第九届中环决赛四年级试题(附答案)

包含与排除知识要点在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B=+-U I (其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且"的意思。

)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如下:I，即阴影面积。

A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B1、先包含——A B+重叠部分A BI计算了2次，多加了1次；2、再排除——A B A B+-I把多加了1次的重叠部分A BI减去。

两者容斥【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +（意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。

用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数。

1. 先包含——A B C ++A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次。

2. 再排除——A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C A B B C A C ++---I I I 计算时都被减掉了。

知识要点图形剪拼菱形面积公式将一个等边三角形分割成若干个等边三角形（不要求大小相等）将一个正方形分割成若干个正方形（不要求大小相等）n 边形内角和公式常用图形的剪拼梯形面积公式平行四边形面积公式三角形面积公式 几何（本讲）一、 三角形面积公式：三角形面积=底⨯高2÷，即S 三角形2a h =⨯÷。

二、 平行四边形面积公式：平行四边形面积=底⨯高，即S 平行四边形a h =⨯。

三、 梯形面积公式：梯形面积=（上底+下底）⨯高2÷，即S 梯形()2a b h =+⨯÷。

四、 菱形面积公式：菱形面积=两条对角线乘积的一半，即S 菱形2m n =⨯÷ 五、n 边形的内角和公式：n 边形的内角和(2)180n =-⨯o 。

图形面积【例 1】如图所示，已知三角形的一条边为a，这条边上的高为h。

请用图形剪拼的方法，求出这个三角形的面积S三角形。

hahaha【例 2】如图所示，已知平行四边形的一条边为a，这条边上的高位h。

请用图形剪拼的方法，求出这个平行四边形的面积S平行四边形。

ha【例 3】如图所示，已知梯形的两条平行的边分别为a、b，梯形的高为h。

请用图形剪拼的方法，求出这个梯形的面积S梯形。

hab【例 4】如图所示，已知菱形的两条对角线分别为m、n。

请用图形剪拼的方法，求出这个平行四边形的面积S菱形。

（提示：菱形的两条对角线相互垂直）mn图形分割【例 5】 （2005年12月第六届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛第二（5）题）将一个长方形分成形状完全一样的四块，至少画出8种分法，请用图表示。

（形状一样，排列方向不一样，只能看作一种分法）【例 6】 如图所示为一个34⨯的长方形方格纸，请用5种不同的方法将它分割成完全相同的两部分（保持每个小方格的完整）。

【例 7】 如图所示，请将44⨯的正方形分成形状相同、大小相等的四个图形，并且使其中每个图形都含有“上海世博”这四个字。

备课说明：1、本讲分为两部分，第一部分为应用题（1小时），共10道题，题目类型较多，其中1复习了上堂课学习的还原问题，可让学生自行完成；5、6为和差倍基础题，为下节课的和差倍问题做准备；10为第一期周长与面积拓展提高中的难题，利用割补思想解题，可先让学生思考，再进行讲解。

第二部分为盈亏问题（11小时），共3道例题和练习。

其中例1为基础题，例题3小题，练习3小题，介绍了盈亏问题的3种类型，用时25分钟左右，要求学生熟练掌握并会判断盈亏问题的三种类型，明确盈亏问题中每次分配的总量与参与分配对象是不变的；例2（15分钟）、例3（15分钟）为盈亏问题的提高题，让学生学会判断什么是分配对象，什么是物品，并能找出盈数与亏数，再通过对比的思想，解决问题。

2、重点：学会分析并解决应用题；能准确找出盈数与亏数，通过对比的思想解决盈亏问题。

难点：能准确找出盈数与亏数，通过对比的思想解决盈亏问题。

解答应用题的一般步骤：弄清题意，找出已知条件和所求问题；分析题里数量间的关系，确定先算什么，再算什么，……最后算什么；列出算式并解答；检验，写答句。

小明家养了一些鸭子，要知有多少，细细想一想：“鸭子一半下了水，一半的一半正往水里走，剩下15只围在小明身边吃食物。

”一共有多少只鸭？解：602215=⨯⨯（只）答：一共有60只。

一筐梨连筐重40千克，卖掉一半后，连筐重22千克，筐重多少千克？解：42)2240(40=⨯--（千克）答：筐重4千克。

一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的2倍，油桶连油重26千克；如果把油加到原来的4倍，这时油和桶共重48千克，原来油桶里有油多少千克？桶有多少千克？ 解：油重 ()()()kg 11242648=-÷-桶重 ()kg 421126=⨯-答：原来油桶里有油11千克，桶有4千克。

甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配，付款时丙没有带钱，甲公司付出10辆的钱，乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元。

知识要点幻方与数表一、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。

二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。

对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。

三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。

中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。

四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。

ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。

（只要构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。

行程必考题型综合一、行程必考题型综合例1已知甲乙两人相距100米。

甲每秒步行3米，乙每秒步行2米。

⑴两人相向而行，经过多少秒相遇？⑵两人同向而行，乙在前，甲在后，经过多少秒相遇？⑶两人相向而行，且甲带了一只狗和他同时出发。

狗以每秒5米的速度奔向乙，碰到乙后再奔向甲，碰到甲后再奔向乙，直到两人相遇才停下。

两人相遇时狗共跑了多少米？⑷两人同向而行，乙在前，甲在后，甲追上乙时，狗共跑了多少米？⑸两人同向而行，乙在前，甲在后，甲要在10秒内追上乙，速度应提高到多少米/秒？例2A、B两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米。

两车继续各自前行，分别到达B、A两地后立刻返回，不作停留，在离A地70千米处第二次相遇。

AB两地相距( )千米？例3下图为一圆形跑道，甲从A点出发，乙从B点出发，都按顺时针方向跑。

A、B正好在圆的一条直径上，圆周长为20米，甲每秒跑4米，乙每秒跑3米，则当甲第一次追上乙时，甲跑了( )圈。

考点分析：环形跑道追及问题例48km/时，逆流而上7km/时。

两船同时同地出发，甲顺流而下，乙逆流而上，各自到达终点后返回。

经过2小时两船同时回到出发点。

那么在这2小时内两船航行方向相同的时间有多少小时？考点分析：比例行程问题90千米/小时，乙车速度为60千米/小时。

甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行，在途径C地时，乙车比甲早到10分钟；第二天甲乙两车分别从BA两地同时返回出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB两地相距多少千米？测试题1．甲乙两车，从相距418千米的AB两地同时相对开出，甲车每小时36千米，乙车每小时34千米，开出一小时后甲车发现遗忘物品故返回A地，到达后立即再次向B地开出。

那么甲乙从出发到相遇经过了多少小时？2．(第八届中环杯决赛第七题)在100米赛跑中，小明到达终点时领先小刚10米，这时小王正好跑了81米，如果小刚和小王的速度不变，当小刚到达终点时，小王距离终点还有多远？3．(第九届中环杯四年级决赛动手动脑第四题)在一条公路的沿线有相距100千米的A,B两个城镇.甲，乙两车分别从两城同时开出.已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行30千米，且两车出发后不改变行进方向，几小时后两车相距200千米？4．甲乙两人从相距36KM的地方相向而行，如果甲比乙先走2个小时，那么他们在乙出发2.5时后相遇，如果乙比甲先走2个小时，那么他们在甲出发3时后相遇。

多次相遇问题从两端出发的直线型多次相遇问题同一出发点的直线型多次相遇问题例1(第九届“中环杯”四年级初赛)如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行。

他们在离A点100米的C点第一次相遇。

亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇。

整个过程中，两人各自的速度都保持不变。

求A、B 间的距离。

要求写出关键的推理过程。

例2(第六届“聪明小机灵”小学数学邀请赛(复赛)试题四年级)两辆汽车同时从甲乙两站出发相向而行，第一次在距甲站80千米处相遇。

第一次相遇后两车仍以原速度继续行使，并在到达对方车站后立即按原速度返回，返回途中两车又在距乙站100千米处第二次相遇，两辆汽车第一次相遇的地方与第二次相遇的地方相距_____千米。

例3甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千米。

甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两地后，立即按原路原速返回。

两车从开始到第二次相遇共用6小时。

求A、B两地的距离？例4一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米。

汽车每小时行48千米。

两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回。

汽车到甲地立即返回。

两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？例5如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行。

它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点处6厘米的D点，问，这个圆周的长是多少？例6甲、乙两同学在400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒3米和每秒5米的速度跑步。

