《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社

常微分方程第三版课后答案常微分方程 2.11.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

常微分课后答案第一章第一章 绪论§1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型§1.2 基本概念习题1.21．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的：（1）y x dxdy-=24； （2）012222=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d ；（3）0322=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy ；（4）x xy dx dydxy d x sin 3522=+-；（5）02cos =++x y dxdy； （6）x e dx y d y=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程．2．试验证下面函数均为方程0222=+y dxyd ω的解，这里0>ω是常数．（1）x y ωcos =；（2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =；（4）22(sin C x C y ω=是任意常数)；（5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．解 （1）y x dx y d x dxdy2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωcos =为方程的解．（2）y x C y x C y 2211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωcos 1=为方程的解．（3）y x dx y d x dxdy2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dxy d ω，故x y ωsin =为方程的解．（4）y x C y x C y 2222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dxyd ω，故x C y ωsin 2=为方程的解．（5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2=+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y y y ；（6）x y 1-=，1222++='xy y x y x ；（7）12+=x y ，x y x y y 2)1(22++-='； （8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以x xxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故x x C x x Cx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于x Ce y ='，x Ce y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ． （4）由x e y ='，因此x x x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--． （5）因为x y cos ='，所以0cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ．（6）从21x y ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到x y x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='． 4．给定一阶微分方程x dxdy2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解； （4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 C x xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=x y ． （3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=x y ．（4）由231)31()(1310210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=x y ． （5）如图1-1所示．图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x y y -+='； （2）2422y y x x x y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则BAy -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或0)(22=-++B A B C x B A B A ，所以， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C BAB A ，得到 ⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ．7．微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是0),(=--y x F ．由于0),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xy y y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代y x ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y y x -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由ο100C 冷至ο60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到ο30C ？假设空气的温度为ο20C ．解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=a u ，微分方程为)(a u u k dtdu--=，解得kt a Ce u u -+= ，根据初始条件10000===u u t ，得800=-=a u u C ，因此kt a a e u u u u --+=)(0，根据60,201===u u t ，得到k a a e u u u u 2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到ο30C ． 9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； （3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分； （5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项； （7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-y y x 和y x y '-）． 解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y y x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有 2y x y y '-=，或0=+'y y x ． （5）由（2），2x y x y ='-． （6）同样由（2），2yx y x y +='-，或x y x y ='-2． （7）易得kx y =' （k 为常数且0>k ）．。

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。

通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。

下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。

一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。

解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。

解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。

3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。

解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。

二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。

解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。

因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。

2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。

解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。

因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。

3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。

解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。

因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。

三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。

求物体的速度随时间的变化情况。

解：这是一个一阶线性常微分方程。

将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++（3）04)5(=''-x x 解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c ec x t t++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ1齐线性方程的通解为x=tt tte c e c ec 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=tttte c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=ttttte c e c te c e c --+++4321取特解行如cBt Atx ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=ttttte c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tt ec e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（11）te x x =-'''解：特征方程13=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--=λ1是特征方程的根，故tAte x =~代入原方程解得A=31故通解为tt t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+tte 31 （12）te s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=ttte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故te At x 2~=代入原方程解得A=21 通解为s=22121t te c ec t t++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=atatte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故tAe x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=atatte c ec --+21+t e a 2)1(1+（13）te x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故tAe x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=tte c ec 521--++te 2211（14）tex x x tcos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x tt2sin 2cos 21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如te t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B故通解为te c t e c x t t 2sin 2cos21+=+te t t --)sin 414cos 415( (15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21- B=0 故t t x cos 21~-=tx x 2cos -=+''tB t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=tt cos 21-t 2cos 31+。

