立体几何考点剖析与复习建议

讲透重点难点高中数学立体几何高中数学立体几何的重点和难点主要集中在以下几个方面：1.空间想象力：立体几何要求学生对三维空间有清晰的认识和想象力。

这包括理解点、线、面的位置关系，以及通过平面图形想象出立体图形。

2.截面与投影：理解并掌握各种几何体（如柱体、锥体、球体等）的截面和投影是立体几何的关键。

学生需要了解如何通过平面去截取几何体得到不同的截面图形，以及如何将三维图形投影到二维平面上。

3.空间距离与角度：计算空间中的距离和角度是立体几何的另一个重要内容。

学生需要掌握空间中两点间的距离公式，以及线面角、二面角等角度的计算方法。

4.空间向量：空间向量是解决立体几何问题的重要工具。

学生需要理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算（如加法、减法、数乘、点积、叉积等），并能够应用空间向量解决各种立体几何问题。

5.几何体的表面积与体积：计算几何体的表面积和体积是立体几何的常见题型。

学生需要掌握各种几何体（如柱体、锥体、球体等）的表面积和体积公式，并能够灵活应用这些公式解决问题。

为了突破这些难点，学生可以采取以下策略：1.多做练习：通过大量的练习，加深对立体几何概念和方法的理解，提高解题能力。

2.归纳总结：及时归纳总结所学的知识点和方法，形成自己的知识体系，便于记忆和应用。

3.借助工具：利用图形计算器或计算机软件等工具，辅助进行空间想象和计算，提高解题效率。

4.寻求帮助：遇到难题时，及时向老师或同学请教，共同探讨解决问题的方法。

总之，高中数学立体几何需要学生具备扎实的基础知识和良好的空间想象力，通过不断的练习和总结，逐步掌握解题技巧和方法。

高中数学立体几何学习的六点建议【编者按】立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。

因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。

因此我们特别针对立体几何总结了这六点学习建议，以便同学们更好的掌握有关立体几何的内容。

一、逐渐提高逻辑论证能力论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。

符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。

切忌条件不全就下结论。

其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出二、立足课本，夯实基础直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。

例如：三垂线定理。

定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。

但定理的证明在出学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。

掌握好定理有以下三点好处：（1）深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。

（2）培养空间想象力。

（3）得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。

对后面的学习也打下了很好的基础。

三、“转化”思想的应用我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。

例如：（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。

斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

（2）异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。

而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

（3）面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。

2025年高考数学立体几何全方位剖析在高考数学中，立体几何一直是一个重要且具有挑战性的板块。

对于即将参加 2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握立体几何的知识与解题技巧至关重要。

接下来，让我们对其进行全方位的剖析。

一、立体几何在高考中的地位和考查趋势立体几何在高考数学中占据着相当重要的地位。

它不仅能够考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力，还能检验对数学基本概念和定理的掌握程度。

近年来，高考中对立体几何的考查呈现出一些明显的趋势。

首先，题目更加注重与实际生活的联系，通过构建真实的场景，如建筑设计、包装问题等，来考查同学们运用立体几何知识解决实际问题的能力。

其次，对空间向量的运用要求逐渐提高，利用空间向量解决角度和距离问题成为常见考点。

再者，综合性更强，常常将立体几何与函数、不等式等知识相结合，增加了题目的难度和复杂性。

二、立体几何的基本概念和定理1、点、线、面的位置关系点是构成空间几何体的基本元素，线是由无数个点组成，面则是由线所围成。

其中，线线、线面、面面的平行与垂直关系是重点。

2、棱柱、棱锥、棱台棱柱具有两个平行且全等的底面，侧面是平行四边形。

棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面。

棱台则是由棱锥截去一部分得到，上下底面平行且相似。

3、圆柱、圆锥、圆台圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转而成，圆锥以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成，圆台是由圆锥截去一部分得到。

4、球球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，其表面积和体积公式需要牢记。

三、立体几何中的空间向量空间向量为解决立体几何中的角度和距离问题提供了一种有力的工具。

1、向量的坐标表示建立合适的空间直角坐标系，确定点的坐标，从而表示出向量的坐标。

2、线线角通过向量的点积公式计算两直线方向向量的夹角余弦值，进而得到线线角。

3、线面角找出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出线面角。

4、面面角计算两个平面的法向量夹角，再根据二面角的大小与法向量夹角的关系求出面面角。

高中数学的归纳立体几何中的常见问题解析与解题方法立体几何作为高中数学中的一个重要分支，是学生们遇到的较为复杂和抽象的数学知识之一。

在这个领域中，归纳推理是解决问题的重要方法之一。

本文将针对高中数学中归纳立体几何的常见问题，分析其解题方法，帮助学生们更好地掌握这一知识。

一、平面几何的归纳思维在解决立体几何问题时，平面几何的归纳思维是非常重要的。

通过观察、总结和归纳，我们可以找到一些规律，从而解决问题或推导出结论。

下面，我们以立体的表面积和体积问题为例，介绍归纳思维的应用。

1. 立方体的体积问题立方体是最基础的立体之一，其体积的计算是立体几何中的一个重要问题。

我们可以通过观察立方体的结构，发现其体积与边长之间存在着一定的关系。

进而通过归纳思维，我们可以得出结论：立方体的体积等于边长的立方。

2. 圆柱的表面积问题圆柱是另一个常见的立体，其表面积的计算同样是立体几何中的重点内容。

通过观察不同半径和高度的圆柱，我们可以发现其表面积与半径和高度之间存在着一定的关系。

由此，我们可以归纳出结论：圆柱的表面积等于两个底面积和侧面积之和。

二、解体思路与技巧除了归纳思维，掌握解题的思路和技巧也是高中数学归纳立体几何的关键。

下面，我们将介绍一些解题思路和技巧，帮助学生们更好地解决立体几何中的常见问题。

1. 利用平行关系平行关系是解决立体几何问题中常用的思路之一。

通过观察立体的各个部分，我们可以找到平行的线段、平面或面对面的关系。

利用平行关系，可以得出许多有用的结论，进而解决问题。

举例来说，当我们需要计算一个立体的体积时，可以通过将其分成若干个平行的截面，然后计算每个截面的面积，并将其相加，从而求得整个立体的体积。

2. 利用相似关系相似关系也是解决立体几何问题的常用技巧之一。

当两个立体之间存在相似的关系时，我们可以利用相似关系来求解未知量。

举例来说，当我们需要求解一个复杂立体的某一部分的长度或面积时，可以先找到一个与之相似且已知部分的长度或面积，然后利用相似比例来求解未知量。

高中数学立体几何学习的六点建议【编者按】立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。

因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。

因此我们专门针对立体几何总结了这六点学习建议，以便同学们更好的把握有关立体几何的内容。

一、逐步提高逻辑论证能力论证时，第一要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的明白得要做到准确无误。