第一次相遇时甲掉头，第二次相遇时乙掉头，第三次相遇时甲掉头，第四次相遇时乙掉头……甲乙第10次相遇时，甲跑了多少米？(不管是迎面，还是追上，只要甲乙同时在同一地点则视为相遇)例7甲、乙两人在一条长90米的直路上来回跑步，甲的速度是3米/秒，乙的速度是1米/秒。

【巧求面积】(2005年12月第六届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级复赛第一(6)题)如图是回字形的长方形草地，阴影部分的面积为_____平方厘米。

)有一个农户，计划利用一堵围墙，用篱笆围一个长方形的鸡圈。

如图，AD、AB、BC三段为篱笆，CD为墙。

若篱笆的总长度为24米，则围成的鸡圈面积最大是多少平方米？)如图，阴影部分的每个小长方形的长相等，宽也相等，求空白部分的面积(单位：厘米)。

)长方形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。

例4例3例2例1巧解周长及面积3厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。

如图，正方形ABCD中，AD＝10米，E、F、G、H分别为各边的中点。

求阴影部分的面积。

测试题1．左下图多边形的每条边都垂直于它的邻边，且所有的边长都相等，周长是108cm，这个图形的面积是多少平方厘米？2．如下图，一块正方形草地，长100米，宽80米，中间有一条宽4米的道路。

求草地(阴影部分)的面积。

3．一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后，得到的正方形的面积比原长方形面积少312cm。

求原长方形纸片的面积。

例6例54．下图的大正方形有4个同样大小的长方形和一个小正方形组成，已知每个长方形的周长是32厘米，大正方形的面积是_______平方厘米。

5．如下图，已知长方形ABCD，AD = 8厘米，AB = 5厘米，E、F分别为AB及BC边的中点。

求阴影部分的面积。

答案1．【解析】36条等长线段，即每边长为108÷36÷3cm共有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41个小正方形，每个面积为9平方厘米面积共有41×9＝3692cm。

2．【解析】(100－4)×(80－4)＝7296（平方米）答：草地面积为7296平方米。

3．【解析】正方形边长为a，则2a＋5a＋2×5＝31，可知a＝3cm原长方形面积为(5＋3)×(2＋3)＝40平方厘米。

备课说明：1、本讲课内部分内容为四舍五入法（50分钟），由第1题说明什么是近似数，及四舍五入法，之后3道则为四舍五入法求近似数的应用。

若学生掌握良好，课堂上有时间富余，教师可在黑板上随机写数，由学生抢答，进行口头考察。

课外部分内容为平均数问题（1小时），共4道例题。

例1为平均数基础题，练1为竞赛真题，学生做题时，教师可稍作提示：老师人数与一天学校课时总数有什么关系。

例2为行程问题中的平均数问题，这里要让学生明确平均速度与速度平均数的区别。

例3让学生明白求平均数就是“移多补少”的过程，并能根据这一思想，已知部分数，以及其余数比平均数多多少或少多少，求出总平均数。

例4为平均数与等式加减法的综合题。

2、重点：会用四舍五入法凑整；了解平均数的意义，会求平均数。

难点：了解平均数的意义是移多补少，并能应用这一思想解决问题。

四舍五入法：如果被省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数都舍去（即“四舍”）；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，去掉尾数后，要向它的前一位进1（即“五入”）。

计算中常用的凑整法是“四舍五入法”。

①写出与a 、b 、c 、d 相邻的整万数，在最接近它的整万数上画“√”。

dcba40000________a________ ________b________ ________c________ ________d________解：10000（√）；20000 20000；30000（√）50000；60000（√）60000（√）；70000.②写出与下列各数相邻的整十万数，在最接近它的整十万数上画“√”。

1348500149925417098751800000_____________1169832_____________ _____________1348500__________________________1499254_____________ _____________1709875_____________ 解：1100000；1200000（√）1300000（√）；1400000 1400000；1500000（√）1700000（√）；1800000.用四舍五入法凑整：①整百数整千数整万数474735487897990解：整百数整千数整万数47473 47500 47000 5000054878 54900 55000 5000097990 98000 98000 100000②整百万数整千万数整亿数2387400004545454503999948200解：整百万数整千万数整亿数238740000 239000000 240000000 200000000 454545450 455000000 450000000 500000000 3999948200 4000000000 4000000000 4000000000 想一想，下列各数在哪一个数位上凑整？20948 20950 20948 21000 在（）位上凑整在（）位上凑整20948 20000 350860 350900 在（）位上凑整在（）位上凑整350860 350000 350860 400000 在（）位上凑整在（）位上凑整解：20948 20950 20948 21000 在（十）位上凑整在（千）位上凑整20948 20000 350860 350900 在（万）位上凑整在（百）位上凑整350860 350000 350860 400000在（万）位上凑整在（十万）位上凑整填空。

