2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用阶段质量检测B卷(含解析)

阶段质量检测(三)导数及其应用[考试时间：90分钟试卷总分：120分]三题号一二总分15 16 17 18得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()1 1 1A.(x＋x )′＝1＋B．(log2x)′＝x2 x ln 2C．(5x)′＝5x log5e D．(x2cos x)′＝2x sin x2．已知f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)等于()A．－2 B．2 C．1 D．－413．一质点的运动方程为s＝20＋gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3 s时的瞬时速度为()2A．20 m/s B．29.4 m/s C．49.4 m/s D．64.1 m/s4．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3 C．9 D．155．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()1 A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D.(0，2 )6．函数y＝f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．－e B．1－e C．－1 D．07．对于R上的可导函数f(x)，若(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)＞2f(2)C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)8．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为()A．1∶πB．2∶πC．1∶2D．2∶11a 10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为()b2 2A．－B．－2 C．－2或－D．不存在3 3答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递增区间为____________________．12．求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程是______________________．13．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是__________________．14．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)315．(本小题满分12分)设函数y＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1时有极值．2(1)求函数的解析式；(2)指出函数的单调区间．1 1－a16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.3 2(1)求函数f(x)的单调区间；2(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围．17．(本小题满分12分)(福建高考)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．18．(本小题满分14分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应5(－x，则当x为何值时，本年度的年利润增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240)2＋2x＋3最大？最大利润为多少(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)?3答案1 11．选B∵(x＋x )′＝1－；(5x)′＝5x ln5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′x2＝2x cos x－x2sin x，∴B选项正确．2．选D∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.3．选B v＝s′(t)＝gt.∴当t＝3时，v＝3g＝29.4.4．选C y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.5．选D∵f′(x)＝3x2－6b，∴由f(x)在(0,1)内有极小值知，f(x)在(0,1)内先减再增，1∴Error!∴Error!∴0<b< .216．选C y′＝－1，令y′＝0，∴x＝1，列表如下xx (0,1) 1 (1，e) ey′＋0 －y －1 1－e由于f(e)＝1－e，而－1>1－e，从而y最大值＝f(1)＝－1.7．选D①若f′(x)不恒为0，当x＞1时，f′(x)≥0，当x＜1时，f′(x)≤0，∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数，(－∞，1)上为减函数，4∴f(2)＞f(1)，f(1)＜f(0)，即f(2)＋f(0)＞2f(1)．②当f′(x)＝0恒成立时，f(2)＝f(0)＝f(1)，∴f(2)＋f(0)≥2f(1)．8．选C当x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上是增函数，故A错；当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，故x＝0是f(x)的极大值点，即B错，同理D错；当x>4 时f′(x)<0，f(x)在(4，＋∞)上是减函数，C正确．6－x6－x 1 9．选D设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝2π，圆柱体积V＝π(2π)2x＝(x3－4π12x2＋36x)(0<x<6)，3V′＝(x－2)(x－6)．4π当0<x<2时，V′>0，当2<x<6时，V′<0.当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4，(6－x)∶x＝4∶2＝2∶1.10．选A∵f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴由题意知f′(1)＝3＋2a＋b＝0，∴b＝－3－2a①又f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②将①代入②整理得a2＋8a＋12＝0，解得a＝－2或a＝－6.当a＝－2时，b＝1；当a＝－6时，b＝9.经检验得，a＝－2，b＝1不符合题意，舍去．a 2∴＝－.b 311．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，1 4x2－1 1令f′(x)＝4x－＝＞0，得x＞.x x 21即函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)21 答案：(，＋∞)212．解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝(3x20－2)·(x－x0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 1解得 x 0＝1或 x 0＝－ .2 故所求的切线方程为5y ＋1＝x －1或 y ＋1＝－ (x －1)，4 即 x －y －2＝0或 5x ＋4y －1＝0. 答案：x －y －2＝0或 5x ＋4y －1＝0 13．解析：记 f (x )＝x 3－x 2－x ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1， 1令 f ′(x )＝0得 x ＝－ 或 x ＝1.315又 f (－3 )＝，f (2)＝2，f (－1)＝－1， 27f (1)＝－1，∴当 x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)14．解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物， 400 则 n ＝ ， x∴总运费与总存储费之和 1600 f (x )＝4n ＋4x ＝ ＋4x ，x 1600令 f ′(x )＝4－＝0，解之得 x ＝20. x 2当 0<x <20时 f ′(x )<0， 当 20<x <400时，f ′(x )>0， 故当 x ＝20时，f (x )最小． 答案：2015．解：(1)f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5， 则 f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b . 据题意有 Error!即Error! 解之得 a ＝－3，b ＝－18. 因此 f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.3(2)令12x2－6x－18>0，得x<－1或x> ，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，23(，＋∞)，23令12x2－6x－18<0，得－1<x< ，23(－1，2).因此，函数f(x)的单调递减区间为16．解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，(－1，(a，x －1 a－1) a) ＋∞)f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 极大植极小值故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，必须满足1Error!解得0＜a＜.31 所以，a的取值范围是(0，)．317．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，af′(x)＝1－.x(1)当a＝2时，f(x)＝x－21n x，2f′(x)＝1－(x＞0)，x所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.a x－a(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0可知：x x①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，因为x∈(0，a)时，f′(x)＜0，7x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值．当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．18．解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为：f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y5＝(3－0.9x)×3240×(－x3)2＋2x＋＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，5由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，95当x∈(0，9 )时，f′(x)>0，f(x)是增函数；5当x∈(，1 )时，f′(x)<0，f(x)是减函数．95 5所以当x＝时，f(x)取最大值，f( )＝20 000.9 95所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．98。

