2.2.1对数与对数运算

2.2.1对数与对数运算
审核人：李立娟李翠清
主备人：沈爱霞
学案预习：
1．对数的概念
(1)定义：
一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数________叫做以________为底________的对数，记作________．(2)相关概念：
①底数与真数：
其中，________叫做对数的底数，________叫做真数．
②常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为________；以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并且把log e N记为________．
2．对数与指数间的关系
当a＞0，a≠1时，a x＝N⇔________.前者叫指数式，后者叫对数式．
3．对数的性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)log a(M·N)＝________，
(2)log a M
N＝________，
(3)log a M n＝________(n∈R)．
5．对数换底公式
log a b＝________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．
特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠0)．
目标预设：（2分钟）
1.知识与技能目标
（1）理解对数的概念，掌握对数的基本性质；(2)掌握指数式与对数式的互化
（3）了解换底公式，利用其将一般对数化为自然对数或常用对数．
2.过程与方法
发现法学习，探究函数零点和方程根的关系,发现规律，真正做到在探索中学习，在探
索中提高.
3.情感态度与价值观
（1）通过对问题的自主探究，培养独立思考能力;通过小组交流，学会合作意识.
（2）通过动手实践，上台展示，培养学生“做”数学的精神，享受“做”数学带来的成功喜悦.
（3）培养学生辩证唯物主义关，刻苦严谨的科学精神.
[课标重点] 理解对数的概念，掌握对数的基本性质；掌握指数式与对数式的互化；
掌握对数的运算性质，能利用其进行对数的有关计算
[课标难点]对数的性质及对数恒等式的应用：利用对数的运算性质进行对数运算；应用换底公式解题．
自我提升：（15分钟）
[知识点一] 对数式与指数式的互化
问题1 在指数式：a x＝N和对数式x＝log a N中都含有a，x，N这三个量，则这三个量在两个式中各有什么异同之处？
问题2 指数式与对数式具有怎样的关系？
[典例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝1
128；
(2)3a＝27；
(3)10－1＝0.1；
(4)log1
2
32＝－5；
(5)lg 0.001＝－3.
跟踪练习一
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)log
3
x＝6;
(2)ln e＝1；
(3)43＝64.
[知识点二]对数的基本性质
问题1是不是所有的实数都有对数？为什么？
问题2根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出log a1和log a a的值吗？
问题3如何推导对数恒等式：a log a N＝N?
[典例2]求下列各式中x的值：
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log(
2－1)
1
2＋1
＝x.
跟踪练习二
将典例2中“(1)”换成“log8(lg(log2x))＝0”，把“(2)”换成“lg(ln x)＝1”，分别求x的值．
[知识点三]对数的性质、对数恒等式的简单应用
[典例3]计算：
(1)5log510－1；
(2)已知ln 2＝m，ln 3＝n，求e2m＋3n的值．
[知识点四]对数的运算性质
问题1指数有哪些运算性质？
问题2 则问题1你能猜测log c b log c a
与哪个对数相等？如何证明这个结论？
小结：log a b ＝log c b log c a
(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)叫做换底公式，用语言表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示．利用换底公式可得出下面的结论：
(1)log am b n ＝n m
log a b ； (2)log a b ＝1log b a
(或log a b ·log b a ＝1)． [典例4] 计算下列各式的值：
(1)lg 14－2lg 73
＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2
； (3)lg 52＋23
lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[典例5] 已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b
的值．
合作交流：（10分钟）
展示评价：（10分钟）
课堂小结（3分钟）：
1．对数的概念与指数的概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .
2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3.利用换底公式化简求值时应注意的问题
①针对具体问题，选择恰当的底数．
②注意换底公式与对数运算法则结合使用．
③换底公式的正用与逆用．
④恰当应用换底公式的两个常用结论．
达标检测：
1.若log 5(1－2x )＝1，则x ＝________.
解：化为指数式为1－2x ＝51，∴x ＝－2.
2.log 2125·log 318·log 519
＝________. 3.求下列各式的值：
(1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(2)4lg 2＋3lg 5－lg 15
.
巩固培优：
1.已知：log 2x ＝2，则x － 12 ＝________.
2.在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )
A ．{b |b ＜2，或b ＞5}
B ．{b |2＜b ＜5}
C ．{b |4＜b ＜5}
D ．{b |2＜b ＜5，且b ≠4}
3．(log 29)·(log 34)＝( )
4．(2013·浙江)已知x ，y 为正实数，则( )
A ．2lg x
＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y
C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y
D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y
5．计算：
(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭
⎫322； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.。