广东省佛山市三水区2012高考数学 中低档题型专题训练(6)理

三水区2012高三数学（理科）6月热身练习卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在复平面内，复数)1(1-i i 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量)4,(,)2,1(-==x b a ，若b a //，则b a ⋅=（ ） A ．-7B ．-8C ．-9D ．-103．命题P : 若0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.命题q ：定义域为R 的函数)(x f 在)0,(-∞及),0(+∞上都是增函数，则)(x f 在),(+∞-∞上是增函数。

下列说法正确的是（ ）A ．“P 或q ”是真命题 .B “P 且q ”是假命题 .C P ⌝为假命题 .D q ⌝为假命题4．若曲线b ax x y ++=2在点),0(b 处的切线方程是1+=x y ，则（ ） A ．1,1==b a B ．1,1=-=b a C ．1,1-==b a D ．1,1-=-=b a5．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出b 的值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．16 6．已知,αβ为不重合的两个平面，直线,m α⊂那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件高考资源网C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 的直线01=++ny mx 上，其中n m ,均大于0，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8．已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ）A ．[)16,12B ．[)16,8C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,316 二、填空题（每小题5分，共30分）(14-15选做题，若两题都做，则以第14题为准)9、已知函数2π()cos 212x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()sin 2g x x =.设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，则0()g x 的值等于 ．10、抛物线24x y -=的准线方程是 11、若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________. 12．函数()()log 1xa f x a x =++在[]0,1上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @sina ）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( ) 【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i--==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( ) 【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )【解析】选A (2,4)BC BA CA =-=--4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，1y x =-+区间(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数 5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为2222135353573V πππ=⨯⨯+⨯⨯-= 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) 【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459= 8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )【解析】选C,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（一）1．设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合；（2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．解 （1）x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=， ……………………1分当21＝ω时，⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， ……………………2分而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ，所以)(x f 的最大值为2， ……………………4分此时，π+π=π-k x 2242，∈k Z ，即π+π=k x 423，Z ∈k ，相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x ． …………………6分（2）（法一）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2)(πωx x f ，所以，8π=x 是)(x f 的一个零点⇔048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ，……………8分 即π=π-πk 48ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω，又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω，…10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……………………12分（法二）8π=x 是)(x f 的一个零点⇔08cos 8sin8=π-π=⎪⎭⎫⎝⎛πωωf ， 即18tan =πω． ……………………8分所以48π+π=πk ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω， 又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω， …10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……………………12分2．第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）：男 女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， …………………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． ………………………………5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ……………………………6分 （２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………………9分 因此，ξ的分布列如下：………………10分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ．…………………………12分 【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．3．一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥； （2）求二面角A BD C --的平面角的大小．（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．） 方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………………………………4分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分过点C 作CH BD ⊥于点H ，连接AH ，由（1）知，AC BD ⊥，AC CH C =，所以BD ⊥平面ACH ． 因为AH ⊂平面ACH ，所以BD AH ⊥． 所以AHC ∠为二面角A BD C --的平面角．…………………………………………………………9分A OD E 正（主）视图E A 侧（左）视图 A 1 D 1 A D 1A 1 E BC OD 图3AD 1A 1EBCO D由（1）知，AC ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ， 所以AC AH ⊥，即△CAH 为直角三角形． 在Rt △BAD中，AB =2AD =，则BD =由AB AD BD AH ⨯=⨯，解得AH =．因为tan ACAHC AH ∠==13分 所以AHC ∠60=． 所以二面角A BD C--的平面角大小为60．………………………………………………………14分方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………2分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==3分以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =-，()2,2,2DB =．………………………5分因为()()2,2,02,2,20AC DB =-=， 所以AC DB ⊥．所以AC BD ⊥．…………………………………………………9分 （2）解：设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD的一个法向AD 1A 1EBCO D量．……………………………………………11分由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，ABBD B =，所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD的一个法向量．……………………………………………………12分因为1cos ,22AC AC AC⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．资料数学驿站 而,AC n 等于二面角A BD C --的平面角， 所以二面角A BD C--的平面角大小为60．…………………………………………………14分方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ． 因为BD EBD ⊂平面， 所以AC BD ⊥．…………………………………………………………………………………………4分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.rh =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =-，()2,2,2DB =．…………………………9分设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，AD 1A 1EBCO D则0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B =，所以AC ⊥平面ABD ． 所以()2,2,0AC =-是平面ABD的一个法向量．……………………………………………………12分因为1cos ,22AC AC AC⋅===⋅n n n ， 所以,60AC =n ．而,AC n 等于二面角A BD C --的平面角， 所以二面角A BD C--的平面角大小为60．………………………………………………………14分4.已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++．（1）求1a ，2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ； （3）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式()1log 13na S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =． （2）解：由于()23331212n n a a a a a a +++=+++， ① 则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+． 所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．。