知识要点乘法原理乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．一、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．简单分步【例1】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？BA【例2】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？BA【例3】 在图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过。

问：这只甲虫最多有几种不同走法？BA三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例4】在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过。

备课说明：1、本讲课内部分内容为四舍五入法（50分钟），由第1题说明什么是近似数，及四舍五入法，之后3道则为四舍五入法求近似数的应用。

若学生掌握良好，课堂上有时间富余，教师可在黑板上随机写数，由学生抢答，进行口头考察。

课外部分内容为平均数问题（1小时），共4道例题。

例1为平均数基础题，练1为竞赛真题，学生做题时，教师可稍作提示：老师人数与一天学校课时总数有什么关系。

例2为行程问题中的平均数问题，这里要让学生明确平均速度与速度平均数的区别。

例3让学生明白求平均数就是“移多补少”的过程，并能根据这一思想，已知部分数，以及其余数比平均数多多少或少多少，求出总平均数。

例4为平均数与等式加减法的综合题。

2、重点：会用四舍五入法凑整；了解平均数的意义，会求平均数。

难点：了解平均数的意义是移多补少，并能应用这一思想解决问题。

四舍五入法：如果被省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数都舍去（即“四舍”）；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，去掉尾数后，要向它的前一位进1（即“五入”）。

计算中常用的凑整法是“四舍五入法”。

①写出与a 、b 、c 、d 相邻的整万数，在最接近它的整万数上画“√”。

dcba40000________a________ ________b________ ________c________ ________d________解：10000（√）；20000 20000；30000（√）50000；60000（√）60000（√）；70000.②写出与下列各数相邻的整十万数，在最接近它的整十万数上画“√”。

1348500149925417098751800000_____________1169832_____________ _____________1348500__________________________1499254_____________ _____________1709875_____________ 解：1100000；1200000（√）1300000（√）；1400000 1400000；1500000（√）1700000（√）；1800000.用四舍五入法凑整：①整百数整千数整万数474735487897990解：整百数整千数整万数47473 47500 47000 5000054878 54900 55000 5000097990 98000 98000 100000②整百万数整千万数整亿数2387400004545454503999948200解：整百万数整千万数整亿数238740000 239000000 240000000 200000000 454545450 455000000 450000000 500000000 3999948200 4000000000 4000000000 4000000000 想一想，下列各数在哪一个数位上凑整？20948 20950 20948 21000 在（）位上凑整在（）位上凑整20948 20000 350860 350900 在（）位上凑整在（）位上凑整350860 350000 350860 400000 在（）位上凑整在（）位上凑整解：20948 20950 20948 21000 在（十）位上凑整在（千）位上凑整20948 20000 350860 350900 在（万）位上凑整在（百）位上凑整350860 350000 350860 400000在（万）位上凑整在（十万）位上凑整填空。

知识要点幻方与数表一、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。

二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。

对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。

三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。

中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。

四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。

ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。

（只要构造出一种）【例2】 请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。

（只要构造出一种）五、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nn a a a a KM OM K 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b c a b c⨯+⨯+⨯+⨯+KM O M K 也是n 阶幻方。

【四年级奥数】商的变化规律精选（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）一、知识点分析（1）重点、考点：发现并运用商的变化规律。

（2）难点、易错点：商的变化规律的探究策略。

（3）教学目标1、让学生探索并掌握一个被除数不变，另一个除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。

