常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

习 题 3-11. (1) 解: ,||),(αy y x f = 有α|||)0,(),(|y x f y x f =-，令 ,||)(αr r F =有⎰⎰--==1110010||11||)(r r r r r dr r F dr ααα， 当 01<-α, 即 1>α 时, ∞=--→αα10||11limr r , 所以 0)0(=y 的解唯一。

当 01=-α 时，1100|||ln )(r r r r F dr =⎰，而 ∞=→||ln lim 0r r ，所以 0)0(=y 的解唯一。

当 10<<α 时， 可解方程知其解不唯一。

所以当10<<α， 其解不唯一； 1≥α， 其解唯一。

（2）. 解: 因为0|l n |l i m 0=→y y y ,所以dxdy在 ),(+∞-∞ 连续. 设 |||ln |)(r r r F =, 有∞=⎰1)(r r F dr(01>r 为常数),所以方程的解唯一.2. 解: 构造毕卡序列, 令 1),(++=y x y x f , dx x y x f x y xn n ⎰=+01))(,()(,因为 0)0(=y ,所以 x x dx x f x y x +==⎰20121)0,()(,x x x dx x x x f x y x ++=+=⎰2302261)21,()(, x x x x dx y x f x y x +++==⎰23402331!41),()(,…………………………………………… x x x n x n dx y x f x y n n xn n +++++==+-⎰!22!2)!1(1),()(211 ,22)!22!2)!1(1(lim )(lim 21--=+++++=+∞→∞→x e x x x n x n x y x n n n n n , 所以 22--=x e y x为方程的解. 3. 证明: 反证法设初始问题(E)有两个解, )(x y 和)(1x y , 且 0010)()(y x y x y ==,01x x >∃, 使 )()(111x y x y >, 令 )()(,sup{110x y x y x x x =<≤=μ根据μ 的定义与y 的连续性可知,对),(1x x μ∈∀,)()(1x y x y >, 令 )()()(1x y x y x r -=, 令 )()()(1x y x y x r -=, 有 0)(=μr , 有))(,())(,(1x y x f x y x f dxdr-=, 因为 ),(y x f 对 y 是递减的, 所以0<dxdr, 对 ),(1x x μ∈∀, 所以 0)()(=<μr x r , 对 ),(1x x μ∈∀, 又由y 的连续性, 可得 )()(111x y x y <,矛盾!习 题 3-31.证明:令)()(),(x b y x a y x f +=, 显然),(y x f+∞<<∞-∈y I x S ,:内连续, 且满足不等式|)(||||)(||),(|x b y x a y x f +≤,其中令 0|)(|)(≥=x a x A , 0|)(|)(≥=x b x B , 由已知有 )(x A ,)(x B 在I x ∈上是连续的, 则由定理5, 知 )(x y y = 的最大存在区间为I2. (1) 解：令 221),(yx y x f +=，则 ),(y x f 在区域 }0,{1≠+∞<<-∞=y x G 上连续,或 },00{2+∞<<-∞+∞<<<<-∞=y x x G 上连续。

