由落体运动B．做平抛运动C．远离地球飞向太空D．继续和飞船一起沿原轨道运转3．(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道( )A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对于地球表面是静止的D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对于地球表面是运动的4．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )A．地球公转周期大于火星的公转周期B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C．地球公转的向心加速度小于火星公转的向心加速度D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度5．(多选)目前我国已发射北斗导航地球同步卫星十六颗，大大提高了导航服务质量．下列说法正确的是( )A．这些卫星环绕地球运行时可以不在同一轨道上B．这些卫星的角速度相同C．这些卫星的速度大小相等D．这些卫星的向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等6．(多选)关于地球同步卫星，下列说法中正确的是( )A．如果需要，卫星可以定点在南京的正上方B．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度C．各卫星的角速度大小不相同D．各卫星的轨道半径大小都相等7．2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则v1v2等于( )A.R31 R32B.R2 R1C.R22 R21D.R2 R18．(多选)2012年6月16日18时37分，执行我国首次载人交会对接任务的“神舟九号”载人飞船发射升空，在距地面343公里的近圆轨道上，与等待已久的“天宫一号”实现多次交会对接、分离，于6月29日10时许成功返回地面，下列关于“神舟九号”与“天宫一号”的说法正确的是( )A．若知道“天宫一号”的绕行周期，再利用引力常量，就可算出地球的质量B．在对接前，“神舟九号”轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接C．在对接前，应让“神舟九号”和“天宫一号”在同一轨道上绕地球做圆周运动，然后让“神舟九号”加速追上“天宫一号”并与之对接D．“神舟九号”返回地面时应在绕行轨道上先减速9．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0，但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图LZ2－1所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为( )图LZ2－1A．R＝R03t2（t0－T0）2B．R＝R0t0t0－TC．R＝R03t（t0－T0）2D．R＝R03t2t0－T010．假设地球自转速度达到使赤道上的物体能“飘”起来(完全失重)．试估算一下，此时地球上的一天等于多少小时？(地球半径取6.4×106m ，g 取10m/s 2)11．已知地球半径为R ，引力常量为G ，地球同步通信卫星周期为T ，它离地面的高度约为地球半径的6倍．(1)求地球的质量．(2)若地球的质量是某行星质量的16倍，地球的半径是该行星半径的2倍．该行星的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，求该行星的自转周期．1．BCD [解析]离地心远，说明绕地球做匀速圆周运动的半径大，则由公式GMm R 2＝ma ＝m v 2R ＝mω2R ＝m 4π2T 2R 可得，R 越大，则向心加速度a 越小，速度v 越小，角速度ω越小，周期T 越大，选项B 、C 、D 正确．2．D [解析]翟志刚出舱后和飞船脱离，则翟志刚和飞船一样都是靠地球的引力继续做圆周运动，根据v ＝GM r 可知他将和飞船一起沿原轨道运转，选项D 正确． 3．CD [解析]发射人造地球卫星，必须使卫星受到的地球对它的万有引力提供向心力，若其圆轨道与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆，则卫星受的万有引力与轨道半径有一非零的夹角，A 项错误；由于地球自转，与卫星轨道面重合的经线不断变化，B 项错误；C 项是可以的，D 项也是可以的，只是卫星不是地球同步卫星．4．D [解析]地球和火星绕太阳做匀速圆周运动，它们各自所受的万有引力充当向心力．由G Mm r 2＝m 4π2T2r 可得T ＝2πr 3GM ，又r 地<r 火，则T 地<T 火．选项A 不正确．由G Mm r 2＝m v 2r 可得v ＝GM r ，又r 地<r 火，则v 地>v 火．选项B 不正确．由G Mm r 2＝ma 可得a ＝GM r2，又r 地<r 火，则a 地>a 火．选项C 不正确．由G Mm r 2＝mω2r 可得ω＝GMr3，又r 地<r 火，则ω地>ω火．选项D 正确． 5．BC [解析]地球同步卫星与地球自转的周期相同，由T ＝2πω＝2πr 3GM ＝2πr v ，可知地球同步卫星运动角速度相同，轨道半径相同，线速度大小相等，一定在相同轨道上，选项A 错误，B 、C 正确；由a ＝rω2＝4π2r T 2知，地球同步卫星与静止在赤道上物体的周期相同，但运行半径不同，向心加速度不同，选项D 错误．6．BD7．B [解析]“天宫一号”变轨前后都是地球的卫星，都由地球对它的万有引力充当向心力．由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GM R ，所以，v 1v 2＝R 2R 1，故B 正确． 8．BD [解析]由GMm （R ＋h ）2＝m 4π2T2(R ＋h)可知，要计算出地球的质量，除G 、h 、T 已知外，还必须知道地球的半径R ，故A 项错误；在对接前，“神舟九号”的轨道应稍低于“天宫一号”的轨道，“神舟九号”加速后做离心运动，才能到达较高轨道与“天宫一号”实现对接，故B 项正确，C 项错误；“神舟九号”返回地面时，应在圆形轨道上先减速，才能做近心运动，D 项正确．9．A [解析]A 行星发生最大偏离时，A 、B 行星与恒星在同一直线上，且位于恒星同一侧，设行星B 的运行周期为T 、轨道半径为R ，则有：2πT 0t 0－2πT t 0＝2π，所以T ＝t 0T 0t 0－T 0，由开普勒第三定律得R 30T 20＝R 3T 2，解得R ＝R 03t 20（t 0－T 0）2，A 项正确． 10．1.4h[解析]物体刚要“飘”起来时，还与地球相对静止，其周期等于地球自转周期，此时物体只受重力作用，物体“飘”起来时，轨道半径为R 地，据万有引力定律有mg ＝GMm R 2地＝m 4π2T2R 地 得T ＝4π2R 地g＝4π2×6.4×10610s ＝5024s ＝1.4h. 11．(1)1372π2R 3GT 2 (2)12T [解析] (1)设地球的质量为M ，地球同步通信卫星的质量为m ，地球同步通信卫星的轨道半径为r ，则r ＝7R ，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G Mm r 2＝m 4π2T 2r 解得M ＝1372π2R 3GT2. (2)设该行星质量为M′，半径为R′，该行星同步卫星质量为m′，自转周期为T′，轨道半径为r′，则r′＝3.5R′，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G M′m′r′2＝m′4π2T ′2r ′ 解得T′2＝4π2r ′3GM ′＝4π2（3.5R′）3GM ′ 又因地球同步通信卫星周期T 2＝4π2（7R ）3GM 联立解得T′＝12T.。

