2015-2016学年 1.2.2《基本不等式的应用》课件

柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。

求证给定数字之和的平均值大于等于这 些数字的算术平均值
1
数学推理
通过使用基本不等式和数学推理，可以证明给定数字之和的平均值大于等于这些数字的 算术平均值。
2
数学不等式
根据基本不等式的定义，可以得到相应的数学不等式。
3
举例论证
通过例证法和具体数字的应用，可以说明这一结论的正确性。
证明乘积最大化
1 数学推理
通过几何解释和图形表示，可以更直
观地理举例，可以说明面积最 大化在解决实际问题中的重要性。
求证余弦定理
数学证明
通过使用基本不等式和三角 函数性质，可以证明余弦定 理。
几何解释
通过几何解释和图形表示， 可以更直观地理解余弦定理。
实际应用
通过实际应用案例，可以说 明余弦定理在解决实际问题 中的重要性。
1
数学归纳法
2
采用数学归纳法可以证明基本不等式
在所有情况下均成立。
3
数学推理
通过使用数学运算和逻辑推理，可以 证明基本不等式的正确性。
例证法
通过举例证明基本不等式对于特定数 值的成立。
如何使用基本不等式
求解数列极值
通过应用基本不等式，可以 找到数列中的最大值或最小 值。
求证数列单调性
利用基本不等式，可以证明 数列的单调递增或单调递减。
通过使用基本不等式和 数学推理，可以证明乘 积的最大化问题。
2 应用案例
3 几何解释
通过实际应用案例，可 以说明乘积最大化在解 决实际问题中的重要性。
通过几何解释和图形表 示，可以更直观地理解 乘积最大化。
证明三角形的面积最大化
1
推理过程
通过使用基本不等式和几何知识，可

出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.也要注意应用条件.
【类题通法】利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种 思路: (1)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.
第2课时 基本不等式的应用
关键能力探究
探究点一 利用基本不等式求最值、范围
【典例1】(1)若x< 5 ,则f(x)=4x-2+ 1 的最大值为________.
4
4x－5
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为______.
【思维导引】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑
x＋y
x＋y
λ的最小值为2.
答案:2
探究点三 基本不等式的综合问题
【典例3】若不等式9x+ a2 ≥a+1(常数a>0)对一切正实数x成立,求a的取值范
x
围.
【思维导引】将问题等价转化成对一切x>0,9x+ a2 的最小值不小于a+1.
x
【类题通法】 (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值.
【定向训练】
已知正数x,y满足x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.
【解析】依题意得x+2
2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即
x＋2 2xy x＋y
≤2(当且仅当x=2y
时取等号),即 x＋2 2xy 的最大值为2.又λ≥ x＋2 2xy 恒成立,因此有λ≥2,即

项“配凑”.
10
（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y
的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函
数，再求其最值.
解
（1）∵x>0,y>0,
19 xy
1,
x y ( x y )( 1 9 ) y 9 x 10 6 10 16 . xy x y
当且仅当 y 9 x 时 , 上式等号成立 , xy
4
16
16
(2)x 2,x 2 0,x 4 x 2 4 2
x2
x2
2 (x 2) • 4 2 6,当且仅当x 2 4 ,
ab a b
ab
ab
114. ab
所以原不等式成立.
（2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,
1 1 1 xy z2y z. x xx x
①
6
1z1
x y z
2
xy z.
②
1 1 xz 2 xz.
③
y
y
y
又0
x
1，1 x
1.同理1z
1,
1 y
1.
将①②③三式相乘，得
(1x1)(1y1)(1z1)8.
3.已知
531(x0,y0),则 x的y 最小值为
xy
60
.
解析 1532 15, xy2 15,xy60.
x y xy
当且仅 5当 31, x y2
即x=10，y=6时，xy有最小值60. 4.设x,y为正数，则 (x y)(1 4)的最小值为 9 .
xy
解析 ∵ (xy)1 (4)5y4x(x0 ,y0) xy x y