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（十）1．已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，)cos ,(B a =，),(cos b A n -=，a ≠b ，已知n m ⊥.(1)判断三角形的形状，并说明理由。

(2)若BA B A y sin sin sin sin +=，试确定实数y 的取值范围．【答案】解：（1）∵m n ⊥,∴0m n =,∴cos cos 0a A b B -=.2分由正弦定理知，21sin sin a bR A B===，∴sin ,sin a A b B ==. ∴sin cos sin cos ,A A B B =∴sin 2sin 2A B =.4分 ∵(),0,A B π∈,∴22A B =或22A B π+=.5分∴A B =（舍去）,2A B π+=。

所以三角形ABC 是直角三角形6分(2)A B cos sin = A A AA y cos sin cos sin +=∴ .7分),4sin(2cos sin π+=+A A A ),2,0(π∈A )43,4(4πππ∈+A . ∴]1,22()4sin(∈+πA ]2,1(cos sin ∈+∴A A 9分令(21sin cos ,sin cos 2t A A t A A -+=∈=，11分∴22211t x t t t==--.12分∵1t t-在(单调递增，∴102t t<-≤=，∴x ≥b a ≠ ,故x 的取值范围为),22(+∞.14分2．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为（Ⅱ)若对在[15，25） ，[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

2012年广东高考数学（理科）试题及详解一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（复数）设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A.65i +B.65i -C.65i -+D.65i --2.（集合）设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ） A.UB.{}1,3,5C.{}3,5,6D.{}2,4,63.（向量）若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（ ） A.()2,4--B.()2,4C.()6,10D.()6,10--4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A.()ln 2y x =+B.y =C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.1y x x=+5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）6.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） A.12π B.45π C.57π D.81πA.4 B.1C.2 D.18.对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅αβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则=a b （ ）A.1B.1C.3 D.5 ==⋅b b =b a π⎫12=. 小题，每小题(一)必做题(9～13题)9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.则输出s 的值为______.只计前一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点，则__________.算步骤 .16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE . （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.PA P =，BD ⊥平面PAC （Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以BD AC ⊥设平面PBC 的一个法向量为n 0BC PB ⋅=⋅=，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，10BDE ，B PC A --的平面角.19. (数列) （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<. 1133n a -⎝+≤+++=2a +≤+≤a的通项公式的形式可大胆尝试令+<a+<a2（数学归纳法）2a +<不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，()21⨯-，所以223412a n n +<+-+-++-+ ⎪ -⎝⎭⎝综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且O A B ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B =.（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. ()1,+∞.有两根，设为()2,x +∞)+∞. 113a <<时，()1,+∞；)()120,,x x +∞)()1,+∞，此时10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,x +∞a =，列表可得。

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（三）1．2()sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）写出()f x 的单调递减区间（只写结果不用写出步骤）； （Ⅲ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？解: （Ⅰ）．2()sin cos f x x x x ωωω=+1cos 21sin 222x x ωω+=+……1分sin(2)32x πω=++………………………………………………………………………2分∵()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π∴2632πππω⋅+=，解得12ω=………………………………………………………3分∴()sin()32f x x π=++4分 （Ⅱ）．()f x 的单减区间是7(22)66k k k Z ππππ++∈，，……………………8分 （Ⅲ）将sin y x =向左平移3π个单位，纵坐标不变；………………………10分()f x 的图象。