5宇宙航行[学习目标]1.知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度.2.认识同步卫星的特点.3.了解人造卫星的相关知识和我国卫星发射的情况以及人类对太空的探索历程.一、宇宙速度1.牛顿的设想：如图1所示，把物体水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星.图12.三个宇宙速度二、梦想成真1.1957年10月4日苏联成功发射了第一颗人造地球卫星.2.1961年4月12日，苏联空军少校加加林进入“东方一号”载人飞船，铸就了人类进入太空的丰碑.3.1969年7月，美国“阿波罗11号”飞船登上月球.4.2003年10月15日，我国“神舟五号”宇宙飞船发射成功，把中国第一位航天员杨利伟送入太空.[即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)第一宇宙速度是发射卫星的最小速度.(√) (2)人造地球卫星的最小绕行速度是7.9 km/s.(×)(3)要发射一颗人造地球卫星，发射速度必须大于16.7 km/s.(×)2.已知月球半径为R ，月球质量为M ，引力常量为G ，则月球的第一宇宙速度v ＝________. 答案GMR一、第一宇宙速度的理解与计算[导学探究] (1)不同天体的第一宇宙速度是否相同？第一宇宙速度的决定因素是什么？ (2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？ 答案 (1)不同.由GMmR 2＝m v 2R 得，第一宇宙速度v ＝GMR，可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M 和半径R ，与卫星无关.(2)越大.向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力. [知识深化]1.第一宇宙速度：第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动的绕行速度.2.推导：对于近地人造卫星，轨道半径r 近似等于地球半径R ＝6 400 km ，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g ＝9.8 m/s 2，则3.推广由第一宇宙速度的两种表达式看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，可以说任何一颗行星都有自己的第一宇宙速度，都应以v ＝GMR或v ＝gR 表示，式中G 为引力常量，M 为中心天体的质量，g 为中心天体表面的重力加速度，R 为中心天体的半径. 4.理解(1)“最小发射速度”与“最大绕行速度”①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力.所以近地轨道的发射速度(第一宇宙速度)是发射人造卫星的最小速度. ②“最大绕行速度”：由G Mmr 2＝m v 2r 可得v ＝GMr，轨道半径越小，线速度越大，所以近地卫星的线速度(第一宇宙速度)是最大绕行速度. (2)发射速度与发射轨道①当7.9 km /s ≤v 发<11.2 km/s 时，卫星绕地球运动，且发射速度越大，卫星的轨道半径越大，绕行速度越小.②当11.2 km /s ≤v 发<16.7 km/s 时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系一颗“小行星”. ③当v 发≥16.7 km/s 时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去.例1 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s ，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为( ) A.0.4 km /s B.1.8 km/s C.11 km /s D.36 km/s答案 B解析 星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度. 卫星所需的向心力由万有引力提供， G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr， 又由M 月M 地＝181、r 月r 地＝14，故月球和地球上第一宇宙速度之比v 月v 地＝29，故v 月＝7.9×29 km /s ≈1.8 km/s ，因此B 项正确.例2 某人在一星球上以速率v 竖直上抛一物体，经时间t 后，物体以速率v 落回手中.已知该星球的半径为R ，求该星球的第一宇宙速度. 答案2v Rt解析 根据匀变速直线运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g ＝2vt ，该星球的第一宇宙速度即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力，则mg ＝m v 1 2R ，该星球的第一宇宙速度为v 1＝gR ＝2v Rt. 二、人造地球卫星 [导学探究]1. 如图2所示，圆a 、b 、c 的圆心均在地球的自转轴线上.b 、c 的圆心与地心重合，d 为椭圆轨道，且地心为椭圆的一个焦点.四条轨道中哪些可以作为卫星轨道？为什么？图2答案b、c、d轨道都可以.因为卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，而万有引力是始终指向地心的，故卫星做匀速圆周运动的向心力必须指向地心，因此b、c轨道都可以，a轨道不可以.卫星也可在椭圆轨道运行，故d轨道也可以.2.地球同步卫星的轨道在哪个面上？周期是多大？同步卫星的高度和轨道面可以任意选择吗？答案同步卫星是相对地面静止的卫星，必须和地球自转同步，也就是说必须在赤道面上，周期是24 h.由于周期一定，故同步卫星离地面的高度也是一定的，即同步卫星不可以任意选择高度和轨道面.[知识深化]1.人造地球卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力.因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极上空的极地轨道.当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道.如图3所示.图32.地球同步卫星(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星.(2)特点：①确定的转动方向：和地球自转方向一致；②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h；③确定的角速度：等于地球自转的角速度；④确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合；⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)；⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s).例3关于地球的同步卫星，下列说法正确的是()A.同步卫星的轨道和北京所在纬度圈共面B.同步卫星的轨道必须和地球赤道共面C.所有同步卫星距离地面的高度不一定相同D.所有同步卫星的质量一定相同 答案 B解析 同步卫星所受向心力指向地心，与地球自转同步，故卫星所在轨道与赤道共面，故A 项错误，B 项正确；同步卫星距地面高度一定，但卫星的质量不一定相同，故C 、D 项错误.解决本题的关键是掌握同步卫星的特点：同步卫星定轨道(在赤道上方)、定周期(与地球的自转周期相同)、定速率、定高度.针对训练 (多选)我国“中星11号”商业通信卫星是一颗同步卫星，它定点于东经98.2度的赤道上空，关于这颗卫星的说法正确的是( ) A.运行速度大于7.9 km/sB.离地面高度一定，相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 答案 BC解析 “中星11号”是地球同步卫星，距地面有一定的高度，运行速度要小于7.9 km/s ，A 错.其位置在赤道上空，高度一定，且相对地面静止，B 正确.其运行周期为24小时，小于月球的绕行周期27天，由ω＝2πT 知，其运行角速度比月球的大，C 正确.同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，但半径不同，由a n ＝rω2知，同步卫星的向心加速度大，D 错.1.(对宇宙速度的理解)(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )A.第一宇宙速度v 1＝7.9 km /s ，第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v 1，小于v 2B.美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D.第一宇宙速度7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 答案 CD 解析 根据v ＝GMr可知，卫星的轨道半径r 越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v 1＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D 正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A 错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B 错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C 正确.2.(对同步卫星的认识)下列关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( )A.若其质量加倍，则轨道半径也要加倍B.它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播C.它以第一宇宙速度运行D.它运行的角速度与地球自转角速度相同 答案 D解析 由G Mm r 2＝m v 2r 得r ＝GMv 2，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错；所谓“同步”就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 对.3.(第一宇宙速度的计算)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( ) A.16 km /s B.32 km/s C.4 km /s D.2 km/s答案 A4.