第二章221对数与对数运算第二课时随堂即时巩固

3．logaMn＝ nlogaM
(n∈R)．
二、对数换底公式 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)； 特别地：logab·logba＝ 1 (a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)．
[双基自测]
1．lg 8＋3lg 5 的值为( )
A．－3
B．－1
第 2 课时 对数运算
考纲定位
重难突破
1.掌握对数的运算性质． 重点：对数的运算性质．
2．能熟练运用对数的运算性质进行化 难点：换底公式的应用.
简求值.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么： 1．loga(M·N)＝ logaM＋logaN . 2．logaMN＝logaM－logaN .
b＝log510＝lg15，
∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：1
4．计算下列各式的值．
(1)12lg3429－lg 4＋lg 245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：(1)原式＝lg472－lg 4＋lg7
5＝lg4
2×7 7×4
5＝lg(
2×
忽略对数的限制条件导致错误
[典例] 若 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值． [错解] 因为 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， 所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即 x2－xy－2y2＝0，

原式= lg(3 95 272 5 3 2 ) = lg 3 5 = 11 .
lg 81
lg 3 5
27
(2)(lg
5)2+lg
2
lg
50+
1 1
22
log 2
5
;
(3) log ( 6 4 2 - 6 4 2 ). 2
解:(2)原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)+21· 2log2 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+2 5 =1+2 5 . (3)因为 6 4 2 = (2 2)2 =2+ 2 ,
2
方法技能 (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种 思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为 对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆 用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5, lg 5=1-lg 2等解题.
100
100
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所以 1 =logka, 1 =logkb, 1 =logkc.
x
y
z
所以 1 + 1 + 1 =logka+logkb+logkc=logk(abc)=0.所以 abc=1. xyz
题型三 与对数有关的方程问题 【例3】 解方程: (1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lg x)2+lg x3-10=0.
log2 4 log2 8

解：(1)lg 14-2lg
7
+lg
3
7-lg 18
=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(2×9)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-lg 2-2lg 3=0.
lg243
(2)
lg9
=
lg
lg
35
32
=
5lg3
2lg3
=
5
.
2
典型例题
探究二 换底公式的应用
+
18
1+g18 9
=
=
+
2−g18 9
log18 5+log18 9
log18 2+log18 18
=
+
.
2−
变式训练3
(1)已知log23=a,3b=7,用a,b表示log1256;
49
(2)已知log32=a,log37=b,试用a,b表示log28 .
8
解：(1)∵3b=7,∴b=log37.
【答案】2
典型例题
探究一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式的值:
(1)log2
(2)lg
7
1
+log224- log284;
96
2
2
2
5 + lg
3
8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
典型例题
【解析】利用对数的运算性质进行计算.
7×24
1
1
解：(1)(方法一)原式=log2
=log2 =- .

知识梳理

思考4:如果a>0，且a≠1，M>0，则 loga n M 等于什么？
新课教学
Office组件之word2007
证明：
(3)设 log a M p,
由对数的定义可以得：M a p ,
∴ M n anp log a M n np
即证得
log a M n n log a M(n R)
归纳小结：
3
3
2 log3 3
2
范例
（3） log 2 3 log3 7 log7 8 解： (3) log 2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 2 lg 3 lg 7
lg 23
lg 2 3lg 2
lg 2
=3
Office组件之word2007
讲解范例
Office组件之word2007
例5计算： (1) lg14 2lg 7 lg 7 lg18
解法一：
3 解法二：
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg14 lg( 7)2 lg 7 lg18 3
lg
(
14 7 7)2 18
3
lg1 0
lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
lg(2 7) 2 lg 7 3
lg 7 lg(2 32 )
lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) lg 7 (lg 2 2 lg 3)
0
讲解范例
Office组件之word2007
例5计算： (2) lg 243
lg 9
(3) lg 27 lg 8 3lg 10 lg1.2
解：
lg 243 lg 35 (2) lg 9 lg 32