符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。

切忌条件不全就下结论。

其次，在论证问题时，摸索应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法（“推出法”）形式写出二、立足课本，夯实基础直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径确实是认真学习定理的证明，专门是一些专门关键的定理的证明。

例如：三垂线定理。

定理的内容都专门简单，确实是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。

但定理的证明在出学的时候一样都专门复杂，甚至专门抽象。

把握好定理有以下三点好处：（1）深刻把握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地点，如何用。

（2）培养空间想象力。

（3）得出一些解题方面的启发。

在学习这些内容的时候，能够用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以关心提高空间想象力。

对后面的学习也打下了专门好的基础。

三、“转化”思想的应用我个人觉得，解立体几何的问题，要紧是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是专门关键的。

例如：（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。

斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

（2）异面直线的距离能够转化为直线和与它平行的平面间的距离，也能够转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者能够相互转化。

而面面距离能够转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

立体几何高考内容分析与复习建议内容提要：本文通过对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略。

本文还提出了几种对空间角与距离的解法。

关键词：空间想象能力，转化化归思想、向量代数法。

2004年是广东省采用数学新课程的第一次高考，虽说高考对立体几何的考查一直是以能力为主，对能力考查的要求有一年比一年提高的趋势，题型也相对较为稳定。

但新旧课程在内容、考试要求、教学要求、教材的编排体系等毕竟有相当大的改变，因此我们进行高三立体几何复习时，有必要对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略，争取在2004年高考中获得全面丰收。

以下谈谈笔者的一些看法：一、立体几何内容分析（一）新旧教材比较：在考试内容方面：新教材中删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）。

增加了正多面体与欧拉定理；增加了空间向量及其加、减法，与数乘运算；空间向量的数量积；空间向量的坐标表示，及其对应的加减法，数乘与数量积运算；平面法向量等内容。

在考试要求方面：删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）的面积与体积公式，淡化了三垂线定理及其逆定理的要求，增加了理解空间向量与空间向量坐标的概念，掌握空间向量的加减法、数乘与数量积的概念；及其对应坐标的加减法，与数乘运算；理解直线的方向向量、平面的法向量等内容。

突出了利用空间向量知识解决求空间角、空间距离；证明平行与垂直的问题，明确了对传统几何的向量化思想。

同时也体现了对解决问题的方法上的灵活性，重点让学生掌握向量代数法，同时也兼顾传统几何综合推理方法。

（二）复习重点：（1）线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质；三垂线定理及其逆定理的应用；（2）空间向量的概念、性质与运用；（3）空间角与距离的概念和计算；（4）特殊棱柱、棱锥的定义、性质；（5）棱柱、棱锥中线线、线面与面面的位置关系，线线、线面与面面所成角的构造与计算；（特别注重向量代数法来计算角）（三）复习难点：（1）找到要计算的角、距离等；（2）掌握应用向量解决立体几何的问题；（3）平面图形与空间图形相互转换，即空间想象能力进一步提高；以及转化化归思想、类比思想等的培养。

高考立体几何命题分析和复习建议高考立体几何命题分析和复习建议一、考纲中对立体几何与空间向量的要求(1)空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;②知道平行投影与中心投影的概念，了解空间图形的不同表示形式;③能画出简单空间图形(长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图;④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)(2)点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下的公理和定理:定理1, 2,3, 4及定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补;②理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

理解以下判定定理和性质定理:(判定定理和性质定理各4个，略)③能运用公理、定理和己获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

④能根据定义解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的简单计算问题。

(3)空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正夕分解及其坐标表示;②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直;(4)空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量的概念;②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)④能用向量方法解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

文科在这部分内容中，共学习必修2两章按课程标准规定的课时数，文科数学总课时数是252课时，这两章的课时数是18课时，约占7%，试卷中期望的分数应是11分.而全国新课程卷考查了两个小题一个大题，分值达到了22分.可见这部分的知识虽然课时数不多，但是份量却不轻，占到总分的15%。

立体几何高考内容分析与复习建议何永生番禺区象贤中学（原增城市郑中钧中学）内容提要：本文通过对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略。

本文还提出了几种对空间角与距离的解法。

关键词：空间想象能力，转化化归思想、向量代数法。

2004年是广东省采用数学新课程的第一次高考，虽说高考对立体几何的考查一直是以能力为主，对能力考查的要求有一年比一年提高的趋势，题型也相对较为稳定。

但新旧课程在内容、考试要求、教学要求、教材的编排体系等毕竟有相当大的改变，因此我们进行高三立体几何复习时，有必要对新旧教材在内容、考试要求、教学重点难点、以及近几年来的新旧课程的高考试题特点等进行研究，制定相应的复习策略，争取在2004年高考中获得全面丰收。

以下谈谈笔者的一些看法：一、立体几何内容分析（一）新旧教材比较：在考试内容方面：新教材中删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）。

增加了正多面体与欧拉定理；增加了空间向量及其加、减法，与数乘运算；空间向量的数量积；空间向量的坐标表示，及其对应的加减法，数乘与数量积运算；平面法向量等内容。

在考试要求方面：删除了棱台，旋转体（圆锥、圆柱、圆台、球冠及球缺等）的面积与体积公式，淡化了三垂线定理及其逆定理的要求，增加了理解空间向量与空间向量坐标的概念，掌握空间向量的加减法、数乘与数量积的概念；及其对应坐标的加减法，与数乘运算；理解直线的方向向量、平面的法向量等内容。