第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(2222222222)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p xx p p p x px y p x px p y x C x dxdpdx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dxdy ++-=⇒++-+=⇒+-=⇒-=⇒=+-=+-=⇒-=⇒=+=++⇒=+++⇒+++=++==++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y xC xC xC dx dp xx x x x x x xx dx dp dxdp dx dp dxdy +=⇒+=⇒=⇒=+-=+-=⇒-+-=⇒-=⇒-=⇒=+=++⇒++++==+=（特解）解：dydqqyq y y dydq q ydydx pyp p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：yy y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y yy ytyyyyy qyC dydq dy dq q y dy dq dy dqq y dy dq dydq qyqyy dy dq 32323232sin 2cos 2313133223232322sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0)(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=⇒=⇒=⇒=-+=⇒=⇒-=⇒=+=-+⇒=+-+⇒=-++⇒-（通解）2．用参数法求解下列微分方程：（特解）当当由解：令21cos 0sin )](cos[2)](cos[20sin .sin ,,sin ,cos 2,sin ,cos 4)(52)1(52510210210sin sin 2)cos 2(sin 552552522222552552552±=⇒±=⇒=+-=+-=⇒+-=⇒-==⇒=⇒≠==+∞<<-∞=====+y t t b C x C x y Cdt x dt dx t a tp x t p t y t p t y y ttdt t d tdydxdy dxdy 故解：令dt t sh xht d sht dx sht dy sht dx dy e e sht e e cht shtp cht x dxdy x t t t t 3)(3332,2,3,.1)(3).2(222===⇒=-=+====---Ct t sh Ct e e C t d e e Cdt tsh y t t t t +-=+-+=+-+=+=--⎰⎰)2241(31)4(381)2()2(381322222Cdt t t t Cdt tt t v dtv v t t vt u t vdvdu v u vdu vdv udu pdxdy v u y v p u x x y tt t vdv t t t dv dtt dv dtt dvvdt tdv t vdttdv dv v u vu vv u dudv dxdy vu vu++---=++--==⇒=⇒=+⇒=⇒=-=⇒===-==⇒=-⇒=-=-====-+⎰⎰+---+---+-+--22122212ln ,,2)2(22,,,.0).(3(222212122212212211221222122222222令齐次方程解：令⎰⎰⎰⎰⎰-----=+--+-=+---16172411617241222)(221)(212222212212t tdt t dt dt t t t dt t t dt t t t⎰⎰⎰⎰--+---=--+--------=16172411617241161724116172411617241)(41161741(ln 21)(21)(41)(])[(21t dtt t dt t dt t t d αββαβαβαβαβαβαβαβααβα)()()()()()()()()()(1)()()()()()(,)(,,)41741()41741()(1.||ln )(ln ||ln 1721)11(17241))((41)(41417414174117411717411741174141174141174141174117414141174117414141174141174141174141174141174121172141741417411721417414174141741417414174141741172116172412122124174141741417414174141741417411617241212117212117212v u C v u v u C v u v u C v u v u C v u v u v u C vv u vv u CvuvuC t t C v t C v t t C t t t t ev t t t dt t t dtt t t t dt t dt Ct t t +=++=++=++=+++=++=++=++=+=--=+-=+---=+-----+-=+---+---=-+---=+----=+---=-----+-+-+---+----------------+--⎰⎰⎰⎰故令故（通解）,)()(22⎩⎨⎧+=+-=αββαp x C p x p x y （特解）故特解：⎩⎨⎧=====⨯======++=±-=±-=⇒±=⇒±=⇒±=⇒=+---+-+-+--+++++,,..172181722))161(161()171(1617144171417102222122122121721817222212417121281712641788264)179)(171(217917121721817222222222x y x y x x y b ax x x x x x x y a x x x x y u v v u t t t βαβ（通解）故令解：⎪⎩⎪⎨⎧++-==++-=⇒===⇒-=⇒-=⇒==-=-==++++++++++,,),()(,4),4(,).4(4)(.4)().4(3233323332331132)1(8141132)1(81414141432332333C y x Cy d xtd dy x x t xt x t x t x xt p x x x x x x t t t tt t t tt t t t t t dxdy dxdy dx dy dx dy dx dy dx dy 习题4-21．利用p-判别式求下列微分方程的奇解：的奇解。

习题6—21．求出常系数齐次性微分方程组Ay dxdy=的通解，其中的矩阵A 分别为 1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-o a a o 3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4010100114）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---942105520105 5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1111111111111111解：1） 特征方程3452λλ-- 即 0)2)(7(=+-λλ矩阵A 有特征根，71=λ 22-=λ对应于71=λ所有的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21v v 满足0)7(21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v E A 即1244055v v -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

取11=v ，则12=v 那么对应的实值解为xe y 7111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=；对应22-=λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21v v 满足0)2(21=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+v v E A 即0454521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛v v ，取41=v ，则52-=v ，那么对应的实值解为 zxe y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=542。

于是该方程组的通解为x x e c e c y y 2271215411-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2）特征方程为0=---λλa a即022=+a λ矩阵A 有特征根ai =1λ 2ai λ=-对应ai =1λ的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21r r 应满足021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---v v ai aa ai取11=v ，则i v =2 即么对应的特解为1211(cos sin )aix y e ax i ax y i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos ax ax i ax ax ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由此得ai =1λ所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。

）12cos sin y ax y ax ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 122sin cos y ax y ax ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 它们在),(+∞-∞上线性无关，故得方程组的通解：1122cos sin sin cos y ax ax c c y ax ax ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭3）0401010011=------λλλ即0)1)(4(2=++λλ 矩阵A 有特征根 41-=λ，121-==λλ。

