下载文档原格式
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
变分原理与变分法1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理:昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体;对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。
Exa mp les① ②Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系第一章光线最短路径传播；光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）；AE+ EB A AC +CB③特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R }Exa mp les① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。
泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2ii.弹性地基贮存的能量： n f1 J 2=一 J kw dx2 0iii.外力位能：口 l l =-0 qwdxiv.系统总的势能：)2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4；|A L = max 2 a ij ； I A2仁)12②函数的积分：函数空间i 数域bJ = a f n （X ）dXfn U DNote:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
哈密顿原理变分法引言：哈密顿原理是经典力学中的一种数学工具，用于描述物体在空间中的运动。
它是由法国数学家和物理学家嗣洛·哈密顿于19世纪提出的，被广泛应用于许多物理学领域，如量子力学、相对论等。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念、原理和应用，并探讨其在理论物理学中的重要性。
一、哈密顿原理的基本概念1. 变分法变分法是一种数学方法，用于求解泛函（函数als）极值问题。
在物理学中，我们经常遇到求解由泛函表示的物理量的极值问题，变分法就是解决这类问题的有效工具。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是变分法在经典力学中的应用。
它表述了一个物体在给定时间间隔内，其运动轨迹使作用量（action）取极值的路径就是实际发生的路径。
作用量是由拉格朗日量（Lagrangian）和时间变量组成的积分，表示了物体在给定时间内所经历的所有可能的路径对系统的总贡献。
二、哈密顿原理的原理和推导1. 哈密顿原理的原理哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。
作用量S可以表示为：S = ∫(L - H)dt其中L是拉格朗日量，H是哈密顿量。
根据变分法的原理，我们可以通过对作用量的变分求解，得到真实路径。
2. 哈密顿原理的推导我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述，拉格朗日量可以表示为：L = L(q, q', t)根据拉格朗日方程，我们可以得到：d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0将哈密顿量H定义为：H = ∑(q'∂L/∂q' - L)则拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q') = ∂H/∂q对作用量S进行变分，可以得到：δS = ∫(∂L/∂qδq + ∂L/∂q'δq' - ∂H/∂qδq)dt根据变分法的原理，δS = 0，我们可得到哈密顿正则方程：∂H/∂q = -d/dt(∂L/∂q')∂H/∂q' = d/dt(∂L/∂q')三、哈密顿原理的应用1. 经典力学哈密顿原理在经典力学中有广泛的应用。
第七章力学中的变分方法本章主要内容§1、Hamilton原理§2、正则变换§3、Hamilton-Jacobi方程§4、从质点组到连续体系§1、Hamilton原理1、变分法2、Hamilton原理的表述3、修正的Hamilton原理真实运动使作用量S 取稳定值。
引入Hamilton 作用量(A ction, I ntegral)：这里的q a 对应前面的x a ，L 对应前面的f 。
21[()](,,),(:1,2,,)t t S q t L q q t dt q s a a = 2、Hamilton 原理的表述Hamilton 原理：对理想、完整、广义有势体系，从t 1 ，q 1 (t 1)，… ,q s (t 1)到t 2 ，q 1(t 2)，…,q s (t 2)此外，还可以进一步推广到不可数的连续标号情形，用来研究电磁场、引力场、量子力学、量子场等等。
（2）理想、完整等条件的普遍应用。
因为最基本的相互作用体系都相当于Nowton力学中的理想、完整体系。
此外，Hamilton原理也可以推广到非理想、非完整体系。
Hamilton原理可以直接推广到无限多个自由度的体系，象经典场和量子场等，也可以看作Feynman路径积分的经典极限。
由此，我们把Hamilton原理作为第一原理，把拉氏方程当作Hamilton原理推论。
并不影响Hamilton原理（4）虽然Landau等人最小作用量原理，但在原理中，只要求真实运动的作用量是稳定值，不一定是最小值。
具体计算表明，通常的非相对论力学问题的真实运动是极小，相对论自由质点运动的作用量的绝对值是极大。
（3）从Hamilton原理理解L 可以任意添加和去掉的附加项：(,'(,,),,)/,()L q q du q t d t t L q q t = 2211(),()'[{}{},[()]],()S q t u q t t S q t t u q t = ∴因此'[()][()]0q S S q t t ==∴由L ’和L 写出的拉氏方程必定同时成立。
偏微分方程中的变分法与变分原理在解决偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的过程中，常常会用到变分法（Calculus of Variations）与变分原理（Variational Principle）。
变分法是一种利用函数的微小变动来求解极值问题的数学工具，而变分原理则是基于最小作用量原理，将物理系统的行为描述为使作用量函数达到极小值的过程。
本文将就偏微分方程中的变分法与变分原理进行介绍。
一、变分法的基本概念及应用变分法是一种将极值问题转化为函数的变分问题的数学方法，其基本思想是考虑函数的微小变动对于整体函数值的影响。
在应用变分法求解偏微分方程时，我们首先构造一个泛函（Functional），即将函数映射到实数的映射关系。
例如，考虑一个二阶偏微分方程：\[F\left(y(x), y'(x), y''(x), x\right) = 0\]其中，y(x)是我们要求解的未知函数，y'(x)和y''(x)分别表示y(x)的一阶和二阶导数。
我们的目标是找到满足该方程的y(x)。
为了应用变分法，我们首先定义一个泛函J，即：\[J\left(y\right) = \int_{a}^{b} L\left(y, y', x\right)dx\]其中，L\left(y, y', x\right)为Lagrange函数，a和b是区间的端点。
我们将寻找一个函数y(x)，使得泛函J取得极值。
根据Euler-Lagrange方程，我们有：\[\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left(\frac{\partialL}{\partial y'}\right) = 0\]这个方程称为变分问题的欧拉-拉格朗日方程，它给出了取极值的函数y(x)必须满足的条件。
变分法与控制理论教案本文是关于变分法与控制理论的教案。
一、引言（Introduction）变分法与控制理论是数学和工程学领域中重要的概念和方法之一。
本教案旨在介绍变分法的基本原理和应用，并结合控制理论，探讨其在实际问题中的应用。
二、变分法的基本原理（Fundamental Principles of Variational Method）变分法是一种数学工具，用于求解极值问题。
其基本思想是通过对一个泛函进行变分，得到其极值条件。
泛函是一个函数的函数，通过对该函数进行积分或求和得到。
变分法的基本原理包括以下几个方面：1. 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equations）：欧拉-拉格朗日方程是变分法的核心方程，用于描述泛函极值的必要条件。
对于给定泛函，通过对其函数进行变分，可以得到欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程可以用于求解一些常见的物理和工程问题，如力学系统、电磁场和热传导等。
2. 边界条件（Boundary Conditions）：在应用变分法求解具体问题时，需要指定适当的边界条件。
边界条件是泛函极值求解的限制条件，通过边界条件可以确定泛函在给定边界上的表现。
3. 条件极值和自由极值（Constrained Extremum and Free Extremum）：在变分法中，有时需要考虑条件极值和自由极值。
条件极值是在一定限制条件下的最值问题，而自由极值是没有限制条件的最值问题。
三、控制理论与变分法（Control Theory and Variational Method）控制理论是研究如何对系统进行控制的学科。
变分法在控制理论中有广泛的应用，特别是在优化控制问题中。
通过将控制问题建模为泛函极值问题，可以利用变分法求解最优控制策略。
1. 哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman Equations）：在最优控制问题中，哈密顿-雅可比-贝尔曼方程是变分法的基础。
