非圆曲线截交线的求法

非圆弧曲线计算公式在数学和工程领域中，曲线是一种非常重要的概念，它们可以用来描述各种各样的现象和物体。

在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的曲线，其中包括非圆弧曲线。

非圆弧曲线是指那些不能用圆弧来描述的曲线，它们可能是由多个不同的曲线段组成的，也可能是由一些特殊的曲线方程所描述的。

在本文中，我们将讨论一些常见的非圆弧曲线，并给出它们的计算公式。

1. 抛物线。

抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。

一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。

根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。

2. 椭圆。

椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。

椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。

通过这个方程，我们可以计算出椭圆上任意一点的坐标，从而可以对椭圆进行各种各样的分析和应用。

3. 双曲线。

双曲线是一种非常特殊的曲线，它的数学描述是一个二次方程。

双曲线的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是双曲线的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是双曲线的中心点的坐标。

通过这个方程，我们可以计算出双曲线上任意一点的坐标，从而可以对双曲线进行各种各样的分析和应用。

4. 抛物线。

抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。

一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。

根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。

5. 椭圆。

椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。

椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。

用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。

非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。

一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。

将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。

下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。

（1）等间距直线逼近的节点计算 1）基本原理等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。

如图3.1所示，已知曲线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。

根据曲线方程，由i x 求得i y ，ix ＋１＝i x ＋Δx ，)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。

2） 误差校验方法由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。

设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。

实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。

其校验方法如下：设需校验mn 曲线段。

n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：nm n m nn y y x x y y x x --=--令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。

表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。

n m ''直线方程可表示为：22B AC By Ax +±=+δ式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。

第十章曲面立体的截交线基本要求§10-1 概述§10-2 平面与圆柱相交§10-3 平面与圆锥相交§10-4 平面与圆球相交§10-5 综合题基本要求§10-1 概述一、截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、截交线上的特殊点五、作图步骤一、曲面立体截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、特殊点五、作图步骤§10-2 平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交所得截交线形状二、求圆柱截交线上点的方法三、例题一、平面与圆柱相交所得截交线形状圆矩形椭圆二、求圆柱截交线上点的方法三、例题11'1"5"4" 8' 8"83254ⅦⅢⅡ ⅣⅤⅠ4'5' 2'3' 2" 3" 解题步骤1．分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。

7 66'7'6"7"解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。

3453'3"4'5'5' 4'1'2'2"1"122' 1'4'3'[例题3] 求圆柱截交线解题步骤1．分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。

课程课程设计任务设计任务设计任务用计算机高级编程语言(如VB,VC++等)来实现非圆曲线的逼近,可任选直线逼近(等间距法、等弦长法、等误差法等)或圆弧逼近. 要求在满足允许误差的前提下, 使得逼近的直线段或圆弧段数的数量最少(即最优解). 要求如下:(1)列出一般的直线或圆弧逼近的算法(流程图). (2) 列出改进的直线或圆弧逼近的算法(流程图)—即优化算法. 比较改进前与改进后的两种算法结果 .(3) 针对任意给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓, 根据指定的走刀方向、起刀点 ,自动生成CNC 代码 .(4) 在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓 .软件设计过程软件设计过程非圆曲线的逼近算法及程序设计非圆曲线的逼近算法及程序设计1．等间距的直线逼近的节点等间距的直线逼近的节点算法算法算法已知方程y=f(x), 根据给定的△x 求出x i , 将x i 代入y=f(x)即可求得一系列y i . x i 、y i 即为每个线段的终点坐标 ,并以该坐标值编制直线程序段. △x 的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ . 一般先取△x=0.1试算并校验 . 误差校验方法如下 : 如图, MN 为试算后的逼近线段, 作MN平行于MN且两直线距离为δ允.图1 等间距逼近根据节点的坐标可求得MN方程: ax+by+c=0则ax+by=c±δ允√a⌒2+b⌒2求解联立方程:δ允=(ax+by-c)/ ±√a⌒2+b⌒2y=f(x)如果无解,即没有交点,表示逼近误差小于δ允;如果只有一个解, 即等距线与轮廓线相切, 表示逼近误差等于δ允; 如果有两个或两个以上的解, 表示逼近大于δ允, 这时应缩小等间距坐标的增量值, 重新计算节点和验算逼近误差, 直至最大的逼近误差小于或等于δ允.算法：1、 给定的△x=0.1求出x i , 将x i 代入y=f(x)即可求得一系列y i . x i2、 求允许误差δ.3、 If δ<= 精度值0.001？a) 是, if 达到终点？i. 是， goto Step 4：ii. 否， i=i+1,goto Step 1;b) 否，△x=0.5*△x，goto Step14、 End非圆曲线非圆曲线数学处理数学处理数学处理的一般的一般的一般方法方法方法数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能，对于非圆曲线轮廓，只有用直线或圆弧去逼近它，“节点”就是逼近线段与非圆曲线的交点。