(第一宇宙速度的计算)某星球的半径为R ，在其表面上方高度为aR 的位置，以初速度v 0水平抛出一个金属小球，水平射程为bR ，a 、b 均为数值极小的常数，则这个星球的第一宇宙速度为( ) A.2ab v 0 B.b a v 0 C.ab v 0D.a 2b v 0 答案 A解析 设该星球表面的重力加速度为g ，小球落地时间为t ，抛出的金属小球做平抛运动，根据平抛运动规律得aR ＝12gt 2，bR ＝v 0t ，联立以上两式解得g ＝2a v 0 2b 2R ，第一宇宙速度即为该星球表面卫星线速度，根据星球表面卫星重力充当向心力得mg ＝m v 2R ，所以第一宇宙速度v ＝gR ＝2a v 02b 2R R ＝2a b v 0，故选项A 正确.课时作业一、选择题(1～6为单项选择题，7～10为多项选择题)1.由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( ) A. 质量可以不同 B. 轨道半径可以不同 C. 轨道平面可以不同 D. 速率可以不同答案 A解析 万有引力提供卫星做圆周运动的向心力GMm r 2＝m (2πT )2r ＝m v 2r ，解得周期T ＝2πr 3GM，环绕速度v ＝GMr，可见周期相同的情况下轨道半径必然相同，B 错误.轨道半径相同必然环绕速度相同，D 错误.同步卫星相对于地面静止在赤道上空，所有的同步卫星轨道运行在赤道上空同一个圆轨道上，C 错误.同步卫星的质量可以不同，A 正确.2.地球上相距很远的两位观察者，都发现自己的正上方有一颗人造卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是( ) A.一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等B.一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍C.两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等D.两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 答案 C解析 观察者看到的都是同步卫星，卫星在赤道上空，到地心的距离相等.3.2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课.在飞船进入离地面343 km 的圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( ) A.等于7.9 km/sB.介于7.9 km /s 和11.2 km/s 之间C.小于7.9 km/sD.介于7.9 km /s 和16.7 km/s 之间 答案 C解析 卫星在圆形轨道上运行的速度v ＝GMr.由于轨道半径r ＞地球半径R ，所以v ＜ GMR＝7.9 km/s ，C 正确. 4.如图1所示为北斗导航系统的部分卫星，每颗卫星的运动可视为匀速圆周运动.下列说法错误的是( )图1A.在轨道运行的两颗卫星a 、b 的周期相等B.在轨道运行的两颗卫星a 、c 的线速度大小v a <v cC.在轨道运行的两颗卫星b 、c 的角速度大小ωb <ωcD.在轨道运行的两颗卫星a 、b 的向心加速度大小a a <a b 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，得T ＝2πr 3GM，因为a 、b 的轨道半径相等，故a 、b 的周期相等，选项A 正确；因v ＝GMr，c 的轨道半径小于a 的轨道半径，故线速度大小v a <v c ，选项B 正确；因ω＝GMr 3，c 的轨道半径小于b 的轨道半径，故角速度大小ωb <ωc ，选项C 正确.因a ＝GMr 2，a 的轨道半径等于b 的轨道半径，故向心加速度大小a a ＝a b ，选项D 错误.5.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v 2与其第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )A.grB. 16gr C. 13gr D.13gr 答案 C解析 16mg ＝m v 12r得v 1＝16gr .再根据v 2＝2v 1得v 2＝ 13gr ，故C 选项正确. 6.假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来半径的2倍，那么地球的第一宇宙速度的大小应为原来的( ) A. 2 B.22 C.12D.2 答案 B解析 因第一宇宙速度即为地球的近地卫星的线速度，此时卫星的轨道半径近似的认为等于地球的半径，且地球对卫星的万有引力提供向心力.由G Mm R 2＝m v2R 得v ＝GMR，因此，当M 不变，R 增大为2R 时，v 减小为原来的22，选项B 正确. 7.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的最大运行速度C.它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度D.它是人造地球卫星绕地球飞行的最大环绕速度 答案 BCD解析 第一宇宙速度是从地球表面发射人造地球卫星的最小发射速度，是人造地球卫星绕地球飞行的最大环绕速度，也是近地圆形轨道上人造地球卫星的最大运行速度，选项B 、C 、D 正确，A 错误.8.一颗人造地球卫星以初速度v 发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增大为2v ，则该卫星可能( ) A.绕地球做匀速圆周运动 B.绕地球运动，轨道变为椭圆 C.不绕地球运动，成为太阳的人造行星D.挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙 答案 CD解析 以初速度v 发射后能成为人造地球卫星，可知发射速度v 一定大于第一宇宙速度7.9 km /s ；当以2v 速度发射时，发射速度一定大于15.8 km/s ，已超过了第二宇宙速度11.2 km /s ，也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s ，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的宇宙，故选项C 、D 正确.9.我国在轨运行的气象卫星有两类，如图2所示，一类是极地轨道卫星——“风云1号”，绕地球做匀速圆周运动的周期为12 h ，另一类是地球同步轨道卫星——“风云2号”，运行周期为24 h.下列说法正确的是( )图2A.“风云1号”的线速度大于“风云2号”的线速度B.“风云1号”的向心加速度大于“风云2号”的向心加速度C.“风云1号”的发射速度大于“风云2号”的发射速度D.“风云1号”“风云2号”相对地面均静止 答案 AB解析 由r 3T 2＝k 知，风云2号的轨道半径大于风云1号的轨道半径.由G Mmr 2＝m v 2r ＝ma n 得v＝GM r ，a n ＝GMr2，r 越大，v 越小，a n 越小，所以A 、B 正确.把卫星发射的越远，所需发射速度越大，C 错误.只有同步卫星相对地面静止，所以D 错误.10.中俄曾联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星.由于火箭故障未能成功，若发射成功，且已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( ) A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C.发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D.火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的23答案 CD解析 火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，选项A 、B 错误，C 正确；由GMmr 2＝m v 2r得，v ＝GMr.已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12，可得火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比v 火v 地＝M 火M 地·R 地R 火＝ 19×21＝23，选项D 正确. 二、非选择题11.据报道：某国发射了一颗质量为100 kg 、周期为1 h 的人造环月卫星，一位同学记不住引力常量G 的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的14，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的16，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案.(地球半径约为6.4×103 km ，g 地取9.8 m/s 2) 答案 见解析解析 对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得GMm r 2＝m 4π2T 2r ，解得T ＝2πr 3GM则r ＝R 月时，T 有最小值，又GMR 月2＝g 月故T min ＝2πR 月g 月＝2π 14R 地16g 地＝2π 3R 地2g 地代入数据解得T min ≈1.73 h环月卫星最小周期为1.73 h ，故该报道是则假新闻.12.我国正在逐步建立同步卫星与“伽利略计划”等中低轨道卫星构成的卫星通信系统.(1)若已知地球的平均半径为R 0，自转周期为T 0，地表的重力加速度为g ，试求同步卫星的轨道半径R .(2)有一颗与上述同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步卫星轨道半径R 的四分之一，试求该卫星至少每隔多长时间才在同一地点的正上方出现一次.(计算结果只能用题中已知物理量的字母表示)答案 (1) 3gR 0 2T 0 24π2 (2)T 07解析 (1)设地球的质量为M ，同步卫星的质量为m ，运动周期为T ，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故G Mm R 2＝mR (2πT)2① 同步卫星的周期为T ＝T 0②而在地球表面，重力提供向心力， 有m ′g ＝G Mm ′R 02③ 由①②③式解得R ＝ 3gR 0 2T 0 24π2. (2)由①式可知T 2∝R 3，设低轨道卫星运行的周期为T ′，则T ′2T 2＝(R 4)3R 3，因而T ′＝T 08，设卫星至少每隔t 时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt ，得2πT ′t －2πT 0t ＝2π，解得t ＝T 07，即卫星至少每隔T 07时间才在同一地点的正上方出现一次.。