………………12分 2．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m 处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．（Ⅰ）分别求这名射手在150m 处、200m 处的命中率；（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解：⑴由题意,这名选手距目标xm 处的命中率2x k P x =，10012p =，5000k ∴=，………………2分 150200225000250001,98150200p p ∴==== 即这名射手在150m 处、200m 处的命中率分别为21,98。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练（4）1、函数)3cos(3)3sin()(πωπω+-+=x x x f 〔0>ω〕的最小正周期为π、⑴求)127(πf 的值； ⑵假设ABC ∆满足)(2)()(A f A B f C f =-+，证明：ABC ∆是直角三角形、【答案】⑴x x f ωsin 2)(=……2分〔振幅1分，角度1分〕，πωπ==2T ……3分，2=ω……4分，因此167sin 2)127(-==ππf ……6分、〔未化简)(x f 而求T ，扣2分〕 ⑵由)(2)()(A f A B f C f =-+得A A B C 2sin 2)22sin(2sin =-+……7分，A A B B A 2s i n 2)22s i n ()22s i n (=-++-……8分，得02sin cos 2=A B ……9分，因此0cos =B 或02sin =A ……10分，因为A <0，π<B ，因此2π=B 或2π=A ，ABC∆是直角三角形……12分、〔“2π=B 或2π=A ”只得到一个，扣1分〕2、某企业生产的一批产品中有【一】【二】三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润〔单位：元〕如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.假设从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1(1)求,a b 的值；(2)从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.(本小题要紧考查数学期望、概率等知识,考查或然与必定的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：……2分 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,∴即50.9a b -=.……3分∵0.60.20.11a b ++++=,即0.3a b +=,……4分 解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b ==.……6分(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，那么这3件产品能够有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品.……8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=.……12分3、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1,MD NB ==〔1〕以向量AB 方向为侧视方向，侧视图是什么形状？ 〔2〕求证：//CN 平面AMD ；〔3〕求面AMN 与面NBC 所成二面角的余弦值. 【解析】〔1〕因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ， NB MD BC ==，因此侧视图是正方形及其两条对角线；(4分) 〔2〕ABCD 是正方形，//,//BC AD BC ∴平面AMD ；(5分)又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，//,//NB NB MD ∴∴平面AMD ，(6分) 因此平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ；(8分)〔3〕以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 分别为x ，y ，z 轴建立图示空间直角坐标系，那么：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).N(1,1,1),M(0,0,1),(1,0,1)AM =-,(0,1,1)AM =,(0,1,0)AB =(9分)设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,由00AM n AN n ⎧=⎪⎨⎪=⎩得:00x z y z ⎧-+=⎨+=⎩(10分)令z=1得:(1,1,1)n =-.易知:(0,1,0)AB =是平面NBC 的一个法向量.(12分)1cos ,3AB n ==-(13分) ∴面AMN 与面NBC所成二面角的余弦值为分) 4、数列}{n a 的前n 项和记为S n ，1a t =，点〔S n ，1+n a 〕在直线21y x =+上，n ∈N *、 〔1〕假设数列{}n a 是等比数列，求实数t 的值；〔2〕设n n na b =，在〔1〕的条件下，求数列{}n b 的前n 项和n T ；〔3〕设各项均不为0的数列}{n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的整数i 的个数称为那个NMDBANMODBA数列}{n c 的“积异号数”，令nn n b b c 4-=〔n N *∈〕，在〔2〕的条件下，求数列}{n c 的“积异号数”.【答案】解：〔1〕由题意，当2n ≥时，有112121n n n n a S a S +-=+⎧⎨=+⎩，〔1分〕两式相减，得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，〔2分〕因此，当2n ≥时，{}n a 是等比数列，要使1n ≥时{}n a 是等比数列， 那么只需21213a t a t+==，从而得出1t =、〔4分〕 〔2〕由〔1〕得，等比数列{}n a 的首项为11a =，公比3q =，∴13n n a -=〔5分〕 ∴13n n n b na n -==⋅〔6分〕 ∴01221132333(1)33n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅①〔7分〕上式两边乘以3得12313132333(1)33n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅②〔8分〕①－②得0121233333n n n T n --=++++-⋅〔9分〕∴211344n n n T -=⋅+〔10分〕 〔3〕由〔2〕知13n n b n -=⋅，∵41n nc b =- ∵14131c =-=-，2411233c =-=⨯，∴1210c c =-<〔11分〕 ∵03)1()32(44411>⋅++=-=-++nn n n n n n n b b c c ， ∴数列{}n c 递增.〔12分〕 由2103c =>，得当2≥n 时，c n >0.〔13分〕 ∴数列{}n c 的“积异号数”为1.〔14分〕。

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（二）1．已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC的三边a 、b 、c 满足acb =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．解：122()()sin cos cos sin cos )33332331222sin cos sin()23232332x x x x x xf x a b x x x π=⋅=+=+=++=++ Ⅰ3分令2233222πππππ+≤+≤-k x k ，解得，)(,43453Z k k x k ∈+≤≤-ππππ.故函数)(x f 的单调递增区间为)(],43,453[Z k k k ∈+-ππππ. 6分 22222221(),cos .2222a cb ac ac ac ac b ac x ac ac ac +-+--===≥= Ⅱ 8分953323,301cos 21ππππ≤+<∴≤<<≤∴x x x ，， 2sinsin()1333x ππ∴<+≤， 10分 23123)332sin(3+≤++<∴πx 即)(x f 的值域为]231,3(+. 综上所述，)(],3,0(x f x π∈的值域为]231,3(+. 12分 2．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为624=C ， 2分当2=ξ时，摸出小球所标的数字为1，1，61)2(==ξP ， 当4=ξ时，摸出小球所标的数字为2，2，61)4(==ξP ，可知，当3=ξ时，3261611)3(=--==ξP ； 5分 得ξ的分布列为：12343636E ξ=⨯+⨯+⨯=； 7分（Ⅱ）由“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”可知0)3()2(<f f ，即0)38)(23(<--ξξ，解得3823<<ξ， 又ξ的可能取值为2，3，4，故2=ξ，∴事件A 发生的概率为61。