阶段质量检测（三）概率（时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉;③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生,故是随机事件；对于②,在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下,水加热到90 °C会沸腾,是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析:选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求;B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球"这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D。

3．从分别写有A，B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析:选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B）,（B，C)，（C，D)，(D，E）4种，故P＝错误!＝错误!。

4．在正方体ABCD。

A1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥O。

ABCD内（O为正方体的对角线的交点）的概率是（）A。

错误! B.错误!C.12D.错误!解析：选B 设正方体的体积为V，则四棱锥O。

ABCD的体积为错误!,所求概率为错误!＝错误!.5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2 m的概率为（)A。

阶段质量检测（三） (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310 B.112 C.4564 D.384．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.685．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.1126．(北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π47．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.598．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4B．1－π4C.π8D．1－π89．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离正方形的中心不超过1 cm的概率．其中是几何概型的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．410．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝________.12．在区间[0,4]上任取一实数a，使方程x2＋2x＋a＝0有实根的概率是________．13．(福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．14．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[61,100]内的概率．16．(12分)设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．17．(12分)为迎接2017全运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，b，c(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．18．(14分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．答案1. 解析：选B 由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件．2. 解析：选C 由频率与概率关系知C正确．3. 解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}．4. 解析：选C 其中质量小于4.85 g包括质量小于4.8 g和质量在[4.8,4.85)范围内两种情况，所以所求概率为0.32－0.3＝0.02.5. 解析：选D 由题意知(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P(m，n)在直线x＋y＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为336＝112.6. 解析：选D 画草图易知区域D是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P ＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.7. 解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P ＝29.8. 解析：选B 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.9. 解析：选C ①是，因为区间[－10,10]内有无限多个数，对应数轴上无限多个点，且取到“1”这个数对应的点的概率为0；②是，因为区间[－10,10]和[－1,1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；③不是，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，不满足无限性；④是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)．10. 解析：选D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.11. 解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH 的面积为(2)2＝2.又圆的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π12. 解析：当4－4a ≥0即a ≤1时方程有实根，故所求的概率为P ＝14.答案：1413. 解析：因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：2314. 解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (C )＝0.1，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.7，P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.8， ∴P ＝1－0.8＝0.2. 答案：0.7 0.215. 解：记该班的测试成绩在[100～91)，[90～81)，[80～71)，[70～61)内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[81,100]内的概率是P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.25＝0.4.(2)该班成绩在[61,100]内的概率是P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.15＋0.25＋0.36＋0.17＝0.93.16. 解：记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，在每个最小等边三角形内再作小等边三角形使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则新作小等边三角形的边长为2 3.∴P (A )＝34323432＝14. 17. 解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310.18. 解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)①设一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝615＝25.。

