高中数学最新-平面向量的应用复习导学案 精品

§5.4平面向量的应用1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题．复习备考要这样做 1.掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2.体会数形结合思想，重视向量的工具性作用．1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．3． 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[难点正本 疑点清源]1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．1． 一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则F 1与F 3所成的角为________．答案 90°解析 如图，F 3＝－(F 1＋F 2)．在▱OACB 中，|OA |＝1，|AC |＝2，∠OAC ＝60°，∴|OC |＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，∴∠AOC ＝90°，即OA →⊥OC →，∴F 1⊥F 3.2． 平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC→＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 3． 河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．答案 226 m/s解析 如图所示小船在静水中的速度为102＋22＝226 m/s.4． 已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上的两点，且|AB→|＝5，则AC →·CB→等于( ) A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析 ∵|AB →|＝5＝r ，∴∠ACB ＝60°，AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos ∠ACB＝－5·5cos 60°＝－52.5． a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝(a ·b )x 2＋(|b |2－|a |2)x －a ·b .当f (x )为一次函数时，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ＝0，|b |2－|a |2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b ， |b |≠|a |，故f (x )为一次函数时一定有a ⊥b .当a ⊥b 且|a |＝|b |时，f (x )为常函数，所以“a ⊥b ”不是“f (x )为一次函数”的充分条件，故选题型一 应用平面向量的几何意义解题例1 平面上的两个向量OA→，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB → (x ，y ∈R )，且a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →；(2)求|OP→|的最大值，并求此时四边形OAPB 面积的最大值． 思维启迪：对第(1)问，可先求OM→，再由条件即可得到结论；对第(2)问，先设点M 为线段AB 的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P ，O ，A ，B 四点共圆，结论即可得到．(1)证明 因为点M 为线段AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →.所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)解 设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，得 |MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122b 2＝1. 所以|MP→|＝|MO →|＝|MA →|＝|MB →|＝1. 故P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当OP 为圆M 的直径时，|OP →|max＝2. 这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.探究提高 本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题．求解第(2)问的难点就是如何利用第(1)问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M 为线段AB 的中点入手，借助条件及第(1)问的结论，去探究|OP→|的最大值问题．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB→＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 A解析 由已知可得PC→＝2AP →，∴P 是线段AC 的三等分点(靠近点A )，易知S △P AB ＝13S △ABC ，即S △P AB ∶S △ABC ＝1∶3.题型二 平面向量在物理计算题中的应用例2 质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．答案 27解析 方法一 由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. 因此，|F 3|＝27.方法二 如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2， 即∠OF 1F 2为直角，|F 3|＝2F 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|F 1F 2→|22＝27.如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 、摩擦力f 所做的功分别为多少？解 设木块的位移为s ， 则F·s ＝|F|·|s |cos 30°＝50×20×32＝500 3 (J)，F 在竖直方向上的分力大小为|F |sin 30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f·s ＝|f|·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．∴F ，f 所做的功分别为500 3 J ，－22 J.题型三 平面向量与三角函数的交汇例3 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量．(1)求A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小． 解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫180°－B －A －3B 2 ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.探究提高 向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这种题目较为简单．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案 5π6解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，又∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，则化简得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，又0<B <π，∴B ＝5π6.题型四 平面向量与解析几何的综合问题例4 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF→的最小值．解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0， 得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0， 化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)因PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF→－NP →) ＝(－NF →－NP →)·(NF→－NP →) ＝(－NP→)2－NF →2＝NP →2－1， P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任意一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2 ＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20. 因y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝23时，NP→2取得最小值(23－1)2＝13－43，(此时x 0＝0)，故PE →·PF→的最小值为12－4 3. 探究提高 本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA→＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解 设M (x 0，y 0)、N (x ，y )．由MA→＝2AN →得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y . ∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1.∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.利用平面向量解三角形典例：(12分)已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2，m ⊥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．审题视角 先根据m ⊥n ，利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，然后利用正弦定理或余弦定理解题． 规范解答解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2 ＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，[2分]即3sin A －cos A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，[4分] 因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.[6分](2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33， sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63，由正弦定理知：a sin A ＝bsin B ，[9分]所以b ＝a ·sin B sin A ＝2×6332＝423，所以b ＝423.[12分]利用向量解三角形问题的一般步骤为第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系； 第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形； 第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．温馨提醒 解三角形问题要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，灵活进行变形．向量只是题目的载体，三角形中的条件及转化才是解题关键．方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．4．解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题． 失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系：两者并不等价． 2．注意向量的共线和直线平行的关系．3．构造向量解题：要根据题目需要灵活构造向量．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．2． 已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3 C.π3 D.2π3 答案 D解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0， 即4|b |2＋4·2|b |·|b |cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.3． 已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案 B解析 由题意知CB →－PB →＝λP A →，即CB →＋BP →＝λP A →，∴CP →＝λP A →，即CP →与P A →共线， ∴点P 在AC 边所在直线上．4． 已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB→＝x 2，则点P的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC→＝1，那么c ＝________. 答案2解析 由题意知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2， 即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB→2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 6． 已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 3解析 OP→＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON→＝y ， 即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.7． 已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.答案 150°解析 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角， 又S △ABC ＝12|a||b |sin ∠BAC ＝154. ∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 建立如图所示的直角坐标系， 设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2.又∵AE→＝2EB →， 即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . ∵AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a,0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 2，OE →＝CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫a 3，23a ，∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2 ＝－13a 2＋13a 2＝0. ∴AD→⊥CE →，即AD ⊥CE . 9． (12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a·b ＋1的最大值，并求此时x的值．解 (1)设a 与c 的夹角为θ，当x ＝π6时，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，cos θ＝a·c |a||c |＝32×(－1)＋12×0(32)2＋(12)2×(－1)2＋02＝－32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.(2)f (x )＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，2π.∴当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时， f (x )的最大值为2×22＝1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于 ( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 答案 C解析 设∠AOB ＝θ，那么cos θ＝a·b |a|·|b |，则sin θ＝1－cos 2θ＝|a |2|b |2－(a·b )2|a|·|b |，那么△OAB 的面积 S ＝12|a||b |·sin θ＝12|a||b |·|a |2|b |2－(a·b )2|a|·|b |＝12|a|2|b |2－(a·b )2.2. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →等于( )A.32B.52 C ．2 D ．3答案 B解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →， 因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|， 所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92， 故AO →·BC →＝92－2＝52.3． 已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB→＝m ＋n ，AC →＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知：|AD →|＝12|AB →＋AC →| ＝12|2m －2n |＝|m －n |＝|m －n |2＝1. 二、填空题(每小题5分，共15分)4. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 答案 2解析 依题意，|OC→|＝1，则|OC →|2＝1， 又OC →＝xOA →＋yOB →，|OA →|＝|OB →|＝1，〈OA →，OB →〉＝120°， ∴x 2·OA →2＋y 2·OB →2＋2xyOA →·OB →＝1， 因此x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝1，xy ＝x 2＋y 2－1.∴3xy ＝(x ＋y )2－1≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，(x ＋y )2≤4. ∴x ＋y 的最大值是2.5． (2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________. 答案 18解析 根据向量的加法几何意义及数量积运算律求解． ∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC → ＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →， 又∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0. ∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →·AC→＝2|AP →|2＝2×9＝18. 6． 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________． 答案 ±2解析 如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA→＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图像得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2. 三、解答题7． (13分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v|＝302＋(103)2＝203(km/h)．因为tan α＝10330＝33(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.。