习 题 6—31．证明函数组 ，⎩⎨⎧<≥=000)(21x x x x 当当ϕ220 0()0x x x x ϕ≥⎧=⎨<⎩当 当，在区间上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。

这与本节的定理 6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？),(+∞−∞证 设有 1122()0c x c ϕϕ+≡ +∞<<∞−x ，则当时，有，从而推得 。

而当 时，有0≥x 21200c x c +≡01=c 0<x 120c c x 0⋅+≡，从而推得 。

因此在02=c +∞<<∞−x 上，只有时，才有 021==c c 1122()()0c x c x ϕϕ+≡，故12(), ()x x ϕϕ在上线性无关。

又当时， ),(+∞−∞0≥x 0002)(2≡=x x x w ，当0<x 时，0200)(2≡=x x x w 故当+∞<<∞−x 时，有。

这与本节定理6.2不矛盾，因为定理6.2*成立对函数有要求，即0)(≡x w )(1x ϕ，)(2x ϕ是某个二阶齐次线性方程的解组。

这说明不存在一个二阶齐次线性方程，它以)(1x ϕ，)(2x ϕ为解组。

3．考虑微分方程''()0y q x y +=（1）设)(x y ϕ=与)(x y ψ=是它的任意两个解，试证)(x y ϕ=与)(x y ψ=的朗斯基行列式恒等于一个常数。

（2）设已知方程有一个特解为，试求这方程的通解，并确定 x e y =()?q x =证： （1）在解)(x y ϕ=，)(x y ψ=的公共存在区间内任取一点x 。

由刘维尔公式，有 （常数）[])()()(),(000x w ex w x x w odxx x=∫=−ψϕ（2）由于是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线性无关的特解 x e y =x odx xx e dx e ee y −∫−−=⋅=∫21122，故方程的通解为 xx e c e c y −+=21又由于是方程的解，故有x e y =()0x x e q x e +≡， 所以 ()1q x =−。