习题1.21．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

18. 设),(y x f 及连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()(x Q y x P dx dy+= ,此方程有积分因子⎰=-dx x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 .充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ .则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程 , 从而dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)()(x x y f μμ'-=∂∂ ,)()()()()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰μμμμ . 其中)()()(x x x P μμ'-= .于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1-证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则y uyf∂∂=uf+uy y f∂∂+yf y u∂∂=)(g f xy f-+)(g f xy y f y -∂∂-yf 222)()(g f y x ygxyy f xy g f x -∂∂+∂∂+- =2)(g f xy y f gy y g yf -∂∂-∂∂=2)(g f x y xyxy f g y xy xy g f -∂∂∂∂-∂∂∂∂ =2)(g f xyfg xy gf -∂∂-∂∂ 而x uxg ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g -+)(g f xy x g x -∂∂- xg 222)()(g f y x xgxyx f xy g f y -∂∂-∂∂+-=2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf-∂∂∂∂-∂∂∂∂=2)(g f xy f g xy g f -∂∂-∂∂ 故y uyf ∂∂=xuxg ∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系xN y M ∂∂-∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(⎰dx x f )(+⎰dy y g )()证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔u y M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N xu ∂∂⇔ u(y M ∂∂-x N ∂∂)=N xu ∂∂- M y u ∂∂⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=Ne ⎰⎰+dy y g dx x f )()(f(x) -M e ⎰⎰+dy y g dx x f )()(g(y)⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=e ⎰⎰+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。

•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。

综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。

c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。

假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。

轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。

将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。

由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。

第一章测试1【单选题】(2分)下列方程中的线性方程是（）A.B.C.D.2【多选题】(2分)下列微分方程中常微分方程的是()A.B.C.D.3【判断题】(2分)A.错B.对4【多选题】(2分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【判断题】(2分)A.对B.错7【多选题】(2分)下列方程中（）是非齐次线性方程A.B.C.D.8【判断题】(2分)满足初值条件的解成为微分方程的特解。

A.对B.错9【单选题】(2分)A.B.C.D.10【单选题】(2分)A.B.C.D.第二章测试1【单选题】(2分)A.恰当B.变量分离C.伯努利D.黎卡提2【单选题】(2分)A.B.C.D.3【判断题】(2分)A.对B.错4【单选题】(2分)A.非恰当B.变量分离C.恰当D.隐式5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【单选题】(2分)A.线性非齐次B.线性齐次C.线性非齐次或齐次D.任一7【判断题】(2分)A.错B.对8【单选题】(2分)A.B.C.D.9【多选题】(2分)经常遇到的一阶隐式常微分方程有A.B.C.D.10【单选题】(2分)A.其余选项均不可B.其余选项均可C.D.第三章测试1【单选题】(2分)A.必要非充分B.必要C.充分必要D.充分2【单选题】(2分)A.B.以上都不是C.D.3【单选题】(2分)A.B.C.D.4【单选题】(3分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【单选题】(2分)A.B.C.D.7【单选题】(2分)A.B.C.D.8【单选题】(2分)A.B.C.D.9【单选题】(2分)A.B.C.D.10【单选题】(2分)A.B.C.D.第四章测试1【判断题】(2分)A.对B.错2【判断题】(2分)A.错B.对3【判断题】(2分)A.对B.错4【判断题】(2分)A.错B.对5【判断题】(2分)A.错B.对6【判断题】(2分)A.错B.对7【多选题】(2分)A.B.C.D.8【多选题】(2分)A.B.C.D.9【多选题】(2分)A.4B.-4C.1D.10【多选题】(2分)A.2B.1C.-2D.第五章测试1【判断题】(2分)A.错B.对2【判断题】(2分)A.对B.错3【判断题】(2分)A.错B.对4【判断题】(2分)A.错B.对5【判断题】(2分)A.错B.对6【单选题】(2分)A.B.C.D.7【单选题】(2分)A.B.C.D.8【单选题】(2分)A.B.C.该方程组的所有解构成的线性空间的维数是nD.9【多选题】(2分)A.B.C.D.10【多选题】(2分)A.B.C.D.第六章测试1【单选题】(2分)A.三角函数B.对数函数C.二次多项式D.指数函数2【单选题】(2分)被称为“鼻尖上的发现”的行星为A.天王星B.火星C.海王星D.木星3【单选题】(2分)“地心说”提出者是A.托勒密B.欧多克斯C.亚里士多德D.开普勒4【单选题】(2分)第二宇宙速度为A.B.C.D.5【多选题】(2分)A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线6【判断题】(2分)牛顿二体运动方程含在哈密顿系统中。

常微分方程第四章课后答案大家好，我是你们的语文老师小七。

在高中阶段很多学生对于课本上的知识点都有一些基础认识，但是有些同学在理解了这个知识点之后就不知道该如何去理解了，所以今天我就来给大家讲解一下常微分方程第四章课后习题练习。