突出了利用空间向量知识解决求空间角、空间距离；证明平行与垂直的问题，明确了对传统几何的向量化思想。

同时也体现了对解决问题的方法上的灵活性，重点让学生掌握向量代数法，同时也兼顾传统几何综合推理方法。

（二）复习重点：（1）线线、线面、面面平行和垂直的判定与性质；三垂线定理及其逆定理的应用；（2）空间向量的概念、性质与运用；（3）空间角与距离的概念和计算；（4）特殊棱柱、棱锥的定义、性质；（5）棱柱、棱锥中线线、线面与面面的位置关系，线线、线面与面面所成角的构造与计算；（特别注重向量代数法来计算角）（三）复习难点：（1）找到要计算的角、距离等；（2）掌握应用向量解决立体几何的问题；（3）平面图形与空间图形相互转换，即空间想象能力进一步提高；以及转化化归思想、类比思想等的培养。

高中数学中的立体几何问题解析与技巧总结在高中数学学习中，立体几何是一个重要的内容，掌握立体几何的解析方法和技巧对于解题非常有帮助。

本文将针对高中数学中的立体几何问题进行解析，并总结出一些解题技巧，帮助读者更好地理解和应用立体几何知识。

立体几何是研究立体图形的性质和关系的数学分支，它与平面几何相辅相成，共同构成了几何学的基础。

在立体几何中，我们经常遇到的问题主要包括计算体积、表面积、求解空间几何体之间的位置关系等。

一、计算体积和表面积的方法在计算立体几何体的体积和表面积时，我们需要根据给定的条件和几何体的性质来选择合适的计算方法。

1. 计算体积的方法计算立体几何体的体积，需要根据几何体的形状和给定的条件，选择合适的公式进行计算。

下面以常见几何体为例，列举一些计算体积的公式：- 矩形长方体的体积公式：V = lwh，其中l为长，w为宽，h为高。

- 正方体的体积公式：V = a^3，其中a为边长。

- 圆柱体的体积公式：V = πr^2h，其中r为底面半径，h为高。

- 圆锥体的体积公式：V = (1/3)πr^2h，其中r为底面半径，h为高。

- 球体的体积公式：V = (4/3)πr^3，其中r为半径。

2. 计算表面积的方法计算立体几何体的表面积，同样需要根据几何体的形状和给定的条件，选择合适的公式进行计算。

下面以常见几何体为例，列举一些计算表面积的公式：- 矩形长方体的表面积公式：S = 2lw + 2lh + 2wh，其中l为长，w 为宽，h为高。

- 正方体的表面积公式：S = 6a^2，其中a为边长。

- 圆柱体的表面积公式：S = 2πrh + 2πr^2，其中r为底面半径，h为高。

- 圆锥体的表面积公式：S = πrl+ πr^2，其中r为底面半径，l为母线长。

- 球体的表面积公式：S = 4πr^2，其中r为半径。

二、解决立体几何问题的技巧在解决立体几何问题时，除了熟悉计算公式外，还需要灵活运用几何知识和解题技巧。

数学初中必考立体几何知识点解析与解题技巧分享立体几何是中学数学中一个重要的分支，也是学生们必须要掌握的知识之一。

在中学数学考试中，立体几何占据了相当大的比重，因此对于学生来说，熟练掌握立体几何的知识点和解题技巧是非常重要的。

本文将对初中数学中常考的立体几何知识点进行解析，并分享一些解题技巧，帮助同学们更好地应对考试。

一、平面图形的投影在立体几何中，我们常常需要通过平面图形的投影来描述立体图形。

平面图形的投影是指将立体图形在某个平面上的投影形状。

常见的平面图形的投影包括正交投影和斜投影两种。

1. 正交投影正交投影是指将立体图形在垂直于某个平面的方向上进行投影。

常见的正交投影包括正交投影在水平面上的投影和正交投影在垂直平面上的投影。

2. 斜投影斜投影是指将立体图形在与其不垂直的平面上进行投影。

斜投影具有更真实的效果，能够更好地展示立体图形的形状和大小。

二、常见的立体几何图形在初中数学考试中，常见的立体几何图形主要包括长方体、正方体、棱柱、棱锥、棱台等。

1. 长方体和正方体长方体是一个有六个面的立体图形，其中相对的两个面是相等的长方形。

正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

在解题过程中，我们可以运用长方体和正方体的性质来求解。

例如，我们可以利用长方体的体积公式V=a×b×c来计算长方体的体积。

2. 棱柱、棱锥和棱台棱柱是一个有两个相等的并行底面，并连接底面上对应顶点的直线段的立体图形。

棱锥是一个只有一个底面，并连接底面各点到一个顶点的直线段的立体图形。

棱台则是一个有一个底面和一个顶面，并连接底面各点到顶面各点的直线段的立体图形。

解题时，我们需要了解棱柱、棱锥和棱台的性质，例如棱锥的体积公式V=1/3×底面积×高。

三、解题技巧分享除了掌握立体几何的基本知识点外，还需要掌握一些解题技巧，以下是一些解题技巧的分享：1. 画图在解立体几何题目时，画图是非常重要的一步。

关于立体几何复习的几点建议一、知识网络。

两条直线位置关系直线与平面平面与平面两条异面直线所成的角基本概念角直线和平面所成的角二面角和它的平面角两异面直线间的距离距离直线与平面间的距离两平面间的距离平面的性质——三个公理及其三个推论两直线平行的判定与性质平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质两平面平行的判定与性质直线与平面两直线垂直的判断与性质公理与定理垂直的判断与性质直线和平面垂直的判断与性质两平面垂直的判断与性质与平行、垂直有关的存在唯一性定理其他斜棱柱棱柱多面体直棱柱——正棱柱面积、体积公式简单几何体棱柱——正棱锥表面积公式球体体积公式二重点难点本章重点是平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面及平面与平面之间的关系。

使学生建立正确的空间概念，在对图形的认识方面实现由平面到立体的过渡是学习立体几何的难点，要实现由平面向空间的过渡必须（1）有序建立图形、文字、符号三种数学语言的联系。