A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i 考点：复数代数形式的乘除运算．系的扩充和复数．专题：数系的扩充和复数．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．，由此能求出结果．解答：解：===﹣6﹣5i．故选D．题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6} 考点：补集及其运算．合．专题：集合．分析：直接利用补集的定义求出C U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}，故选C．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．，向量，则A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）考点：平面向量的坐标运算．面向量及应用．专题：平面向量及应用．分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果．，能求出结果．解答：解：∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3） =（﹣2，﹣4）． 故选A ． 点评： 本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算．题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算． 4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）上为增函数的是（ ）A ．y =ln （x+2） B ．C ．D ．考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．数的性质及应用． 分析： 利用对数函数的图象和性质可判断A 正确；利用幂函数的图象和性质可判断B 错误；利用指数函数的图象和性质可判断C 正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D 的单调性单调性 解答： 解：A ，y=ln （x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A 正确；确；B ，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B C ，在R 上为减函数；排除C D ，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D 故选故选 A 点评： 本题主要考查了常见函数的图象和性质，题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，特别是它们的单调性的判断，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数简单复合函数的单调性，属基础题的单调性，属基础题5．（5分）（2012•广东）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为（ ）A ． 12 B ． 11 C ． 3D ． ﹣1 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用．等式的解法及应用． 分析： 先画出线性约束条件表示的可行域，画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，在将目标函数赋予几何意义，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目数形结合即可得目标函数的最值标函数的最值：画出可行域如图阴影部分，解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）越大， 目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11 故选 B 故选点评：本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题识，数形结合的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A．12πB．45πC．57πD．81π考点：由三视图求面积、体积．间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项可得到正确选项解答：解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C 点评： 本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，求体积的运算，7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n ，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求 解答： 解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45 记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A ，则A 包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P （A ）=故选D 点评： 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、解题的关键是灵活利用简单的排列、解题的关键是灵活利用简单的排列、组组合的知识求解基本事件的个数合的知识求解基本事件的个数8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（ ）A ．B ．1 C ．D ．考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 空间向量及应用．间向量及应用． 分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n ≥m 且m 、n ∈z ．再由cos 2θ=，与的夹角θ∈（0，），可得cos 2θ∈（，1），即∈（，1），由此求得n=3，m=1，从而得到，从而得到 •== 的值．的值．解答：解：由题意可得解：由题意可得 •====．同理可得同理可得 •====．由于||≥||＞0，∴n ≥m 且 m 、n ∈z ． ∴cos 2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos 2θ∈（，1），即∈（，1）．故有故有 n=3，m=1，∴•==， 故选C ．点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n ≥m 且m 、n ∈z ，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题．解题的关键，属于中档题．的解集为的解集为．考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 集合．合． 分析： 由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集 解答：解：∵|x+2|﹣|x|=∴x ≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；无解； 当﹣2＜x ＜0时，由2x+2≤1解得x ≤，即有﹣2＜x ≤；当x ≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，恒成立， 综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为点评： 本题考查绝对值不等式的解法，题考查绝对值不等式的解法，其常用解题策略即将其变为分段函数，其常用解题策略即将其变为分段函数，其常用解题策略即将其变为分段函数，分段求解不等分段求解不等式．式．10．（5分）（2012•广东）中x 3的系数为的系数为20 ．（用数字作答）（用数字作答）考点： 二项式定理． 专题： 排列组合．列组合．分析： 由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x 3是展开式中的第几项，从而得出其系数出其系数 解答：解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x 12﹣3r令12﹣3r=3得r=3 所以中x 3的系数为=20 故答案为20 点评： 本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解答的关键是熟练掌握解答的关键是熟练掌握二项式的通项公式二项式的通项公式11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=a 22﹣4，则a n = 2n ﹣1 ．考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列． 分析： 由题意，设公差为d ，代入，直接解出公式d ，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案求出通项即可得到答案 解答： 解：由于等差数列{a n }满足a 1=1，，令公差为d 所以1+2d=（1+d ）2﹣4，解得d=±2 又递增的等差数列{a n }，可得d=2 所以a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1 故答案为：2n ﹣1． 点评： 本题考查等差数列的通项公式，题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，需要熟练需要熟练记忆公式．记忆公式．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x 3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为）处的切线方程为2x ﹣y+1=0 ．考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用．数的概念及应用． 分析： 先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．化成一般式即可．解答： 解：y ʹ=3x 2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y ﹣3=2（x ﹣1）， 即2x ﹣y+1=0．故答案为：2x ﹣y+1=0． 点评： 本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．属于基础题．13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为的值为 8 ．考点： 循环结构． 专题： 算法和程序框图．法和程序框图． 分析： 由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i ＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s 值．值． 解答： 解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4； 当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i ＜8”，退出循环，，退出循环，则输出的s=8 故答案为：8 点评： 本题主要考查的知识点是程序框图，题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，在写程序的运行结果时，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的参数方程分别为（t 为参数）和（θ为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为的交点坐标为 （1，1） ．考点： 抛物线的参数方程；圆的参数方程． 专题： 坐标系和参数方程．标系和参数方程．分析： 把曲线C 1与C 2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线C 1与C 2的交点坐标．的交点坐标．解答： 解：在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的普通方程分别为的普通方程分别为 y 2=x ，x 2+y 2=2．解方程组解方程组可得可得，故曲线C 1与C 2的交点坐标为（1，1），故答案为故答案为 （1，1）． 点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题． ．考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．线与圆．分析： 连接OA ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠得到∠AOC=60°．因为直线PA 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径，得到△P AO 是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得PA=OAtan60°=．解答： 解：连接OA ，∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC ，且∠ABC=30°， ∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线P A 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径，是半径， ∴OA ⊥PA ， ∴Rt △P AO 中，OA=1，∠AOC=60°， ∴PA=OAtan60°= 故答案为：点评： 本题给出圆周角的度数和圆的半径，题给出圆周角的度数和圆的半径，求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切线的性质，属于基础题．线的性质，属于基础题．（其中的值；（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．角函数的求值；三角函数的图像与性质．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω==解出参数ω的值；值；（2）由题设条件，可先对，与进行化简，）的值． 求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．解答：解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π所以ω==，即所以（2）因为，，分别代入得及∵∴∴点评：本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．的值；（1）求图中x的值；分）的的（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，（含90分）分以上（含人，该该2人中成绩在90分以上的数学期望．人数记为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．率与统计．专题：概率与统计．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．解答：解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018 （2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2 ∴点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面P AC；的正切值．（2）若P A=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．间位置关系与距离；空间角；立体几何．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出P A⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A 的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：解：（1）∵P A⊥平面ABCD ∴P A⊥BD ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥BD，又P A∩PC=P ∴BD⊥平面P AC （2）设AC与BD交点为O，连OE ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥平面BOE ∴PC⊥BE 的平面角∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面P AC ∴BD⊥AC ∴四边形ABCD为正方形，又P A=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3 ∴OC=在△P AC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3 点评： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握要熟练掌握19．（14分）（2012•广东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．成等差数列．（1）求a 1的值；的值； （2）求数列{a n }的通项公式；的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列．分析： （1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13，又a 1，a 2+5，a 3成等差数列，从而可求得a 1； （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1①，a n+1=3a n +2n②，由①②可知{a n +2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求a n ；（3）（法一），由a n =3n ﹣2n =（3﹣2）（3n ﹣1+3n ﹣2×2+3n ﹣3×22+…+2n ﹣1）≥3n ﹣1可得≤，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；（法二）由a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n 可得，＜•，于是当n ≥2时，＜•，＜•，，…，＜•，累乘得：＜•，从而可证得+++…+＜．解答： 解：（1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，中，令n=1得：2S 1=a 2﹣22+1，令n=2得：2S 2=a 3﹣23+1， 解得：a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13 又2（a 2+5）=a 1+a 3 解得a 1=1 （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，成立所以a n+1=3a n+2n对n∈N*成立∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n；（法一）（3）（法一）∵a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；（法二）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n，∴＜•，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．积；若不存在，请说明理由．圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．专圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．题：分析：（1）由得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2，求出椭圆上的点到点Q 的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1，求出|AB|，点O 到直线l 距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M 的坐标．的坐标．解答：解：（1）由得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2椭圆上的点到点Q 的距离=①当﹣b ≤﹣1时，即b ≥1，得b=1 ②当﹣b ＞﹣1时，即b ＜1，得b=1（舍）（舍）∴b=1 ∴椭圆方程为（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1 ∵|AB|=，点O 到直线l 距离∴=∵m 2+n 2＞1 ∴0＜＜1，∴当且仅当，即m 2+n 2=2＞1时，S △AOB 取最大值，又∵解得：所以点M 的坐标为或或或，△AOB 的面积为．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．三角形的面积是关键．考点： 利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法． 专题： 导数的综合应用．数的综合应用．分析： （1）根据方程2x 2﹣3（1+a ）x+6a=0的判别式讨论a 的范围，求出相应D 即可；即可；（2）由f ʹ（x ）=6x 2﹣6（1+a ）x+6a=0得x=1，a ，然后根据（1）中讨论的a 的取值范围分别求出函数极值即可．范围分别求出函数极值即可． 解答： 解：（1）记h （x ）=2x 2﹣3（1+a ）x+6a （a ＜1）△=9（1+a ）2﹣48a=（3a ﹣1）（3a ﹣9），当△＜0，即，D=（0，+∞），当，当a ≤0，．（2）由f ʹ（x ）=6x 2﹣6（1+a ）x+6a=0得x=1，a ， ①当，f （x ）在D 内有一个极大值点a ，有一个极小值点；，有一个极小值点； ②当，∵h （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1≤0，h （a ）=2a 2﹣3（1+a ）a+6a=3a ﹣a 2＞0， ∴1∉D ，a ∈D ，∴f （x ）在D 内有一个极大值点a ． ③当a ≤0，则a ∉D ，又∵h （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1＜0． ∴f （x ）在D 内有无极值点．内有无极值点． 点评： 本题主要考查了一元二次不等式的解法9，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

