常微分方程第三版答案2.2[1]1

习题 1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。

在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。

本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。

将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

百度文库•让每个人平等地捉升口我习题1.21・—=2xy,并满足初始条件：x=0, y=l 的特解。

dx解：—=2xdx 两边积分有：ln|y|=x'+cy=e ' +e =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2, x=0 y=l 时c=l特解为尸e r \2. y' dx+(x+l)dy=O 并求满足初始条件：x=0, y=l 的特解。

dy 1 + y 2* — 了dx xy + x^ydy _ 1 + y 2 1 dx y x + A 3 dy= ------ r dx X + X'两边积分：x(l+x 2) (1+y 2 )=cx"4. (1+x)ydx+(l-y)xdy=O解：原方程为：—dy=-—dx y x两边积分：In | xy +x-y=c另外x=0, y=0也是原方程的解。

5・(y+x) dy+(x-y)dx=O解：原方程为：解：y - dx=-(x+l)dy卑 dy=J x + 1 dx 两边积分：-丄=-ln|x+l|+ln|c| y I尸 In 1 c(x + 1)1另外y=0> X-1也是原方程的解x=0, y=l 时 c=e 特解：y=In I c(x + \) I解：原方程为:dy x- ydx x + y八V … t dv du 小、亠令i =u 则——=u+x 代入有: x dx dx---- d u= — dx iC +1 xln(u~ +l)x~ =c-2arctgu即 ln(y ~+x~ )=c-2arctg 厶.6. x — -y+ -Jx 2 — y 1 =0解：原方程为：y^=- + —-Jl-(-)2 dx xxv xA y dv dii 贝U 令—=u — =u+ x — x dx dx,du=sgnx — dx VI-w 2 Xarcsin —=sgnx In I x I +c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：—=—fgy ctgx两边积分:In |siny =-ln |cosx I-In I c I1 c siny= ---------- = ------ 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.dx y解：原方程为：学二 dx y2 e ' -3e~ =c.9・ x (lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：——=—In — dx x xA v rjl dy du 令—=u ，贝11 — =u+ x —— x dx dxduu+ x — =ulnudxln(lnu-l)=-ln|cx|1+1 n = =cy・xdx解：原方程为：g二11 — =(x+y) 2dx“A十du解：令x+y=u,则〒=〒T dx dxdx------du=dx\ + ir arctgu=x+c arctg (x+y)=x+cdx (x+y)-“ 八dy du解：令x+y=u,则一=——1 dx dxu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.cly 2x - y +113.—= ---------- :——dx x-2y+ 1解：原方程为：(x-2y+l) dy=(2x-y+l)dx xdy+ydx-(2y-l)dy-(2x+l)dx=O dxy-d (y' -y) -dx +x=c乍•>xy-y - +y_x - _x二c—dy x-y+ 5dx x _ y _ 2解：原方程为：(x-y-2) dy= (x-y+5) dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=O1 . 1 .dxy-d (— y' +2y) -d( —x" +5x) =02 2y - +4y+x - +10x-2xy 二c・15：— =(x+l) 2+(4y+l)，+8xy + l dx解：原方程为：—=(x+4y) 2+3 dx八 e ■ 1 d" 1令x+4y=u 贝(J ——= -------dx 4 dx 41du 1 =------ =iT +34 dx 4—=4 U2+13dx3z、u= —t g(6x+c)T22t g(6x+c) = -(x+4y+l).16:证明方程丄学=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程: y dx1) y(l+x2 y2)dx=xdyX 心二2 + x：y： y dx2)2-x2y2证明:令xy=u,则x— +y= —dx dx…, dy 1 du u亠贝9于=—: ---- •有:dx x dx Q——=f (u) +1 u dx------ ! ------- d u= — dx«(/(«)+ 1) X所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程第三版答案doc习题1.21．dyd某=2某y,并满足初始条件：某=0,y=1的特解。

解：dyy=2某d某两边积分有：ln|y|=某2+cy=e某2+ec=ce某2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y=ce某2,某=0y=1时c=1特解为y=e某2.2.y2d某+(某+1)dy=0并求满足初始条件：某=0,y=1的特解。