2、使学生经历商的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。

二、同步教学：商的变化规律【知识点梳理】商的变化规律1、如果两个数相除，如果被除数乘几，除数不变，则商就乘几。

2、如果两个数相除，如果被除数除以几，除数不变，则商就除以几。

3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几，则商就除以几。

4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几，则商就乘几。

【例题详解】例1在除法算式128÷4中，如果被除数乘2，除数不变，商有什么变化？拓展1 在除法算式128÷4中，如果被除数不变，除数乘8，商有什么变化？拓展2 在除法算式128÷4中，如果被除数乘4，除数乘2，商有什么变化？拓展3在除法算式128÷4中，如果被除数乘3，除数乘6，商有什么变化？拓展4 在除法算式144÷12中，被除数乘6，除数除以3，商有什么变化？拓展5在除法算式128÷4中，被除数除以4，除数乘2，商有什么变化？拓展6 在除法算式128÷4中，被除数除以8，除数除以4，商有什么变化？例2两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数不变，新的商是多少？拓展1 两个数相除，商是210，如果被除数不变，除数乘3，新的商是多少？拓展2 两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数乘6，新的商是多少？例3两个数相除，商是7，余数是8。

如果被除数和除数同时乘10，商是多少？余数是多少？例4凡凡在做一道除法算式题时，将被除数乘5，除数乘6，得到的商是80，正确的商应该是多少？【课堂练习】1、贝贝在做一道除法算式题时，将被除数乘3，除数乘4，得到的商是150，正确的商应该是多少？2、兰兰在做一道整数除法算式题时，将被除数末尾的一个“0”漏写了，结果得到的商是20，正确的商应该是多少？3、小美在做一道整数除法算式题时，给被除数末尾多写了一个“0”，结果得到的商是250，正确的商应该是多少？4、两个数相除，商是450，如果被除数乘5，除数不变，新的商多少？5、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时乘20，那么商是多少？余数是多少？6、两个数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时乘120，那么商是多少？余数是多少？7、两个数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时除以100，那么商是多少？余数是多少？【课堂小结】今天我们学习了什么内容，先由学生总结，再由老师补充。