方法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18 ＝lg73142××718＝lg1＝0. (2)原式＝2＋l2gl3g62－＋2l＋g32lg2＝42llgg22＋＋2llgg33＝12. (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝lg25＋1－lg25 ＝1.
跟踪训练 2.
2 原式＝lologg333442＝3lloogg3344＝23.
4．计算：log89·log332＝________.
[答案]
10 3
[解析] 运用换底公式，得 log89·log332＝llgg98·llgg332＝23llgg32·5llgg32＝130.
5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋eln2＋log 22 2； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
(2)log927＝lloogg33297＝lloogg333332＝32lloogg3333＝32.
1
11
(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·llgg52·llgg23·llgg35＝－15.
跟踪训练 3.
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
1
11
(3)log2125·log332·log53.
[解析] (1)log89·log2732＝llgg98·llgg3227＝llgg3223·llgg2353＝23llgg32·53llgg23＝
10 9.
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3 (3)loga

数，再化简．
解：(方法一)正用公式：
lg 原式＝
3＋45lg 3＋190lg 4lg 3－3lg
3－12lg 3
3＝1＋454＋－1930－lg 123lg
3＝151.
(方法二)逆用公式：
原式＝lg3×925×278121×35×3－12 lg 27
11 ＝lglg335 ＝151.
【借题发挥】(1)解决有关对数式的化简问题的常用方法： ①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； ②“收”：将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)注意关系式lg2＋lg5＝1的应用．
∴M＝4N， 即MN ＝4. ∴log 2MN＝log 24＝4.
9分 12 分
【题后总结】本题的求解先通过对数的运算去掉对数符号， 找到 M、N 间的关系，求出MN的值，再求其对数值，但要特别 注意对条件的检验，否则可能出现增解 .
3．已知 loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，
1．计算下列各式的值： (1)12lg3429－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解：(1)(方法一) 原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 232＋lg(72×5)12 ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5)＝12.
误区：在进行对数运算时，因运算性质掌握不准确而出错 【典例】已知 lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求 lg 45. 【错误解答】lg 45＝12lg 45＝12lg (5×9) ＝12(lg 5×lg 9)＝12(1－lg 2)×2lg 3 ≈(1－0.301 0)×0.4771≈0.333 5.

初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形

√A.a－2
B.5a－2
C.3a－(1＋a)2
D.3a－a2
解析 log38－2log36＝log323－2log3(2×3) ＝3log32－2(log32＋1) ＝3a－2(a＋1) ＝a－2.
12345
4.lg 0.01＋log216的值是_2__. 解析 lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2.
换底公式的应用 典例 (1)若 log37·log29·log49a＝log412，求 a 的值.
解 由已知得llgg 73·2llgg23·2llgga7＝－2llgg22， ∴lg a＝－12lg 2＝lg 22，∴a＝ 22.
(2)计算(log43＋log83)·(log32＋log92).
loga
x yz .
解 ∵ yzx>0，y>0，∴x>0，z>0， ∴loga yzx＝loga x－loga(yz)＝12logax－logay－logaz.
命题角度2 用代数式表示对数 例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b， 于是 log3645＝lloogg11883465＝lloogg1188198××52＝log11＋89＋loglo18g2185 ＝1＋al＋ogb18198＝a2＋ －ba. 方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b， 于是 log3645＝lloogg11883465＝lloogg1188198××52 ＝2lloogg118891＋8－lolog1g81589＝2a－＋ab.
第二章 2.2.1 对数与对数运算
学习目标
XUE XI MU BIAO

对数运算法则
<<<
4.2.2
第四章
学习目标
1.掌握对数的运算法则,理解其推导过程和成立条件.
2.掌握换底公式及其推论.
3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明.
导语
同学们,数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史,从人们对天
文、航天、航海感兴趣开始,发现数太大了,天文学家开普勒利用他
的对数表简化了行星轨道的复杂计算,对数被誉为“用缩短计算时间
1 1
3 2
1
2
=log3 -log3 · =log3 -log3(y·
y )
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
1 2
= log3x- log3y= m- n.
2
3
2 3
15
16
5.若2.5x=1
000,0.25y=1
1
A.
3
√
1 1
000,则 - 等于

1
C.3
B.3
D.-3
真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法:
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
跟踪训练 1
计算下列各式的值:
63
(1)2log23-log2 +log27-7log72 ;
8
63
原式=log29-log2 +log27-2=log2
log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问

当a>0,a≠1时，ax=N
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.