解：y2d某=-(某+1)dydy1y2dy=-某1d某两边积分:-1y=-ln|某+1|+ln|c|y=1ln|c(某1)|另外y=0,某=-1也是原方程的解某=0,y=1时c=e特解：y= ln|c(某1)|dy1y23．d某=某y某3y解：原方程为：dyd某=1y21y某某31y21ydy=某某3d某两边积分：某(1+某2)(1+y2)=c某24.(1+某)yd某+(1-y)某dy=0解：原方程为：1y某1ydy=-某d某两边积分：ln|某y|+某-y=c另外某=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+某）dy+(某-y)d某=0解：原方程为：dyd某=-某y某y令ydy某=u则d某=u+某dud某代入有：-u11u21du=某d某ln(u2+1)某2=c-2arctgu即ln(y2+某2)=c-2arctgy某2.6.某dy22d某-y+某y=0解：原方程为：dyd某=y某+|某|某-(y2)则令y某=udydud某=u+某d某1du=gn某u2某d某arciny某=gn某ln|某|+c7.tgyd某-ctg某dy=0解:原方程为：dyd某tgy=ctg某两边积分：ln|iny|=-ln|co某|-ln|c|iny=1ccco某=co某另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为inyco某=c.y23某8dyed某+ydyey2解：原方程为：d某=3某ye2e3某-3ey2=c.9.某(ln某-lny)dy-yd某=0解：原方程为：dyyyd某=某ln某令y某=u,则dydud某=u+某d某u+某dud某=ulnuln(lnu-1)=-ln|c某|1+lny某=cy.10.dyd某=e某y解：原方程为：dy某d某=eeyey=ce某11dy2d某=(某+y)解：令某+y=u,则dydud某=d某-1du2d某-1=u11u2du=d某arctgu=某+carctg(某+y)=某+c12.dyd某=1(某y)2解：令某+y=u,则dyd某=dud某-1du1d某-1=u2u-arctgu=某+cy-arctg(某+y)=c.13.dy2某y1d某=某2y1解:原方程为：（某-2y+1）dy=(2某-y+1)d某某dy+yd某-(2y-1)dy-(2某+1)d某=0d某y-d(y2-y)-d某2+某=c某y-y2+y-某2-某=c14:dy某d某=y5某y2解：原方程为：（某-y-2）dy=(某-y+5)d某某dy+yd某-(y+2)dy-(某+5)d某=0d某y-d(12y2+2y)-d(122某+5某)=0y2+4y+某2+10某-2某y=c.15:dyd某=(某+1)2+(4y+1)2+8某y1解：原方程为：dyd某=（某+4y）2+3令某+4y=u则dy1dud某=4d某-141du14d某-4=u2+3dud某=4u2+13u=32tg(6某+c)-1tg(6某+c)=23(某+4y+1).16:证明方程某dyyd某=f(某y),经变换某y=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+某2y2)d某=某dy2）某dy2某2y2yd某=2-某2y2证明：令某y=u,则某dydud某+y=d某则dy1duud某=某d某-某2，有：某duud某=f(u)+1u(f(u)1)du=1某d某所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程(第三版)答案常微分方程习题答案2.11.«Skip Record If...»,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得«Skip Record If...»«Skip Record If...»并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：«Skip Record If...»3 «Skip Record If...»解：原式可化为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»12．«Skip Record If...»解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»15．«Skip Record If...»«Skip Record If...»16．«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，这是齐次方程，令«Skip Record If...»17. «Skip Record If...»解：原方程化为«Skip Record If...»令«Skip Record If...»方程组«Skip Record If...»«Skip Record If...»则有«Skip Record If...»令«Skip Record If...»当«Skip Record If...»当«Skip Record If...»另外«Skip Record If...»«Skip Record If...»19. 已知f(x)«Skip Record If...».解：设f(x)=y, 则原方程化为«Skip Record If...»两边求导得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»20.求具有性质 x(t+s)=«Skip Record If...»的函数x(t),已知x’(0)存在。

1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c-另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

/5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -》则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3》2 ex3-3e2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- ,e y=cex11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21u、u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 ：dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） (2）y(1+x 2y 2)dx=xdy3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

习题1.2 1.dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

dx解：d ^ =2xdx两边积分有：In |y|=x 2 +cy2y=e x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1时c=12特解为y= e x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:1 1两边积分：-=-ln|x+1|+ln|c| y=yIn | c(x +1) |另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时c=edy = 1 +y 2 dx xy x 3y2解：原方程为： 型=1 y1飞dx y x + x1 y 21dy= 亍 dx y x x两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 — yX + 1解：原方程为：dy=- dxy x两边积分：In |xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。

5. ( y+x )dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：特解: y=1 In |c(x 1)|x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy卑 dy=-ydxdy =- x —y dx x y令.X =u 贝y d ^ =u+x-du 代入有: xdx dx1du= dxx22ln(u +1)x =c-2arctgu 即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arctg 当x6. x d ^ -y+x 2 - y 2 =0dxarcsin — =sg nx In |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0 解：原方程为： 业=-^tgy ctgx两边积分：ln |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|1csiny==另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解为 siny cosx=c.dx y2解：原方程为：e ye3xdxy2 e 3x -3e=c.9.x(l nx-l ny )dy-ydx=O解：原方程为：dy : 』ln ydx xx 令—=u , 则矽 =u+ x duxdxdx解：原方程为:dz=_y +凶 dx x x则令—=u虬u+ xdxdu dx----------- du=sgnx.1 -u 2丄dxdy + e y 2 3x=0du , u+ x =ulnu dx ln(ln u-1)=-l n|cx| y 1+ln =cy.xdy x_y10. =edx解：原方程为: ^y=e x e-ydxy=ce解：令 x+y=u,贝卩 砂=理 -1dx dx巴-1=udx2 du=dx1 uarctgu=x+c arctg(x+y)=x+cdy = 12dx (x y)解：令 x+y=u,贝卩 业=屯 -1dx dxdu 彳1-1=Pdx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13. dy =2x_y +1 dx x—2y +1解：原方程为：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=02 2dxy-d(y -y)-dx +x=c xy-y 2 +y-x 2 -x=c14： dy = x -y 5dx x - y - 2解：原方程为：(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 1 2 1 2dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02 211哭=(x+y) 212.2 2y +4y+x +10x-2xy=c.15: 巴=(x+1)2+(4y+1) 2+8xy Tdx所以原方程可化为变量分离方程。