高中物理双星问题和卫星变轨考点归纳考点1：双星问题一、要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

二、要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

三、要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：M 1：　22121111121M M v G M M r L r ω==M 2：　22122222222M M v G M M r Lr ω==在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

四、“双星”问题的分析思路质量m 1，m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1 ，r 2 ；周期T 1，T 2 ；角速度ω1，ω2 线速度V 1 V 2；周期相同：（参考同轴转动问题） T 1=T 2角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2向心力相同：Fn 1=Fn 2（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r 1：r 2=m 2：m 1m 1ω2r 1=m 2ω2r 2m 1r 1=m 2r 2r 1:r 2=m 2:m 122线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）V 1:V 2=m 2:m 1 V 1=ωr 1 V 2=ωr 2V 1:V 2=r 1:r 2=m 2:m 1两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

课时作业(七) 行星的运动一、单项选择题1．下列说法中正确的是( )A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮和其他行星都绕地球运动B．太阳是静止不动的，地球和其他行星绕太阳运动C．地球是绕太阳运动的一颗行星D．日心说和地心说都正确反映了天体运动规律解析：宇宙中任何天体都是运动的，地心说和日心说都有局限性，只有C正确．答案：C2．提出行星运动规律的天文学家为( )A．第谷B．哥白尼C．牛顿D．开普勒解析：开普勒整理了第谷的观测资料，在哥白尼学说的基础上提出了三大定律，提出了行星的运动规律．答案：D3．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个核心，行星在A点的速度比在B点的大，则太阳是位于( )A．F2B．AC．F1D．B解析：依照开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等时刻内扫过相等的面积．因为行星在A点的速度比在B点大，因此太阳位于F2.答案：A二、多项选择题4．如图所示，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴为a，运行周期为T B；C为绕地球沿圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为T C.下列说法或关系式中正确的是( )A．地球位于B卫星轨道的一个核心上，位于C卫星轨道的圆心上B．卫星B和卫星C运动的速度大小均不变＝r3T3C，该比值的大小仅与地球有关答案：AC8．两颗小行星都绕太阳做圆周运动，其周期别离是T 、3T ，则( )A ．它们轨道半径之比为1:3B ．它们轨道半径之比为1:39C ．它们运动的速度之比为33:1D ．以上选项都不对解析：由题知周期比T 1:T 2＝1:3，依照R 31T 21＝R 32T 22有R 1R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 223＝139.又因为v ＝2πR T ，因此v 1v 2＝R 1T 2R 2T 1＝33. 答案：BC三、非选择题9．如图所示，飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动的周期为T ，地球半径为R 0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A 处将速度降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为核心的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B 点相切，求飞船由A 点到B 点所需要的时刻．解析：当飞船做半径为R 的圆周运动时，由开普勒第三定律：R 3T2＝k 当飞船返回地面时，从A 处降速后沿椭圆轨道至B.设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，椭圆的半长轴为a ，则a 3T′2＝k ，可解得：T′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a R 3·T 由于a ＝R ＋R 02，由A 到B 的时刻t ＝T′2因此t ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋R 023R 3·T＝R ＋R 0T 4R R ＋R 02R 答案：R ＋R 0T 4R R ＋R 02R。