小题训练（六）一、选择题二、1．若全集为实数集R,集合A=}4|{2>x x ，B=}12|{>x x ，则（∁R B A ⋂)=（ ）A ．}21|{≤≥x x x 或B ．}20|{≤<x xC ．}20|{≤≤x xD ．φ2．⎩⎨⎧≥<<-=)2()20(ln 1)(2x xx x x f 若，若2)(=m f ，则m 的值为( )A ．eB ．2C ．e 1D ．2或e13．设i 为虚数单位，若i b iia +=-+1（),Rb a ∈，则b a ,的值为（ ） A ．1,0==b a B ．0,1==b aC ．1,1==b aD ．1,21-==b a4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是45，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5i <B ．6i <C ．7i <D ．8i <5．若}{n a 为首项为1的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2,,2432+a S a 三个数成等差数列，则数列}{2n a 的前5项和为（ ） A ．341 B ．31000C ．1023D ．1024 6．一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（ ）A ．21 B ．103 C ．207 D ．107 7．若10≠>a a 且，则“0log <b a ”是“0)1)(1(<--b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的范围为（ ）A ．)2,1(-B ．)2,4(-C ．)1,2(-D ．)4,2(-9．]2,2[,cos )(2ππ-∈-=x x x x f 若，设21|)(|)(-=x f x g ，则函数)(x g 的零点个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为（ ） A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），要 从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步 调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的 称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数 一共是____________．12．若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表面积是 ．13．,1)(22x x x f +=)51()41()31()21()5()4()3()2()1(f f f f f f f f f ++++++++=__ 14．不共线的两个向量→→b a ,，且b a 2+与b a -2垂直，→→→-a b a 与垂直，a 与b 的夹角的余弦值为____．15. 函数x x x f cos sin )(+=，设]3,6[ππ-∈x ，若a x f ≥)(2恒成立，则实数a 的取值范围为_______．16．如图正四面体ABCD ，E 为棱BC 上的动点，则异面直线．．．．BD 和AE 所成角的余弦值的范围为 _______．17．设集合A=]1,21[),21,0[=B , 函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+=Bx x Ax x x f ),2(log ,21)(2， 若0x A ∈, 且0[()]f f x A ∈,则0x 的取值范围是_________．BCAE611．60人 12. 12cm 213．29 14．510 15．231-≤a 16．)21,0[ 17．)21,223(-。