习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy =-y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2xy . 6. x dx dy -y+22y x -=0解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y- 则令x y =u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnx x 1dx arcsin x y=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgx dx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x ccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e xy 32+=0解：原方程为：dx dy =y e y 2e x32 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln x y令x y =u ,则dx dy =u+ x dxdu u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln x y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15: dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx dy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dx dy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx du则dx dy =x 1dx du -2x u，有： u x dx du=f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx所以原方程可化为变量分离方程。

习题2.2求下列方程的解1．dxdy =x y sin +解：y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c]=c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。

2．dt dx +3x=e t2解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2所以：x=e ⎰-dt 3(⎰e t 2e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3-(51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c +)=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )=e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．dx dy nx x e y n x =-，n 为常数.解：原方程可化为：dx dy nx x e y nx +=)(c dx e x e e y dx x n n x x n +⎰⎰=⎰-)(c e x x n +=是原方程的解.5．dx dy +1212--y x x =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ⎰=-dx x x e y 212(c dx e x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x +是原方程的解.6．dx dy 234xy x x +=解：dx dy 234xy x x +==23y x +x y 令x y u =则uxy =dx dy =u dx du x +因此：dx du x u +=2u x 21udx du =dxdu u =2c x u +=331c x x u +=-33（*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye yQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

3t15t=e ( e +c)5=c e 3t +15e 2t 是原方程的解ds 13． =-s cost + sin2tdt 2cos tdt 13dt解：s=e ( sin2t e dt c )=esint( sin t coste sin t dt c) sin tsint sint= e( sin tee c )常微分方程 习题 2.2求下列方程的解1． dy = y sin x dx解： y=e ( sinxe dx c)x1 x=e x [- e x (sinx cos x )+c]= ce sint sint 1 是原方程的解。

4．dy xy e x x n，n 为常数. dx n解：原方程可化为：dy xy e x x n dx n方程的解。

=c e(sinx cos x )是原yendxx x ( e x x e n n dx n xdx c)2．dx+3x=e 2tnxx (ec)dt 解：原方程可化为：dx=-3x+edt是原方程的解 .所以：3dtx=ee2te 3dt5．dy +1 22x y 1=0 dx x 2dt c)ds23P(x) ,Q(x) (x 1)3 x1P(x)dxee=(x+1) 2((x 21) c)即： 2y=c(x+21+)(x+14) 为方程的通解。

8.d dy x =x y y 33dx x+y 1 2 解： xy 2dy y yP(y)dy P(y)dy( e Q(y)dy c) =y( 1*y 2dy c)y3= y cy23即 x=y +cy 是方程的通解 ，且 y=0也是方程的解。

2解：原方程可化为：dy dx1x 22xy 1x7.dy 2y (x 1)3dx x 1 解：dy 2y(x 1)3 dx x 1 (x 1)2(ln x 2e方程的通解为：ln x 2 1( e x dx c)1= x 2(1 ce x )P(x)dx P(x)dxy=e ( e Q(x)dx c) =(x+1)(=(x+1)((x 11)2 *(x+1)3dx+c) (x+1)dx+c) 是原方程的解.x=edx c )2则P(y)=y 1,Q(y) y 2方程的通解9. dy ay x 1,a 为常数 dx x x解：(P x) a ,Q(x) x 1xP(x )dxeedx方程的通解为：y=(x)dx P (x)dx(e Q(x)dx=xa(1 x+1dx+c)x a时，x 方程的通解为11.dy xy x 3y 3 dx 解：dy xyx 3y 3dx 两边除以3y c)d 3y xy 2 x 3 ydxdy2( xy 2 x 3)y=x+ln/x/+c当 y=cx+xln/x/-1当 a 1时， 方程 的通解为a 0，1时，方程的通解为y=cxa x 1 +-1- a adx 令y 2 z dz 2( xz x 3) dx P(x) 2x,Q(x) 2x 3 epx dx e2xdxe x 2 方程的通解为：z= e dx( e dxQ(x)dx c)10.x d d x y y x 3解：d dy x 1x y x 3P(x) 1,Q(x) x =e =xx(e x (2x 3)dx c) 22ce x1故方程的通解为y ：2(x 2 ce x 1) 1,且y 0也是方程的解。

1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c'另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

！5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -?则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3^2 ex3-3e2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- )e y =ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21u>u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 ， dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） ~2）y(1+x 2y 2)dx=xdy3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y +证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。