（2）联系平面图形的知识，利用对比、引伸、联想的方法找出平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，先将立体图形转化为平面图形。

三 命题研究本章高考命题形式比较稳定，主要考查线线、线面、面面的平行与垂直，及空间角和距离的计算，及面积、体积的计算，着重考查学生的空间想象能力，近年来在传统题型的基础上，进行了一些改革，出现了开放题型及探索性题型，考查了学生综合运用知识的能力。

四 复习建议（一）、立足课本，重点突出在复习中，首先要夯实概念，弄清概念的内含和外延，其次定理的内容是什么及怎样运用这些定理，再把这些知识网络化，把知识转化为能力。

在高考试题中，常出现考查学生对概念及定理的理解和运用。

例1（05全国Ⅰ）在正方形''''D C B A ABCD 中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 ①③④ 。

“立体几何”高考剖析及2022年备考指南目录一、考查内容分析 (2)1.内容 (2)2.题型 (2)3.分值 (2)4.难度 (2)5.思想方法 (2)二、命题思路分析 (2)类型一以三视图为背景考查空间想象能力 (3)类型二在典型的情境中考查线面平行与垂直关系 (5)类型三基于典型的简单几何体刻画空间几何图形位置关系 (10)类型四多选题、开放题丰富了考查的形式和内容 (13)类型五通过应用问题考查数学阅读和知识运用 (23)类型六模型化解题模式体现对数学学科核心素养的考查 (26)类型七综合法和向量法为个性化解题提供可能 (29)三、复习建议 (32)1.夯实基础,用典型几何体培养基本思维模式 (33)2突出重点,以线面位置关系作为基石 (33)3.提升思想,以核心素养的提升为目标 (33)4.适度创新,适应高考改革和发展的要求 (33)“立体几何”高考剖析及2022年备考指南2021年高考立体几何试题延续近几年来的命题风格,以朴实简洁的试题形式,突出对立体几何基础知识和基本思想方法的考查.在不同情境中,考查学生对空间图形的观察和分析能力,运用符号语言和图形语言论证几何关系的能力,以及对几何图形和几何量进行运算求解的能力.实现了从多角度、多层次考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.试题突出了基础性,兼顾了综合性和应用性.一、考查内容分析1.内容2021年高考数学试卷中的立体几何试题的主要内容有三个方面：一是对空间几何体的基本结构和度量的考查,主要内容有三视图和直观图、简单多面体和旋转体的性质、空间线段长度、表面积与体积；二是对空间点、直线、平面位置关系的考查,主要内容有直线、平面平行和垂直关系的判定、性质与应用,异面直线所成的角,直线与平面所成的角,两平面所成的二面角；三是立体几何的应用问题,主要内容是以典型的空间几何体为背景,以线面几何关系为切入点的实际问题,指向是实际问题中的长度、角度、面积和体积的计算.2.题型2021年高考立体几何试题涵盖了数学试题中的所有题型,有单选题、多选题、填空题和解答题.除了传统的试题表现形式外,也增加了开放题和应用题等试题形式,丰富了立体几何的考查方式.3.分值2021年每份高考数学试卷中的立体几何试题基本都是两道客观题、一道主观题,约22分,占全卷总分的15%左右,与解析几何试题的考查分量相当,仅次于函数与导数试题的考查分量,是数学学科考查的主要内容之一.采用新高考模式的数学试卷中的立体几何试题,其内容和形式与原全国卷没有本质上的变化,试题的占比与以往基本相同.4.难度2021年高考数学全国卷中的立体几何试题的难度总体上保持稳定,以容易题和中等题为主,而且试题往往都以学生熟悉的形态出现,文、理科立体几何试题基本上是相同试题或相似试题.文、理科试题类型基本相同,难度相差较小,文科稍微容易些.5.思想方法2021年高考数学试卷中的立体几何试题突出考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养,试题突出对转化与化归和数形结合的数学思想的要求,以直线与平面的位置关系作为空间问题的转化枢纽,实现空间问题平面化、几何问题数量化的目标.试题以对空间图形进行分解、组合、转换等手段,实现典型问题的变式转化和解决问题方法的灵活选择,大多数立体几何试题都能在教材中找到原型,做到了试题命制源于教材而高于教材.二、命题思路分析立体几何试题命制的基本依据是四个基本事实,空间直线、平面位置关系的概念与空间角的概念,以及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定定理和性质定理,空间直角坐标系与空间向量.通过立体几何试题的不同呈现形式,要求学生能用定义、判定定理和性质定理证明空间基本图形的位置关系的简单命题,能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,会用向量方法解决立体几何中的夹角问题,会将立体几何中的各种夹角问题都转化为两个向量的夹角.2021年高考数学立体几何试题都是以最常见的空间几何体为命制背景,特点鲜明.解答题主要以三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱（包括正方体）为背景,因为这几个典型的空间几何体已经能够表现丰富的几何关系,能在学生熟悉的情境中考查最核心的内容,不人为设置障碍、不考细枝末节问题是立体几何试题的特点.对旋转体内容的考查多以选择题和填空题的形式呈现,主要考查旋转体的结构特征、性质、表面积和体积等基础知识.在选择题和填空题的命制中,通过三视图、线面平行或垂直关系的判断、面积和体积的计算等内容,以识图、画图、想图、用图等方式考查学生的空间想象能力.在解答题的命制中,通过直线与平面的平行或垂直关系的论证,要求从已有的正确前提到被论证的结论之间建立逻辑推理过程,考查学生的知识储备和演绎推理能力,从而实现对学生理性思维的考查；在直线、平面的有关夹角的计算中,重点考查学生的数学转化能力和运算求解能力,通过建立空间直角坐标系,用向量语言表述几何对象,对几何图形和各几何量进行运算求解,体现出对核心内容和思想方法的重点考查. 具体地,2021年高考数学立体几何试题的命题呈现出以下几个方面的特点.类型一以三视图为背景考查空间想象能力例1（全国甲卷·理6）在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G．该正方体截去三棱锥A EFG-后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是()A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图【分析】作出正方体,截去三棱锥A EFG-,根据正视图,摆放好正方体,即可求解侧视图．【解答】解：由题意,作出正方体,截去三棱锥A EFG-,根据正视图,可得A EFG-在正方体左侧面,如图,根据三视图的投影,可得相应的侧视图是D图形,故选：D．【评析】该题以正方体为载体,以三视图为切入点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.用三视图中的一个视图来推理辨识另外的视图,是立体几何试题命制形式的创新.通过对原正方体的想象和还原,以达到对各个视图的辨别,体现出在熟悉的情境中考查空间想象能力的要求拓展题1．如图，模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为()A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤【分析】先补齐中间一层，说明必须用⑤，然后的第三层，可以从余下的组合中选取即可．【解答】解：先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其它两块．故选：A ．【评析】本小题主要考查空间想象能力，有难度，是中档题．拓展题2．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出几何体的图形，容易得出圆柱与棱锥的截面图形．【解答】解：由题意作出图形，如图所示；SO ⊥底面BPM ，过侧棱SB 与高的平面ABCD截得圆柱与圆柱内接正三棱锥S BPM -，截面图形为D 选项．故选：D ．【评析】本题考查了三棱锥的结构特征以及圆柱的内接三棱锥的应用问题，与考查空间想象能力，是基础题．例2、（2021浙江卷4）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ）A .32B .3C .322D .32 【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体,根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -,其高为1,底面为等腰梯形ABCD ,该等腰梯形的上底为2,下底为22,腰长为1,故梯形的高为12122-=, 故()11111232221222ABCD A B C D V -=⨯+⨯⨯=, 故选：A .拓展题1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．23πB ．3C ．πD ．53π 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左侧为半圆锥，右侧为四分之一球，圆锥的底面半径为1，高为2，球的半径为1，再由圆锥体积公式及球的体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左侧为半圆锥，右侧为四分之一球，圆锥的底面半径为1，高为2，球的半径为1，则该组合体的体积231114212123433V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=． 故选：A ．【评析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．拓展题2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．πB ．3πC ．2πD ．34π+【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，再由圆柱体积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则该几何体的体积为21122ππ⨯⨯⨯=．故选：A ． 【评析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．类型二 在典型的情境中考查线面平行与垂直关系例1 （2021浙江卷6）如图已知正方体1111ABCD A B C D -,M ,N 分别是1A D ,1D B 的中点,则（） A .直线1A D 与直线1D B 垂直,直线//MN 平面ABCDB .直线1A D 与直线1D B 平行,直线MN ⊥平面11BDD BC .