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（七）1．已知函数)4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(.2---x x π. (1)求函数f(x)的最小正周期和最值； (2)求函数f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1))4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(2---x x π32cos )4(sin 322--+=x x πxx 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=xππ==∴22T当2262πππ+=-k x 即)(3Z k k x ∈+=ππ时，f(x)取最大值2；当2262πππ-=-k x 即)(6Z k k x ∈-=ππ时，f(x)取最小值-2.(2)由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ，得)(653z k k x k∈+≤≤+ππππ ∴单调递减区间为)](65,3[z k k k ∈++ππππ. 2． 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为2141，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ； 【答案】解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为8121411=⨯=P ，…………………2分付2元为8141212=⨯=P ， 付4元为16141413=⨯=P (4)分则所付费用相同的概率为165221=++=P P P P ……………6分 （2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=…………………10分分布列ξ0 24 6 8P18 516516 316 1165591784822E ξ=+++=…………………14分3. 如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，060=∠ABC ，E 为BC 的中点，⊥1AA 平面ABCD ．⑴证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； ⑵若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1 所成角的余弦值．【答案】⑴依题意，CD AB BC EC BE ====21……1分，所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……2分，又00030)120180(21=-⨯=∠CED ……3分，所以090=∠AED ，AE DE ⊥……4分，因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1……5分，因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1……6分，因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1……7分．⑵取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ……8分，连接C B 1，则D A C B EF 11////……9分，所以A E F ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角……10分。

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（二）1．已知向量a )3cos3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x xa ==，函数()f x ab =a ·b ， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC的三边a 、b 、c 满足acb =2，且边b 所对的角为x ，试求x的范围及函数)(x f 的值域．解：122()()sin cos cos sin cos )33332331222sin cos sin()23232332x x x x x xf x a b x x x π=⋅=+=++=++=++Ⅰ3分令2233222πππππ+≤+≤-k x k ，解得，)(,43453Z k k x k ∈+≤≤-ππππ.故函数)(x f 的单调递增区间为)(],43,453[Z k k k ∈+-ππππ.6分 22222221(),cos .2222a cb ac ac ac ac b ac x ac ac ac +-+--===≥=Ⅱ8分953323,301cos 21ππππ≤+<∴≤<<≤∴x x x ，， 2sinsin()1333x ππ∴<+≤， 10分23123)332sin(3+≤++<∴πx 即)(x f 的值域为]231,3(+. 综上所述，)(],3,0(x f x π∈的值域为]231,3(+. 12分2．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为624=C ， 2分当2=ξ时，摸出小球所标的数字为1，1，61)2(==ξP ， 当4=ξ时，摸出小球所标的数字为2，2，61)4(==ξP ，可知，当3=ξ时，3261611)3(=--==ξP ； 5分得ξ的分布列为：12343636E ξ=⨯+⨯+⨯=；7分（Ⅱ）由“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”可知0)3()2(<f f ，即0)38)(23(<--ξξ，解得3823<<ξ， 又ξ的可能取值为2，3，4，故2=ξ，∴事件A 发生的概率为61。