“增加n 倍”即：表示原数的()1+n 倍；“增加到n 倍”即：表示原数的n 倍.和倍或差倍问题：常采用画线段图的方法来帮助理解.利用“和÷（倍 数＋1）= 大数 或者差÷（倍数－1）= 小数”求出一倍数，再求出其他的数.填空题1. 3增加2倍相当于3的（ 3 ）倍，结果是（ 9 ）；3增加到2倍相当于3的（ 2 ）倍，结果是（ 6 ）.2. 把60米的铁丝分成两段，第一段是第二段的2倍，第二段长（ 20 ）米.3. 4个工人5小时共加工20000个零件，平均1人1小时加工（ 1000 ）个零件，照这样计算，增加5个工人，8小时共加工（ 72000 ）个零件.4. 在5分钟口算比赛中，小巧完成80题，她再完成10题就是小亚的2倍了，小亚每分钟完成（ 9 ）题.一块长方形的菜园，原来长40米，宽25米，如果长增加到2倍，宽增加2倍，面积将增加多少平方米？解：40×2×25×(2＋1)－40×25 = 5000 （平方米）3辆同型号的卡车5次能运120吨货物，增加同样的8辆卡车后，一次能运货物多少吨？（列综合算式）解：()883853120=+⨯÷÷（吨） 答：一次能运88吨货物.学校买了5个足球和3个篮球，共用去199元，每个篮球比每个足球贵5元.每个足球和篮球各多少元？解：足球 ()()233535199=+÷⨯-（元） 篮球 28523=+（元）答：每个足球23元，每个篮球28元.某次数学竞赛，共20道题，评分标准是每题做对得5分，做错倒扣3分，不做为0分，小丽结果得了69分，那么她有 _道题没做. 解： 3.假设小丽全做对，则有3169520=-⨯（分），而将一题做错的题看成做对会相差 835=+（分）；将一题没做的题看成做对会相差505=+（分），而312835=⨯+⨯（分），因此小丽有3道题没做.常见图形的周长公式：常见图形的面积公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2； 长方形的面积＝长×宽； 正方形的周长＝边长×4； 正方形的面积＝边长×边长； 三角形的周长＝三边之和. 三角形的面积＝底×高÷2.如图，五个相同的小长方形摆成了长方形ABEF ，已知正方形ABCD 中a 、b 、c 三个小长方形的周长之和比长方形CDFE 的周长大42厘米，求长方形ABEF 的面积.【小数报杯，第五届初赛】cb a FEDBA解：设长方形的宽为1份，则长方形的长为3份，则a 、b 、c 三个小长方形的周长之和比长方形CDFE 的周长大1423)(2-323)(1=⨯+⨯⨯+（份） 1份为 31442=÷（厘米）则长方形ABEF 的面积为 1355333=⨯⨯⨯）（（平方厘米） 答：长方形ABEF 的面积为135平方厘米.如图，阴影部分的每个小长方形的长相等，宽也相等，求空白部分的面积（单位：厘米）.【中环杯，第九届决赛】解：由图可知，长比宽多3个小长方形的宽，所以小长方形的宽为()()cm 632442=÷-，则小长方形的长为()()cm 92624=÷-.空白部分的面积：()25768962442cm =⨯⨯-⨯.如下图所示，是学校一个正方形花圃的设计图，图中阴影部分是花圃，空白部分是草坪，则花圃的面积是多少平方米？2米3米10米3米2米2米3米10米解：对正方形花圃作做左图所示分割，这样阴影部分面积如意得到)53( 294100 23210101010平方米＝＝）（＝阴影÷-÷⨯-⨯-⨯S如图所示，四边形ABCD 的面积是16平方厘米，其中CD AD =，BE DE =，cm AE 2=，那么四边形BCDE 的面积是多少平方厘米？EDCBADACB(A)EE1解：如上图所示，将ADE∆补在四边形BCDE的上方，使AD与CD重合，这样原图形的面积就是正方形1BEDE的面积，则4=BEDE＝（厘米）所以1224216＝＝四边形÷⨯-BCD ES（平方厘米）如下图，D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，已知240cmSABC=∆，求DEF∆的面积.FEDCBA解：()2522240cmSD EF=÷÷÷=∆已知ABC∆的面积为1，ABBE2=，CDBC=，求BDE∆的面积.解:如上图所示，连接CE，这时BCE∆与DCE∆等底同高，所以CDEBCESS∆∆=.又因为△ABC与△BCE同高，且BE=2AB，所以ABCBCESS∆∆=2则ABCBCEBD ESSS∆∆∆⨯⨯222＝＝4122＝＝⨯⨯下图中甲的面积比乙的面积大 平方厘米.【走美杯，第六届初赛】6厘米8厘米4厘米乙甲解析：甲的面积+白色三角形的面积()224268cm =÷⨯= 乙的面积+白色三角形的面积()216248cm =÷⨯= 所以，甲的面积—乙的面积()281624cm=-=.【备用】1、如下图所示，是5个同样大小的长方形(单位：厘米)，则一个小长方形的面积 是多少平方厘米？31414143解：如下图所示，从图形中可以看到小长方形的2个长－3＝小长方形的3个宽； 所以小长方形5个宽的和为：253214=-⨯（厘米） 小长方形的宽：5525=÷（厘米） 小长方形的长：9514=-（厘米）小长方形的的面积：4595=⨯（平方厘米）2、长方形ABCD 被分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【中环杯，第六届决赛】FEDCB A解：设正方形B 的边长为a ，则F 的边长为1+a ，E 的边长为2+a ，D 的边长为3+a ， 而由B 、C 也可得D 的边长为12-a .从而有：123-=+a a3、如图，大正方形ABCD 的面积是18 平方厘米，灰色正方形MNPQ 的边MN 在对角线BD 上，顶点P 在边BC 上，Q 在边CD 上，问，灰色正方形MNPQ 的面积是多少平方厘米？解：如下图，连接AC 交BD 于O ，作大正方形ABCD 的外接正方形EFGH ， 则正方形EFGH 的面积为36218=⨯平方厘米.所以DB=AC=6厘米.易知，DM=MQ=MN=NB=2厘米.所以灰色正方形面积为4平方厘米.4、有30枚贰角邮票和8枚伍角邮票，用这些邮票不能构成的1角到10元之间的邮资有多少种？解：注意到所有的38枚邮票的总邮资恰好是100角（即10元），于是除了50角与100角外，其他98种邮资可以两两配对，即 （1，99），（2，98），（3，97），…，（49，51）.每一对邮资中有一个可用若干枚贰分和伍分邮票构成，则另一个也可以，显然50角和100角的邮资是可以构成的，因此只需要讨论邮资为1角、2角、3角……49角这49种情况.1角和3角的邮资显然不能构成.2角、4角、6角……48角这24种偶数邮资都可以用若干枚贰分邮票构成，因为贰角邮票的总数为30个.5角、7角、9角……49角这23种奇数邮资，只需分别在4角、6角、8角……48角币值的构成方法上，用1枚伍角邮票换去两枚贰角邮票即可，比如37角邮资，由于36角邮资可用18枚贰角邮票构成，用1枚伍角邮票换下2枚贰角邮票，所得的邮资即为37角. 综合以上分析，不能用若干枚贰角和伍角邮票构成的1角到10元之间的邮资只有四种，即1角、3角、97角、99角.学校图书馆去年有故事书240册，今年故事书的本书增加到去年的3倍少25册，今年学校图书馆有故事书多少册？明年故事书的本书将比去年增加3倍多25册，明年学校图书馆故事书有多少册？（先画图，再列式）解：今年 253240-⨯ 明年 ()2513240++⨯()册69525720=-= ()册98525960=+=明年1份1份1份1份25册25册1份240册1份1份1份今年去年答：今年学校图书馆有故事书695册，明年学校有故事书985册.自行车厂计划每天生产500辆自行车，25天完成任务，实际20天就完成了任务，实际每天比计划多生产多少辆？（列综合算式解答） 解： 500×25÷20－500 = 125（辆）求下面各图中阴影部分的面积412121解：（1）824121＝）＋＋（÷⨯；324221123343＝÷⨯-÷⨯-÷⨯-⨯用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，边框的周长为264厘米，里边小正方形的面积为900平方厘米.问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米？解：664264＝÷（厘米） 因为230900＝ 所以中间正方形的边长为30厘米长方形条砖的宽为：1823066＝）（÷-（厘米）长方形条砖的长为：2421866＝）（÷-（厘米）如下图，A 为CDE ∆的DE 边上中点，BC CD 3=，若ABC ∆（阴影部分）面积为5平方厘米，求ABD ∆及ACE ∆的面积.ECB AF ECBA分析与解：设BD 的中点为F ，连接AF .那么FD BF CB ==，即AFD ABF ABC S S S ∆∆∆＝＝.由DA EA =，得ACD ACE S S ∆∆＝.所以10522＝＝＝⨯∆∆ABC ABD S S （平方厘米）15533＝＝＝＝⨯∆∆∆ABC ACD ACE S S S （平方厘米）。