习 题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）,2221x xe c e c y -+= .04=-''y y 证明：,2221x x e c e c y -+=则y '=,222221x x e c e c --,442221x x e c e c y -+=''.04=-''y y ∴ （２）,sin xxy =x y y x cos =+'． 证明：∵,sin xx y =则2sin cos x x x x y -='x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'（３）),(c dx xe x y x +=⎰ xxe y y x =-'．证明：∵),(c dx x e x y x +=⎰ 则 ,x e xc dx x e y xx ++='⎰ ∴=-'y y x x x e xc dx x e x x ++⎰x xxe c dx xe x =+-⎰)( （４） 2112221,,40,,2,,4()()x y x x x c c c c x c c ⎧⎪--∞<<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎪⎩--'y =证明： （1）当1x c -∞<<时，y=214()x c --,'y =12x c --其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）,x y =''' ,)0(0a y = ,)0(1a y =' 2)0(a y =''．解：∵,x y =''' ∴,2112c x y +='' ∵2)0(a y =''，∴21a c =， ∴3221,6y x a x c '=++ ∵,)0(1a y =' ∴12a c =，∴422111242y x a x a x c =+++，∵,)0(0a y = 满足初值问题的解为：4221011242y x a x a x a =+++．（２）),(x f dxdy= ,0)0(=y （这里)(x f 是一个已知的连续函数）解：∵),(x f dxdy= 即 ,)(dx x f dy = ∴c dt t f dy xx+=⎰⎰0)(,∴,)()0()(0c dt t f y x y x+=-⎰ ∵0)0(=y , ∴0=c∴ 满足初值问题的解为：dt t f x y x⎰=)()(.（３）,aR dtdR-= ,1)0(=R 解：① 若,0≠R 则 ∵adt RdR-=， 两边积分得：c at R +-=ln ∵1)0(=R ∴1=c∴满足初值问题的解为：ateR -=（４）21y dxdy+=， 00)(y x y =， 解：∵21y dxdy+=， ∴dx y dy =+21，两边积分得：c x arctgy +=.∵00)(y x y =， ∴00x y arctg c -=.∴满足初值问题的解为：)(00x y arctg x tg y -+=. ３．假设（１） 函数12(,,,,)n y x c c c φ=是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=的通解，其中12,,n c c c 是独立的任意常数，（２） 存在一组常数12(,,,)n n c c c R ∈和空间中的点(1)0000(,,,,)n M x y y y-'（３） 满足001001(1)(1)0011(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n y x c c y x c c xy x c c x φφφ---=⎧⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪⎪∂=⎪∂⎩试证明：存在点0M 的某一邻域 U ，使得对任意一点(1)00000(,,,,)n M x y y y -',可确定一组数0(),1,2,,i i c c M i n ==，使得10200(,(),(),,())n y x c M c M c M φ=是初值问题(1)(1)000000(1)(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y x y F x y y y---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解． 证明：因为12(,,,,)n y x c c c φ=是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '=的通解，所以初值问题(1)(1)000000(1)(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y x y F x y y y---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解应具有形式12(,,,,)n y x c c c φ***=，其中12(,,,)n c c c ***应满足：001001(1)(1)0011(,,,)(,,,)(,,,)n nn n n n y x c c y x c c x y x c c x φφφ****--**-⎧=⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪⎪∂=⎪∂⎩，（*） 如何确定12(,,,)n c c c ***呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0M 的某一邻域U ，使得对任意一点(1)00000(,,,,)n M x y y y-'可确定一组数0(),1,2,,i i c c M i n **==，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１） 曲线族2x cx y +=所满足的微分方程；解：2x cx y +=， x c y 2+='， 22x cx y x +='， 则有：y x y x =-'2.（２） 曲线族xx xe c e c y 21+=所满足的微分方程；解：由xx xe c e c y 21+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=''++='xx x xx x xec e c e c y xe c e c e c y 1211212,联立消去21,c c 得：02=+'-''y y y .(3) 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为)0(222≠=+r r y x 将视y 为x 的函数，对x 求导得：022='+y y x平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为0='+y y x ．(4) 平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：),0()()(222≠=-+-r r b y a x 将y 视为x 的函数，对x 求导得：()22()2()022()202()40'x a y b y y b y y b y y y '-+-=⎧⎪⎪''+-+=⎨⎪'''''-+=⎪⎩联立消去b a ,得，0)(3])(1[22='''-''''+y y y y ．习 题 1-2１．作出如下方程的线素场：（１）xyxy y ='（２）2)1(-='y y（３）22y x y +='2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）xy y +='1。