直线1AD 与直线1D B 相交,直线//MN 平面ABCDD .直线1A D 与直线1D B 异面,直线MN ⊥平面11BDD B【分析】由正方体间的垂直、平行关系,可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ,即可得出结论.【详解】连1AD ,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是1A D 的中点,所以M 为1AD 中点,又N 是1D B 的中点,所以//MN AB ,MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ,所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ,所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ,所以选项B ,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中,11AD A D ⊥,AB ⊥平面11AA D D ,所以1AB A D ⊥,1AD AB A ⋂=,所以1A D ⊥平面1ABD ,1D B ⊂平面1ABD ,所以11A D D B ⊥,且直线11,A D D B 是异面直线,所以选项B 错误,选项A 正确.故选：A .【评析】以正方体这类最典型的空间几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是立体几何试题命制的一大特点,体现在熟悉的情境中考查基础知识、基本能力的设想.直线A 1D 与直线D 1B 的位置关系的判定,涉及异面直线的判定、异面直线垂直的判定,而异面直线垂直的判定又可以通过线面垂直的判定得到.直线MN 与平面ABCD 及平面BDD 1B 1关系的判定通过直线MN 与直线AB 的平行关系得到.这种基于典型空间图形线面位置关系的考查,是立体几何试题命制的典型手法.拓展题1.已知正方体1111ABCD A B C D -,P 是直线1A C 上一点,( )A ．若1113A P AC =,则直线//AP 平面1BC DB ．若1112A P AC =,则直线//AP 平面1BC D C ．若1113A P AC =,则直线BP ⊥平面1ACD D ．若1112A P AC =,则直线BP ⊥平面1ACD 【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D xyz -,利用向量法求解．【解答】解：设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系D xyz -,如图,(1A ,0,0),(1B ,1,0),(0C ,1,0),1(0C ,1,1),(0D ,0,0),1(0D ,0,1),(1DB =,1,0),1(0DC =,1,1),(1AC =-,1,0),1(1AD =-,0,1),设平面1BC D 的法向量(n x =,y ,)z ,则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取1x =,得(1n =,1-,1),设平面1ACD 的法向量(m a =,b ,)c ,则100m AC a b m AD a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取1a =,得(1m =,1,1), 当1113A P AC =时,1(1A ,0,1),2(3P ,13,2)3,1(3AP =-,13,2)3, 1120333AP n ⋅=--+=,且AP ⊂/平面1BC D ,∴直线1//AP BC D ,故A 正确； 1(3BP =-,23-,2)3,BP 与m 不平行,∴直线BP 不垂直于平面1ACD ,故C 错误； 当1112A P AC =时,111(,,)222P ,111(,,)222AP -, 111102222AP n ⋅=--+=-≠,∴直线AP 垂直于平面1BC D ,故C 错误； 111(,,)222BP =--,BP 与m 不平行,∴直线BP 不垂直于平面1ACD ,故D 错误． 故选：A ．【评析】本题考查线面平行、线面垂直的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．例2（全国乙卷·理18）如图,四棱锥P ABCD -的底面是矩形,PD ⊥底面ABCD ,1PD DC ==,M 为BC 中点,且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法【分析】（1）连结BD ,利用线面垂直的性质定理证明AM PD ⊥,从而可以证明AM ⊥平面PBD ,得到AM BD ⊥,证明Rt DAB Rt ABM ∆∆∽,即可得到BC 的长度；（2）建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面的法向量,由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．【解答】解：（1）连结BD ,因为PD ⊥底面ABCD ,且AM ⊂平面ABCD ,则AM PD ⊥,又AM PB ⊥,PB PD P =,PB ,PD ⊂平面PBD ,所以AM ⊥平面PBD ,又BD ⊂平面PBD ,则AM BD ⊥,所以90ABD MAB ∠+∠=︒,又90ABD ADB ∠+∠=︒,则有ADB MAB ∠=∠,所以Rt DAB Rt ABM ∆∆∽, 则AD BA AB BM =,所以2112BC =,解得2BC =； （2）因为DA ,DC ,DP 两两垂直,故以点D 位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,则2(2,0,0),(2,1,0),(,1,0)2A B M ,(0P ,0,1), 所以(2,0,1)AP =-,22(,1,0),(,0,0),(2,1,1)22AM BM BP =-=-=--, 设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z =,则有00n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20202x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩, 令2x =,则1y =,2z =,故(2,1,2)n =,设平面BMP 的法向量为(,,)m p q r =,则有00m BM m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即20220p p q r ⎧-=⎪⎨⎪--+=⎩,令1q =,则1r =,故(0,1,1)m =, 所以||3314|cos ,|||||1472n m n m n m ⋅<>===⨯, 设二面角A PM B --的平面角为α,则22231470sin 11,1()1414cos cos n m αα=-=-<>=-=, 所以二面角A PM B --的正弦值为7014． 【评析】该题是以长方体为载体的立体几何试题.这个四棱锥是长方体中的一部分,是基于长方体命制的试题,.通过将线面关系PD ⊥底面ABCD ,·PB ⊥AM 转化为BD ⊥AM 实现空间几何关系向一个平面的转化,从而可以求得边BC 的长.对于二面角A -PM -B 的正弦值的问题,试题显然营造了两种计算途径：一是建立空间直角坐标系,运用向量的方法,将二面角大小的计算转化为两个向量的夹角,以点D 为坐标原点可以方便地建立空间直角坐标系D -xyz ；二是综合几何的方法,找出二面角A -PM -B 的平面角,在四棱锥P -ABCD 所构成的长方体中,二面角A -PM -B 就是平面P AM 与平面PEBC 所成的角.设F 为BE 的中点,则AF ⊥平面PBM ,四边形PEBC 是正方形.因此,可设CF 交PM 于点G ,则∠AGF 是二面角A -PM -B 的平面角.于是很容易在直角三角形中求得∠AGF 的正弦值拓展题1 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 中点．（1）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值；（2）求二面角P AM C --的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值．（2）求出平面PAM 的法向量和平面ACM 的法向量，利用向量法有求出二面角P AM C --的余弦值．【解答】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 中点，(2C ∴，4，0)，(0D ，4，0)，(0A ，0，0)，(0P ，0，4)，(0M ，2，2)，(2CD =-，0，0)，(2AC =，4，0)，(0AM =，2，2)，设平面ACM 的法向量(n x =，y ，)z ，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，得(2n =-，1，1)-，设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则||46sin 3||||26CD n CD n θ⋅===⋅． ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值为63． （2）平面PAM 的法向量(1m =，0，0)，平面ACM 的法向量(2n =-，1，1)-，设二面角P AM C --的平面角为θ，由题知θ为钝角，则||26cos ||||36m n m n θ⋅=-=-=-⋅． ∴二面角P AM C --的余弦值为63-． 【评析】本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．类型三 基于典型的简单几何体刻画空间几何图形位置关系题型一 几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 【解答】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形， 由正弦定理可得2sin6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A .【评析】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.拓展题1若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π 【答案】C【解答】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即,,m n l ，所以，这个球的表面积为,,m n l .故选：C ．【评析】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.