中环杯四年级试题2第十届“中环杯”小学生思维能力训练活四年级选拔赛一、填空题:（每题５分，共５０分。

）1、( ）2、用组成各位数字都不相同的六位数,并把这些六位数从小到大排列，第个数是 )。

3 有编号的枚硬币正面朝上放在桌子上，先将编号为的倍数的硬币翻个身，再将编号为的倍数的硬币翻个身，最后仍有（）个硬币正面朝上.4有两列火车，甲车长米，每秒行米;乙车长米，每秒行8米。

现在两车在两条互相平行的轨道上同向而行，甲在后，乙在前。

路当中有一条隧道,其长度和甲车长度相同.当乙车车尾刚离开隧道时,甲车车头刚进入隧道。

则（）秒后,两车车头平行。

5小池塘中有片荷叶，如图所示,一只青蛙在荷叶A 上，想要跳到荷叶F上，可以通过任意一片或两片跳到荷叶Ｆ上,也可以直接跳到荷叶F上，但跳过的荷叶不能再跳.它一共有( ）种不同的跳法。

6 名选手参加大胃王比赛，比赛的内容是吃汉堡,最后吃得最多的选手吃了个汉堡，吃得最少的选手吃了个汉堡。

问至少有（)名选手吃的汉堡的数量是相同的。

7一套数学分上下两册，编页码时共用了个数码。

又知上册比下册多页，那么上册有（）页。

8 甲、乙两人分别从两地同时出发,相向而行。

如果两人都按照原定速度行进,小时可以相遇。

现在甲比原计划每小时少走千米,乙比原计划每小时少走千米,结果两人用了4小时相遇。

两地相距（ )千米。

9平面上有一个圆,能把平面分成２部分；2个圆最多能把平面分成4部分.现在有7个圆，最多能把平面分成( ４４ )部分.10下图,一只小狗从Ｘ点出发,沿XＯ方向走，中途转向，沿平行于ＯY的方向走，之后又转弯，沿平行于ＸＯ的方向走，如此继续下去，直到到达Ｙ点,再沿ＹX方向回到Ｘ点。