2012考前金题巧练（6） 祝你成功 1.已知函数. （Ⅰ）数列求数列的通项公式； （Ⅱ）已知数列，求数列的通项公式； （Ⅲ）设的前n项和为Sn，若不等式对所有的正整数n恒成立，求的取值范围。

2．已知数列中，，，记为的前项的和． （Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求； （Ⅲ）不等式对于一切恒成立，求实数的最大值. 3．已知数列的前五项依次是. 正数数列的前项和为，且.（Ⅰ）通过观察和归纳写出符合条件的数列的一个通项公式； （Ⅱ）求的表达式；（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，，当时，设，是数列的前项和，且恒成立，求实数的取值范围. 4.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? . 5.已知：数列，中，=0，=1，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列.（Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）求最小自然数，使得当≥时，对任意实数，不等式≥恒成立； （Ⅲ）设 （∈），求证：当≥2都有＞2. 6．直线过（1，0）点，且关于直线y=x对称的直线为，已知点在上，。

当n≥2时，有 （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求{ an}的通项公式； （Ⅲ）设求数列{ bn}的前n项和Sn 7．已知数列{ an }的前n项和Sn满足，Sn=2an+（—1）n，n≥1。

（Ⅰ）求数列{ an }的通项公式； （Ⅱ）求证：对任意整数m>4，有 8．已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列.求证：数列是等比数列；若，当时，求数列的前项和；若，问是否存在，使得中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由数列{an}满足：(n≥3)． （Ⅰ）求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式； ，数列{}的前n项和为Sn，求证：n<Sn<n+1． 10.已知数列中，. （Ⅰ）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式； （Ⅱ）设， 求的最大值。