习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x 2 −1)dx +(2x +1)dy =0 解：P (x , y ) =3x 2 −1，Q (x , y ) =2x +1 ，则∂∂P y =0 ，∂∂Q x =2 ，所以∂∂P y ≠∂∂Q x即，原方程不是恰当方程．２．(x +2y )dx +(2x +y )dy =0 解：P (x , y ) =x +2y , Q (x , y ) =2x −y , 则∂∂P y =2, ∂∂Q x =2, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则xdx +(2ydx +2xdy ) −ydy =0,2 2两边积分得：x +2xy −y =C . 2 23．(ax +by )dx +(bx +cy )dy =0 (a,b 和c 为常数)．解：P (x , y ) =ax +by , Q (x , y ) =bx +cy , 则∂∂P y =b , ∂∂Q x =b , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则axdx +bydx +bxdy cydy =0,（）+两边积分得：ax 2 +bxy +cy 2=C . 2 24．(ax −by )dx +(bx −cy )dy =0(b ≠0) 解：P (x , y ) =ax −by , Q (x , y ) =bx −cy ,则∂∂P y=−b , ∂∂Q x =b , 因为 b ≠0, 所以∂∂P y ≠∂∂Q x ，即，原方程不为恰当方程５．(t 2 +1)cos udu +2 t sin udt =0 解：P (t ,u ) =(t 2 +1)cos u , Q (t ,u ) =2t sin u 则∂∂P t =2t cos u , ∂∂Q x =2t cos u , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则(t 2 cos udu +2t sin udt ) +cos udu =0,两边积分得：(t 2 +1)sin u =C .６．( ye x +2e x +y 2)dx +(e x +2xy )dy =0 解：P (x , y =ye x +2e x +y 2, Q (x , y ) =e x +2xy ，则∂∂P y =e x +2y , ∂∂Q x =e x +2y , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则2e x dx +[(ye x +y 2)dx +(e x +2xy )dy ] =0,两边积分得：(2 +y )e x +xy 2 =C .７．( y +x 2)dx +(ln x −2y )dy =0 x 解：P (x , y ) =y +x 2 Q (x , y ) =ln x −2y ,x则∂∂P y =1 x , ∂∂Q x =1 x , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则( ydx +ln xdy ) +x 2 dx −2ydy =0 x 3两边积分得：x 3+y ln x −y 2 =C .８．(ax 2+by 2)dx +cxydy =0(a ,b 和c 为常数) 解：P (x , y ) =ax 2 +by 2, Q (x , y ) =cxy ,则∂∂P y =2by , ∂∂Q x =cy , 所以当∂∂P y =∂∂Q x，即2b =c 时，原方程为恰当方程则ax 2 dx +(by 2 dx +cxydy ) =0 3两边积分得：ax +bxy 2 =C .3而当2b ≠c 时原方程不是恰当方程．９．2s −1 ds +s −2 s 2 dt =0 t t解：P (t , s ) =2s −1, Q (t , s ) =s −2 s 2,t t则∂∂P t =1−t 22s , ∂∂Q s =1−t22s , 所以∂∂P y =∂∂Q x ，即原方程为恰当方程,两边积分得：s −s 2=C ．t10．xf (x 2 +y 2)dx +yf (x 2 +y 2)dy =0, 其中f (⋅)是连续的可微函数．解：P (x , y ) =xf (x 2 +y 2 ), Q (x , y ) =yf (x 2 +y 2 ), 则∂∂P y =2xyf ′, ∂∂Q x =2xyf ′, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程,两边积分得：∫f (x 2 +y 2)dx =C ,即原方程的解为F (x 2 +y 2) =C (其中F 为f 的原积分)．习题2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dy x 2(１) dx =y解：原方程即为：ydy =x 2 dx 两边积分得：3y 2 −2x 3 =C , y ≠0 ．dy x 2(２) dx =y (1+x )3 2解：原方程即为：ydy =1+x x 3dx 两边积分得：3y 2 −2ln1+x 3=C , y ≠0,x ≠−1 ．(３) dy +y 2 sin x =0dx解：当y ≠0时原方程为：dy +sin xdx =0y2 两边积分得：1+(c +cos x ) y =0 ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c +cos x ) y =0 ．