这一章节主要讲两个内容：①什么是常微分方程；②常微分方程解法。

第一个内容是常微分方程解法的定义，这是在课本中找不到的知识。

这一部分主要要学习基本的表达式以及一些解析式。

第二个内容是常微分方程中积分法，对于初学者来说这一部分更是需要好好学习了。

下面我们就来了解一下这些知识点吧。

首先要明确一下这章节讲的内容不能单独做练习题，而是需要把每一道例题都做完才行。

这节课除了常规的知识会做一些相关例题之外，还会讲解下几道解析式以及常见的几种情况了。

1.线性表达式的两个性质线性表达式中含有一个值为 y,由定义可知 x的值为 y=0,这种情况下表达式的两个性质分别为①线性表达式有无限长时，函数的阶数不变；②线性表达式随解变小而逐渐递减；③线性表达式对任意一阶值的变换都可以得到对应形式，比如用n× n来表示（如矩阵）。

这两个性质可以通过具体例子来说明这一点。

在函数 x>0时，由于有无穷多个解，每个解都有相应的矩阵，并且在这个矩阵中存在相同的化简问题。

那么解方程中所含有的多变量就是这两个性质。

其中 x 和 y分别表示对一个函数 x和 y取对应微分时变量之间的关系。

另外还有一种情况会用到近似解来证明：即满足 k、 z、?三大条件中有任意一种条件时，可以得到一个近似求解的常微分方程：所以两个函数均满足 k、 z、?三大条件中任意一项就可以得到这类线性表达式下面这个解法：若 y为二元函数，则 y=2 x+1 y^2 x+1 y^2 x^2 x=+1x?1=+1x-2-0 （如矩阵）。

2.等比数列在常微分方程解法方面，我们的解法就是将该解法和实际中计算的解做一个等值处理。

我们通常将等值数列分为等比数列(m= m)和等比数列(m=1)。

习题3.21. 求()()21,,00dy yx dx x y G y y ⎧=+-∞<<∞⎧⎫⎪∈=⎨⎨⎬-∞<<∞⎩⎭⎪=⎩(1)的解的存在区间及延拓解的饱和区间。

解：对任意充分大的,a b ，令x a R y b ⎧≤⎫⎪⎪=⎨⎬≤⎪⎪⎩⎭，则()2,1f x y y =+在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，故(1)存在唯一解。

由()2100dy ydx y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得tan y x =，解的存在区间为x h ≤，2min ,1b h a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭。

由于,a b 充分大，故存在充分小的0δ>，使得(1)的解的存在区间为x δ<。

由于()2,1f x y y =+在G 上连续和关于y 满足局部Lipschitz 条件，故解tan y x =，x δ<可延拓。

又当()2x π+→-时，tan x →-∞；()2x π-→时，tan x →+∞，故由推论，延拓解的饱和区间为()22x ππ-<<。

习题4.13. 已知齐次线性微分方程的基本解组12,x x ，求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解：(2) 1211,,11t t x x x t x t x e t t'''+-=-==--解：令所求通解为()()()12t x t c t t c t e =+则()()()()()()()()()()12111222120111t ttt c t t c t e c t c t t c t te c t t e c t t c t e t γγ--''⎧+='=-=-+⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨''==-++'''⎪⎪+=-⎪⎩⎩⎩所以，所求通解为()2121t x t t e t t γγ=+---(5) 2212634,,ln t x tx x t t x t x t t '''-+=+==解：222663434x x t x tx x t t x t t t''''''-+=+⇔-+=+令所求通解为 ()()()12ln x t c t t c t t t =+则()()()()()()()()()()121122211226ln 0ln 346ln 34634341ln 3ln 346ln c t t c t t t c t t t c t t c t t t c t t t c t t t t c t t t γγ⎧⎛⎫'''+==-+⎧ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨''''+=+⎪⎪'=+⎩⎪⎩⎧=--+⎪⇒⎨=++⎪⎩所以，所求通解为()2212ln 343ln x t t t t t t t γγ=+++4. 已知方程220d xx dt-=有基本解组为t t e e -,，试求此方程适合初值条件()()01,00x x '==及()()00,01x x '==的基本解组（称为标准基本解组，即有()01W =），并由此求出方程的适合初值条件()()000,0x x x x ''== 的解。