章末综合测评(三) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f (x )＝α2－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin α B ．cos α C ．2α＋sin αD ．2α－sin α【解析】 f ′(x )＝(α2－cos x )′＝sin x ，当x ＝α时，f ′(α)＝sin α. 【答案】 A2．若曲线y ＝1x 在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 【解析】 y ′＝－1x 2，由－1x 2＝－4，得x 2＝14，从而x ＝±12，分别代入y ＝1x ，得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.【答案】 B3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，归纳可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )【解析】 观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．【答案】 D4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0【解析】 由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2.故选B.【答案】 B5．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不存在【解析】 因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)，故选A.【答案】 A6．过点(0,1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ) 【导学号：25650145】A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－12，故与切线垂直的直线斜率为2， 所求直线方程为y －1＝2x ， 即2x －y ＋1＝0.故选D. 【答案】 D7．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则y ＝f (x )( )图1A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取得极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值【解析】 在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．【答案】 C8．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＞13 B ．a ≥13 C ．a ＜13D ．a ≤13【解析】 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 【答案】 B9．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50【解析】 设内接矩形的长为x ， 则宽为25－x 24，∴S 2＝x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫25－x 24＝y ，∴y ′＝50x －x 3. 令y ′＝0，得x 2＝50或x ＝0(舍去)， ∴S 2max ＝625，即S max ＝25. 【答案】 C10．函数y ＝ln xx 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2D.103【解析】 y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2，令y ′＝0，得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0.故y 极大值＝f (e)＝e －1.因为在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.【答案】 A11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有() A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)>2f(1)C．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)≥2f(1)【解析】①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，所以f(x)在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．所以f(2)>f(1)，f(1)<f(0)，即f(0)＋f(2)>2f(1)．②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)，综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．【答案】 D12．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有()A．函数F(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上为增函数B．函数F(x)＝f(x)x在(0，＋∞)上为减函数C．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减函数【解析】设G(x)＝xf(x)，则G′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，故G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上递增，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________．【解析】令f′(x)＝1x－1＞0，解不等式即可解得x＜1，注意定义域为(0，＋∞)．所以0＜x＜1.【答案】(0,1)14．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．【解析】f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9. 【答案】 915．若函数f (x )＝ln|x |－f ′(－1)x 2＋3x ＋2，则f ′(1)＝________. 【导学号：25650146】【解析】 当x >0时，f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x ＋2， ∴f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3， ∴f ′(1)＝1－2f ′(－1)＋3.当x <0时，f (x )＝ln(－x )－f ′(－1)x 2＋3x ＋2， ∴f ′(x )＝－1－x －2f ′(－1)x ＋3＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2， ∴f ′(1)＝8. 【答案】 816．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x <m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 【解析】 记f (x )＝x 3－x 2－x ， 所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，所以当x ∈[－1,2]时，[f (x )]max ＝2，所以m >2. 【答案】 (2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1与直线l ：4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l 2⊥l 1，且l 2也过点P 0，求直线l 2的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1.令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l 2⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 2的斜率为－14.∵l 2过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 2的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值． (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．19．(本小题满分12分)设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．【解】对f(x)求导得：f′(x)＝e x 1＋ax2－2ax (1＋ax2)2.①(1)当a＝43时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知：所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝1 2x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【解】(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)可知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解】 (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象经过原点，f′(1)＝0，曲线y＝f(x)在原点处的切线与直线y＝2x＋3的夹角为135°.(1)求f(x)的解析式；【导学号：25650147】(2)若对于任意实数α和β，不等式|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立，求m的最小值．【解】(1)由题意，有f(0)＝c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①又曲线y＝f(x)在原点处的切线的斜率k＝f′(0)＝b，而直线y＝2x＋3与此切线所成的角为135°，所以2－b1＋2b＝－1.②联立①②解得a＝0，b＝－3，所以f(x)＝x3－3x.(2)|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立等价于|f(x)max－f(x)min|≤m，由于2sin α∈[－2,2]，2sin β∈[－2,2]，故只需求出f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的最值，而f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1，列表如下：max min max min为4.。