dy 22(４) dx=1+x +y +xy ；解：原方程即为：1+dy y 2=)(1+x dx 2两边积分得：arctgy =x +x 2+c ，即y =tg (x +x 22+c ) ．(５) dy =(cos x cos 2y )2 dx解：①当cos 2y ≠0 时原方程即为：(cos dy 2y )2 =(cos x )2 dx 两边积分得：2tg 2y −2x −2sin 2 x =c ．②cos 2y =0，即y =k π+π也是方程的解.( k ∈N )2 4 (６) x dy =1−y 2 dx解：①当y ≠±1时dydx 原方程即为：1−y 2 =x两边积分得：arcsin y −ln x =c ．②y =±1也是方程的解. dy x −e −x(７)．dx =y +e y解．原方程即为：( y +e y )dy =(x −e −x )dx 2 2两边积分得：y +e y =x +e −x +c ，22原方程的解为：y 2 −x 2 +2(e y −e −x ) =c .2. 解下列微分方程的初值问题．(１) sin 2xdx +cos3ydy =0, y (π) =π；2 3解：两边积分得：−cos 22x +sin 33y =c ，即2sin 3y −3cos 2x =c 因为y (π2) =π3,所以 c =3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin 3y −3cos 2x =3．x (２)．xdx +ye −dy =0 ，y (0) =1；解：原方程即为：xe x dx +ydy =0 ，两边积分得：(x −1)e xdx +y 22dy =c ，因为y (0) =1，所以c =−12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x −1)e x dx +y 2 dy +1 =0 ．(３)．dr =r ，r (0) =2 ；d θ解：原方程即为：dr =d θ，两边积分得：ln r −θ=c ，r因为r (0) =2 ，所以c =ln 2 ，所以原方程满足初值问题的解为：ln r −θ=ln 2 即r =2e θ．dy ln x (４)．dx =1+y2, y (1) =0;解：原方程即为：(1+y 2)dy =ln x dx , 两边积分得：y 3x x ln y ++−x =c ,3因为y (1) =0 ，所以c =1， 3 所以原方程满足初值为：y x x ln y ++−x =1 3 2 dy 3(５)．1+x dx=xy ，y (0) =1；dy x 解：原方程即为：y 3 =1+x 2 dx ，2两边积分得：−12y −2 =1+x +c ，因为y (0) =1，所以c =−3 ，2 所以原方程满足初值问题的解为：21+x 2 +y1 =3 ．2 3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．dy =cos x dx解：两边积分得：y =sin x +c ．积分曲线的简图如下：(２)．dxdy =ay ，(常数a ≠0 )；解：①当y ≠0时，原方程即为：aydy =dx 积分得：a 1ln y =x c +，即y =ce ax (c >0) ②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：y(３)．dy =1−y 2 ；dx解：①当y ≠±1时，1+y 原方程即为：(1−dy y 2)=dx 积分得：ln =2x +c ，1−y 即y =ce 2 x −1 ．ce 2 x +1②y =±1也是方程的解．积分曲线的简图如下：dy n 1(４)．dx=y ，(n =3,1, 2) ；解：①当y ≠0时，1 dy ⅰ) n =3, 2 时，原方程即为yn =dx ，积分得：x +1y 1−n =c ．n −1ⅱ) n =1时，原方程即为dy y=dx 积分得：ln y =x +c ，即y =ce x(c >0) ．②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为y =y (x ),由题意及导数的几何意义，则有dy y dx b 2 −y2 ，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足y (0) =b 的解．=−解之得：x =12 b ln b b +−b b 22 +−y y 22 −b 2 −y 2 ．5. 设微分方程dy =f ( y ) (2.27)，其中f(y) 在y =a 的某邻域(例如，区间y −a <ε)dx 内连续，而且f ( y )=0 ⇔y =a ，则在直线y =a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，±εdy 当且仅当瑕积分=∞(发散)．∫a a f ( y )证明：( ⇒)首先经过域R 1：−∞<x <+∞, a −ε≤y <a 和域R 2：−∞<x <+∞,a <y ≤a +ε内任一点( x 0, y 0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定dy =x −x 0 . (*)∫y y 0 f ( y )这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R 1( R 2)内的所有积分曲线∫f dy ( y )=x +c 都可由其中一条，比如∫f dy ( y ) =x +c 0 沿着x 轴的方向平移而得到。