习题课2 变轨问题 双星问题[学习目标] 1.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.2.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.3.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法.一、“赤道上物体”“同步卫星”和“近地卫星”的比较例1 如图1所示，A 为地面上的待发射卫星，B 为近地圆轨道卫星，C 为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为v A 、v B 、v C ，角速度大小分别为ωA 、ωB 、ωC ，周期分别为T A 、T B 、T C ，向心加速度分别为a A 、a B 、a C ，则( )图1A.ωA ＝ωC <ωBB.T A ＝T C <T BC.v A ＝v C <v BD.a A ＝a C >a B答案 A解析 同步卫星与地球自转同步，故T A ＝T C ，ωA ＝ωC ，由v ＝ωr 及a ＝ω2r 得v C >v A ，a C >a A同步卫星和近地卫星，根据GMm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，知v B >v C ，ωB >ωC ，T B <T C ，a B >a C .故可知v B >v C >v A ，ωB >ωC ＝ωA ，T B <T C ＝T A ，a B >a C >a A .选项A 正确，B 、C 、D 错误.同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较1.同步卫星和近地卫星相同点：都是万有引力提供向心力即都满足GMm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝ma n .由上式比较各运动量的大小关系，即r 越大，v 、ω、a n 越小，T 越大. 2.同步卫星和赤道上物体 相同点：周期和角速度相同 不同点：向心力来源不同对于同步卫星，有GMm r2＝ma n ＝m ω2r 对于赤道上物体，有GMm r2＝mg ＋m ω2r ， 因此要通过v ＝ωr ，a n ＝ω2r 比较两者的线速度和向心加速度的大小.针对训练1 (多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A.都是万有引力等于向心力B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等C.赤道上的物体和近地卫星的线速度、周期不同D.同步卫星的周期大于近地卫星的周期 答案 CD解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A 项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B 项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T2r 得v ＝GMr，T ＝2πr 3GM，由于r 同>r 近，故v 同<v 近，T 同>T 近，D 项正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T 赤＝T 同>T 近，根据v ＝ωr 可知v 赤<v 同，则线速度关系为v 赤<v 同<v 近，故C 项正确.二、人造卫星的变轨问题 1.卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据. 2.飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图2甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.图2(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.例2 如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D.卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝ GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误， 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确；在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速. 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误. 在同一点P ，由GMmr 2＝ma n 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度，D 项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小. (3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝Fm ＝G M r2判断.针对训练2 (多选)如图4所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P 点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点)，到达远地点Q 时再次变轨，进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1，在椭圆形转移轨道的近地点P 点的速率为v 2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3，在同步轨道上的速率为v 4，三个轨道上运动的周期分别为T 1、T 2、T 3, 则下列说法正确的是( )图4A.在P 点变轨时需要加速，Q 点变轨时要减速B.在P 点变轨时需要减速，Q 点变轨时要加速C.T 1＜T 2＜T 3D.v 2＞v 1＞v 4＞v 3 答案 CD解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点P 时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G Mm r 1 2＜m v 22r 1，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G Mm r 1 2＝m v 12r 1，所以v 2＞v 1；同理，由于卫星在转移轨道上Q 点做离心运动，可知v 3＜v 4，故选项A 、B 错误；又由人造卫星的线速度v ＝GMr可知v 1＞v 4，由以上所述可知选项D 正确；由于轨道半径r 1＜r 2＜r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k (k 为常量)得T 1＜T 2＜T 3，故选项C 正确.三、双星问题例3 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图5所示.已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图5答案 r 1＝Lm 2m 1＋m 2 r 2＝Lm 1m 1＋m 2 T ＝4π2L3G (m 1＋m 2)解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ， 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2. 由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得1.双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点. (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. (3)两星的运动周期、角速度相同.(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .2.双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2. 针对训练 3 如图6所示，两个星球A 、B 组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.已知A 、B 星球质量分别为m A 、m B ，万有引力常量为G ，求L 3T2(其中L 为两星中心距离，T 为两星的运动周期).图6答案G (m A ＋m B )4π2解析 设A 、B 两个星球做圆周运动的半径分别为r A 、r B .则r A ＋r B ＝L ，对星球A ：G m A m B L 2＝m A r A 4π2T 2，对星球B ：G m A m BL2＝m B r B 4π2T 2，联立以上三式求得L 3T 2＝G (m A ＋m B )4π2.1.(“同步卫星”与“赤道物体”及近地卫星的比较)(多选)如图7所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是( )图7A.a 1a 2＝r RB.a 1a 2＝(R r)2答案 AD解析 地球同步卫星：轨道半径为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1； 地球赤道上的物体：轨道半径为R ，随地球自转的向心加速度为a 2； 以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为R . 对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m v 2r ，故 v 1v 2＝Rr. 对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a ＝ω2r ，故 a 1a 2＝r R.2.(卫星的变轨问题) (多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图8所示，在距月球表面100 km 的P 点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P 点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P 点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图8A.“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C.“嫦娥三号”经过P 点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D.“嫦娥三号”经过P 点时，在三个轨道上的加速度相等 答案 AD解析 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为T Ⅰ＞T Ⅱ＞T Ⅲ，故A 正确，B 错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P 点进行“刹车制动”，所以经过P 点时，在三个轨道上的线速度关系为v Ⅰ＞v Ⅱ＞v Ⅲ，所以C 错误；由于“嫦娥三号”在P 点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D 正确.3.(双星问题) 如图9所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图9A.m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B.m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m 1做圆周运动的半径为25LD.m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω，故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，选项C 正确.课时作业一、选择题(1～6为单项选择题，7～10为多项选择题)1.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2之间的距离为r ，已知万有引力常量为G ，由此可求出S 2的质量为( ) A.4π2r 2(r －r 1)GT2B.4π2r 13GT 2C.4π2r3GT 2D.4π2r 2r 1GT2答案 D解析 设S 1和S 2的质量分别为m 1、m 2，对于S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1，得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.2.两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小一定相等D.两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律，有：G m 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2 其中：r 1＋r 2＝L 故r 1＝m 2m 1＋m 2L r 2＝m 1m 1＋m 2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 错误.3. 如图1所示，地球赤道上的山丘e 、近地卫星p 和同步卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动.设e 、p 、q 的线速度大小分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )图1A.v 1＞v 2＞v 3B.v 1＜v 2＜v 3C.a 1＞a 2＞a 3D.a 1＜a 3＜a 2答案 D解析 卫星的速度v ＝GMr，可见卫星距离地心越远，即r 越大，则线速度越小，所以v 3＜v 2.q 是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v 3＝ωr 3＞v 1＝ωr 1，选项A 、B 均错误.由G Mm r2＝ma n ，得a n ＝GM r2，同步卫星q 的轨道半径大于近地卫星p 的轨道半径，可知向心加速度a 3＜a 2.由于同步卫星q 的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e 的角速度相同，但q 的轨道半径大于e 的轨道半径，根据a ＝ω2r 可知a 1＜a 3.根据以上分析可知，选项D 正确，选项C 错误.4.设地球半径为R ，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r .下列说法中正确的是( ) A.a 与c 的线速度大小之比为r R B.a 与c 的线速度大小之比为R rC.b 与c 的周期之比为r R答案 D解析 物体a 与同步卫星c 角速度相等，由v ＝r ω可得，二者线速度大小之比为R r，选项A 、B 均错误；而b 、c 均为卫星，由T ＝2πr 3GM 可得，二者周期之比为R r Rr，选项C 错误，D 正确. 5.如图2所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图2A.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B.v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C.v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma n 得：a n ＝GM r 2，由图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝mv 2r得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D. 6.如图3，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动.以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是( )图3A.a 2>a 3>a 1B.a 2>a 1>a 3C.a 3>a 1>a 2D.a 3>a 2>a 1答案 D7.如图4，航天飞机在完成太空任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图4A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A 的向心加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的向心加速度 答案 ABC8.我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a 2，近地卫星做圆周运动的速率为v 2，向心加速度为a 3，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )A.a 1a 2＝r RB.a 2a 3＝R 3r 3C.a 1a 3＝r RD.a 1a 2＝R 2r2 答案 AB解析 由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a n ＝r ω2可知a 1a 2＝rR，A 项正确，D 项错误；再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为a 3，由万有引力定律和牛顿第二定律F ＝GMm r 2＝ma n 可知a 1a 3＝R 2r 2，由a 1a 3＝R 2r 2，a 1a 2＝r R 知a 2a 3＝R 3r3，因此B 项正确，C 项错误. 9.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起.如图5所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图5A.质量之比m A ∶m B ＝2∶1B.角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C.线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D.向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1答案 AC解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：Gm A m B L 2＝m A ω2r A ① 对B 星：G m A m B L 2＝m B ω2r B ② 联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星的条件有：角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误.10. 如图6所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )图6A.b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B.a 加速可能会追上bC.c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD.a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大答案 BD解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等.又由b 、c 轨道半径大于a 轨道半径，由v ＝ GM r可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错；当a 加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时，a 就追上了b ，故选项B 正确；当c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v c 2r c ，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b 减速时，b 受的万有引力F ＞m v b 2r b，它将偏离原轨道，做向心运动，所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝ GM r 可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确.二、非选择题11.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图7所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图7(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？(2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小.(3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2.答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3) 3gR 2t 24n 2π2－R 解析 (2)在地球表面重力提供向心力，有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：G Mm(R ＋h 1)2＝ma A ② 由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2. (3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝t n④由①③④式联立解得h 2＝ 3gR 2t 24n 2π2－R . 12.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M 的恒星和质量为m 的行星(M ＞m )在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着.如图8所示，我们可认为行星在以某一定点C 为中心、半径为a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星).设万有引力常量为G ，恒星和行星的大小可忽略不计.图8(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；(2)试计算恒星与点C 间的距离和恒星的运行速率v .答案 见解析解析 (1)恒星运动的轨道和位置大致如图.(2)对行星m ：F ＝m ω2a ①对恒星M ：F ′＝M ω2R M ②根据牛顿第三定律，F 与F ′大小相等 由①②得：R M ＝m Ma 对恒星M ：Mv 2R M ＝G Mm (a ＋R M )2 代入数据得：v ＝m M ＋m GM a.。

