2016届高三数学第六次月考试题理10
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第六次月考数学理试题【新课标Ⅱ—1版】3为纯虚数（i 是虚数单位）则实数a =（ ） .A 1 .B 2 .C 1- .D 2-4．已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）.A 14 .B 12.C 1 .D 2 5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（ ）.A 4 .B 8 .C 10 .D 126．在ABC ∆中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是（ ）.A 34 .B 38 .C 34或38 .D 37．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S =（ ).A 18 .B 36 .C 54 .D 728.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( ).A 32π.B 34π .C 43π .D 23π 9.将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =图像的一条对称轴是（ ） .A 12x π= .B 6x π= .C 3x π= .D 23x π=10. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为 60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点，则BFAF 的值等于（ ）.A 5 .B 4 .C 3 .D 211.函数22()log (0)1x g x x x =>+，关于方程2()()230g x m g x m +++=有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）.A ((),4427,-∞-++∞ .B (44-+.C 32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .D 34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦12.已知椭圆221:132x y C +=的左右焦点为21,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()11221,2,(,),(,)A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是（ ） .A ()[),610,-∞-+∞ .B (][),610,-∞-+∞.C ()(),610,-∞-+∞ .D ()(,6]10,-∞-+∞二、填空题（每题5分共20分）13．若等比数列{}n a 的首项811=a ，且241(2)a x dx =⎰，则数列{}n a 的公比是_______.14．已知命题2:121xp x ->-，命题2:210(0)q x x m m ++-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是 .15.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 .16.已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中正确的为 (将正确的序号都填上) ①()f x 既是奇函数,又是周期函数 ②()y f x =的图像关于直线2x π=对称③()f x ④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 三、解答题17．（本小题满分12分）设函数)32cos(cos 2)(2π--=x x x f .（Ⅰ）当]20[π，∈x 时，求)(x f 的值域；（5分）（Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，若23)(=+C B f ，2=a ，求A B C ∆面积的最大值．（7分）18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+. （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；（4分） （2）数列{}n b 满足n n nn a n b ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式12)1(-+<-n n nn T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围. （8分）考生注意，19题只选一题A 或B 作答，并用2B 铅笔在答题卡上把对应的题号涂黑 19．（本小题满分10分）A:己知圆1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)4πρθ=-．（1）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）圆1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．B ．如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥ABCD P -中,平面⊥PAD 平面ABCD ,AB ∥,DC PA PD =,已知,102==DC AB 834==AD BD （1）设M 是PC 上的一点,求证:平面⊥MBD 平面PAD ;（4分） （2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点） 上的什么位置时，二面角M AD P --的大小为3π（8分）21．（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，其中2b a =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=. （1）求椭圆E 的离心率；（2分）（2）求a 与b 的值；（4分）（3）当λ变化时，AB k 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. （6分）22. （本小题满分12分）已知函数()2()ln x a f x x-=（其中a 为常数）.(Ⅰ)当0a =时，求函数的单调区间；（4分）(Ⅱ)当01a <<时，设函数)(x f 的3个极值点为123,,x x x ，且123x x x <<. 证明：13x x +>（8分）（2）12-=n n n b ， --------------------------------------6分122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- ，1224-+-=∴n n n T -----------8分 1224)1(--<-∴n nλ若n 为偶数，则3,2241<∴-<∴-λλn若n 为奇数，则2,2,2241->∴<-∴-<-∴-λλλn32<<-∴λ --------------------12分19.A:（1）由cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得221,x y += ------------------------2分又222cos 2sin ,4πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭22cos 2sin .ρρθρθ∴=+22220,x y x y ∴+--=即()()22112,x y -+-= ----------------------------4分（2）圆心距1),d ==得两圆相交，---------- 6分由22221220x y x y x y ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩得直线AB 的方程为2210,x y +-= -----------------7分所以，点O 到直线AB4= ----------------------- 8分||2AB ∴==-------------------------------------- 10分 19.B: 解：(1)证明：如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC . (2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF 外接圆的半径等于32. 20.（1）因为834==AD BD ，得6,8==AD BD ，又因为10=AB ，所以有222AB BD AD =+即BD AD ⊥ 又因为平面⊥PAD 平面ABCD ，且交线为AD ，所以PAD BD 平面⊥，BDM BD 平面⊂，故平面⊥MBD 平面----------------------4分（2）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD 的中点O ，连PO ，则PO 垂直于AD ，由于平面⊥PAD 平面ABCD ，所以PO 垂直于平面ABCD ，过O 点作BD 的平行线，交AB 于点E,则有AD OE ⊥,所以分别以OP OE OA ,,为z y x ,,轴，建空间直角坐标系所以点)33,0,0(),0,8,3(),0,0,3(),0,0,3(),0,0,0(P B D A O --，由于DC AB //且DC AB 2=，得到)0,4,6(-C ，设λ=PCPM（)10<<λ，则有))1(33,4,6(λλλ--M ，因为由（1）的证明可知PAD BD 平面⊥，所以平面PAD 的法向量可取：)0,8,0(1=n ，设平面MAD 的法向量为),,(2z y x n =，则有14,33,00))1(33,4,36)(,,(0)0,0,6)(,,(0022-===⇒⎩⎨⎧=-+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅λλλλλz y x z y x z y x n n 则有令即有)14,33,0(2-=λλn 由二面角M AD P --成3π得139=λ，故当M 满足：PC PM 139=时符合条件-------12分 21.（1）因为2b a =，所以2234b a =，得22234ac a -=，即2214a c =，所以离心率12c e a ==.------------------2分 （2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ=，得12512(,)77a A -，--------------4分 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a -+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==. --------------------------------------------6分从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值. -------------------------12分法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，---------------------8分将,A B 坐标代入椭圆方程得2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=， -------------------------------------10分同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=， 所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=，即6(1)8(1)0k λλ+++=，所以34AB k =-为定值. -----------------------------------12分 22.(Ⅰ)求导得：xx x x f 2ln )1ln 2()('-=.令0)('=x f 可得e x =.列表如下:单调减区间为()1,0,e ,1;增区间为(+∞,e . --------------------4分(Ⅱ)由题，xx a x a x x f 2ln )1ln 2)(()('-+-=对于函数1ln 2)(-+=x a x x h ，有22)('x ax x h -= ∴函数)(x h 在)2,0(a 上单调递减，在),2(+∞a上单调递增∵函数)(x f 有3个极值点321x x x <<， 从而012ln2)2()(min <+==a a h x h ，所以ea 2<， 当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，--------------6分11。