常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章奇解第四章奇异解习题4-11.求解以下微分方程：(1).2y?p2?4px?2x2,(p?解：y?p22dydx);2pxx2数据处理p?pdp?2p?2x?2x数据处理（p？2x）dp？（p？2x）？0（p？2x）（？1）？0a.p?2x?0?p??2x（特解）?y?2x2?4x2?x2??x2(特解）b.dp?1?0??x22数据处理1.P十、CY(?x?c)?2(?x?c)x?x2?y?二cx12c（通解）dydx(2). Ypxlnx？（xp）2，（p（lnx？2xp）（xdp？p）？0);Dp22解决方案：P？xlnxdp？p（lnx？1）？2xp？2xpxa。

lnx？2xp？0 lnx？？2xp？Pln2xxlnx2lnx？Ylnxlnx？[x（？2x2x）]？Y2.2ln2x4十、ln42b、 xxdp？P0便士？？Yclnx？c2cYc2xlnx？（xc）(3).2xp?2tany?p3cos2y.解：x?1tany?x?qtany?cos2y2q2p2cos2y问？1?dx，,2科西（？西尼）2q二2二q?tanydq?qsecy?2?tanydqdy?qtany?cos3Q2dq？舒适q22ycos3qdqdycosydqtany(dqqtany)(dyqtany)0dyq3cosy(dqqtany)(tanyq3)0二a.dqdy?qtany?0?b.tany?二dqdyqtany?q?ccosy?x?csiny?三cos3y2c2cos2yq0q二Qcosy伊辛？十、cosy辛塔尼？cos2t2舒适3Yy33sin3y2siny2siny2.用参数法求解下列微分方程： 2（1） 2y2？5（dy）？4dx解：令y?由p?dy2225cost,p?sintdy2525sint,y?2cost,p?二百五十五sint,x,a.当sint?0?dx??y?2sintd(2cost)2522辛特25辛特dt？十、dt?c（？x？c）]？2cos[（？x？c）] b当sint?0?cost??1?y??(2).x2?3( dy2)?1.dx嘘et?e?tet?e?t，红隧？，嘘？22解决方案：制造x？cht，p？dyshtshtshtsh2t阿迪？dx？d（xht）？Dtx333 ysh2t1c812t?2t(e?e?2)d(2t)?c?811t？（sh2t？）？C2422(3).(dy)?y?x?0.dx（e2t？e？2t？4t）？C解：令x?u,p?v,y?u2?v2,dy?pdx2udu?2vdv?vdu?(2u?v)du?2vdv? dvdu2u?v2vuv二2?uV2u齐次方程令v?t,u?vt,?dvt1二2t?12t？1.tdv?vdt?2dvvdtTvdv？dtvdv2.2t2？T2t?12t?12?2t2?tdtlnv??2t？一c2.2t2？T2t?12dt？C2t?t?22t?112tdt？？2t2？T2.2t2？T2dt2t2？T二 1dt12tdt222(t?2(t?4)?164)?16二)?171d[(t?11dt1dt]222171717 2（t？14？（t？12？（t？1）)?)?)?11171dtln(t?)?21724164（t？1）1dt12174.（t？14）？（t？4164？dt4)(t?4?444)4一百和二十一(4.T4.12磅？1.T1四|1t？4.)dtT一百一十七故??2t2dt??22ln(t?)?16??t?2二42ln|t?1?t??44一|.五、Ec一t?4?四t?4?4(t?4?t?4?)2121?121?21?12c（t？？）（t？？）4444确保你准备好了吗4. 1二4,4?一百四十四11四,v?c(t??)一1141122一,五、c（t？？）（t？？） uc（？？）四v14?u(??) 4vc（u？？v）v一441（u？？v）v144一11??4411??44?14411一44一故一1?c(u??v)（u？？v）1?44?1（u？？v）c(uv)c(uv)c(uv)1.44?? 141?? 44(u??v)4(u??v)1.44(u??v)??c(u??v)?Yx2？p2（通解）,（x？？p）？C（x×P）特解：2？2t2？T0吨？？Yx2？1?u1?4五、u4v41？16162? 二千二百二十二x?x(1?)?x22(1?) (1?) 18? 21? 9?? 1.22? 2a。

常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。

习 题 6—31．证明函数组 ，⎩⎨⎧<≥=000)(21x x x x 当当ϕ220 0()0x x x x ϕ≥⎧=⎨<⎩当 当，在区间上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒等于零。

这与本节的定理 6.2*是否矛盾？如果并不矛盾，那么它说明了什么？),(+∞−∞证 设有 1122()0c x c ϕϕ+≡ +∞<<∞−x ，则当时，有，从而推得 。

而当 时，有0≥x 21200c x c +≡01=c 0<x 120c c x 0⋅+≡，从而推得 。

因此在02=c +∞<<∞−x 上，只有时，才有 021==c c 1122()()0c x c x ϕϕ+≡，故12(), ()x x ϕϕ在上线性无关。

又当时， ),(+∞−∞0≥x 0002)(2≡=x x x w ，当0<x 时，0200)(2≡=x x x w 故当+∞<<∞−x 时，有。

这与本节定理6.2不矛盾，因为定理6.2*成立对函数有要求，即0)(≡x w )(1x ϕ，)(2x ϕ是某个二阶齐次线性方程的解组。

这说明不存在一个二阶齐次线性方程，它以)(1x ϕ，)(2x ϕ为解组。

3．考虑微分方程''()0y q x y +=（1）设)(x y ϕ=与)(x y ψ=是它的任意两个解，试证)(x y ϕ=与)(x y ψ=的朗斯基行列式恒等于一个常数。

（2）设已知方程有一个特解为，试求这方程的通解，并确定 x e y =()?q x =证： （1）在解)(x y ϕ=，)(x y ψ=的公共存在区间内任取一点x 。

由刘维尔公式，有 （常数）[])()()(),(000x w ex w x x w odxx x=∫=−ψϕ（2）由于是方程的一个非零特解，故可借助刘维尔公式，求与之线性无关的特解 x e y =x odx xx e dx e ee y −∫−−=⋅=∫21122，故方程的通解为 xx e c e c y −+=21又由于是方程的解，故有x e y =()0x x e q x e +≡， 所以 ()1q x =−。

