浙教版八年级数学上册.7 探索勾股定理
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2.7 探索勾股定理
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2−c2=2ab，则此三角形是 ( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
2. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 2,3,4
B. 3,4,6
C. 5,12,13
D. 6,7,11
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，点D是边BC的中点，AD=3，则△ABC的周长是( )
A. 18
B. 16
C. 12
D. 14
5. 如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，连接AB，BC，则∠ABC的度
数为( )
A. 90∘
B. 60∘
C. 45∘
D. 30∘
AB）为半径
6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于1
2作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB= 5，则DE等于( )
A. 2
B. 10
3C. 15
8
D. 15
2
7. 在△ABC中，AB=12 cm，AC=9 cm，BC=15 cm，则△ABC的面积为( )
A. 54 cm2
B. 90 cm2
C. 108 cm2
D. 180 cm2
8. 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定
理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2 由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为( )
A. 9
B. 6
C. 5
D. 9
2
9. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90∘，O是△ABC内一点，OA=6，OB=4√2，OC=10，Oʹ为△ABC外一点，且△CBO≌△ABOʹ，则四边形AOʹBO的面积为 ( )
A. 10
B. 16
C. 40
D. 80
10. 一块直角三角形纸片，直角边AC=8，BC=6，现将直角边BC沿直线BD折叠，使BC落在
斜边AB上，且与BE重合，则CD=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 若直角三角形的两直角边长分别是3 cm和x cm，则直角三角形的斜边长是．
12. 在△ABC中，若其三条边的长度分别为9，12，15，则两个这样的三角形所拼成的四边形的面
积是．
13. 我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理做出证明．最早对勾股定
理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图，就是著名的“赵爽弦图”．△ABE，△BCF，△CDG和△DAH是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．已知AB= 5，AH=3，求EF的长．小敏的思路是设EF=x，根据题意，小敏所列的方程是．
14. A，B，C三地的两两距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B地在C地的方
向上．
15. 如图所示，在长方形ABCD中，AB=16，BC=8．将此长方形沿AC折叠，使点D落在点E
处，且CE与AB相交于点F，则AF=．
16. 如图，△ABC的顶点均为正方形网格的格点，若每个小方格的边长均为1，则△ABC的形状
是．
17. 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应−3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O
为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．
18. 若一个三角形的三边长之比为3:4:5，则这个三角形三边上的高的比为．
19. 已知两条线段的长为5 cm和4 cm，当第三条线段的长为时，这三条线段能组成一个
直角三角形．
20. 在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，
DB上的动点，且BE=DF．
时，计算AE+AF的值等于；
（1）如图①，当BE=5
2
（2）当AE+AF的值取得最小时，请在图② 的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE或AF．
三、解答题（共5小题；共65分）
21. 如图是由16个边长为1的小正方形排成的，其中小正方形的顶点称为格点，请以格点为端点，
画出一条线段，使线段的长度为√10
22. 如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=BC=2，AD=1，CD=3．
求∠DAB的度数．
23. 在数轴上作出−√10的对应点．
24. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△
ABC是否为直角三角形，并说明理由．
25. 阅读：
如图1，在△ABC中，3∠A+∠B=180∘，BC=4，AC=5，求AB的长．
小明的思路：
如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易得∠A=∠D，△ABD为等腰三角形．由3∠A+∠ABC=180∘和∠A+∠ABC+∠BAC=180∘，易得∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形．依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
Ⅰ图2中，AE=，AB=；
Ⅱ在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
①如图3，当3∠A+2∠B=180∘时，用含a、c的式子表示b；（要求写解答过程）
②当3∠A+4∠B=180∘，b=2，c=3时，可得a=．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. A
5. C
6. C
7. A
8. B
9. C 10. A
第二部分
11. √9+x2 cm
12. 108
13. 32+(x+3)2=52
14. 正南
15. 10
16. 直角三角形
17. √7
18. 20:15:12
19. 3 cm或√41 cm
；
20. （1）5+√61
2
（2）如图，取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P．
连接AP，与BC相交，得点E．
取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G．连接AG，与BD相交，得点F．线段AE，AF即为所求．
第三部分
21. 如图AB=√10 .（答案不唯一）
22. 连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=BC=2，
所以∠BAC=∠ACB=45∘，
所以AC2=AB2+BC2．
所以AC=2√2．
因为AD=1，CD=3，
所以AC2+AD2=CD2．
在△ACD中，AC2+AD2=CD2．
所以△ACD是直角三角形，即∠DAC=90∘．
因为∠BAD=∠BAC+∠DAC，
所以∠BAD=135∘．
23. 如图，
24. △ABC是直角三角形．
理由：因为a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
所以(a2−6a+9)+(b2−8b+16)+(c2−10c+25)=0，
所以a=3，b=4，c=5．
因为a2+b2=32+42=25=52=c2，
所以△ABC是直角三角形．
25. （1）AE=9
，AB=6；
2
（2）
①作BE⊥AC交AC延长线于点E，在AE延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD．∴BE为AD的中垂线．
∴AB=BD=c．
∴∠A=∠D．
∵∠A+∠D+∠ABD=180∘，
∴∠DBC+2∠A+∠1=180∘．
∵3∠A+2∠1=180∘，
∴∠DBC=∠A+∠1．∵∠3=∠A+∠1，
∴∠3=∠DBC．
∴CD=BD=c．
∴AE=b+c
2，CE=c−b
2
．
在△BEC中，∠BEC=90∘，BE2=BC2−CE2．
在△BEA中，∠BEA=90∘，BE2=AB2−AE2．
∴AB2−AE2=BC2−CE2．
∴c2−(b+c
2)
2
=a2−(c−b
2
)
2
．
∴b=c2−a2
c
．
② a=√15
3
．
初中数学试卷
灿若寒星制作。