第五节截交线与相贯线截交线和相贯线是立体表面常见的两种表面交线，立体被平面截切，表面就会产生截交线，两立体相交，表面就产生相贯线，二者有共同点，也有不同点。

一、截交线的特性及画法【考纲要求】1、掌握特殊位置平面截断棱柱和棱锥的截交线画法；2、掌握特殊位置平面截断圆柱、圆锥、圆球的截交线画法；3、掌握简单的同轴回转体的截交线画法；【要点精讲】（一）截交线的定义：由平面截断基本体所形成的表面交线称为截交线。

（二）截交线的特性：1、任何基本体的截交线都是一个封闭的平面图形（平面体是平面多边形，曲面体是平面曲线或由平面曲线与直线共同组成的图形）；2、截交线是截平面与基本体表面的共有线，截交线上的每一点都是截平面与基本体表面的共有点（共有点的集合）。

（三）求截交线的方法：①积聚性求点法；②辅助（素）线法；③辅助平面法。

（四）求截交线的步骤：1、确定被截断的基本体的几何形状；2、判断截平面的截断基本体的位置（回转体判别截平面与轴线的相对位置3、想象截交线的空间形状；4、分析截平面与投影面的相对位置，弄清截交线的投影特性；5、判别截交线的可见性，确定求截交线的方法；6、将求得的各点连接，画出其三面投影。

（五）平面体的特殊截交线及画法：1、特性：平面体的截交线都是由直线所组成的封闭的平面多边形。

多边形的各个顶点是棱线与截平面的交点，多边形的每一条边是棱面与截平面的交线。

2、画法：求平面体截交线的方法主要是用积聚性求点法和辅助线法。

画平面体的截交线就是求出截平面与平面体上各被截棱线的交点（即平面多边形的各个顶点），然后依次连接即得截交线。

根据截交线是截平面与基本体表面的共有线，截交线上的点也是截平面与基本体表面的共有点，我们所要求掌握的是特殊位置平面截切平面立体的截交线，我们可以利用积聚性求点法或辅助平面法，求出截平面与平面立体的各棱线的交点，然后依次连接，也就求出了截交线。

例如图5-1所示，先根据截交线具有积聚性投影的正面投影和具有收缩性的水平投影确定出截平面与六棱柱棱线的六个交点（截交线平面多边形的六个顶点），再利用积聚性求点法求出其侧面投影。

文章编号:1001-2354(2002)06-0041-02非圆行星齿轮机构节曲线的设计X张振林,张春丽,殷玉慧(天津理工学院,天津300380)摘要:非圆行星齿轮机构应用于液压马达和液压泵中有独特的优点。

介绍了该机构中心轮和固定轮节曲线的设计与计算。

关键词:非圆齿轮;节曲线;设计与计算中图分类号:T H1321424文献标识码:A1前言一种能够用于低速大转矩的液压马达和液压泵的非圆行星齿轮机构,如图1所示。

利用中心轮1、行星轮2和固定轮3形成的密闭腔的容积变化,实现液压马达的排油和吸油。

很显然,中心轮1的节曲线和固定轮3的节曲线均是非圆的,行星轮2的中心轨迹是固定轮3的节曲线的等距线,也是非圆的。

所以图1所示的轮系是非圆行星齿轮机构。

下面讨论该非圆行星齿轮机构的节曲线设计。

2中心轮1的节曲线的确定中心轮1的节曲线是由椭圆演变而来。

椭圆极坐标方程式为:Q=p1-k cos H(1)p=A(1-k2)式中:A)))椭圆长轴半径;k)))椭圆的偏心率,椭圆对称中心到焦点的距离为kA。

如果保持椭圆上D点的向径Q不变,而将其极角缩小整倍数n1(见图2,n1称为变化周期数,图中n1 =3),即椭圆上原来的极角H现在成为n1H,这样演变出来的新曲线就是n1阶椭圆(如图2虚线所示,D点成为D c点),其方程基本同于式(1),只是分母的第二项变为k cos n1H。

为了方便讨论,作上述极坐标的旋转,即新极轴ox c由原坐标轴ox绕极点o旋转P角得到(见图3)。

为此,D c点在原坐标系下的坐标是(Q, H),在新坐标系下的坐标为(Q1,H1),则:Q1=QH1=P+H在新坐标系下,若取n1=3(即H1=0~2P范围内,Q1变化为3个周期)时,新曲线为3阶椭圆(见图3),且为防止该椭圆内凹取偏心率小于0.3,记为k1,则方程可写为:Q1(H1)=p111(2)式(2)即作为中心轮1的节曲线的极坐标方程Q1 (H1)。