学 习 资 料 汇编习题课2 变轨问题 双星问题[学习目标] 1.理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别.2.会分析卫星(或飞船)的变轨问题.3.掌握双星的运动特点及其问题的分析方法.一、“赤道上物体”“同步卫星”和“近地卫星”的比较例1 如图1所示，A 为地面上的待发射卫星，B 为近地圆轨道卫星，C 为地球同步卫星.三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为v A 、v B 、v C ，角速度大小分别为ωA 、ωB 、ωC ，周期分别为T A 、T B 、T C ，向心加速度分别为a A 、a B 、a C ，则( )图1A.ωA ＝ωC <ωBB.T A ＝T C <T BC.v A ＝v C <v BD.a A ＝a C >a B答案 A解析 同步卫星与地球自转同步，故T A ＝T C ，ωA ＝ωC ，由v ＝ωr 及a ＝ω2r 得v C >v A ，a C >a A同步卫星和近地卫星，根据GMm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝ma ，知v B >v C ，ωB >ωC ，T B <T C ，a B >a C .故可知v B >v C >v A ，ωB >ωC ＝ωA ，T B <T C ＝T A ，a B >a C >a A .选项A 正确，B 、C 、D 错误.同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较1.同步卫星和近地卫星相同点：都是万有引力提供向心力即都满足GMm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r ＝ma n .由上式比较各运动量的大小关系，即r 越大，v 、ω、a n 越小，T 越大. 2.同步卫星和赤道上物体 相同点：周期和角速度相同 不同点：向心力来源不同 对于同步卫星，有GMm r2＝ma n ＝m ω2r 对于赤道上物体，有GMm r2＝mg ＋m ω2r ， 因此要通过v ＝ωr ，a n ＝ω2r 比较两者的线速度和向心加速度的大小.针对训练1 (多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( ) A.都是万有引力等于向心力B.赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等C.赤道上的物体和近地卫星的线速度、周期不同D.同步卫星的周期大于近地卫星的周期 答案 CD解析 赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A 项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B 项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 得v ＝GMr ，T ＝2π r 3GM，由于r 同>r 近，故v 同<v 近，T 同>T 近，D 项正确；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T 赤＝T 同>T 近，根据v ＝ωr 可知v 赤<v 同，则线速度关系为v 赤<v 同<v 近，故C 项正确. 二、人造卫星的变轨问题 1.卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁.以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据. 2.飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图2甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.图2(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.例2 如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D.卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：G Mm r 2＝m v 2r ，v ＝ GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误， 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确；在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速. 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误. 在同一点P ，由GMmr 2＝ma n 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度，D 项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路：(1)判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.(2)判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.(3)判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.(4)判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝Fm ＝G M r2判断.针对训练2 (多选)如图4所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P 点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P 点，远地点为同步圆轨道上的Q 点)，到达远地点Q 时再次变轨，进入同步轨道.设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v 1，在椭圆形转移轨道的近地点P 点的速率为v 2，沿转移轨道刚到达远地点Q 时的速率为v 3，在同步轨道上的速率为v 4，三个轨道上运动的周期分别为T 1、T 2、T 3, 则下列说法正确的是( )图4A.在P 点变轨时需要加速，Q 点变轨时要减速B.在P 点变轨时需要减速，Q 点变轨时要加速C.T 1＜T 2＜T 3D.v 2＞v 1＞v 4＞v 3 答案 CD解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点P 时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G Mm r 1 2＜m v 2 2r 1，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G Mm r 12＝m v 12r 1，所以v 2＞v 1；同理，由于卫星在转移轨道上Q 点做离心运动，可知v 3＜v 4，故选项A 、B 错误；又由人造卫星的线速度v ＝GMr可知v 1＞v 4，由以上所述可知选项D 正确；由于轨道半径r 1＜r 2＜r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k (k 为常量)得T 1＜T 2＜T 3，故选项C 正确.三、双星问题例3 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图5所示.已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图5答案 r 1＝Lm 2m 1＋m 2 r 2＝Lm 1m 1＋m 2 T ＝4π2L3G (m 1＋m 2)解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力 对m 1：Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ， 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2. 由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L3G (m 1＋m 2).1.双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点. (2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. (3)两星的运动周期、角速度相同.(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .2.双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2.针对训练 3 如图6所示，两个星球A 、B 组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.已知A 、B 星球质量分别为m A 、m B ，万有引力常量为G ，求L 3T2(其中L 为两星中心距离，T 为两星的运动周期).图6答案G (m A ＋m B )4π2解析 设A 、B 两个星球做圆周运动的半径分别为r A 、r B .则r A ＋r B ＝L ，对星球A ：G m A m B L 2＝m A r A 4π2T 2，对星球B ：G m A m B L 2＝m B r B 4π2T 2，联立以上三式求得L 3T 2＝G (m A ＋m B )4π2.1.(“同步卫星”与“赤道物体”及近地卫星的比较)(多选)如图7所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是( )图7A.a 1a 2＝rR B.a 1a 2＝(R r)2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝R r答案 AD解析 地球同步卫星：轨道半径为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1； 地球赤道上的物体：轨道半径为R ，随地球自转的向心加速度为a 2； 以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为R . 对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m v 2r ，故 v 1v 2＝Rr. 对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a ＝ω2r ，故 a 1a 2＝rR. 2.(卫星的变轨问题) (多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图8所示，在距月球表面100 km 的P 点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P 点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km 的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P 点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是( )图8A.“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长B.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长C.“嫦娥三号”经过P 点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大D.“嫦娥三号”经过P 点时，在三个轨道上的加速度相等 答案 AD解析 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为T Ⅰ＞T Ⅱ＞T Ⅲ，故A 正确，B 错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P 点进行“刹车制动”，所以经过P 点时，在三个轨道上的线速度关系为v Ⅰ＞v Ⅱ＞v Ⅲ，所以C 错误；由于“嫦娥三号”在P 点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D 正确.3.(双星问题) 如图9所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )图9A.m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B.m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C.m 1做圆周运动的半径为25LD.m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 1m 2L2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可解得r 1＝25L ，r 2＝35Lm1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C正确.