拓展题2 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D四点的球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解答】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,1，3，所以21135R =++=，球面积254()52S ππ==，故选C . 拓展题3 已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为（ ）A ．2821πB ．99112πC ．6372π D ．1083π【答案】A【解答】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ， 四棱锥P ABCD -的体积是363，13633AB AB PQ =⨯⨯⨯ 1336332AB AB AB =⨯⨯⨯，所以边长6AB =，33PQ =，设OH x =，33OM x =-，()()2222223332R OA OM AM x ==+=-+，2222223R OP OH PH x ==+=+，23x =，2212321R =+= 3428213V R ππ==球.故选：A .拓展题4 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，5AD =，3ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为92π，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______. 【答案】20π 【解答】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且5AD =，3ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为221222AEAD ED r +===，设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则314923R ππ=，解得1322R =. PA ⊥平面ADE ，22112PA R r ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，可得22111022PA R r =-=，10PA ∴=. 正方形ABCD 的外接圆直径为22210r AC AD ===，2102r ∴=，PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径222252PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=. 故答案为：20π.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例1、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】23π 【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于223122AM =-=，故1222222S =⨯⨯=△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1332222r =⨯++⨯=， 解得：22r =，其体积：34233V r =π=π. 故答案为：23π.【评析】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.拓展题1 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．【解析】（1）因为16(1222S =⨯⨯⨯=，所以该六面体的表面积为2.（2，六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是6由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()6349R R =⨯⨯⨯⇒=，所以球的体积334433V R ππ===.故答案为： 2；729.类型四 多选题、开放题丰富了考查的形式和内容例 1 （全国新高考Ⅰ卷·12）在正三棱柱111ABC A B C -中,11AB AA == ,点P 满足1BP BC BB λμ=+ ,其中[0λ∈,1],[0μ∈,1],则( )A ．当1λ=时,△1AB P 的周长为定值 B ．当1μ=时,三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时,有且仅有一个点P ,使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时,有且仅有一个点P ,使得1A B ⊥平面1AB P【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】判断当1λ=时,点P 在线段1CC 上,分别计算点P 为两个特殊点时的周长,即可判断选项A ；当1μ=时,点P 在线段11B C 上,利用线面平行的性质以及锥体的体积公式,即可判断选项B ；当12λ=时,取线段BC ,11B C 的中点分别为M ,1M ,连结1M M ,则点P 在线段1M M 上,分别取点P 在1M ,M 处,得到均满足1A P BP ⊥,即可判断选项C ；当12μ=时,取1CC 的中点1D ,1BB 的中点D ,则点P 在线的1DD 上,证明当点P在点1D 处时,1A B ⊥平面11AB D ,利用过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个,即可判断选项D ． 【解答】对于A ,当1λ=时,1BP BC BB μ=+,即1CP BB μ=,所以1//CP BB , 故点P 在线段1CC 上,此时△1AB P 的周长为11AB B P AP ++, 当点P 为1CC 的中点时,△1AB P 的周长为52+, 当点P 在点1C 处时,△1AB P 的周长为221+, 故周长不为定值,故选项A 错误；对于B ,当1μ=时,1BP BC BB λ=+,即1B P BC λ=,所以1//B P BC ,故点P 在线段11B C 上,因为11//B C 平面1A BC ,所以直线11B C 上的点到平面1A BC 的距离相等,又△1A BC 的面积为定值,所以三棱锥1P A BC -的体积为定值,故选项B 正确； 对于C ,当12λ=时,取线段BC ,11B C 的中点分别为M ,1M ,连结1M M , 因为112BP BC BB μ=+,即1MP BB μ=,所以1//MP BB ,则点P 在线段1M M 上, 当点P 在1M 处时,1111A M B C ⊥,111A M B B ⊥,又1111B C B B B =,所以11A M ⊥平面11BB C C ,又1BM ⊂平面11BB C C ,所以111A M BM ⊥,即1A P BP ⊥, 同理,当点P 在M 处,1A P BP ⊥,故选项C 错误； 对于D ,当12μ=时,取1CC 的中点1D ,1BB 的中点D ,因为112BP BC BB λ=+,即DP BC λ=,所以//DP BC ,则点P 在线的1DD 上,当点P 在点1D 处时,取AC 的中点E ,连结1A E ,BE ,因为BE ⊥平面11ACC A ,又1AD ⊂平面11ACC A ,所以1AD BE ⊥, 在正方形11ACC A 中,11AD A E ⊥, 又1BEA E E =,BE ,1A E ⊂平面1A BE ,故1AD ⊥平面1A BE ,又1A B ⊂平面1A BE ,所以11A B AD ⊥ ,在正方体形11ABB A 中,11A B AB ⊥,又11AD AB A =,1AD ,1AB ⊂平面11AB D ,所以1A B ⊥平面11AB D ,因为过定点A 与定直线1A B 垂直的平面有且只有一个, 故有且仅有一个点P ,使得1A B ⊥平面1AB P ,故选项D 正确． 故选：BD ．【评析】2021年是第二年在新高考数学试卷中出现多选题,只有全部答对才能得满分（5分）,部分答对部分得分（2分）,但只要选错一个就得0分.通过多选题可以实现多种考查目标.该题以正三棱柱为载体,结合空间向量考查学生识图、画图、读图的能力,以及线面的垂直关系的判定、三棱锥体积和几何图形性质等内容.试题并没有给出图形,需要学生将符号语言转化为图形语言,画出相应的空间图形（图12）.由于是多选题,各个选项都有可能正确,所以四个选项相当于四个问题,增加了考试的容量和得分的难度.对于1BP BC BB λμ=+ ,其中[0,1],[0,1]λμ∈∈ ,根据向量基本定理,点P 在正方形11BCC B 内,当1λ=时,点P 的轨迹是线段1CC ;当1μ=时,点P 的轨迹是线段11B C ;当12λ=时,点P 的轨迹为过BC 与11B C 中点的线段MN ;当12μ=时,点P 的轨迹为过1BB 与1CC 中点的线段EF .由此可以根据线面关系的有关结论进行判断.拓展题1．正三棱柱111ABC A B C -，11AB AA ==，P 点满足1(01,01)BP BC BB λμλμ=+，( ) A ．当1λ=时，1PBB ∆的面积是定值 B ．当1λ=时，1PAB ∆的周长是定值 C ．当1μ=时，PBC ∆的面积是定值 D ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值【分析】根据向量的线性关系，结合已知条件以及正三棱柱的几何性质，分别判断1λ=，1μ=时点P 所在的位置，进而判断四个选项即可．【解答】解：由题意，点P 在平面11BCC B 内，ABC ∆，△111A B C 为正三角形且正三棱柱的侧面都是正方形，它们的边长均为1，当1λ=时，点P 在线段1CC 上运动，则1PBB ∆的面积为定值， 又211(1)PB μ=+-，21PA μ=+，则1PAB ∆的周长为2221(1)1μμ++-++不是定值， 故选项A 正确，选项B 错误；当1μ=时，点P 在线段11B C 上运动，则PBC ∆的面积为定值， 而11//B C BC ，11B C ⊂/平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ， 所以11//B C 平面1A BC ，则点P 到平面1A BC 的距离为定值， 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值， 故选项C 正确，选项D 正确． 故选：ACD ．【评析】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间向量在立体几何中的应用，正三棱柱的几何性质以及三棱锥体积公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．。