已知三角形的周长是米,那么在整个过程中，小狗一共走了(7８）米。

11动手动脑题：(每题分，共分.）１、请在图中再画一个正三角形,使三角形的个数变成个２、连续写出从1开始的自然数.写到，得到一个多位数，这个多位数除以，得到的余数是几?为什么？３、某商场举行优惠促销活动，采用“满送,并连环赠送"的酬宾方式，即顾客每消费满元（元既可以是现金,也可以是奖券或者二者合计)就送元奖券,满元就送元奖券,依此类推.小明的爸爸到商场购物时恰好遇到好朋友在选购电视机.小明爸爸充分利用商场的促销活动，在朋友的帮助下，花元最多能买回多少元的物品?...感谢聆听...４、如图,甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是厘米、６厘米、8厘米.乙的一个顶点在甲的中心点上,丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。

中环杯数学竞赛四年级试题中环杯数学竞赛是一项面向小学生的数学竞赛，旨在激发学生的数学兴趣，提高数学素养。

以下是一份模拟的四年级中环杯数学竞赛试题，供参考：一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的两位数？A. 10B. 98C. 100D. 992. 如果一个数的3倍是45，那么这个数是多少？A. 15B. 50C. 40D. 303. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的周长是多少？A. 40厘米B. 44厘米C. 48厘米D. 56厘米4. 以下哪个分数是最大的？A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 一个数加上8等于23，这个数是多少？A. 15B. 21C. 17D. 19二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个数的5倍是30，这个数是_________。

7. 把一个数增加20，得到的结果比原数大_________。

8. 一个数的2/3等于18，这个数是_________。

9. 一个班级有40名学生，其中女生占2/5，女生有_________人。

10. 如果一个数的3倍是另一个数的2倍，那么这两个数的比是_________。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的面积。

12. 一个班级有50名学生，其中1/4是男生，这个班级有多少名男生？13. 一个数的4倍是另一个数的2倍，如果这个数是12，求另一个数。

14. 一个数的1/5加上另一个数的1/4等于9，如果另一个数是36，求这个数。

四、应用题（每题10分，共20分）15. 小明有40张邮票，他给了小红一半，然后他又给了小红剩下的一半，最后小明还剩下多少张邮票？16. 一个水果店有苹果和橙子，苹果的数量是橙子的3倍，如果苹果和橙子一共是90个，问苹果和橙子各有多少个？五、附加题（10分）17. 一个数列的前三项是1，2，3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

杯赛真题精选<下>例1<第九届中环杯四年级决赛解答题第三题>如图,阴影部分的每个小长方形的长相等,宽也相等,求空白部分的面积<单位：厘米>例2<第六届中环杯四年级决赛解答题第四题>长方形ABCD被分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1平方厘米,求长方形ABCD的面积。

例3<第九届中环杯四年级决赛第九题>有一批砖,每块砖的长和宽都是自然数,而且长比宽长12厘米。

如果把这批砖横着铺<见图1>,可以铺897厘米；如果横竖相同铺<见图2>,可以铺657厘米长。

如果"两横一竖铺"<见图3>,则可以铺< >厘米长。

如下图是一个园林的规划图,其中,正方形的34是草地；圆的67是竹林；竹林比草地多占地450平方米。

问：水池占地多少平方米？小池塘中有6片荷叶,如图所示,一只青蛙在荷叶A 上,想要跳到荷叶F 上,可以通过B 、C 、D 、E 任意一片或两片跳到荷叶F 上,也可以直接跳到荷叶F 上,但跳过的荷叶不能再跳。

它一共有< >种不同的跳法。

<第十届中环杯四年级初赛解答题第三题>平面上有一个圆,能把平面分成2部分；2个圆最多能把平面分成4部分。

现在有7个圆,最多能把平面分成<>部分。

71名选手参加大胃王比赛,比赛的内容是吃汉堡,最后吃得最多的选手吃了18个汉堡,吃得最少的选手吃了9个汉堡。

问至少有< >名选手吃的汉堡的数量是相同的。

例7例6例5<第十届中环杯四年级初赛>甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。

如果两人都按照原定速度行进,3小时可以相遇。

现在甲比原计划每小时少走1千米,乙比原计划每小时少走0.5千米,结果两人用了4小时相遇。

A、B两地相距< >千米。

例9有两列火车,甲车长200米,每秒行13米；乙车长150米,每秒行8米。