课时作业一、选择题(1～6为单项选择题，7～10为多项选择题)1.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2之间的距离为r，已知万有引力常量为G，由此可求出S2的质量为( )A.4π2r2(r－r1)GT2B.4π2r13GT2C.4π2r3GT2D.4π2r2r1GT2答案 D解析设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有G m1m2r2＝m1⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r1，得m2＝4π2r2r1GT2.2.两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小一定相等D.两个天体的向心加速度大小一定相等答案 C解析双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律，有：G m1m2L2＝m1ω2r1＝m2ω2r2其中：r1＋r2＝L故r1＝m2m1＋m2Lr2＝m1m1＋m2L故v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1故质量大的天体线速度较小，故A 错误.3. 如图1所示，地球赤道上的山丘e 、近地卫星p 和同步卫星q 均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动.设e 、p 、q 的线速度大小分别为v 1、v 2、v 3，向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则( )图1A.v 1＞v 2＞v 3B.v 1＜v 2＜v 3C.a 1＞a 2＞a 3D.a 1＜a 3＜a 2答案 D解析 卫星的速度v ＝GMr，可见卫星距离地心越远，即r 越大，则线速度越小，所以v 3＜v 2.q 是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v 3＝ωr 3＞v 1＝ωr 1，选项A 、B 均错误.由G Mm r 2＝ma n ，得a n ＝GM r2，同步卫星q 的轨道半径大于近地卫星p 的轨道半径，可知向心加速度a 3＜a 2.由于同步卫星q 的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e 的角速度相同，但q 的轨道半径大于e 的轨道半径，根据a ＝ω2r 可知a 1＜a 3.根据以上分析可知，选项D 正确，选项C 错误.4.设地球半径为R ，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r .下列说法中正确的是( ) A.a 与c 的线速度大小之比为r R B.a 与c 的线速度大小之比为R rC.b 与c 的周期之比为r RD.b 与c 的周期之比为R rR r答案 D解析 物体a 与同步卫星c 角速度相等，由v ＝r ω可得，二者线速度大小之比为R r，选项A 、B 均错误；而b 、c 均为卫星，由T ＝2πr 3GM 可得，二者周期之比为R r Rr，选项C 错误，D 正确.5.如图2所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面200 km ，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M 、N 点时的速率分别是v 1和v 2.当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v 3，比较飞船在M 、N 、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( )图2A.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 3＞a 2B.v 1＞v 2＞v 3，a 1＞a 2＝a 3C.v 1＞v 2＝v 3，a 1＞a 2＞a 3D.v 1＞v 3＞v 2，a 1＞a 2＝a 3 答案 D解析 根据万有引力提供向心力，即GMm r 2＝ma n 得：a n ＝GMr2，由图可知r 1＜r 2＝r 3，所以a 1＞a 2＝a 3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v 3＞v 2，根据GMm r 2＝mv 2r得：v ＝GMr，又因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，故v 1＞v 3＞v 2.故选D.6.如图3，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动.据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动.以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小.以下判断正确的是( )图3A.a 2>a 3>a 1B.a 2>a 1>a 3C.a 3>a 1>a 2D.a 3>a 2>a 1答案 D7.如图4，航天飞机在完成太空任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图4A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 的速度B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A 的向心加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的向心加速度 答案 ABC8.我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a 2，近地卫星做圆周运动的速率为v 2，向心加速度为a 3，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )A.a 1a 2＝r RB.a 2a 3＝R 3r 3C.a 1a 3＝r RD.a 1a 2＝R 2r2 答案 AB解析 由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a n ＝r ω2可知a 1a 2＝rR ，A 项正确，D 项错误；再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为a 3，由万有引力定律和牛顿第二定律F ＝GMm r 2＝ma n 可知a 1a 3＝R 2r 2，由a 1a 3＝R 2r 2，a 1a 2＝r R 知a 2a 3＝R 3r3，因此B 项正确，C 项错误.9.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起.如图5所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )图5A.质量之比m A ∶m B ＝2∶1B.角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C.线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2D.向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1 答案 AC解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A 星：G m A m B L2＝m A ω2r A ① 对B 星：Gm A m B L2＝m B ω2r B ② 联立①②得m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1.根据双星的条件有：角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，向心力大小之比F A ∶F B ＝1∶1，选项A 、C 正确，B 、D 错误.10. 如图6所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )图6A.b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B.a 加速可能会追上bC.c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等到同一轨道上的cD.a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大 答案 BD解析 因为b 、c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等.又由b 、c 轨道半径大于a 轨道半径，由v ＝GMr可知，v b ＝v c ＜v a ，故选项A 错；当a 加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b 所在轨道相切(或相交)，且a 、b 同时来到切(或交)点时，a 就追上了b ，故选项B 正确；当c 加速时，c 受的万有引力F ＜m v c2r c ，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b 减速时，b 受的万有引力F ＞m v b2r b，它将偏离原轨道，做向心运动，所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故选项C 错；对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v ＝GMr可知，r 减小时，v 逐渐增大，故选项D 正确. 二、非选择题11.中国自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为h 1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图7所示.设飞船在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，若已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，求：图7(1)飞船在B 点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？ (2)飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小. (3)椭圆轨道远地点B 距地面的高度h 2.答案 (1)加速 (2)gR 2(R ＋h 1)2 (3)3gR 2t 24n 2π2－R 解析 (2)在地球表面重力提供向心力，有mg ＝GMm R 2① 根据牛顿第二定律有：GMm(R ＋h 1)2＝ma A ② 由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A 时的加速度大小为a A ＝gR 2(R ＋h 1)2.(3)飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G Mm (R ＋h 2)2＝m 4π2T 2(R ＋h 2)③ 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T ＝tn④由①③④式联立解得h 2＝3gR 2t 24n 2π2－R . 12.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M 的恒星和质量为m 的行星(M ＞m )在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着.如图8所示，我们可认为行星在以某一定点C 为中心、半径为a 的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星).设万有引力常量为G ，恒星和行星的大小可忽略不计.图8(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置； (2)试计算恒星与点C 间的距离和恒星的运行速率v . 答案 见解析解析 (1)恒星运动的轨道和位置大致如图.(2)对行星m ：F ＝m ω2a ① 对恒星M ：F ′＝M ω2R M ②根据牛顿第三定律，F 与F ′大小相等 由①②得：R M ＝m Ma对恒星M ：Mv 2R M ＝G Mm(a ＋R M )2代入数据得：v ＝mM ＋mGMa. 敬请批评指正。