高三数学新编立体几何内容分析及复习建议一、 教材、考试要求的变化新教材立体几何内容变化较大，主要是删去了棱台、旋转体、球冠、多面体及旋转体体积等；增加了正多面体的概念，多面体的欧拉公式，最大变化是首次引入空间向量，并用这一工具去解决空间直线的平行、垂直关系，以及求空间的“距离”、“角”。

从近几年的高考题来看，新教材的甲组题（即9B 考题）比乙组题（即9A 考题）和全国题都容易做。

还有用向量方法去解部分传统的立体几何题也是有优势的，如2000、2003年全国高考立体几何题，普遍都认为较难，但如果用向量方法去解，就很简单了。

因此，要重点掌握“空间向量”，并突出其“工具性”。

二、立几题的空间向量解法分析利用空间向量解立几题，体现了空间的数形结合思想，顺应了几何改革代数化的方向；利用空间向量解立几题，首先应是确定基向量。

即{}c ,b ,a 或单位正交基底{}k ,j ,i 。

1、利用空间向量解线线平行、垂直问题【例1】（2003全国节选）正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为1,,AD BB CD 的中点，证明：1BD 与平面MNP 不垂直。

分析：用传统方法证明1BD 与MN 不垂直，有难度； 利用向量：)2,,2(),,,(a a aMN a a a BD =--=，022222≠+--=⋅a a a ，所以1BD 与MN 不垂直。

【例2】（2003全国）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱E D AA ,,21=分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。