第二课时对数的运算对数的运算性质[提出问题]问题1：我们知道a m＋n＝a m·a n，那么log a（M·N)＝log a M·log a N正确吗？举例说明．提示：不正确．例如log24＝log2（2×2）＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2. 问题2:你能推出log a（MN)(M>0，N>0)的表达式吗?提示：能．令a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m＋n.由对数的定义知log a M＝m，log a N＝n，log a(MN)＝m＋n，∴log a(MN）＝log a M＋log a N.[导入新知］对数的运算性质若a>0,且a≠1，M〉0，N>0,那么:(1)log a（M·N）＝log a M＋log a N,(2)log a错误!＝log a M－log a N，（3）log a M n＝n log a M(n∈R）．[化解疑难]巧记对数的运算性质（1）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．(2）两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.换底公式［提出问题]问题1:(1）log28；(2）log232;(3）log832各为何值？提示：（1)log28＝3；(2)log232＝5；(3）log832＝log8853＝错误!。

问题2：log832＝错误!成立吗? 提示:成立．［导入新知］换底公式若c〉0且c≠1,则log a b＝错误!(a>0，且a≠1，b〉0）．［化解疑难］1．换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a ＝log c b，所以x＝错误!，即log a b＝错误!。

2．换底公式常用推论log an b n＝log a b(a〉0,a≠1，b>0，n≠0)；log am b n＝错误!log a b(a〉0,a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；log a b·log b a＝1（a〉0,b〉0，a≠1，b≠1);log a b·log b c·log c d＝log a d（a〉0，a≠1,b>0，b≠1，c〉0,c≠1，d>0)．对数运算性质的应用［例1］(1＊①log a x·log a y＝log a（x＋y）；②log a x－log a y＝log a(x－y）；③log a(xy)＝log a x·log a y；④错误!＝log a错误!；⑤(log a x）n＝log a x n;⑥log a x＝－log a错误!；⑦错误!＝log a错误!;⑧log a错误!＝－log a错误!.其中式子成立的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2）计算下列各式的值：①4lg 2＋3lg 5－lg错误!；②错误!；log3；③2log32－log3错误!＋log38－55④log2错误!＋log2错误!.[解] (1）选A 对于①，取x＝4，y＝2,a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴log a x·log a y＝log a(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴log a x－log a y＝log a（x－y）不成立；对于③，取x ＝4，y ＝2,a ＝2，则log 2(4×2）＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3, ∴log a (xy ）＝log a x ·log a y 不成立；对于④,取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则错误!＝2≠log 2错误!＝1， ∴错误!＝log a 错误!不成立;对于⑤，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，∴(log a x )n ＝log a x n不成立; ⑥成立,由于－log a 错误!＝－log a x －1＝log a (x －1）－1＝log a x ； ⑦成立，由于log a 错误!＝log a x 1n＝错误!log a x ； ⑧成立，由于log a 错误!＝log a 错误!－1＝－log a 错误!。

2 49 3 （2） lg 52 2 lg 8 lg 5 lg 20 (lg 2) 2 .
3 【解析】（1）方法一：
3
1
原式= 1 (lg 25 lg 7 2 ) 4 lg 2 2 lg(7 2 5) 2
2
3
= 5 lg 2 lg 7 2 lg 2 lg 7 1 lg 5
2
2
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提出
探究：在上课中，我们知道，对数式
可看作指数运算的逆运算，你能从指数与
问题 对数的关系以及指数运算性质，得出相应
的对数运算性质吗？如我们知道
am an amn ，那 m n 如何表示，能用
m
n
loga
M N
（3）
N
n 0时,令则N loga M n , M a n
b
b n loga M , 则M a n
N
b
a n an
N b
即 loga
M N
loga M
loga
N
当 n =0 时，显然成立.
loga M n n loga M
是发现数学 结论的有效 方法，让学 生体会“归纳 一猜想一证 明”是数学中 发现结论， 证明结论的 完整思维方 法，让学生 体会回到最 原始（定义） 的地方是解 决数学问题 的有效策 略．通过这 一环节的教 学，训练学 生思维的广 阔性、发散 性，进一步 加深学生对 字母的认识 和利用，体 会从“变”中 发现规 律．通过本 环节的教学， 进一步体会
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