第六章；万有引力与航天知识点总结一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密（欧多克斯、亚里士多德）内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运动。

2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼（布鲁诺被烧死、伽利略） 内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

二、开普勒行星运动定律的内容开普勒第二定律：v v >远近开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系：333222===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。

2、表达式：221r m m GF = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。

4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。

5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。

②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。

③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质心间的距离。

6、推导：2224mM G m R R T π=3224R GMT π=四、万有引力定律的两个重要推论1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。

2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。

五、黄金代换六；双星系统两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：M 1：22121111121M M v G M M r L r ω== M 2：22122222222M M v G M M r L r ω== 相同的有：周期，角速度，向心力 ，因为12F F =，所以221122m r m r ωω=轨道半径之比与双星质量之比相反：1221r m r m = 线速度之比与质量比相反：1221v m v m =七、宇宙航行：1、卫星分类：侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星……3、卫星轨道：可以是圆轨道，也可以是椭圆轨道。

双星和多星系统难点破解知识点考纲要求题型分值万有引力和航天知道双星和多星的运动情况会计算双星有关的问题选择题6分双星系统一、模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

二、模型条件（1）两颗星彼此相距较近（且认为系统不受其它星体的引力影响）。

（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。

三、模型特点（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力。

（2）“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

（3）“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。

多星系统一、三星系统图一图二图一中，三颗质量相等的行星分别处于等边三角形的三个定点上，围绕正三角形的几何中心O点各自做匀速圆周运动。

三颗星的周期、半径均相同。

图二中，三颗质量相等的行星位于一条直线上，其中一颗星位于直线的中点O（可视为静止不动），另外两颗行星绕O点做匀速圆周运动。

运行的两颗星的周期相同。

二、四星系统图三图四图三中，三颗质量相等的行星分别处于等边三角形的三个定点上，围绕正三角形的几何中心O点各自做匀速圆周运动，第四颗星位于O点（可视为静止不动）。

运行的三颗星的周期相同。

图四中，四颗质量相等的行星位于正方向的四角，绕正方形的几何中心O点做匀速圆周运动。

四颗星的运行周期相同。

三、解决多星系统的关键多星系统与双星系统相似，首先选取其中一颗星为研究对象，分析各行星之间的万有引力关系并确定向心力的大小。

接着找到行星做圆周运动的圆心，确定半径。

然后结合圆周运动和牛顿运动定律进行计算。

例题 1 （重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。