（1）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三 角函数值表示）；（2）求点A 1到平面AED 的距离.简析：传统解法解此题难点一是重心G 的运用，而用向 量解：由)1,0,0(),0,,0(),0,0,(D a B a A 很快得)31,3,3(a a G ， C 1B 1A 1GE D CBAPNM D 1C 1B 1A 1DC BA二是如何由条件求出AC 的长，应用向量则由)32,6,6(---=a a EG 与)1,0,(a -=垂直易得4,032622==-a a 。

初中数学复习如何解决立体几何问题在初中数学的学习中，立体几何是一个重要的部分。

解决立体几何问题需要一定的技巧和方法，在本文中，我将为大家介绍一些复习立体几何问题的方法和技巧，希望对大家的学习有所帮助。

一、认识立体几何立体几何是研究三维空间的图形、体积、表面积等性质的学科。

在初中阶段，主要学习的内容包括立体图形的分类、常见立体图形的性质以及相关的计算方法等。

二、复习立体几何的必备知识点1. 立体图形的分类：包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

掌握各种立体图形的特点和定义，这是解决立体几何问题的基础。

2. 立体图形的性质：掌握常见立体图形的性质，例如棱柱的底面是一个多边形、棱锥的底面是一个多边形、圆柱的底面是一个圆等。

通过了解这些性质，可以更好地理解和应用相关的公式和计算方法。

3. 相关的计算方法：包括计算各种立体图形的体积、表面积等。

掌握体积和表面积的计算公式，并能够根据实际问题进行应用和计算。

三、复习立体几何的方法和技巧1. 制定复习计划：根据自己的学习进度和时间安排，制定一个合理的复习计划。

可以按照课本的内容和知识点进行划分，合理安排每个知识点的复习时间，并留出一些时间进行练习和巩固。

2. 阅读教材和参考书：认真阅读教材中关于立体几何的知识点和例题，理解其中的定义和性质。

如果觉得教材内容不够详细或者想深入了解某个概念，可以参考相关的参考书籍进行阅读。

3. 刷题巩固：通过大量的练习题来巩固所学的知识。

可以选择一些习题较多、难度适中的题目进行练习。

在解题过程中，注意分析问题的关键点，找出解题的思路和方法。

4. 查漏补缺：在复习过程中，如果发现有一些知识点不够理解或者容易混淆，可以及时查阅相关的资料进行补充学习。

例如，如果对某个公式不够熟悉或者记不清楚，可以查阅教材或者参考书籍中的相关部分进行复习。

5. 多角度思考问题：在解决立体几何问题时，可以从不同的角度和方法思考，寻找多种解题方法。

这样可以提高自己的思维灵活性，培养解决问题的能力。

高中数学立体几何的重点知识点整理如何解决立体几何题目立体几何是数学的一个重要分支，其研究的是空间中的图形和物体。

在高中数学中，学生将接触到一些重要的立体几何知识点，并且需要学会如何解决立体几何题目。

本文将对高中数学立体几何的重点知识点进行整理，并介绍如何解决立体几何题目。

一、立体几何的基本概念1. 空间中的点、直线和平面是立体几何的基本概念。

学生需要理解三维空间中点、直线和平面的性质，以及它们之间的相互关系。

2. 学生还需要掌握棱、面和顶点的概念，并能够正确识别出立体图形中的棱、面和顶点。

二、多面体的特征和性质1. 多面体是由多个平面围成的空间图形。

学生需要了解常见的多面体，例如立方体、正四面体、正六面体等，并掌握它们的特征和性质。

2. 对于立体图形，学生还需要学会计算其表面积和体积。

通过求解表面积和体积的问题，可以帮助学生加深对多面体的认识。

三、平行线与平面的交角1. 平行线与平面的交角是数学中的重要概念。

学生需要理解平行线与平面的交角定义，并熟练运用相关的性质解决问题。

2. 根据平行线与平面的交角定义，学生可以判断两个立体图形是否相似，并进行相关计算。

四、截痕与截面1. 截痕是指平面与立体图形的交线。

学生需要理解截痕的特征和性质，并能够根据截痕计算立体图形的体积和表面积。

2. 截面是指平面与立体图形的交面。

学生需要学会根据截面的形状和大小来判断立体图形的性质，并运用相关的性质解决问题。

五、三棱锥和三棱柱的特征和计算1. 三棱锥是由一个底面和三个棱共同围成的空间图形。

学生需要掌握三棱锥的特征和性质，并能够计算三棱锥的表面积和体积。

2. 三棱柱是由两个平面底面和三个棱共同围成的空间图形。

学生需要了解三棱柱的特征和性质，并学会计算三棱柱的表面积和体积。

通过掌握以上的立体几何知识点，学生可以更好地解决立体几何题目。

在解题过程中，可以使用以下方法：1. 理清题意，明确问题的要求。

2. 根据题目给出的条件，运用相应的知识点进行分析。

高考数学冲刺复习立体几何考点攻略高考数学中，立体几何一直是重要的考点之一，也是许多同学感到棘手的部分。

在冲刺复习阶段，掌握立体几何的核心考点和解题方法，对于提高成绩至关重要。

接下来，就让我们一起深入探讨立体几何的考点攻略。

一、空间几何体的结构特征首先，要清晰地理解常见空间几何体的结构特征，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球。

了解它们的定义、性质以及图形特点。

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分。

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。

圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所形成的曲面所围成的几何体。

圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分。

球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。

对于这些几何体，要能够通过直观图和三视图准确判断其结构特征，并且能够计算它们的表面积和体积。

二、空间点、线、面的位置关系这是立体几何的基础，包括线线、线面、面面的位置关系。

线线位置关系：平行、相交、异面。

线面位置关系：线在面内、线面平行、线面相交。

面面位置关系：平行、相交。

要熟练掌握这些位置关系的判定定理和性质定理，例如线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理等。

同时，要能够运用这些定理进行推理和证明。

三、直线与平面平行、垂直的判定与性质直线与平面平行的判定方法：（1）利用定义：直线与平面没有公共点。

（2）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（3）平面与平面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。

直线与平面平行的性质：（1）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。