佛山三水中学2012届高三临考集训试卷理科数学试题一、选择题 （共8小题，每小题5分，共40分..） 1.设全集U=R,集合，，若A 与B 的 关系如右图所示,则实数a 的取值范围是 （A ）（B ） （C ） （D ）2．在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）]2,[πππk k +k ∈Z （B ）],2[ππππ++k k k ∈Z（C ）]2,2[πππ+k k k ∈Z （D ）]22,2[ππππ++k k k ∈Z4.41(2)x x-的展开式中的常数项为 （A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）245.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）66．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是 ． （A ）① ③ （B ）①④ （C ）② ③ （D ）②④(1)(2)(3)7. .如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B .864.0C. 720.0D. 576.08.定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为（A ）12（B ）2 （C ）89 （D ）98二、填空题 （本题共6小题，每小题5分，共30分.其中9—13题为必做题，14—15为选做题） （一）必做题 9—139. 如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，11．已知非零向量，满足||332||||=-=+， 则b a +与b a -的夹角为 ．12．过点P )1,2(的双曲线与椭圆1422=+y x 共焦点，则其渐近线方程是 ． 13.已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 .(二)选做题14—1514．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标下，曲线122:()x t aC t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，曲线22cos :()12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ．15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为 ．K A 1A 216．（本小题满分12分）已知23cos 3cos sin )(2-+-=x x x x f ωωω的周期为2π （1）求()x f 的最大值以及取最大值时x 的集合 （2）已知()31=αf ，且α)2,0(π∈，求)265cos(απ+17.（本小题满分12分）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）已知DB C ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，120=∠=∠D B C C B A ，求：⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．19. （本小题满分14分）已知⊙O ：122=+y x ，M 为抛物线x y 82=的焦点，P 为⊙O 外一点，由P 作⊙O 的切线与圆相切于N 点，且2=PMPN（1）求点P 的轨迹C 的方程（2）设A 为抛物线x y 82=准线上任意一点，由A 向曲线C 作两条切线AB 、AC ，其中B 、C 为切点。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练（8）1.函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;(2) 假设θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值. (本小题要紧考查三角函数性质,同角三角函数的差不多关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos2x x =+……1分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭……2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,. ……5分(2)解法1:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.……6分 ∴1cos 23θ=.……7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==……9分∴22tan 1tan θθ=-……10分2tan 0θθ+-=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan θ=tan θ=不合题意,舍去)……11分∴tan 2θ=.……12分解法2:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.……7分 ∴212cos 13θ-=.……8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos θ=.……9分∴sin 3θ==.……10分∴sin tan cos 2θθθ==.……12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.……7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……8分 ∴sin tan cos θθθ=……9分 22sin cos 2cos θθθ=……10分 sin 21cos 2θθ=+=……12分 2.2017年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D 两个动作，竞赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员 的成绩。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练（6）1、函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2cos 2cos sin 2)(〔其中0>b ，0>ω〕的最大值为2，直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为2π、 ⑴求b ，ω的值； ⑵假设32)(=a f ，求)465sin(a -π的值、 【答案】解：⑴)2sin(12cos 2sin )(2ϕωωω++=+=xb x b x x f ……2分，ππ=⨯=22T ……3分，ωπωπ==22T ，因此1=ω……4分， 解212=+b 得3±=b ……5分，因为0>b ，因此3=b ……6分⑵)32sin(2)(π+=x x f ……7分，由32)(=a f 得31)32sin(=+πα……8分，)32(2cos )]32(223sin[)465sin(παπαπαπ+-=+-=-〔或设32παβ+=，那么32πβα-=，βπαπ223465-=-，从而βαπ2cos )465sin(-=-〕……10分1)32(sin 22-+=πα…11分，97-=……12分、2、如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不妨碍，(1)为了尽最大可能在各自同意的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在同意的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望、【答案】(1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1,2.用频率可能相应的概率可得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P (A 1)>P (A 2)，∴甲应选择L 1； P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 2)>P (B 1)，∴乙应选择L 2. (2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自同意的时间内赶到火车站，由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立，∴P (X ＝0)＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04，P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54. ∴X 的分布列为PABCDE∴E (X )＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5(人)、 3、如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=.(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ； (2)求三棱锥D －PAC 的体积；(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值、DCBAP【答案】(1)证明：∵ABCD 为矩形∴AD AB ⊥且//AD BC ………1分∵BC PB ⊥∴DA PB ⊥且AB PB B =………2分 ∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ⊂平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB ………4分 (2)∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===………5分由〔1〕知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB ………7分∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅11216=⨯⨯=9分〔3〕解法1：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，那么依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C,1,0)2P -可得35(,1)2CP =--,………11分平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =， 设直线PC 与平面ABCD 所成角为θ，那么cos()2||||m CP mCP πθ⋅-===⋅13分 ∴sin θ=，即直线PC 与平面ABCD ………14分解法2：由〔1〕知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂面ABCD∴平面ABCD ⊥平面PAB,在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ， 那么PE ⊥平面ABCD ，连结EC ，那么∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角……11分 在Rt △PEA 中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴PE =,又2222cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅=∴PC =在Rt △PEC中sin PE PC θ===即直线PC 与平面ABCD (14)分4、各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列、(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，假设T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值、解：〔1〕设公差为d 。

三水中学2012届高三临考集训试卷理科数学试题一、选择题 （共8小题，每小题5分，共40分..）1.设全集U=R,集合，，若A 与B 的关系如右图所示,则实数a 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）2．在复平面内，复数1i i+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是 （A ）]2,[πππk k +k ∈Z （B ）],2[ππππ++k k k ∈Z （C ）]2,2[πππ+k k k ∈Z （D ）]22,2[ππππ++k k k ∈Z4.41(2)x x-的展开式中的常数项为（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）245.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）66．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；(1)(2)(3)③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是 ． （A ）① ③ （B ）①④ （C ）② ③ （D ）②④7. .如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B .864.0C. 720.0D. 576.08.定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}na 满足：()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则ka 的值为（A ）12 （B ）2 （C ）89 （D ）98二、填空题 （本题共6小题，每小题5分，共30分.其中9—13题为必做题，14—15为选做题）（一）必做题 9—139. 如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，11．已知非零向量，满足||332||||=-=+，则+与-的夹角为 ．12．过点P )1,2(的双曲线与椭圆1422=+y x 共焦点，则其渐近线方程是 ．13.已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 .(二)选做题14—15KA 1A 214．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标下，曲线122:()x t aC t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，曲线22cos :()12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ．15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为 ．16．（本小题满分12分）已知23cos 3cos sin )(2-+-=x x x x f ωωω的周期为2π（1）求()x f 的最大值以及取最大值时x 的集合 （2）已知()31=αf ，且α)2,0(π∈，求)265cos(απ+17.（本小题满分12分）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）已知DBC ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，120=∠=∠DBC CBA ，求：⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．19. （本小题满分14分）已知⊙O ：122=+y x ，M 为抛物线x y 82=的焦点，P 为⊙O 外一点，由P 作⊙O 的切线与圆相切于N 点，且2=PMPN（1）求点P 的轨迹C 的方程（2）设A 为抛物线x y 82=准线上任意一点，由A 向曲线C 作两条切线AB 、AC ，其中B 、C 为切点。