第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(2222222222)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p xx p p p x px y p x px p y x C x dxdp dx dp dx dp dx dp dx dpdx dp p dxdy ++-=⇒++-+=⇒+-=⇒-=⇒=+-=+-=⇒-=⇒=+=++⇒=+++⇒+++=++==++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y xC xC xCdx dp x x x x x x x xx dx dp dxdp dx dp dxdy+=⇒+=⇒=⇒=+-=+-=⇒-+-=⇒-=⇒-=⇒=+=++⇒++++==+=（特解）解：dydq qyqy y dy dq q y dydx pyp p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：yy y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y yy y t yyyyy qy C dydqdy dq q y dy dq dy dqq y dy dq dydq qyqyy dy dq 32323232sin 2cos 2313133223232322sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0))(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=⇒=⇒=⇒=-+=⇒=⇒-=⇒=+=-+⇒=+-+⇒=-++⇒-（通解）2．用参数法求解下列微分方程：（特解）当当由解：令21cos 0sin )](cos[2)](cos[20sin .sin ,,sin ,cos 2,sin ,cos 4)(52)1(52510210210sin sin 2)cos 2(sin 552552522222552552552±=⇒±=⇒=+-=+-=⇒+-=⇒-==⇒=⇒≠==+∞<<-∞=====+y t t b C x C x y Cdt x dt dx t a tp x t p t y t p t y y ttdtt d tdydxdydx dy故解：令dt tsh xht d sht dx sht dy sht dx dy e e sht e e cht shtp cht x dxdy x tt t t 3)(3332,2,3,.1)(3).2(222===⇒=-=+====---Ct t sh Ct e e C t d e e Cdt t sh y t t t t +-=+-+=+-+=+=--⎰⎰)2241(31)4(381)2()2(381322222Cdt t t t Cdt tt t v dtv v t t vt u t vdv du v u vdu vdv udu pdx dy v u y v p u x x y tt t vdv t tt dv dtt dv dtt dvvdt tdv t vdttdv dvv u vu vv u dudvdxdy vu v u++---=++--==⇒=⇒=+⇒=⇒=-=⇒===-==⇒=-⇒=-=-====-+⎰⎰+---+---+-+--22122212ln ,,2)2(22,,,.0)).(3(222212122212212211221222122222222令齐次方程解：令⎰⎰⎰⎰⎰-----=+--+-=+---16172411617241222)(221)(212222212212t tdt t dt dt t t tdt t t dt t t t⎰⎰⎰⎰--+---=--+--------=16172411617241161724116172411617241)(411617)41(ln 21)(21)(41)(])[(21t dt t t dt t dt t t dαββαβαβαβαβαβαβαβααβα)()()()()()()()()()(1)()()()()()(,)(,,)41741()41741()(1.||ln )(ln ||ln 1721)11(17241))((41)(41417414174117411717411741174141174141174141174117414141174117414141174141174141174141174141174121172141741417411721417414174141741417414174141741172116172412122124174141741417414174141741417411617241212117212117212v u C v u v u C v u v u C v u v u C v u v u v u C vv u vv u CvuvuC t t C v t C v t t C t t t t ev t t t dt t t dtt t t t dtt dt Ct t t +=++=++=++=+++=++=++=++=+=--=+-=+---=+-----+-=+---+---=-+---=+----=+---=--+---+-+-+---+----------------+--⎰⎰⎰⎰故令故（通解）,)()(22⎩⎨⎧+=+-=αββαp x C p x p x y （特解）故特解：⎩⎨⎧=====⨯======++=±-=±-=⇒±=⇒±=⇒±=⇒=+---+-+-+--+++++,,..172181722))161(161()171(1617144171417102222122122121721817222212417121281712641788264)179)(171(217917121721817222222222x y x y x x y b axx x x x x x y a x x x x y u v v u t t t βαβ（通解）故令解：⎪⎩⎪⎨⎧++-==++-=⇒===⇒-=⇒-=⇒==-=-==++++++++++,,),()(,4),4(,).4(4)(.4)().4(3233323332331132)1(8141132)1(81414141432332333C y x Cy d xtd dy x x t xt x t x t x xt p x x x x x x t t t tt t t tt t t t t tdxdydxdy dx dy dx dy dx dy dx dy 习题4-21． 利用p-判别式求下列微分方程的奇解：的奇解。